江西省南昌二中2020届高三(6月份)高考数学(理科)校测试题(一)
江西省2020届高三(6月份)高考数学(理科)模拟试卷及答案解析
江西省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}240A x x x =-≤，(){}2log 2B x y x ==-，则A B =（ ）A.{}02x x ≤< B.{}2x x < C.{}04x x ≤≤D.{}4x x ≤2.复数12i1iz +=-，则z =（）C.5D.23.已知1a =，3b =，且()()722a b a b +⋅-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.π6B.π3C.2π3 D.5π64.已知实数x ，y 满足不等式组4020250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则34z x y =+-的最小值为（ ）A.0B.2C.6D.305.用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ） A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形6.在数列{}n a 中，23a =，35a =，且212n n n a a a ++=-，则6a =（ ） A.9B.11C.13D.157.已知()2na b +的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则()21nx -展开式中3x 的系数为（ ） A.80B.40C.40-D.80-8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =（ ）A.3B.3-C.7D.7-9.在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π210.已知函数()π4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为[],n m ，值域为[]4,2-，则m n -的最大值是（ ） A.πB.2π3C.4π9D.2π911.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点()0,Q b .已知点P 在双曲线C 的左支上，且P ，Q ，F 不共线，若PQF △的周长的最小值是8a ，则双曲线C 的离心率是（ ）A.3C.512.若对任意的x ∈R ，都存在[]0ln 2,2x ∈，使不等式02002640xe x x x x x m +--++≥成立，则整数m 的最小值为（ ）（提示：ln 20.693≈） A.3B.4C.5D.6第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知函数2(1)3x ++，若(2)5f a +=，则a =___________．14.辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______.15.在数列{}n a 中，11a =，且()131nn n a a +=+-，则数列{}n a 的前2n 项和为______.(用含n 的式子表示)三、解答题（题型注释）B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知44cos c b a B =+. （1）求sin A ；（2）若6c =，AD 为BAC ∠的角平分线，D 在BC 上，且AD =b .17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 的右顶点到直线0x y -的距离为3.（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()2,0P ，且斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 的面积(O 为坐标原点).18.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E 为AC 的中点，且2AC BE =.（1）证明：BC ⊥平面PAB ；（2）若PA AB BE ==，求二面角--A PB E 的余弦值.19.某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击n 次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为23.记i X ，()1,2,3,,i Y i n =分别表示甲，乙第i 次射击的得分.（1）若3n =，记乙的累计得分为Y ，求3Y >的概率. （2）①求数学期望()1E X ，()1E Y ，()2E X ；②记()11a E X =，()21a E Y =，()32a E X =，….证明：数列{}3n a -为等比数列. 20.已知函数()()ln f x x x a a R =--∈. （1）讨论()f x 的零点个数； （2）若()()ln 1x ag x ex x a x -=-+-，(]1,1a e ∈-，求()g x 的极小值()h a 的值域.21.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为213x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为212x m y m⎧=-⎨=⎩ (m 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）已知点(2,1)M ，若曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，求||MA MB -‖‖的值. 22.已知函数()|2||21|f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数,a b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值.四、新添加的题型23.已知抛物线():20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线C 的方程是______；若直线l 过点F ，则k =______.参考答案1.A【解析】1.解一元二次不等式得集合A ，求对数型复合函数的定义域得集合B ，然后由交集定义得结论．因为{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}20}2B x x x x =->=<，所以{}02A B x x ⋂=≤<. 故选：A ． 2.D【解析】2.根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的计算公式进行求解即可.因为()()()()2121121221311122i i i i i i iz i i i ++++++-+====--+，所以1322i z =--，则2z ==. 故选：D 3.A【解析】3.由数量积的运算律求出a b ⋅，再根据的定义求出夹角的余弦，从而得夹角大小．因为()()722a b a b +⋅-=-，所以22722a ab b +⋅-=-.因为1a =，3b =，所以32a b ⋅=， 32cos ,213a b a b a b ⋅<>===⨯，则向量a 与b 的夹角为π6. 故选：A ． 4.B【解析】4.画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.