华师《初等数论》离线作业【学习答案】
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案：一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3B 3与9C 9D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3B 5C 7D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .（2）)45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .（3）)321(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x ,)321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5), 所以我们得到)5(mod 0a a ≡所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以)3(mod 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .。
初等数论 课后答案【khdaw_lxywyl】
设 d 为 n 的任一个正因数，由 dn 知对每一个 pi，d 的标准分解式中 pi 的指数都
k 1 2 1 （0 i i， 不超过 n 的标准分解式中 pi 的指数，即 d 必可表示成 p1 p2 pk
i k）的形式； (ⅱ) 类似于(ⅰ)可证得。
k k 1 1 2. (ⅰ) 显然对于i = min{i, i}，1 i k， p1 pk | a，p1 pk |b ， 而
案
网
第一章
中的最小正整数， 显然有 Y0 = |m|y0； (ⅲ) 代替 a1, a2, , ak 即可。 3. (ⅰ) = b 可得； (ⅲ)
| a，则(p, a) = 1，从而由 pab 推出 pb； (ⅱ) 若p
(a, b1b2bn) = (a, b2bn) = = (a, bn) = 1。
课后答案网，用心为你服务！
大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案 最全最多的课后习题参考答案，尽在课后答案网（）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨，以关注学生的学习生活为出发点， 旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。 爱校园（） 课后答案网（） 淘答案（）
i 1
k
Hale Waihona Puke 后然； (ⅳ) 设(p, a) = d，则 dp，da，由 dp 得 d = 1 或 d = p，前者推出(p, a) = 1，后者推出 pa。 2. (ⅰ) 由 dai 推出 dy0 = (a1, a2, , ak)； (ⅱ) 分别以 y0 和 Y0 表示集合
k
答
|a2|, ,|ak| 的公约数的集合相同，所以它们的最大公约数相等；
aw .c o
网
初等数论习题解答
《初等数论》习题解答作业3一．选择题1，B 2，C 3，D 4，A二．填空题1，自反律 2，对称性 3，13 4，十进位 5，3 6，2 7，1三．计算题1， 解：由Euler 定理知：（a,m ）=1 则 a φ (m)≡1 (modm)∵(3,100)=1. 3φ (100)=340≡13360≡13364=3360×34≡34 (mod 100)∴34≡81 (mod 100)故：3364的末两位数是81.2, 解：132=169≡4 （mod 5）134=16≡1 (mod 5)1316≡1 (mod 5)1332≡1 (mod 5)1348≡1 (mod 5)1350=1348×1321350≡132≡4 (mod 5)3, 解： ∵(7,9)=1. ∴只有一个解7X －5≡9Y (mod 9)7X －9Y ≡5 (mod 9)解之得：X=2，Y=1∴X=2+9≡11=2 (mod 9)4, 解： ∵（24，59）=1 ∴只有一个解24X ≡7 (mod 59)59Y ≡﹣7 (mod 24)11Y=﹣7 (mod 24)24Z=7 (mod 11)2Z=7 (mod 11)11W=﹣7 (mod 2)W =﹣7 (mod 2)W=﹣1 (mod 2)Z=2711+-= －2 Y=117242-⨯-=－5X=247595+⨯-=2288-=－12 =47(mod59)5 解 ∵（45，132）=3，∴同余式有三个解。
45X ≡21（mod32）15x ≡7 (mod44)44y ≡-7 (mod15)14y ≡-7 (mod15)15z ≡-7 (mod14)z ≡7 (mod14) y=147715-⨯=7 x=157744+⨯=21 ∴x=21+31322⨯=109 (mod132) x=21+31321⨯=65 (mod132) x=21 (mod132)6、解 ∵（12，45）=3, ∴同余式有三个解。
华中师范大学职业与继续教育学院《初等数论》练习题库及答案
华中师范大学职业与继续教育学院《初等数论》练习题库及答案一 填空题（每空2分）1.写出30以内的所有素数 .考查章节：第2、3课时； 难易程度： 较易； 答题时间： 0.5分钟2.,(,)(,)(,)a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 . 考查章节：第6、7课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适合 .考查章节：第10、11课时； 难易程度： 较易； 答题时间： 0.5分钟4.写出180的标准分解式是 ,其正约数个数有 个.考查章节：第12、13课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟5.,1,2,,a b a b 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 个.考查章节：第14、15课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程a x b y c +=有整数解(,x y )的充要条件是 .考查章节：第16、17课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 个整数.考查章节：第23、24课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟8.ϕ(3)= ;ϕ(4)= .考查章节：第25、26课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟9.当p 素数时,(1)()p ϕ= ;(2)()k p ϕ= .考查章节：第25、26课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟10.(),(,)1,1m m a m a ϕ=-≡设是正整数则 (m o d ).m 考查章节：第27、28课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 (m o d ).p 考查章节：第27、28课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ (m o d 7). 