椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法：
(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用22
1a
b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得
c a
的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.
(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.
1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点??
? ??0,2b 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.1617
B.41717
C.45
D.255
解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝2b 5b
＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.
2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.
分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .①
在△F 1PF 2中，由余弦定理，得
cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12
， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.②
①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③
由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2
3
.④ 由①和④运用基本不等式，得
|PF 1||PF 2|≤2212||||??
? ??+PF PF ，即4b 23≤a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥12
. 又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[12
，1). 方法二 如图，设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°.
在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12
. 又e ＜1，∴12
≤e ＜1. ∴该椭圆的离心率的取值范围是[12
，1). 点评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.
(2016全国Ⅰ高考)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的4
1，则该椭圆的离心率为（ B ） A. 31 B. 21 C. 32 D.4
3 解：设椭圆是焦点在x 轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为)0,(),0(c F b B 、，则直线l 的方程为0=-+bc cy bx 。又椭圆短轴长为2b ，椭圆中心到的距离为a
bc c b bc
=+22，所
以b a bc 241?=，即2
1=a c 。 （2017济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为21F F 、，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ?为等腰直角三角形。则椭圆的离心率为（ D ）
A. 22
B. 2
12- C. 22- D.12- 解：由题意得a
b c 2
2=，解得12-=a c 。
椭圆的中点弦方程的求法有三：
（1）方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；
（2）点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(),(1211y x B y x A 、，将这两点的
坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点),(00y x 和斜率AB k 有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。
1.已知椭圆14
162
2=+y x ，过点P (2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程. 分析 注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.
解 方法一 由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y ＝k (x －2)＋1.由?????
y ＝k (x －2)＋1，
x 216＋y 24＝1
消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1，x 2是方程的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1
. 因为点P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1
，解得k ＝－12. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
方法二 (点差法)设所求直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为点P 为弦AB 的中点，
所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，
得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，
即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，
所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)
＝－12，即k AB ＝－12. 故所求直线的方程为y －1＝－12
(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.
方法三 （利用对称性，中点转移法）设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y ).因为弦中点为P (2,1)，所以另一个交点为B (4－x,2－y ).
因为点A ，B 在椭圆上，所以x 2＋4y 2＝16，①
(4－x )2＋4(2－y )2＝16，②
从而A ，B 在方程①－②所形成的图形上，
即在直线x ＋2y －4＝0上.
又因为过A ，B 的直线只有1条，
故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
解后反思 解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数；三利用对称性，设出弦的一个端点坐标，利用中点转移法求出另一端点的坐标，消去二次项直接求出弦所在的直线方程 。
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红)
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例 湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红 [问题背景] 圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为),(),,(2211y x B y x A ，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。 [案例实录] 1、 创设情景，提出问题 师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。下面请大家看问题1：已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆19 362 2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。 问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。 2、 自主探索，暴露思维 学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书： 生1：解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642 121=+y x ，3642222=+y x ，
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜ ｜PD ｜② e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三
角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5 2 (舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个 顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e= 5-1 2 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的
(完整版)用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。 一、 求以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22 121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB
椭圆离心率求法
椭圆离心率求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2 3 ==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆 12 2 22=+b y a x （0>>b a ）的左 准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A 3 3 B 31 C 2 2 D 2 1 解：由题意知，入射光线为()32 5 1+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则 ?? ???=+-=05532 c c a 解得3=a ，1=c ， 则3 3==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 例2：已知1F 、2 F 是双曲线12 2 22 =-b y a x （0,0>> b a ）的两焦点， 以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1 MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 21 3+ D. 13+
1.中点弦问题(点差法)
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问 题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题 圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是： 联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 解题策 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法( 点差法)：若设直线与圆锥曲线的交 点(弦的端点)坐标为 A(x i ，yj 、B(X 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程 相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。 (3)y 2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x o ,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p. 经典例题讲解 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程 2 2 例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线 16 4 的方程。 解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2) M (2,1)为 AB 的中点 x 1 x 2 4 y 1 y 2 2 2 2 2 2 ，消去四 如: 2 (1)笃 a 2 y b 2 1( a x o 2 阶 o 。 a b 2 2 (2)笃 y 2 1( a a b X o yo, o 2 a b 严 b 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o ),则有 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜ ｜BO ｜④ e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜ BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正
三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e?
椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法： (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用22 1a b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得 c a 的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围. 1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点?? ? ??0,2b 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.255 解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝2b 5b ＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围. 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12 ， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.② ①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2 3 .④ 由①和④运用基本不等式，得
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
椭圆的离心率求法
椭圆3 例7.椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程. 122x +92 y =1 例8．根据条件，求出椭圆的方程：中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上， 短轴的一个顶点B 与两个焦点12,F F 组成的三角形的周长为4+1223F BF π∠=. （2）设长轴为2a ，焦距为2c ，则在2F OB ?中，由23 F OB π∠= 得：2c a =，所以21F BF ? 的周长为2224a c a +==+ 22,1a c b ∴==∴=故得：22 141 x y +=. 四.怎么求椭圆的离心率. 引例. 已知椭圆长轴与短轴的比为2：1，求离心率. 例8、已知椭圆一焦点与短轴两端点连线的夹角为90?，求椭圆的离心率. 解：∵ |FO| = c , |OA| = b , |AF| = a ∴ 在△AOF 中, θcos =a c , θ = 45? ? cos45?=22 ∴ 椭圆的离心率e =22 说明：离心率与角度关系：θcos =e 例9.椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2| . ( ) A. 16x 2＋9y 2＝1 B. 16x 2＋12y 2＝1 C. 4x 2＋3y 2＝1 D. 3x 2 ＋4 y 2＝1 变式：椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，求椭圆的离心率.（3 6） 10.焦点在Y 轴上的椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m .
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解 例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+ ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .
椭圆离心率常见求法整理归纳
5 椭圆的离心率 1．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使 1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为 ． 2．设椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点， 212PF F F ⊥，1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为_____________. 3．设1F 、2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线 段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 . 4．已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________. 5．椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若 1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 6．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________． 7．设椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ， ，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 8．过点(1,1)M 作斜率为1 2 -的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 . 9．椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 左右焦21,F F ，若椭圆C 上恰有4个不同的点P ，使 得21F PF ?为等腰三角形，则C 的离心率的取值范围是 _______
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题 一：圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。 注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！ 1、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 例4、已知椭圆125 752 2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为 2 1，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是125 752 2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆13 42 2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 五、注意的问题 （1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
关于椭圆离心率求法(供参考)
水深火热的演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，22 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 2 1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12 。 5.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22 。 6..已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为= e 2 2 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF , 321α=∠PF F 椭圆的离心率为= e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 3 6 13.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于2 1 ∣AF∣， 则椭圆的离心率是36 。 14.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则 椭圆的离心率是 2 1 5-
点差法求椭圆中点弦
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 本文用这种方法作一些解题的探索。 一、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）
椭圆离心率问题专题练习
椭圆离心率问题专题练习 1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 2.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等 于 2 1 ∣AF ∣，椭圆的离心率为 3.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过 焦点，椭圆的离心率为 4. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，椭圆的离心率为 5.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，椭圆的离心率为 6. 如图所示，A 、B 是椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点， 且AB ⊥BF 2，椭圆的离心率为 7.已知直线L 过椭圆 122 22=+b y a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 距离为2 a ，椭圆的离心率为 · 8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为 9.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2 )2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2 , 椭圆离心 率e 的取值范围为 10.设椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一
椭圆离心率求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
高中数学解题方法系列：解析几何中的点差法解中点弦问题
高中数学解题方法系列：点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、) ,(22y x B )1,2(M 为AB 的中点∴4 21=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，16 42222=+y x 两式相减得0 )(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、) ,(22y x B 则221=+x x ，221=+y y
高中数学椭圆离心率求法专题
关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭 圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→→ → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 222222 1222 222222 2 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++=
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 4801 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211 22 2 122 βααβ αβ αβ αβ αβ == ??++=+=== =+=+-= -又，，则有 而知从而可得09002 45222 12 2 1 ≤-
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题 【定理1】 在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N 两点的坐标分别为、，则有，得又 【定理2】 在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又 【定理3】 在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN 的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则、证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又、、注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在、 一、椭圆 1、过椭圆＋＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于 A、B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程． 【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x
1、x2是(*)方程的两个根，∴x1＋x2＝、∵P为弦AB的中点，∴2＝＝、解得k＝－，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0、 法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵P为弦AB 的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2、又∵ A、B在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝ 16、两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0、∴＝＝－，即kAB＝－、∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0、 2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程． 【解答】 解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）．∵P为弦AB 的中点，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为： x+y=0．（﹣＜x＜）∴点P的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x＜）； 3、（xx秋?启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，5）的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ． 【解答】 解：设椭圆=1（a＞b＞0），则a2﹣b2=50①又设直线3x﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点 （x0，y0）∵x0=，∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣，由，得，∴AB
椭圆离心率的解法
椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜ ｜BA ｜ ⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a, ｜BO ｜= a 2 c ∴有③。 题目1：椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF 1｜= b 2 a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2 ∴a 2 =5c 2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2 +b 2 a 2+ b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+ c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2 +e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52 (舍去) 变形：椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2 , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？ B A F 2 F 1 P O F B A O