概率论教学课件第七章7.2估计量的优良性标准
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7.2估计量评价标准
设 θ = θ (X 1 , ,X n )是 未知参数 θ 的估计量， P→ θ， 即 若θ P(| θ - θ |≥ ε ) = 0
lim
n→ ∞
则称 θ 是 θ 的一致性估计量。
已知0<p<1,求p的 例4.设 X 1， ， X n ~ B ( m , p ),已知 设 求 的 极大似然估计，并讨论所求估计量的一致性。 极大似然估计，并讨论所求估计量的一致性。
设 θ ( X1,, Xn)是未知参数 θ 的估计量，若 的估计量，
E(θ ) = θ
则称 θ 为 θ 的无偏估计 .
无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 . 例如， 例如 ， 用样本均值作为总体均值的估计 虽无法说明一次估计所产生的偏差， 时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但 这种偏差随机地在0的周围波动 的周围波动， 这种偏差随机地在 的周围波动 ， 对同一统 计问题大量重复使用不会产生系统偏差 .
常用的几条标准是： 常用的几条标准是： 1．无偏性 ． 2．有效性 ． 3．一致性 ．
1．无偏性 ． 估计量是随机变量， 估计量是随机变量，对于不同的样本值 会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未 知参数真值附近摆动， 知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未 知参数的真值. 知参数的真值 这就导致无偏性这个标准 .
例3、设总体X ~ N (1, σ ), 其中参数σ 未知，σ > 0, ( X 1 ,......, X n )为来自总体X的样本(n > 1)。考虑σ 的 两个估计量：) σ 1 (1 (2) σ 2
^ 2 ^ 2 ___ 2 1 n =S = ∑(Xi X ) n 1 i =1 2 2
2
[课件]概率与统计 7.2 估计量的优良性准则
![[课件]概率与统计 7.2 估计量的优良性准则](https://img.taocdn.com/s3/m/0eda74eeaeaad1f346933f0c.png)
电子科技大学
估计量的优良性准则
Dec-09
令
Y = m Xi , ax
1≤i≤3
Z = m Xi in
1≤i≤3
先求X与 的概率密度函数, 证 1) 先求 与Y 的概率密度函数, 已知分布函数
; 0, x < 0 x F (x) = , 0 ≤ x <θ; X θ 1, x ≥θ.
电子-09
7.2.3定义 设 θn =θ(X1, X2,..., Xn)是未知参 定义
的估计量, 数θ的估计量,若对任意的 ,有 的估计量 若对任意的ε>0,
n→ ∞
lim P{θn θ < ε} =1
则称 θ 为θ的相合估计量. 相合估计量. 相合估计量的证明(1) 相合估计量的证明 相合估计量的证明(2) 相合估计量的证明
设总体X~U[0,θ], θ >0 未知 (X1,X2, 未知, 例7.2.3 设总体 X3)是取自 的一个样本 是取自X的一个样本 是取自 1) 试证
= 4m X , ax i θ1 3 1≤i≤3
θ 2 = 4m Xi in
1≤i≤3
都是θ的无偏估计; 都是 的无偏估计; 的无偏估计 2) 上述两个估计量中哪个的方差最小? 上述两个估计量中哪个的方差最小? 分析: 要判断估计量是否是无偏估计量, 分析: 要判断估计量是否是无偏估计量, 需要计算统计量的数学期望. 需要计算统计量的数学期望.
2
3 y 2 ; ( ) , 0≤ y ≤ θ ∴ fY ( y) = θ θ 0 , else.
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估计量的优良性准则
Dec-09
E(Y) =
θ3 ∫0
3
θ
3 y dy = θ, 4
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令
Y = m Xi , ax
1≤i≤3
Z = m Xi in
1≤i≤3
先求X与 的概率密度函数, 证 1) 先求 与Y 的概率密度函数, 已知分布函数
; 0, x < 0 x F (x) = , 0 ≤ x <θ; X θ 1, x ≥θ.
