现代控制理论
现代控制理论
求解包括三方面：
1. 系统建模 用数学模型描述系统 2. 系统分析 定性：稳定性、能控能观性
定量：时域指标、频域指标 3. 系统设计
控制器设计、满足给定要求 结构设计 参数设计
二、控制理论发展史（三个时期）
1．古典控制理论： （从30年代~50年代）
（1）建模，传递函数 （2）分析法(基于画图)，步骤特性，根轨迹，
描述建模，创造了许多经验模式。 分析法 状态空间 基于数字的精确分析。 几何法
（3）设计：带参数修正 1948年 美国数学家维纳《控制论》
2．现代控制理论：
（50年代末~70年代初）
现代控制理论是以状态空间法为基础，研究 MIMO，时变参数结构，非线性、高精度、高 性能控制系统的分析与设计的领域。
现代控制理论
Modern Control Theory
绪论
学习现代控制理论的意义： 1.是所学专业的理论基础 2.是研究生阶段提高理论水平的重要环节。 3. 是许多专业考博士的必考课。
一、控制的基本问题
控制问题：对于受控系统（广义系统）S， 寻求控制规律μ(t)，使得闭环系统满足给 定的性能指标要求。
现代
研究对象：单入单出（SIS0）系统，线性定常 工具：传递函数(结构图)，已有初始条件为零时才适用 试探法解决问题 ： PID串联、超前、滞后、反馈 研究对象：多入多出（MIMO）系统、
线性定常、非线性、时变、 工具：状态空间法、研究系统内部、
输入－状态（内部）－输出 改善系统的方法：状态反馈 、输出反馈
3.智能控制理论 （60年代末至今）
1970——1980 大系统理论 控制管理综合 1980——1990 智能控制理论 智能自动化 1990——21c 集成控制理论 网络控制自动化
现代控制理论
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状 态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性 已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1
控制工程技术基础 第7章现代控制理论简介
7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态：系统运动信息的集合。 状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所 谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系 统的输入函数，则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓 数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于 该值，又不足以描述系统的运动状态。 状态向量：n个状态变量x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)所构成的向量X(t)就 是系统的状态向量，记作X(t)=[x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见，邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的 最小值问题，转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。 当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。 1.最优控制 在图7-1所示系统中，有一组输入函数u (t)作用在受控系统上，其 相应状态变量是x (t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t)， 此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指 标）。 2.最优估计 图7-1所示系统中，输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来 的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰，如图7-2所示。如果将 整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w( t)表示这个系统的 模型误差，也称动态噪声，则从y (t)中，克服w( t)和v (t)的影响估计 出状态x (t)来，称为最优状态估计问题。
现代控制理论(绝对经典)
定义输出变量
y (t ) x1 (t )
整理得一阶微分方程组为
duc (t) 1 i(t) dt C di(t) 1 R 1 uc (t ) i (t ) u (t ) dt L L L
di(t) Ri(t ) L uc u (t ) dt duc i (t ) C dt
n 1 状态向量
向量形式：x(t ) f (x(t ), u(t ), t ) x (tk 1 ) f [ x (tk ), u(tk ), tk ]
r 1 输入向量
•输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出变量与 状态变量、输入变量之间的m个代数方程，称为系统的 输出方程。
y1 (t ) g1 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u 2 , u r , t ) y2 (t ) g 2 ( x1 , x2 , , xn , u1 , u 2 , u r , t ) ym (t ) g m ( x1 , x2 , , xn , u1 , u 2 , u r , t )
矩阵 相乘
x1 (t ) 0 1 x2 (t ) L
x1 (t ) y 1 0 x 2 (t )
•状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对 一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间 表达式。 图1所示电路,若 uc (t )为输出,取 x1 (t ) uc (t ), x2 (t ) i(t ) 作为状态变量,则其状态空间表达式为
1 x1 (t ) x2 (t ) C 1 R 1 2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) u (t ) x L L L
现代控制理论的概念、方法
THANKS FOR WATCHING和优化控制，注重系统的全局性、 最优性和鲁棒性。
现代控制理论的重要性
工业自动化
现代控制理论为工业自动化提供了理论基础和技 术支持，提高了生产效率和产品质量。
航天与航空
在航天和航空领域，现代控制理论的应用对于飞 行器的稳定性和安全性至关重要。
能源与环境
在能源和环境领域，现代控制理论有助于实现能 源的高效利用和环境的可持续发展。
VS
详细描述
