2018年考研数学二真题与答案解析
2018年考研数学二试题及答案解析
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的
1
（1）若 lim(e ax bx) x 1 ，则（ ）
x 2
2
x 0
A. a
1 , b 1 2
B. a
1 , b 1 2
x
0
f (t )dt tf ( x t )dt ax 2
0
x
（II）若 f ( x) 在区间[0,1]上的平均值为 1，求 a 的值。 （ 17 ） 设 平 面 区 域 D 由 曲 线
x t sin t (0 t 2 )与x轴围成， 计算二重积分 y 1 cos t
（8）.设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， （X A. r ( A C. r ( A
Y ） 表示分块矩阵，则（ ）
AB) r ( A) B) max{r ( A), r ( B)}
B. r ( A D. r ( A
BA) r ( A)
B) r ( AT BT )
2
3 x cos t 在 t 对应点的曲率为 3 4 y sin t
（12）曲线
.
（13）设函数 z z ( x, y) 由方程 ln z e
z 1
xy 确定，则
z x (2, 1 )
2
.
（14）设 A 为 3 阶矩阵， 1 , 2 , 3 为线性无关的向量组，若 A1 21 2 3 ,
( x 2 y)dxdy
D
（18）已知常数 k ln 2 1 ，证明 ( x 1)( x ln x 2k ln x 1) 0
2018考研数学二真题解答
2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学二试题
题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数
评卷人 一、
得分 选择题（每题 4 分, 共 32 分）
1.
若
lim
(ex
+
ax2
+
)1 bx x2
= 1，则
x→0
1
1
A. a = , b = −1
B. a = − , b = −1
( [x′
(t)]2
+
[y′
(t)]2)3/2
=
2 .
3
13.
设函数 z
= x(x, y) 由方程 ln z + ez−1
= xy 确定, 则
∂z ∂x
|(2,
1 2
)
=
.
【解析】原方程两边对 x 求偏导数得 1 ∂z z ∂x
+ ez−1 ∂z ∂x
= y, 于是 ∂z ∂x
=
1 z
y , 当 x = 2, y + ez−1
1
+
C
=
2
(ex
−
3
1) 2
+
√ 2 ex
−
1
+
C
3
3
∫ 故
e2x
√ arctan ex
−
1dx
=
1 e2x 2
√ arctan ex
−
1
−
1 6
(ex
−
3
1) 2
−
1
√ ex
2
−
1
+
2018年考研数学(二)真题及答案解析(完整版)
C. a 1 , b 1 2
D. a 1 , b 1 2
【答案】B
【解析】
1 lim e ax bx e e e x
2
1 x2
ln ex ax2 bx
lim
x0
x2
lim ex 2axb x0 2 x ex ax2 bx
lim ex 2axb x0 2x
x0
lim
f 0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0,
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 x2 2 x
0
D 不可导：
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
x0
1 -x
2 x
1, 2
f
0
lim
x0
cos
x x
1
lim
1 2
x
1
x x0
2
f 0 f 0
3.设函数
f
x
1, 1,
则
A. a 3, b 1 C. a 3, b 1
g
x 1b
1 1 b b
2
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 2 a
1 a
lim
x1
f
x g x
lim x1
f
x lim x1
g
x 1 1 2 2
1 a
a
3
4. .设函数 f x 在0,1 上二阶可导，且 1 f xdx 0, 则 0
2018考研数学二真题及解析
2017年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（ ） （A ）11()0f x dx ->⎰（B ）11()0f x dx -<⎰（C ）11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ （D ）011()()f x dx f x dx -<⎰⎰【详解】注意到条件()0f x ''>，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以10111()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=⎰⎰⎰．所以选择（B ）．当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2()21f x x =-，此时11011(),()33f x dx f x dx -=-=-⎰⎰，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则（A ）当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= （B）当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=(C ）当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的． 其实此题注意，设lim n n x A →∞=，则22limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞→∞→∞→∞==++=++=+分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯一解0A =，也就是得到lim 0n n x →∞=．４．