电子-09
7.2.3定义 设 θn =θ(X1, X2,..., Xn)是未知参 定义
的估计量, 数θ的估计量,若对任意的 ,有 的估计量 若对任意的ε>0,
n→ ∞
lim P{θn θ < ε} =1
则称 θ 为θ的相合估计量. 相合估计量. 相合估计量的证明(1) 相合估计量的证明 相合估计量的证明(2) 相合估计量的证明
设总体X~U[0,θ], θ >0 未知 (X1,X2, 未知, 例7.2.3 设总体 X3)是取自 的一个样本 是取自X的一个样本 是取自 1) 试证
= 4m X , ax i θ1 3 1≤i≤3
θ 2 = 4m Xi in
1≤i≤3
都是θ的无偏估计; 都是 的无偏估计; 的无偏估计 2) 上述两个估计量中哪个的方差最小? 上述两个估计量中哪个的方差最小? 分析: 要判断估计量是否是无偏估计量, 分析: 要判断估计量是否是无偏估计量, 需要计算统计量的数学期望. 需要计算统计量的数学期望.
2
3 y 2 ; ( ) , 0≤ y ≤ θ ∴ fY ( y) = θ θ 0 , else.
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E(Y) =
θ3 ∫0
3
θ
3 y dy = θ, 4
7.2 估计量的优良性准则
n
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#
估计量的优良性准则
Dec-10
证明 S2 是σ2 的无偏估计量 例7.2.2 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，则样本 ， 方差S 的无偏估计. 方差 2 是σ2的无偏估计 证
(n −1)S = ∑( Xi − X) = ∑ Xi − nX 2
2 2 2 i =1 i =1
n 2 2
证明无偏性判断有效性(1) 证明无偏性判断有效性 证明无偏性判断有效性(2) 证明无偏性判断有效性 和S2 分别是μ和σ2 的最小方差无偏估计 X
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估计量的优良性准则
Dec-10
3. 相合性 无偏性： 无偏性：反映估计量相对待估参数有无系 统偏差. 统偏差 有效性： 有效性：在无偏类中反映估计量相对待估 参数的偏离程度. 参数的偏离程度. 例7.2.5 问题： 问题：在“偏差性”和“离散性”两者 偏差性” 离散性” 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则.
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估计量的优良性准则
Dec-10
的相合估计量; X 是μ的相合估计量; S2 和M2 都是 2的相合估计量 都是σ 的相合估计量.
部分证明
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估计量的优良性准则
Dec-10
例7.2.1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，有 ，
1 E( X) = E( ∑Xi ) = E( X) = µ n i=1 1 2 2 2 2 2 E( X ) = D( X) +[E( X)] = σ + µ ≠ µ n
2
θ2
ˆ ˆ . θ2比θ1更有效
2 ˆ) D(θ2 3n 而且 lim = = 0. 2 n→∞ D θ ) (n + 1) (n + 2) (ˆ 1
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#
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证明 S2 是σ2 的无偏估计量 例7.2.2 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，则样本 ， 方差S 的无偏估计. 方差 2 是σ2的无偏估计 证
(n −1)S = ∑( Xi − X) = ∑ Xi − nX 2
2 2 2 i =1 i =1
n 2 2
证明无偏性判断有效性(1) 证明无偏性判断有效性 证明无偏性判断有效性(2) 证明无偏性判断有效性 和S2 分别是μ和σ2 的最小方差无偏估计 X
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3. 相合性 无偏性： 无偏性：反映估计量相对待估参数有无系 统偏差. 统偏差 有效性： 有效性：在无偏类中反映估计量相对待估 参数的偏离程度. 参数的偏离程度. 例7.2.5 问题： 问题：在“偏差性”和“离散性”两者 偏差性” 离散性” 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则 兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则.
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的相合估计量; X 是μ的相合估计量; S2 和M2 都是 2的相合估计量 都是σ 的相合估计量.
部分证明
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例7.2.1 设总体的方差 D(X)=σ2 >0，有 ，
1 E( X) = E( ∑Xi ) = E( X) = µ n i=1 1 2 2 2 2 2 E( X ) = D( X) +[E( X)] = σ + µ ≠ µ n
2
θ2
ˆ ˆ . θ2比θ1更有效
2 ˆ) D(θ2 3n 而且 lim = = 0. 2 n→∞ D θ ) (n + 1) (n + 2) (ˆ 1
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
概率论与数理统计完整课件第七章参数估计PPT课件
n
L(1,2,,k ) L(x1, x2,, xk ;1,2,,k ) f (xi ;1,2,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ln L(1, 2 ,, k ) 0 1
ln L(1, 2 ,, k ) 0 k
该 方 程 组 的 解 ˆi ˆi (x1, x2,, xn),i 1,2,,k ,即 为 i 的 极
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数 F(x;) 形式已知，其中θ 是待估计的参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2,, X n ) ，构造一个统计量ˆ ˆ(X1, X2,, Xn) 来估 计θ，我们称ˆ(X1, X2,, Xn )为θ的点估计量，它是 一个随机变量。将样本观测值 (x1, x2 ,, xn ) 代入估计 量 ˆ(X1, X2,, Xn ) ， 就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值 ˆ(x1, x2,, xn ) ，这个数值称为θ的点估计值.