考查章节：第29、30课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 .考查章节：第1、2课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟14.同余方程2310120(mod9)x x ++≡的解是 .15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 .考查章节：第37、38课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 .考查章节：第37、38课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟17.3()=5 ; 4()=5.考查章节：第39、40课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟18.,p 设是奇素数则2()p= .考查章节：第39、40课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟19.,p 设是奇素数则1()p = ;-1()p= .考查章节：第39、40课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟20. 5()=9 ; 2()=45.考查章节：第43、44课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ⇒∈+且对任意的有.考查章节：第2、3课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.考查章节：第8、9课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1分钟 3. 23|,|a b a b 若则.考查章节：第8、9课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1分钟4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈⇒≡考查章节：第21、22课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇒≡考查章节：第21、22课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟 6. 22(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或至少有一个成立.考查章节：第21、22课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1分钟 7. 222(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 考查章节：第23、24课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟 9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b 若与都是模m 的完全剩余系1122{,,,}.m m a b a b a b m +++ 则也是模的完全剩余系考查章节：第23、24课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系.考查章节：第23、24课时； 难易程度： 一般； 答题时间： 1分钟11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ϕϕϕ∈==若则考查章节：第25、26课时； 难易程度： 易； 答题时间： 0.5分钟 12. 同余方程24330(mod15)x x -+≡和同余方程2412120(mod15)x x +-≡是同解的.考查章节：第29、30课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余方程等价于不定方程考查章节：第29、30课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1分钟14. 2,(mod ),() 1.am x a m m≡=当是奇素数时若有解则考查章节：第43、44课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟 15. 2,()1,(mod ).am x a m m=≡当不是奇素数时若则方程一定有解 考查章节：第43、44课时； 难易程度： 较难； 答题时间： 1.5分钟 21.σ(288)＝_______________；ϕ(288)＝________________。
初等数论第三版课后习题答案
初等数论第三版课后习题答案初等数论是数学中的一个重要分支，它研究的是整数的性质和关系。
而初等数论第三版是一本经典的教材，对于初学者来说非常有用。
在学习过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
下面，我将为大家提供初等数论第三版课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 证明：如果一个整数能被4整除，那么它一定能被2整除。
答案：我们知道，一个数能被4整除，意味着它能被2整除且能被4整除。
因此，这个结论是显然成立的。
2. 证明：如果一个整数能被6整除，那么它一定能被2和3整除。
答案：我们知道，一个数能被6整除，意味着它能被2整除且能被3整除。
因此，这个结论是显然成立的。
3. 证明：如果一个整数能被8整除，那么它一定能被2整除。
答案：我们知道，一个数能被8整除，意味着它能被2整除且能被8整除。
因此，这个结论是显然成立的。
4. 证明：如果一个整数能被9整除，那么它一定能被3整除。
答案：我们知道，一个数能被9整除，意味着它能被3整除且能被9整除。
因此，这个结论是显然成立的。
5. 证明：如果一个整数能被10整除，那么它一定能被2和5整除。
答案：我们知道，一个数能被10整除，意味着它能被2整除且能被5整除。
因此，这个结论是显然成立的。
通过以上的习题和答案，我们可以看出初等数论的一些基本性质。
在实际应用中，初等数论有着广泛的应用。
比如在密码学中，初等数论的知识可以用于加密算法的设计；在计算机科学中，初等数论的知识可以用于算法的设计和分析等等。
因此，掌握初等数论的知识不仅有助于我们提高数学能力，还有助于我们在实际问题中解决问题。
总结起来，初等数论第三版课后习题的答案是我们巩固知识和提高能力的重要途径。
通过解答这些习题，我们可以深入理解初等数论的基本性质，为将来的学习和应用打下坚实的基础。
希望大家能够认真对待这些习题，不断提高自己的数学水平。
华师《初等数论》在线作业-0003.BA51D0E4-74F8-4C
417被-15除的带余除法表达式是（ ）
A:417 = (-15)(-30)-33
B:417 = (-15)(-26)+27
C:417 = (-15)(-28)+(-3)
D:417 = (-15)(-27)+12
答案：D
如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（ ）
A:奇数
A:错误
B:正确
答案：B
50!中2的指数是46.