微分方程2489(1cos 2)xy y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ） （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++【详解】微分方程的特征方程为2480r r -+=，有一对共轭的复数根22r i =±．所以12λ=不是特征方程的根，所以对应方程2489xy y e '''-+=的特解应该设为21*x y Ae =；而222i λ=+是方程的单根，所以对应方程2489cos 2xy y ex '''-+=的特解应该设为22*(cos 2sin 2)x y xe B x C x =+；从而微分方程2489(1c o s 2)xy y ex '''-+=+的特解可设为2212***(cos 2sin 2)x x y y y Ae xe B x C x =+=++，应该选（C ）．5．设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂，则（ ） （A ）(0,0)(1,0)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <【详解】由条件对任意的(,)x y 都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂><∂∂可知(,)f x y 对于x 是单调增加的，对y 就单调减少的．所以(1,1)(1,0)(0,0),(1,1)(0,1)(0,0),(0,1)(0,0)(1,0)f f f f f f f f f <>><<<，只有第三个不等式可得正确结论（D ），应该选（D ）．6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．7．设A 为三阶矩阵，()123,,P ααα=为可逆矩阵，使得1000010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123()A ααα++=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）132αα+ 【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知()()12312323000000(,,)010,,0100,,2002002A AP P αααααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12312323()2A A A A αααααααα++=++=+，所以可知选择（B ）．8．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．曲线2(1arcsin )y x x=+的斜渐近线为 ．解：2(1arcsin )lim lim1x x x y x x x →∞→∞+==，2lim()lim arcsin 2x x y x x x →∞→∞-==，所以斜渐近线为2y x =+． 10．设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202|t d ydx == ．【详解】223cos 1cos (1)sin cos ,1(1)t t t t t t d e dy t d y e t e t dt dx dx e dx e dt⎛⎫ ⎪+⎝⎭++===-++，所以2021|8t d y dx ==-． 112ln(1)(1)x dx x +∞++⎰.【详解】022000ln(1)1ln(1)1ln(1)|1(1)11(1)x x dx x d dx x x x x +∞+∞+∞+∞++=-+=-+=++++⎰⎰⎰ 12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y ydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =． 13．11tan y xdy dx x=⎰⎰． 【详解】交换二重积分的积分次序得：1111100000tan tan tan ln cos ln cos1.x y x x dy dx dx dy xdx x x x ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰14．设矩阵41212311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，则a = ．【详解】根据特征向量的定义，有412111121132311222A a a αλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1a =-．三、解答题 15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33t x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→==== 16．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dydx=，202|x d y dx =．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dyf dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分）已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y '+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 19．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x-→<，证明：（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x-→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．20．（本题满分11分）已知平面区域{}22(,)|2D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1)Dx d σ+⎰⎰ 【详解】由于积分区域关于y 轴左右对称，所以由二重积分对称性可知20Dxd σ=⎰⎰．