线性二次型最优控制基于最优控制理论， 通过最小化系统状态和控制输入的二次型 代价函数来寻找最优的控制策略。这种方 法能够有效地优化系统的性能，提高系统 的稳定性和动态响应能力。
预测控制
总结词
预测控制是一种基于模型预测和滚动优化的 控制方法。
详细描述
预测控制通过建立系统的预测模型，对未来 的系统行为进行预测，并滚动优化控制策略 以减小预测误差。这种方法具有较好的鲁棒 性和适应性，广泛应用于工业过程控制和智 能控制等领域。
现代控制理论的历史与发展
历史
现代控制理论起源于20世纪50年代，随着计算机技术和数学理论的不断发展而 逐步完善。
发展
现代控制理论的发展涉及多个学科领域，如线性系统理论、最优控制、鲁棒控 制、自适应控制等，为复杂系统的控制提供了更广泛和深入的理论基础。
02 现代控制理论的基本概念
系统建模
总结词
系统建模是现代控制理论的基础，它通过数学模型描述系统的动态行为。
详细描述
性能指标是用来评估控制系统性能的关键因素，包括稳定性、准确性、快速性和鲁棒性 等。稳定性表示系统在受到扰动后恢复平衡的能力；准确性表示系统输出与理想输出之 间的误差大小；快速性表示系统达到稳定状态所需的时间；鲁棒性表示系统在存在不确
现代控制理论-第1章
i，得到二阶微分方程为：
（5） 其相应的传递函数为：
（6） 回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，
即令
则一阶微分方程为：
（7）
关于状态变量的选取： 理论上，不要求物理上一定可测； 工程上，以选取易测的量为宜，因为有时需要反馈状态变量。
简记为：
设系统2为：
简记为：
1．并联连接
所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系
统输出的代数和，结构简图如下图所示。
由式(72)和式(73)，并考虑 间表达式：
得系统的状态空
从而系统的传递函数阵为：
故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。
2．串联连接
串联连接下如图所示。读者可自己证明，其串联连接传递函数阵为：
其中各元素
都是标量函数，它表征第 个输入对第 个输出的传递关系。
当
时 ，意味着不同标号的插入与输出有相互关联，称为有耦合关系，
这正是多变量系统的特点。
式(69)还可以表示为：
可以看出，
的分母，就是系统矩阵A的特征多项式，
的分子是
一个多项式矩阵。
应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而
（66） 式中， 为r×1输入列矢量； 为m×1输出列矢量；B为n×r控制矩阵；
C为m×n输出矩阵；D为m×r直接传递阵；X，A为同单变量系统。
同前，对式(66)作拉氏变换并认为初始条件为零，得：
（67）
故
间的传递函数为
（68）
它是一个 n×r 矩阵函数。 故 间的传递函数为： （69） 它是一个m×r矩阵函数，即
(完整版)现代控制理论
第一章线性离散系统第一节概述随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。
通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。
一、举例自动测温，控温系统图;加热气体图解：1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R∆，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为)e；(t2. 检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。
当凸轮转动使指针）,接触时间为τ秒；与电位器相接触（凸轮每转的时间为T3. 当炉温h 连续变化时，电位器的输出是一串宽度为τ的脉冲信号e *τ(t);4.e *τ(t)为常值。
加热气体控制阀门角度调速器电动机放大器h →→→→→→ϕ 二、相关定义说明（通过上例来说明） 1. 信号采样偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。
连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。
实现采样的装置成为采样器。
To —采样周期，f s =--To1采样频率，W s =2πf s —采样角频率 2．信号复现因接触时间很小，τo T 〈〈τ，故可把采样器的输出信号）（t e *近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离散信号）（t e *恢复到原信号)(t e 。
实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。
作用：是把）（t e *脉冲信号变成阶梯信号e h (t)3.采样系统结构图r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *为离散信号)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。
(t)r4.采样系统工作过程⇒由保持器5. 采样控制方式采样周期To ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⇒相位不同步采样常数常数6. 采样系统的研究方法（或称使用的数字工具）因运算过程中出现s 的超越函数，故不用拉式变换法，二采用z 变换方法，状态空间法。
现代控制理论
1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵,特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。
答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数.互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。
2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。
答:系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造,一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。
原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；(2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；(3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4)有尽可能低的维数，以便于物理实现。
3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。
答:基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。
