椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法

椭圆离心率的三种求法：
(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用22
1a
b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得
c a
的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.
(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.
1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2b 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.1617
B.41717
C.45
D.255
解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝2b 5b
＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.
2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.
分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .①
在△F 1PF 2中，由余弦定理，得
cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12
， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.②
①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③
由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 23
.④ 由①和④运用基本不等式，得
|PF 1||PF 2|≤2212||||⎪⎭
⎫ ⎝⎛+PF PF ，即4b 23≤a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥12
. 又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[12
，1). 方法二 如图，设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°.
在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12
. 又e ＜1，∴12
≤e ＜1. ∴该椭圆的离心率的取值范围是[12
，1). 点评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.
(2016全国Ⅰ高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的4
1，则该椭圆的离心率为（ B ） A.
31 B. 21 C. 32 D.43 解：设椭圆是焦点在x 轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为)0,(),0(c F b B 、，则直线l 的方程为0=-+bc cy bx 。

又椭圆短轴长为2b ，椭圆中心到的距离为a
bc c b bc
=+22，所以b a bc 241⋅=，即2
1=a c 。

（2017济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为21F F 、，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形。

则椭圆的离心率为（ D ）
A. 22
B. 2
12- C. 22- D.12- 解：由题意得a b c 22=，解得12-=a
c 。

椭圆的中点弦方程的求法有三：
（1）方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；
（2）点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(),(1211y x B y x A 、，将这两点的
坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点),(00y x 和斜率AB k 有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。

1.已知椭圆14
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2=+y x ，过点P (2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程. 分析 注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.
解 方法一 由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y ＝k (x －2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)＋1，
x 216＋y 24＝1
消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1，x 2是方程的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1
. 因为点P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1
，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
方法二 (点差法)设所求直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为点P 为弦AB 的中点，
所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，
得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，
即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，
所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)
＝－12，即k AB ＝－12. 故所求直线的方程为y －1＝－12
(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.
方法三 （利用对称性，中点转移法）设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y ).因为弦中点为P (2,1)，所以另一个交点为B (4－x,2－y ).
因为点A ，B 在椭圆上，所以x 2＋4y 2＝16，①
(4－x )2＋4(2－y )2＝16，②
从而A ，B 在方程①－②所形成的图形上，
即在直线x ＋2y －4＝0上.
又因为过A ，B 的直线只有1条，
故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
解后反思 解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数；三利用对称性，设出弦的一个端点坐标，利用中点转移法求出另一端点的坐标，消去二次项直接求出弦所在的直线方程 。