所以2sin 2222044224620(1)(1)(cos 1)2sin cos 2sin 4(4sin 4sin 2sin )54DDx d x d d r rdrd d πθππσσθθθθθθθθθθπ+=+=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中利用瓦列斯公式，知24600013135315sin ,sin ,sin 2242864216d d d ππππππθθπθθπθθπ⨯⨯⨯=⨯==⨯==⨯=⨯⨯⨯⎰⎰⎰21．（本题满分11分）设()y x 是区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的可导函数，且(1)0y =．点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,P Y ，法线与X 轴相交于点(),0P X ．若P p X Y =，求L 上的点的坐标(,)x y 满足的方程．【详解】曲线过点(,)P x y 的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-，令0X =，得()()p Y y x xy x '=-； 曲线过点(,)P x y 的法线方程为1()()()Y y x X x y x -=--'，令0Y =，得()p X x yy x '=+． 由条件P p X Y =，可得微分方程y xy x yy ''-=+标准形为11ydy x y xy y dx x y x--+'===++，是个一阶齐次型微分方程． 设y u x =，方程化为11du u u x dx u -+=+，整理，得211du u x dx u +=-+ 分离变量，两边积分，得1arctan ln ln ln 2u u x C +=-+ 由初始条件(1)0y =，得1,0,0x y u ===，确定常数1C = 所以曲线的方程为1arctan ln ln 2y yx x x+=-． 22．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．23．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Q y =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭． 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵．。
考研数学二模拟题2018年(2)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(2)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.曲线y=x 2 e -x2的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=0．[解析] 由于，原曲线仅有一条水平渐近线y=0．2.曲线的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 计算可得曲线不存在水平渐近线和铅直渐近线．故此曲线的渐近线方程为．3.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=2x+1． [解析]所以斜渐近线方程为y=2x+1．4.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 因为故斜渐近线方程为．5.曲线的水平渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 因为故曲线的水平渐近线方程为．6.曲线的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=2x． [解析] 由于函数连续，所以曲线无铅直渐近线；又因为都不存在，所以曲线无水平渐近线．考虑到所以曲线有斜渐近线y=2x．7.曲线y=x 2 +x(x＜0)上曲率为的点的坐标是______．SSS_FILL分值: 1(-1，0)． [解析] 将y"=2x+1，y"=2代入曲率公式，得整理后有x 2 +x=0，由于x＜0，故取x=-1，从而y| x=-1 =0，故所求点的坐标为(-1，0)．8.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析]则斜渐近线方程为．二、选择题1.当x＞0时，曲线SSS_SINGLE_SELA 有且仅有水平渐近线．B 有且仅有铅直渐近线．C 既有水平渐近线，也有铅直渐近线．D 既无水平渐近线，也无铅直渐近线．分值: 1答案:A[解析] 由于，又，则原曲线在(0，+∞)有且仅有水平渐近线y=1．2.曲线的渐近线有SSS_SINGLE_SELA 1条．B 2条．C 3条．D 4条．分值: 1答案:B[解析] 由可知原曲线有水平渐近线．又，则原曲线有铅直渐近线x=0，虽然原题中当x=1，x=-2时分母为零，但都不是∞，故原曲线的渐近线有两条．3.曲线渐近线的条数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 1答案:D[解析]所以x=0是一条铅直渐近线．又所以沿x→+∞方向没有水平渐近线．又所以沿x→+∞方向有斜渐近线y=x．再看沿x→-∞方向：所以沿x→-∞方向该曲线有水平渐近线y=0．即然沿x→-∞方向已有水平渐近线，此曲线当然不可能再有斜渐近线．故共有3条渐近线，应选D．对于(*)式中极限还有如下处理：，或者令e x =t，然后再处理．4.曲线的渐近线的条数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 1答案:C[解析] 因为所以故x=1是曲线的铅直渐近线，且是唯一的一条铅直渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线．综上可知，曲线有两条渐近线．5.下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinx．B．y=x 2 +sinx．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 对于，可知．又，所以有斜渐近线y=x，因此应选C．6.曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 曲线在点(x，f(x))处的曲率公式，曲率半径．本题中，所以，对应于t=1的点处有y"=3，y"=-1，所以，曲率半径．应选C．7.设函数f(x)在[0，1]上f"(x)＞0，则f"(1)，f"(0)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是SSS_SINGLE_SELA f"(1)＞f"(0)＞f(1)-f(0)．B f"(1)＞f(1)-f(0)＞f"(0)．C f(1)-f(0)＞f"(1)＞f"(0)．D f"(1)＞f(0)-f(1)＞f"(0)．分值: 1答案:B[解析] 由于f"(x)＞0，x∈[0，1]，则f"(x)单调增加，又f(1)-f(0)=f"(c)，c∈(0，1)，从而f"(1)＞f"(c)＞f"(0)，即f"(1)＞f(1)-f(0)＞f"(0)．8.设函数f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且f"(x)g(x)-f(x)g"(x)＜0，则当a ＜x＜b时，有SSS_SINGLE_SELA f(x)g(b)＞f(b)g(x)．B f(x)g(a)＞f(a)g(x)．C f(x)g(x)＞f(b)g(b)．D f(x)g(x)＞f(a)g(a)．分值: 1答案:A[解析] 看起来，选项眼花缭乱，其实仔细审题发现，A，B两项是在区间(a，b)内的值与两端点处的值比大小，C，D两项是f(x)g(x)在区间(a，b)内的值与两端点处的值比大小．题干中含有某种形式的导数的不等式，就想到用单调性．题干中表述的是谁的导数呢?经验算，故应选A．9.已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f"(x)严格单调减少，且f(1)=f"(1)=1，则SSS_SINGLE_SELA 在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x．B 在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x．C 在(1-δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x．D 在(1-δ，1)内，f(x)＞x，在(1，1+δ)内，f(x)＜x．分值: 1答案:A[解析] 由选项看出，题目是要确定x与f(x)在所讨论区间内的大小关系，因此，构造辅助函数F(x)=f(x)-x．由题目的条件知F(1)=0，F"(1)=0，f"(x)=f"(x)＜0，∈(1-δ，1+δ)，故F(x)在x=1处取得极大值，即F(1)=0在区间(1-δ，1+δ)内为极大值，从而f(x)-x＜0，x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)，即A正确．三、解答题1.对函数填写下表．单调减区间单调增区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解单调减区间(-∞，-2)，(0，+∞) 凹区间(-3，0)，(0，+∞) 单调增区间(-2，0) 凸区间(-∞，-3)极值点-2 拐点极值渐近线x=0和y=0 2.设，求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图像的凹凸区间及拐点；(3)渐近线；(4)作出其图形．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解定义域(-∞，0)∪(0，+∞)．当时，y=0．(1) ，故驻点为x=2．又x (-∞，0) (0，2) 2 (2，+∞)y" + - 0 +y ↗ ↘ 3 ↗所以，(-∞，0)及(2，+∞)为增区间，(0，2)为减区间，x=2为极小值点，极小值为y=3．(2) ，故(-∞，0)，(0，+∞)均为凹区间，无拐点．(3)因所以，x=0为铅直渐近线，y=x为斜渐近线．(4)函数的图形如图所示．3.如图所示，设曲线L的方程y=f(x)，且y"＞0，又MT，MP分别为该曲线在点M(x0，y)处的切线和法线．已知线段MP的长度为(其中y"=y"(x0 )，y"=y"(x))，试推导出点P(ξ，η)的坐标表达式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解由题设①又PM⊥MT，所以②由①，②式得．由于y"＞0，曲线L是凹的，故y-η＜0，从而．又，于是得因此P点坐标为4.已知函数，求(Ⅰ)函数的增减区间及极值；(Ⅱ)函数图形的凹凸区间及拐点；(Ⅲ)函数图形的渐近线．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解所给函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)．，令y"=0，得驻点x=0及x=3．，令y"=0，得x=0．列表讨论如下：x (-∞，0) 0 (0，1) (1，3) 3 (3，+∞)y" + 0 + - 0 +y" - 0 + + + +y ↗ 拐点↗ ↘ 极小值↗由此可知：(Ⅰ)函数的单调增加区间为(-∞，1)和(3，+∞)，单调减少区间为(1，3)；极小值为(Ⅱ)函数图形在区间(-∞，0)内是凸的．在区间(0，1)，(1，+∞)内是凹的，拐点为点(0，0)．(Ⅲ)由知，x=1是函数图形的铅直渐近线．又故y=x+2是函数图形的斜渐近线．5.证明：当x＞0时，有不等式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证考虑函数x＞0，有所以f(x)在(0，+∞)上是单调减少的．又，知当x＞0时，，即．6.利用导数证明：当x＞1时，SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证令f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，则，故在[1，+∞)内f(x)为严格增函数．又f(1)=2ln2＞0，所以有f(x)＞0，x＞1．从而得7.设f"(x)＜0，f(0)=0，证明对任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1 )+f(x2)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证法1 令F(x)=f(x)+f(x2 )-f(x+x2)，F(0)=0，又F"(x)=f"(x)-f"(x+x2)=f"(ξ)(-x2)＞0．