VAR模型讲义
VAR模型、协整和VEC模型介绍学习资料
V AR模型、协整和VEC模型1. V AR（向量自回归）模型定义2. V AR模型的特点3. V AR模型稳定的条件4. V AR模型的分解5. V AR模型滞后期的选择6. 脉冲响应函数和方差分解7. 格兰杰（Granger）非因果性检验8. V AR模型与协整9. V AR模型中协整向量的估计与检验10. 案例分析1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。
这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。
在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
1. V AR （向量自回归）模型定义以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型为例，y 1, t = c 1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1t y 2, t = c 2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2t其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。
写成矩阵形式是，⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21设Y t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21, c =12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ, u t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21, 则，Y t = c + ∏1 Y t -1 + u t (1.3)含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：Y t = c + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω)其中，Y t = (y 1, ty 2, t … y N , t )'， c = (c 1 c 2 … c N )'∏j =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j NN jN jN j N jj j N j j..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ, j = 1, 2, …, ku t = (u 1 t u 2,t … u N t )',不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
金融计量VAR、VEC模型讲义共61页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
ห้องสมุดไป่ตู้
金融计量VAR、VEC模型讲义
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
VAR模型PPT演示课件
E(t ) 0
E(
t
t
)
E(
t
s
)
0,
对于t
s
5
一个两变量(VAR)模型的例子
Yt C Yt1 t ,
y1t y2t
c1 c2
11 21
12 22
y1,t 1 y2,t 1
y1,t 2 y2,t 2
1t 2t
0 y1,t2
(2) 22
y2,t
2
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LR 检验:
如果拒绝原假设，则称 y2t是y1t的格兰杰 因果关系。
与此不同，
y1t C1 1 y1,t1 2 y1,t2 L p y1,t p 1 y2,t1 2 y2,t2 L p y2,t- p 1t
y1t
Yt
y2t
,
t
1, 2,
,T
ynt
4
• 那么，一个p阶VAR模型，即VAR(p)，定义为：
Yt C 1Yt1 2Yt2 pYt p t
• C系为数n矩×阵1维。常t 为数n向×量1，维向i 为量n白×噪n音维，自满回足归如
平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估 计结果分析经济、金融含义。 • 但是，如果利用VAR模型分析实际问题时， 使用非平稳序列变量，却会带来统计推断 方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计 推断要求分析的所有序列必须都是平稳序 列。
VAR、VEC模型讲义
A(L)Φ(L)1
A (L )A 0A 1LA 2L 2
A0 Ik
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7
对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如
对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的
估计量为
其中：
Σˆ 1
T
εˆt εˆt
(9.1.7)
ε ˆ t y t Φ ˆ1 y t 1 Φ ˆ2 y t 2 Φ ˆp y t p
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5
一般称式(9.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestricted
VAR)。冲击向量 t 是白噪声向量，因为 t 没有结构性的含
义，被称为简化形式的冲击向量。
为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含外生变量 的非限制向量自回归模型，用下式表示
y t Φ 1y t 1 Φ py t p εt
第九章 向量自回归和误差修正模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变
量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间
的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出
现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断