（1)如果系统受扰后,其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时,能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定:(2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定.方法步骤：定义一个正定的标量函数V(x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x)/dt的符号特征来判别系统的稳定性。
局限性：李雅普诺夫函数V(x）的选取需要一定的经验和技巧.4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。
答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定,但输出稳定不一定状态稳定;（2)系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。
举例：A的特征值=—1 =1 所以状态不是渐进稳点的,W（s)的极点S=—1，所以输出稳点。
5、什么是实现问题？什么是最小实现？说明实现存在的条件.答:（1）由系统的运动方程或传递函数建立SS表达式的问题叫做实现问题;（2）维数最小的实现方式时最小实现;(3）存在条件是m小于等于n.6、从反馈属性、功能和工程实现说明状态反馈和输出反馈的优缺点。
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一个状态空间描述为：
b0 0 m n
y(n) a1 y(n1) an1 y an y b0u(n) b1u(n1) bn1u bnu
x1 0
x2
0
x3
0
x n 1 xn
0 an
1 0 0 0 an1
0 1 0 0 an2
0 0 0 0 a2
(bn
b0an
)
Then, the state space description of proper rational system
（真有理系统）can be represented as:
X AX bu
y
cX
du0 1Fra bibliotek0 0
0
0
1
0
Where
A
0
0
0
1
an an1 an2 a1
实现问题
3
由微分方程描述导出状态空间描述(Obtaining State
Space Description from Differential Equation)
结论1 m=0时，设微分方程描述为如下形式，
y(n) a1y(n1) an1y an y b0u
则其对应的一个状态空间描述为：
准型(controllable canonical form)
•直接分解法(Direct Decomposition)
G(s) Y (s) 结论2：m n
U (s)
(1.61)
b0
(b1
b0 a1 ) s n1
(b2
b0a2 )sn2 (bn1 b0an1)s sn a1sn1 an1s an
x1 0
1
x2
0
0
x n 1
0
0
0 0 x1 0
1
0
x2
0
u
0
1
xn1
0
xn an an1 an2 a1 xn b0
x1
x2
y 1
0
0
0
x3
xn
结论2 m n 时，设微分方程描述为如下形式，则对应的
第1章：线性系统的状态空间描述
由输入-输出描述
状态空间描述
选取适当 状态变量
确定参数 ABC D
x Ax Bu y Cx Du
2020/7/6
▪ 由微分方程
（m=0,m<=n两个结论）
▪由传递函数G(s)
[直接分解(m<n,m<=n)]
[并行分解(D(s)有重根;无 重根)]
▪方块图法（等价系统）
由 传 递 函 数 导 出 状 态 空 间 描 述 （ Obtaining State Space Description from Transfer Function）
• 直接分解法(Direct Decomposition) • 并行分解法(Parallel Decomposition)
•研究对象是SISO的常系数系统，且它的传递函数为：
system)
•直接分解法(Direct Decomposition)
结论1：
mn
G(s)
Y (s) U (s)
b1s n1 b2 s n2 bn1s bn s n a1s n1 an1s an
(1.51)
State space description of 严真系统(strictly proper system) ：
0 0 b 0 1
(1.69)
c bn b0an bn1 b0an1 b2 b0a2 b1 b0a1 d b0
Method 2: Parallel Decomposition（并行分解）
结论1:（约当规范型）1 is the characteristic root of multiplicity r,
x1 0
1
x2
0
0
x n 1
0
0
0 0 x1 0
1
0
x
2
0
u (1.58)
0
1
xn1
0
xn
an
an1
an2
x1
a1
x n
1
x
2
y bn
bn1
b2
b1
x
n1
(1.60)
xn
(1.58) and (1.60)给出的状态空间描述, 称为能控规范型/能控标
0 x1 1
0
x2
2
0
x3
3
u
1
xn1
n1
a1 xn n
x1
x2
y 1
0
0
0
0
x3
0 u
xn1
xn
0 b0 1 b1 a10 2 b2 a11 a20 n1 bn1 a1n2 a2n3 an21 an10 n bn a1n1 a2n2 an22 an11 an0
G(s)
Y (s) U (s)
b0 s m
b1s m1 b2 s m2 bm1s s n a1s n1 an1s an
bm
(1.50)
定义：当 m n 时，系统(1.50)是真有理系统(proper rational
system) ； 当 m<n 时 , 系 统 (1.50) 是 严 真 系 统 (strictly proper
《现代控制理论》知识点总结
第1章—第6章
第1章：线性系统的状态空间描述
state variable state vector state space state space description：state equation and output equation MIMO (multiple-input multiple-output) linear time-varying (LTV) system linear time-invariant (LTI) system（A： system matrix or coefficient matrix；B：input matrix； C：output matrix；D：forward matrix Transfer function matrix Eigenvalue、Eigenvector controllable 、 diagonal 、 Jordan canonical form State transformation
r1, ,n are the other distinct characteristic roots of D(s).
x1 1 1 0 0