ξ∈(x，x+x2)(拉格朗日中值定理)，故F(x1)＞F(0)=0，x1＞0，即f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)＞0．证法2 不妨设x1≤x2(x2≤x1时类似可证)，则由拉格朗日中值定理可得f(x1 )-f(0)=x1f"(ξ1)，0＜ξ1＜x1，f(x1 +x2)-f(x2)=x1f"(ξ2)，x2＜ξ2＜x1+x2．又已知f"(x)＜0，故f"(ξ2 )＜f"(ξ1)．比较以上两式即得f(x1 +x2)＜f(x1)+f(x2)．证法1采用把其中一个常量字母x1改为变量x(常数变量化)转化为函数不等式，再利用单调性的手段加以证明，这种方法是证明这类常数不等式常用的一种方法．8.设x＞0，常数a＞e．证明：(a+x) a＜a a+x．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证由函数y=lnx的单调性，只需证aln(a+x)＜(a+x)lna．设f(x)=(a+x)lna-aln(a+x)，则f(x)在[0，+∞)内连续、可导，且所以f(x)在[0，+∞)内单增．又f(0)=0．从而得f(x)＞0，x＞0，即aln(a+x)＜(a+x)lna，x＞0．所以(a+x) a＜a a+x，x＞0．9.设，且f"(x)＞0，证明：f(x)≥x．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证法1 因f(x)连续且具有一阶导数，故由知f(0)=0．．由f(x)的泰勒公式得，ξ在0与x之间．因f"(ξ)＞0，所以f(x)≥x．证法2 易推知f(0)=0，f"(0)=1，令F(x)=f(x)-x，则F"(x)=f"(x)-1，f"(x)=f"(x)＞0，有F"(0)=f"(0)-1=0，则x=0是唯一的极小值点，也是最小值点，于是F(x)=f(x)-x≥F(0)=0．证毕．设x∈(0，1)，证明：SSS_TEXT_QUSTI10.(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2；分值: 3.5证令φ(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2，有φ(0)=0，φ"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，还看不出在(0，1)内φ"(x)是否定号．为此，再计算φ"(0)=0．再计算φ"(0)=0，于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ"(0)=0，所以在(0，1)内φ"(x)＜o．于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ"(0)=0，故在(0，1)内φ"(x)＜0．因此φ(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ(0)=0，故在(0，1)内φ(x)＜0．证毕．SSS_TEXT_QUSTI11.分值: 3.5证令有由上一小题知，当x∈(0，1)时f"(x)＜0，于是在(0，1)内f(x)严格单调减少，，故当x∈(0，1)时，不等式左边证毕．又故当x∈(0，1)时，．不等式右边证毕．函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式．SSS_TEXT_QUSTI12.求导数f"(x)；分值: 3.5解由题设知上式两边对x求导，得(x+1)f"(x)=-(x+2)f"(x)．设u=f"(x)则有解之得由f(0)=1及f"(0)+f(0)=0，知f"(0)=-1，从而C=-1．因此SSS_TEXT_QUSTI13.证明：当x≥0时，成立不等式：e -x≤f(x)≤1．分值: 3.5证当x≥0时，f"(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．设φ(x)=f(x)-e -x，则当x≥0时，φ"(x)≥0，即φ(x)单调增加，因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e -x．综上所述，当x≥0时，不等式e -x≤f(x)≤1成立．14.设0＜a＜b，证明不等式SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证先证右边的不等式．设因为故当x＞a时φ(x)单调减少，又φ(a)=0，所以，当x＞a时，φ(x)＜φ(a)=0，即特别地，当x=b＞a时，便有即其次证明左边的不等式．设f(x)=lnx(x＞a＞0)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使由于0＜a＜ξ＜b，故又由于a 2 +b 2＞2ab，所以，从而有1。
2018年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2
2
（C）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （D）当 f (x) 0时， f (1) 0
2
2
【答案】（ D ）
【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为 x0
1 2
。
将函数
f
( x) 在
x0
1
处展开，有
2
f (x) f (1) f (1)(x 1) f ( ) (x 1)2 ，其中 1 x 。
1
ex ax2 bx1
ex ax2 bx1
x2
elim x0
ex
ax2 bx1 x2
，
x0
因此，
lim
ex
ax2
bx
1
0
lim
x
1 2
x2
ax2
bx
(x2 )
0
x0
x2
x0
x2
lim
x0
(1 2
a)x2
(1 x2
b)x
(x2)
0
1 2
a
0,1
b
0
或用“洛必达”： lim x0
ex
ax2 x2
x b 1, x 0
则 F(1) 1 a, F(0) 1 b, F(1 0) 2, F(0 0) 1,
因为函数连续，所以极限值等于函数值，即1 a 2,1 b 1 a 3,b 2 ，
故选 （D）.
4.