如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计 p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的 可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当 X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计 p=3/4.
第10页/共71页
定义:设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设离散型总体 X 的概率分布律为 p(x; ) ，则样本 (X1, X2,, Xn ) 的联合分布律
~~ 2n1nLeabharlann ini1n1x(i xix
x
)
2
由微积分知识易验证以上所求为μ与σ2的极大似然 估计.
第21页/共71页
• 例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为
p(x;)
概率统计7章ppt课件
i1
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1
n
n
ln L( p) ln( p) xi ln(1 p)(n xi )
i1
i1
n
n
ln L( p) ln( p) xi ln(1 p)(n xi )
i1
i1
d ln L( p) dp
记为
—— 样本的似然函数
满足条件: 为θ的最大似然估计值； 为θ的最大似然估计量；
具体算法：
令
例1 设x1,x2,…,xn是取自总体 X~b(1, p) 的一个
样本值，求参数p的最大似然估计值。
解 P{X x} px (1 p)1x , x 0,1
n
似然函数为: L( p) pxi (1 p)1xi
Fisher
最大似然法的基本思想：
假定一个盒子中有白、黑球共3个，但不知各有几个， 如果有放回的抽取3次球，发现第1，3次是黑球，第2次 是白球，试估计黑球所占的比例？
准备内容： 当总体X是离散型， 分布律改写为：
以泊松分布为例，
⑴ X 为离散型
分布律为
为X 的样本，
，其中θ未知。 为X 的样本值，
解 1 E(X ) (a b) / 2
2
E(X
2)
D( X
)
E2(X
)
(b a)2 12
(a
b)2 4
令
A1 A2
1 2
a (b a)2 12
b 2A1 (a b)2
4
7-2估计量的评选标准
所以 ˆ 2 是有偏的.
由于
1 n n 1 2 2 E (Xi X ) n n i 1
n 1 n 2 2 E (Xi X ) n 1 n i 1
所以 即
1 n 2 2 E ( X X ) i n 1 i 1
1 n 2 2 ( X X ) S 是 σ 无偏估计 i n 1 i 1
ˆ2 同理可证明(2) E
由此可知, 一个参数可以有不同的无偏估计量.
例2 若总体 X 的均值 , 方差 2 均为未知, 证明
n 1 ˆ 2 ( X i X ) 2 不是 2 的 无偏估计. 估计量 n i 1
往证
ˆ E
2
2
2
回顾
n
EX , DX
1 1 1 ( X 1 X 2 ) ( DX 1 DX 2 ) θ2 2 2 4
1 2 ˆ D 3 DX θ 3
1 4 5 ˆ D 4 DX 1 DX 2 θ2 9 9 9
因而， D ˆ3 D ˆ2 D ˆ4 D ˆ1
练习 X 1 , X 2 为总体 N ( ,1) 的样本，比较下列无偏估
练习
1. 证明 S 不是 的无偏估计量 .
提示 2 E S 2 DS ( ES ) 2 ( ES ) 2 ES
2.设总体 X 的均值 µ 与方差σ2均为未知参数， X1，X2为样本.
证明 (1)
1 ( X 1 X 2 ), 2 2 1 X 1 X 2 1.7 X 1 0.7 X 2 3 3
ˆ 与 ˆ 都是 的无偏估计量, 若有 定义 设 1 2 ˆ ) D( ˆ ), 则称 ˆ 较 ˆ 有效. D( 1 2 1 2
概率论与数理统计第七章第二节(概率统计)
1 = n μk = μk . 上页 n
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返回
所以, 样本k阶原点矩是总体参数k—— 总体 k 阶原点矩——的无偏估计量. 讲评 不管总体服从什么分布, 只要总体
的数学期望存在, 样本均值总是总体均值的
无偏估计量. 这个结论可以当作定理应用.