A:错误
B:正确
答案：A
奇数一定能表示为两平方数之差.
A:错误
B:正确
答案：B
若(n,p)=1, n是模p的二次剩余的充要条件是n^(p-1/2)≡-1(mod p).（^表示上标)
A:错误
B:正确
答案：A
A:38
B:48
C:58
D:68
答案：C
（1/5）=（ ）
A:-1
B:0
C:1
D:2
答案：C
设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（ ）nm
A:整除
B:不整除
C:等于
D:小于
答案：A
如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（ ）
A:a
B:b
C:1
D:a+b
答案：C
1050与858的最大公因数是（ ）
A:错误
B:正确
答案：B
同余式28x≡21(mod 35)有7个解.
A:错误
B:正确
答案：B
a,b的公倍数是它们的最小公倍数的倍数.
A:错误
B:正确
答案：B
若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2).
华师《初等数论》在线作业-00021E00465A-12
B:正确
答案：B
－11,-4,18,20,32是模5的一个完全剩余系.
A:错误
B:正确
答案：B
同余式x^2≡438(mod593)无解.
A:错误
B:正确
答案：B
大于3的任意两素数的平方差是24的倍数.
A:错误
B:正确
答案：B
B:（12，15）不整除7
C:7不整除（12，15）
D:7不整除[12，15]
答案：B
取1元、2元、5元的硬币共10枚，付出18元，有（ ）种不同的付法
A:1
B:2
C:3
D:4
答案：C
（54,198）=（ ）
A:3
B:6
C:9
D:18
答案：D
若6k+5对模4与7同余，则数k满足关系式（ ）
A:k=1
华师《初等数论》在线作业-0002
设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（ ）
A:0
B:1
C:2
D:3
答案：A
下列方程哪个无整数解（ ）
A:16x-37y=7
B:3x+6y-12=0
C:2x+6y-1=4
D:5x+6y=52
答案：C
如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（ ）
B:k≡1(mod4)
C:k=1+7t (t∈Z)
D:k=5
答案：B
(12345,678)=( ).
A:3
B:7
C:9
D:11
答案：A
如果b|a，a|c，则（ ）
A:b=c
B:b=-c
《初等数论》第三版习题解答
《初等数论》第三版习题解答第⼀章整数的可除性§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++是m 得倍数．证明：12,,n a a a 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数12,,n p p p 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===⼜12,,,n q q q 是任意n 个整数1122n nq a q a q a ∴+++1122n n q p m q p m q p m =+++1122()n n p q q p q p m =+++即1122n n q a q a q a +++是m 的整数2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明(1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-(1)(2)(1)(1)n n n n n n =+++-+ ⼜(1)(2)n n n ++，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+从⽽可知3|(1)(21)n n n ++3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最⼩整数，则00()|()ax by ax by ++．证：,a b 不全为0∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因⽽有形如ax by +的最⼩整数00ax by +,x y Z ?∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最⼩整数知0r =00|ax by ax by ∴++00|ax by ax by ++ （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ ⼜有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+故00(,)ax by a b +=4．若a ，b 是任意⼆整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得||,||2b a bs t t =+≤成⽴，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯⼀存在的．当b 是偶数时结果如何？证：作序列33,,,,0,,,,2222b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在⼀个整数q ，使122q q b a b +≤<成⽴ ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22q qs t a bs a b ==-=-，则有 02222b q q qa bs t ab a b b t ≤-==-=-<∴<若0b < 则令,22q qs t a bs a b =-=-=+，则同样有2b t <()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11,22q q s t a bs a b ++==-=-，则有若 0b <，则令11,22q q s t a bs a b ++=-=-=+，则同样有2b t ≤，综上所述，存在性得证．下证唯⼀性当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> ⽽111,22b bt t t t t t b ≤≤∴-≤+≤ ⽭盾故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯⼀，举例如下：此时2b为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ?=?+=?+-=≤§2 最⼤公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同．证：设d '是a ，b 的任⼀公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法111222111111,,,,,0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b---++-=+=+=+==≤<<<<∴(,)n a b r =∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,即d '是(,)a b 的因数。