设函数
f
(
x)
在
[0,1]
上二阶可导。且
1
0
f
( x)dx
0 ，则
（）
（A）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （B）当 f (x) 0 时， f (1) 0
2018年考研数学二真题
2018年考研数学二真题2018年考研数学二真题是考研数学考试中的一套真题，包含一系列的数学问题，主要涵盖代数、几何、概率与统计等数学领域。
接下来，我们将逐一讨论这些问题，帮助大家更好地理解和应对这些数学难题。
第一部分：代数（共7题）第一题：已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象关于原点对称，且有两个相异的实根x1和x2。
（1）若a+b+c=4，则a=_______。
（2）若x1=2，则a+b+c=_______。
解析：此题考查二次函数对称轴与实根之间的关系。
根据题意，已知二次函数关于原点对称，故对称轴必过原点，因此，二次函数的对称轴方程为x=0。
又根据题意，已知二次函数有两个相异的实根x1和x2，则其解必为x=0的根，即x1=-x2。
根据二次函数求解根的公式可得：x1=-b/2a=-x2。
则有b=0。
将b=0代入a+b+c=4，可得a+c=4。
根据题意，若x1=2时，则二次函数的另一个实根为x2=-2。
代入y=ax^2+bx+c中，可得4a-2c=4。
联立求解方程组，解得a=1，c=3。
所以，答案为：（1）a=1；（2）a+b+c=4+0+3=7。
第二题：设a，b为正实数，且满足a<b，则下列不等式成立的是（）。
（A）loga(b+1)>1（B）log(b+1)/loga<b（C）logb(a+1)>1（D）log(a+1)/logb<b解析：此题考查对数函数的性质。
对数函数的性质有：loga(m*n)=loga(m)+loga(n)、loga(m/n)=loga(m)-loga(n)等。
对于选项（A），我们可以进行如下推导：loga(b+1)>1等价于 a^1 < b+1即 a < b+1由a < b，得出 a < b+1，故选项（A）成立。
对于选项（B），我们可以进行如下推导：log(b+1)/loga < b等价于 log(b+1) < b*loga即 log(b+1) < loga^b由于已知a<b，那么 a^b < b^b，进而 loga^b < logb^b，所以 loga^b 还是小于log(b+1)的。
考研数学历年真题2017年2018年2019年真题和答案(数学二)
目录2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (1)2018年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (8)2019年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (15)2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内。
）1.若函数10,(), 0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩0x =在处连续，则（ ） A.12ab =B.12ab =-C.0ab =D.2ab =2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1,0,f f f f x ''=-==->且（）则（ ）. A.1-1()0f x dx >⎰B.1-1()0f x dx <⎰C.11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ D.110()()f x dx f x dx -<⎰⎰3.设数列{}n x 收敛，则（ ）.A.n n limsin 0lim 0n n x x →∞→∞==当时，B.(lim 0lim 0n n n n x x →∞→∞==当时，C.()2lim 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时，D.()lim sin 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时， 4.微分方程()24+81cos2xy y y e x '''-=+的特解可设为*y =（）.A.()22cos2sin 2xx Ae e B x C x ++ B.()22cos2sin 2xx Axee B x C x ++ C.()22cos2sin 2xx Aexe B x C x ++D.()22cos2sin 2xx Axexe B x C x ++5.设(),f x y 具有一阶偏导数，且任意的(),x y 都有()(),,0,0,f x y f x y x y∂∂><∂∂则（ ）.A.()()0,01,1f f >B.()()0,01,1f f <C.()()0,11,0f f >D.()()0,11,0f f <6.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)，图中，实践表示甲的速度曲线()1v v t =（单位m/s ）,虚线表示乙的速度曲线 ()2,v v t = 三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追甲的时刻为0t (单位:s),则（ ）.A.010t =B.01520t <<C.025t =D.025t >7.设A 为3阶矩阵, ()123,,P ααα= 为可逆矩阵，使得1000010,002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则()123A ααα++=（ ）.A.12+ααB.13+2ααC.23+ααD.13+2αα8.已知矩阵200210100021020020001001002A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则（ ）.A. A C B C 与相似，与相似B. A C B C 与相似，与不相似C. A C B C 与不相似，与相似D. A C B C 与不相似，与不相似二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。