上页
下页
返回
例7.2.2 设总体X的方差 X1 , X 2 ,, X n 是来自X的样本, 试证明:
1 n k k阶矩 Ak X i (k 1, 2,) 是总体阶矩的无 n i 1
偏估计量.
证 由于 E( X ik ) = E( X k ) = μk， i = 1,2, ,n， 因而
n 1 n 1 E ( Ak ) = E ( X ik ) = E ( X ik ) n i =1 n i =1
1 E (Z ) . n
于是也成立
E ( nZ ) 1
E ( X ).
下页 返回
即nZ也是总体均值的无偏估计量 . 上页
由此可见, 一个总体未知参数可以有不
同的无偏估计量.
讲评 一个未知参数的无偏估计量不一定
是唯一的, 它可以有许多无偏估计量. 事实 上, 在本例中， X1 , X 2 ,, X n 中的每一个都可 以作为θ的无偏估计量.
量. 这就提出了一个问题： 当总体的同一个参数 存在不同的估计量时, 究竟采用哪一个更好呢?
7.2.2 预备知识
数学期望及其性质，方差及其性质，依概 率收敛.
上页 下页 返回
7.2.3 建立理论
1. 无偏性 我们希望估计量在未知参数真值附近摆 动, 即它的数学期望等于未知参数的真值,
这就导致无偏性这个标准的产生. 定义1 若估计量 ˆ ˆ( X1, X 2 ,, X n ) 的数学 ˆ) 存在, 且对于任意 ，有 期望 E ( ˆ) ， E(
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D( 2 )
16 2 9 2 1 2 26 2 0.72 2 ,
36 36 36 36
D( 3 )
1 2
9
12
9
12
9
1 2
3
0.33 2.
D(3) D(1) D(2 ) ,因此 3 最为有效.
10
一般地,有如下基本结论：
例4. 设 X1, X2,, Xn 是来自任意总体 X 的一组样本，
7
定义2 设ˆ1,ˆ2都是未知参数的无偏估计量，如果 Dˆ1 Dˆ2
则称（ˆ1和ˆ2作为参数的估计量）ˆ1比ˆ2更有效。
例3 设为 X1, X 2 , X3 取自总体 X 的样本,EX= ,DX= 2 0 , 证明:下列三个统计量均为 的无偏估计量，并比较有效性.
1
2 10
X
1
3 10
)
EX
2 i
EX
2 i 1
2EX i1EX i
EX
2 i
( 2 2 ) 2 2 ( 2 2 ) 2 2
n1
Eˆ 2 c E( X i1 X i )2 c 2(n 1) 2 2,
i 1
1
c
.
2(n 1)
6
二、有效性
例如，设总体X ,而X1, X 2, X3是来自总体X的样本，EX 未知，则
则称ˆ 为 的无偏估计量.否则称为有偏估计量.
2
Eˆ ，E(ˆ ) 0.
无偏估计量的含义是：ˆ 作为样本的函数 是一个随机变量，它在 的真值附近波动，但其 平均值恰好是 的真值。
3
设 X1, , X n 为取自总体 X 的样本，
样本均值
X
1 n
n
Xi,
i1
EX
EX ，
因此, X 是总体均值 EX 的无偏估计；
数学期望 和方差 2 0 都存在，求证：
（1）对任意一组实数 ai , i 1, 2,, n. 若 n ai 1,
则 ˆ
n
i 1
ai Xi 都是 的无偏估计（称ˆ 为 的
i 1
线性无偏估计）；
（2）在
的一切线性无偏估计中，X
1 n
n i1
X i的方
差最小，(称为 的最优线性无偏估计）.
5
证
EX
5
2
, EX
5
2
.
Eˆ
E(2 5
X)
2 5
EX
2 5
5
2
.
因此,ˆ是的无偏估计.
例2设DX 2 0, EX 未知,X
证明:X 2不是 2的无偏估计.
1 n
n i 1
Xi ,则X 是的无偏估计.
证
EX
2
DX
(EX
)2
2
n
2
2
.
X 2不是 2 的无偏估计.