变得更加复杂。
为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来
建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回
其中， ci , aij , bij 是要被估计的参数。也可表示成：
M It1 P t c c 1 2 a a 1 21 1 a a 1 2 2 2 M It1 P 1 t 1 b b 1 21 1 b b 1 2 2 2 M It1 P t 2 2 1 2 ,,tt
t1,2,,T (9.1.8)
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24
八章 VAR模型课件
第八章向量自回归模型第一节平稳的V AR过程第二节 非限制性向量自回归模型的估计第三节 V AR模型的应用第四节 协整与误差校正模型第一节平稳的V AR过程一、 V AR过程的基本概念1980年Sims首先提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。
这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。
在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
1单变量时间序列的AR(p)模型很容易推广到多元情形，这就是V AR(p)模型，它的定义为11t t p t p t y v A y A y u −−=++++ , 0,1,2,,t =±±… (8.1)这里t 1(,,)t t K y y y ′=…是一个1K ×维的随机向量，i A 是固定的K K ×维的系数矩阵，1(,,)K v v v ′=…是一个1K ×维的截距向量。
t 1(,,)t t K u u u ′=…是一个1K ×维的白噪声新息过程，亦即，()0t E u =()t t u E u u ′=Σ且()0t sE u u ′=(当s t ≠时)、||0u Σ≠。
两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型2111111122112221112221t t t t tt t t y v a y a y u y v a y a y u −−−−=+++⎧⎨=+++⎩其中u 1 t , u 2 t ∼ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。
写成矩阵形式为11t t t y v A y u −=++，1,2,t =… 于是一般的V AR(1)模型如下（t y 可能包含不止两个变量）11t t t y v A y u −=++，1,2,t =… (8.2)容易推得21101y v A y u =++211211012()y v A y u v A v A y u u =++=++++2110112()K I A v A y Au u =++++类似地，可得1111101t i 0()t t t i t K i y I A A v A y A u −−−==+++++∑ 0()jj j i t K t j i i (8.3)从(8.3)式可以得到111111t y I A A v A y A u +−−−==+++++∑类似于一维情形，如果矩阵1A 的行列式的特征值都在单位圆外，则矩阵序列1iA ，0,1,i =…是绝对可和的，所以无限和式10it i i A u ∞−=∑存在均方极限。
Eviews11章VAR模型和VEC模型讲课讲稿
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
VAR模型中AR根的图
EViews统计分析基础教程
一、向量自回归（VAR）模型
3. VAR模型的建立 VAR模型的滞后结构检验 （2）Granger因果检验 Granger因果检验的 原假设是 H0：变量x不能Granger引起变量y 备择假设是 H1：变量x能Granger引起变量y
EViews统计分析基础教程
一、向量自回归（VAR）模型
4. VAR模型的检验 VAR模型的滞后结构检验 （1）AR根的图与表 如果VAR模型所有根模的倒数都小于1，即都在单位圆内， 则该模型是稳定的；如果VAR模型所有根模的倒数都大于1， 即都在单位圆外，则该模型是不稳定的。如果被估计的VAR 模型不稳定，则得到的结果有些是无效的。
EViews统计分析基础教程
一、向量自回归（VAR）模型
2.结构VAR模型（SVAR）
结构VAR是指在模型中加入了内生变量的当期值，即解释变 量中含有当期变量，这是与VAR模型的不同之处。 下面以两变量SVAR模型为例进行说明。
xt=b10 + b12zt +γ11xt-1 +γ12 zt-1 + μxt zt=b20 + b21xt +γ21xt-1 +γ22 zt-1 + μzt 这是滞后阶数p=1的SVAR模型。其中，xt和zt均是平稳随机 过程；随机误差项μxt和μzt是白噪声序列，并且它们之间不相 关。系数b12表示变量的zt的变化对变量xt的影响；γ21表示xt-1 的变化对zt的滞后影响。该模型同样可以用如下向量形式表 达，即
第六讲 VAR模型(高级计量经济学
解是特稳征定方的程，得z1=-4.877，z2=1.961, 所以该模型
.
VAR模型定阶
AIC(Akaike赤池)和SC(Schwarz施瓦兹)准则
AIC(p)=lndet( ˆ p )+ 2 n 2 p
T
BIC(p)=lndet(
式。
.
例2：结构向量自回归模型
方程中包括同期解释变量
y1t 0.1y2t y2t10.3y2t2e1t
y2t 0.5y1t10.4y2t2e2t
其中
e1t e 2t
是独立同分布向量白噪声过程
其方差协方差阵为
e
1 0
10
.
例2：结构VAR与标准VAR
标准化，或简化式
y y 1 2 tt 0 0 ..0 51 5 0 .0 .4 4 y y 1 2 tt 1 1 0 0 0 0 .3 y y 1 2 tt 2 2 1 2 tt
.
预测总结
预测有许多前提假设： 假设是平稳过程；假设正态分布；是VAR（1）过
程；并且参数是估计的不是已知的。 所以需要检验这些假设是否正确。一个方法是把
预测值与实际值比较。 如果预测值都包含在相应的置信区间内。从预测
角度不能否认模型的正确性。
.
数为 C,1,,p,
估计方法：每个方程用OLS法估计，可以得到的 一致估计量
.
预测
预测公式
Y T ( h ) C 1 Y T ( h 1 ) p Y T ( h p )
ih,Y T(hi)Y T h i
.
预测－VAR(1)
样本长度为T，对T+1，T+2，…进行预测
VAR模型
E(Yt )
E(Yt )(Yt ) 0
E(Yt )(Yt j ) j
其中，
定义的是
j
Yt
在第
j
期的自协方差矩阵。
对于一个VAR模型，其平稳条件是 (z) n 1z 2 z2 L p z p 0 的根落在单位圆外，其中 表示行列式符号。? 同样地，平稳条件也可以表述为
• 经济增长与货币供给之间的两变量VAR模型：
gdpt c1 11gdpt1 12cpit1 1t
cpit
c2
21cpit1
22 gdpt1
2t
• 更一般地，考虑一组时间序列变量：
y1t , y2t ,L , ynt
• 我们可以将其定义为一个n ×1维向量Yt：
• 但是，如果利用VAR模型分析实际问题时， 使用非平稳序列变量，却会带来统计推断 方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计 推断要求分析的所有序列必须都是平稳序 列。
• 指导性的原则：
• 如果要分析不同变量之间可能存在的长期 均衡关系，则可以直接选用非平稳序列；
• 如果分析的是短期的互动关系，则选用平 稳序列，对于涉及到的非平稳序列，必须 先进行差分或去除趋势使其转化成对应的 平稳序列，然后包含在VAR模型中进行进 一步分析。
n p 1 p1 2 p2 L p 0
的根落在单位圆内。
为了深入地解VAR模型的平稳 性条件，为了考虑含有2个变量的简 单VAR（1）模型：
y1t y2t
1 0.5
1.6 0.7
y1,t 1 y2,t 1
第5讲 VAR模型
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第8章 V AR 模型与协整8.1 向量自回归（V AR ）模型1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。
这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
8.1.1 V AR 模型定义V AR 模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。
假设y 1t ，y 2t 之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型y 1, t = f (y 1, t -1, y 1, t -2, …) y 2, t = f (y 2, t -1, y 2, t -2, …) 则无法捕捉两个变量之间的关系。
如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。
V AR 模型的结构与两个参数有关。
一个是所含变量个数N ，一个是最大滞后阶数k 。
以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型为例，y 1, t = μ1 + π11.1 y 1, t -1 + π12.1 y 2, t -1 + u 1 ty 2, t = μ2 + π21.1 y 1, t -1 + π22.1 y 2, t -1 + u 2 t (8.1) 其中u 1 t , u 2 t ~ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。
写成矩阵形式是，⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21μμ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21 (8.2) 设， Y t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21, μ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21μμ, ∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1.221.211.121.11ππππ, u t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21, 则， Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t (8.3) 那么，含有N 个变量滞后k 期的V AR 模型表示如下：Y t = μ + ∏1 Y t -1 + ∏2 Y t -2 + … + ∏k Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω) (8.4) 其中，Y t = (y 1, t y 2, t … y N , t )' μ = (μ1 μ2 … μN )'∏j =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j NN jN j N j N jjj N jj..2.1.2.22.21.1.12.11πππππππππ, j = 1, 2, …, k u t = (u 1 t u 2,t … u N t )',Y t 为N ⨯1阶时间序列列向量。
μ为N ⨯1阶常数项列向量。
∏1, … , ∏k 均为N ⨯N 阶参数矩阵，u t ~ IID (0, Ω) 是N ⨯1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
因V AR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t 是不相关的，所以可以用OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。
V AR 模型的特点是：（1）不以严格的经济理论为依据。
在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在V AR 模型中；②确定滞后期k 。
使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。
（2）V AR 模型对参数不施加零约束。
（参数估计值有无显著性，都保留在模型中） （3）V AR 模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在V AR 模型中都不存在。
（4）V AR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。
比如一个V AR 模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3 ⨯ 32 = 27个参数需要估计。
当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。
（5）无约束V AR 模型的应用之一是预测。
由于在V AR 模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。
西姆斯（Sims ）认为V AR 模型中的全部变量都是内生变量。
近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入V AR 模型。
8.1.2 V AR 模型的稳定性特征 现在讨论V AR 模型的稳定性特征。