注：ˆ是的无偏估计，未必有 ˆ 是 的无偏估计. 5
n
时，
n i1
ai2取最小值
1. n
n
n
或： L(a1, , an , ) ai2 ( ai 1),
i 1
i 1
L
令
ai
2ai
0
,
i 1,
,n
L
n i 1
ai
1
0
得ai
1 n
,i
1
一、无偏性
估计量是随机变量, 对于不同的样本值就会得到 不同的估计值, 希望估计值在未知参数真值左右徘徊, 最好它的数学期望等于未知参数的真值, 这就导致了 无偏性这个标准.
定义1 设 X1, , X n 是总体X 的一个样本,ˆ ˆ( X1,, Xn ) 是 未知参数 的估计量,如果有
Eˆ ，
5 10
X3
,
2
4 6
X1
3 6
X2
1 6
X3
,
3
1 3
X1
1 3
X2
1 3
X3
.
8
1
2 10
X1
3 10
X2
5 10
X3
,
2
4 6
X1
3 6
X2
1 6
X3
,
3
1 3
X1
1 3
X2
1 3
X3
.
证
EXi EX ,i 1, 2,3.
E(1)
2 10
3 10
5 10
,
E(2
)
4 6
3 6
1 6
,
i1
i 1
i 1
b1 b2 bn 1 ,得到
n
2
ai
n
n
ai2
i1
i 1
因此,当
n i 1
ai
1时,有
n i 1
ai2
1 ,当且仅当
n
12
因此,当
a1
n
ai
i 1
a2
1a时n ,1n有时in取1 a等i2 号1n.,
当且仅当
DXi
DX
2,
DX
2.
n
Dˆ
E(3)
1 3
1 3
1 3
,
1 , 2 , 3 都是 的无偏估计.
9
1
2 10
X1
3 10
X2
5 10
X3
,
2
4 6
X1
3 6
X2
1 6
X3
,
3
1 3
X1
1 3
X2
1 3
X3
.
3
1 3
3 i 1
Xi
X
X
1
,
X
2
,
X
相互独立
3
,
DXi DX 2 ,i 1, 2,3.
D(1)
4 2 9 2 25 2 38 2 0.38 2 , 100 100 100 100
即:在的一切线性无偏估计中，X
1 n
n i 1
X
最为有效.
i
11
证（1） EXi EX ,i 1, 2,, n
Eˆ
E
n
ai
X
i
n
aiEXi
n
ai (
n
ai ) ,
i1
i1
i1
i1
故 是 的无偏估计.
（2）在柯西不等式
n
aibi
2
n
ai2
n
bi2 中，令
习题7.14-（1）： 设总体 X , EX , DX 2 , X1 ,, X n 是来自总体 X 的
n1
一个样本，试确定常数 c，使统计量ˆ 2 c ( Xi1 Xi )2 为 2 i 1
的无偏估计量.
EX
2 i
DX i
(EXi )2
2
2
解
E( X i1
Xi
)2
EX
2 i 1
2E( X i1 X i
1
X1, 2
1 5
X1
2 5
X2
2 5
X 3，3
1 3
X1
1 3
X2
1 3
X3
X
都是总体均值的无偏估计.
问题：总体均值的这些无偏估计哪个更好？
无偏性也只能从平均意义上解释随机误差刚好正负 抵消，不产生系统偏差，但它并不能说明随机误差的 大小. 如果一个估计量的随机误差过大，我们并不认 为它是一个优良估计.所以，仅有无偏性的要求是不够 的，这自然就引出了有效性的概念.
D
n
ai
X
i
i1
n
ai2 DX i
i1
n
2 ai2
i1
2
n
DX .
故在 的一切线性无偏估计中，X 的方差最小， 因而 X 是 的最优线性无偏估计.
13
Dˆ
D
n
ai
X
i
i1
n
ai2 DX i
i1
2
n i1
ai2
2
n
DX.
n
若 ai =1，则当a1 a2
i 1
an
1
样本方差
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
,
ES 2
DX
，
因此, S 2 是总体方差 DX 的无偏估计.
二阶中心矩
B2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
,
B2
n 1S2 n
EB2
n 1 DX n
DX
，因此,
B2
是
DX
的有偏估计.
4
例1设总体X U ,4 ,其中 0是未知参数,
证明: ˆ= 2 X是的无偏估计量.