稳定性是指当把一个脉动冲击施加在V AR 模型中某一个方程的新息（innovation ）过程上时，随着时间的推移，分析这个冲击是否会逐渐地消失。
如果是逐渐地消失，系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
下面分析一阶V AR 模型Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t (8.5)为例。
当t = 1时，有Y 1 = μ + ∏1 Y 0 + u 1 (8.6)当t = 2时，采用迭代方式计算，Y 2 = μ + ∏1 Y 1 + u 2 = μ + ∏1 (μ + ∏1 Y 0 + u 1) + u 2= (I + ∏1) μ + ∏12 Y 0 + ∏1 u 1 + u 2 (8.7) 当t = 3时，进一步迭代，Y 3 = μ + ∏1 Y 2 + u 3 = μ + ∏1 [(I + ∏1) μ + ∏12 Y 0 + ∏1 u 1 + u 2] + u 3= (I + ∏1 + ∏12) μ + ∏13 Y 0 + ∏12 u 1 + ∏1 u 2 + u 3 (8.8)… …对于t 期，按上述形式推导Y t = (I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t -1) μ + ∏1t Y 0 + ∑-=101t i i Πu t -i (8.9)由上式可知，∏10 = I 。
通过上述变换，把Y t 表示成了漂移项向量μ、初始值向量Y 0和新息向量u t 的函数。
可见系统是否稳定就决定于漂移项向量μ、初始值向量Y 0和新息向量u t 经受冲击后的表现。
假定模型是稳定的，将有如下3个结论。
（1）假设t = 1时，对μ 施加一个单位的冲击，那么到t 期的影响是(I + ∏1 + ∏12 + … + ∏1t -1)当t →∞ 时，此影响是一个有限值，(I - ∏1) -1。
（2）假设在初始值Y 0上施加一个单位的冲击。
到t 期的影响是 ∏1t 。
随着t →∞，∏1t → 0，影响消失（因为对于平稳的V AR 模型，∏1中的元素小于1，所以随着t →∞，取t 次方后，∏1t → 0）。
（3）从∑-=11t i iΠu t -i 项可以看出，白噪声中的冲击离t 期越远，影响力就越小。
∑-=11t i i Π=(I- ∏1) -1，称作长期乘子矩阵，是对∑-=11t i i Πu t -i 求期望得到的。
对单一方程的分析知道，含有单位根的自回归过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。
同理，含有单位根的V AR 模型也是非平稳过程。
当新息中存在脉动冲击时，VAR 模型中内生变量的响应不会随时间的推移而消失。
平稳变量构成的一定是稳定（stability ）的模型，但稳定的模型不一定由平稳变量构成。
也可能由非平稳（nonstationary ）变量（存在协整关系）构成。
8.1.3 V AR 模型稳定的条件V AR 模型稳定的充分与必要条件是∏1（见 (8.3) 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。
1．先回顾单方程情形。
以AR(2)过程 y t = φ1 y t -1 + φ2 y t -2 + u t (8.11)为例。
改写为(1- φ1 L - φ2 L 2) y t = Φ(L ) y t = u t (8.12)y t 稳定的条件是Φ(L ) = 0 的根必须在单位圆以外。
2．对于V AR 模型，用特征方程判别稳定性。
以 (8.3) 式，Y t = μ + ∏1 Y t -1 + u t ，为例，改写为(I - ∏1 L ) Y t = μ + u t (8.13)其中A (L ) = (I - ∏1 L )。
V AR 模型稳定的条件是特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根都在单位圆以内。
特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根就是∏1的特征值。
例8.1 以二变量（N = 2），k = 1的V AR 模型为例分析稳定性。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/54/12/18/5⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t u u 21 (8.14) 其中 ∏1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/54/12/18/5 特征方程| ∏1 - λ I | = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλ008/54/12/18/5= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--λλ8/54/12/18/5= 0 即(5/8 - λ)2 – 1/8 = (5/8 - λ)2 –2)8/1(= (0.978 - λ) (0.271 - λ) = 0 (8.15) 得 λ1 = 0.9786, λ2 = 0.2714。
λ1，λ2是特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根，也是∏1的特征值。
因为λ1 = 0.978, λ2 = 0.271，都小于1，所以对应的V AR 模型是稳定的。
3．V AR 模型的稳定性也可以用相反的特征方程（reverse characteristic function ），| I – L ∏1 | = 0判别。
即保持V AR 模型平稳的条件是相反的特征方程 | I - L ∏1| = 0的根都在单位圆以外。
例8.2 仍以V AR 模型(8.14) 为例，相反的特征方程| I - L ∏1| = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡L L L L )8/5()4/1()2/1()8/5(1001= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----L L L L)8/5(1)4/1()2/1()8/5(1= (1- (5/8) L )2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L ) (1-0.27 L ) = 0 (8.16)求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690,因为L 1，L 2都大于1，所以对应的V AR 模型是稳定的。
注意：（1）特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，λ = 1/L 。
（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程 Φ(L ) = 0的根描述模型的稳定性；而在V AR 模型中通常用特征方程 | ∏1 - λ I | = 0的根描述模型的稳定性。
即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程Φ(L ) = 0的根都要在单位圆以外。