由401203x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,3),A ∴同理(3,1),B (7,9),C 如图，直线34z x y =+-平移到B 点时，z 取最小值为33142+⨯-= 故选：B 5.C【解析】5.不难作出截面是正三角形和正方形的例子，正六边形的例子是由相应棱的中点连接而成，利用反证法，和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形．如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3）图1 图2 图3假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形． 故选：C ． 6.B【解析】6.由已知212n n n a a a ++=-可得数列为等差数列，从而通过23,a a 求出公差和首项后可得数列的第6项．因为212n n n a a a ++=-，所以211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列. 因为23a =，35a =，即11325a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以61511a a d =+=.故选：B ． 7.A【解析】7.由两个二项式系数相等根据组合数的性质求出n ，写出展开式的通项公式，得出3x 所在项数，从而可得其系数．由题意3722n n C C =，所以372n +=，解得5n =，则()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-⋅，由53r -=得2r ，所以3x 的系数为()23522801C ⋅⋅=-.故选：A ． 8.D【解析】8.由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到答案； 由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-.故选：D. 9.B【解析】9.把四面体ABCD ，1的长方体，取AB 的中点G ，连接GE ，GF ，运用条件可得GEF △是等腰直角三角形，然后可得出答案.如图，把四面体ABCD ，1的长方体， 取AB 的中点G ，连接GE ，GF .因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//GF AC ，112GF AC ==， 同理//GE BD ，112GE BD ==. 因为AC BD ⊥，所以GE GF ⊥， 所以GEF △是等腰直角三角形，则π4EFG ∠=， 即异面直线EF 与AC 所成的角为π4. 故选：B 10.C【解析】10.解不等式π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，找解集中的最大区间即可． 因为π44sin 326x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以π11sin 362x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则满足条件的π36x -的最大范围是()7πππ2π32π666k x k k -≤-≤+∈Z ， 解得()2ππ2ππ3339k k x k -≤≤+∈Z ， 故m n -的最大值是ππ4π939+=. 故选：C ． 11.D【解析】11.由双曲线的定义可得2PF PF a '=+，结合图示，可得当'P Q F 、、共线时，PQF △的周长最小，进而可得a 与c 的关系，代入公式，即可求出离心率。
2020届江西省南昌二中高三高考校测(一)数学(文)试题(解析版)
2020届江西省南昌二中高三高考校测（一）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|01},{1,0,1}A x R x B =∈<=-，则()UA B =（ ）A ．{}1-B ．{1}C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】C【解析】根据补集的运算，求得{|0Ux A x =≤或1}x >，再结合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集U =R ，集合{|01}A x R x =∈<≤， 可得{|0Ux A x =≤或1}x >，又由集合{1,0,1}B =-，所以(){1,0}UA B ⋂=-.故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 2．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i -- D ．4-【答案】B【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3．已知实数.a b ，则“2ab ≥”是“224a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识． 充分性：由均值不等式；必要性：取，显然得不到2ab ≥．故“2ab ≥”是“224a b +≥”的充分不必要条件，选A ．4．若函数()()sin 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()12sin 2sin 23f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值， ∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ， ∵0>ω， ∴ω的最小值为52. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.5．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）． A ．35 B ．33C ．31D ．29【答案】C【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，又3474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162q a ==，所以5515116(1())(1)2311112a q S q --===--，故选C ． 【考点】等比数列的通项公式及性质． 6．已知向量()3,0a =，(),2b x =-，且()2a a b ⊥-，则⋅=a b （ ）A ．-B ．C ．32-D ．32【答案】D【解析】先由题意，求出()232,4a bx -=-，再由向量垂直的坐标表示列出方程求出x =，根据向量数量积的坐标表示，即可得出结果. 【详解】 因为向量()3,0a =，(),2b x =-， 则()232,4a b x -=-；又()2a a b ⊥-，则()20aa b ⋅-=，)2040x +⨯=，解得x ；所以()33·3022a b =⨯+⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，是基础题.7．我国明朝数学家程大位著的《算法统筹》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为（ ）A ．20B ．25C ．30D ．75【答案】B【解析】利用循环结构依次推理计算即得结果. 【详解】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的n ，m ，s 的值，即可得出跳出循环时输出n 的值.解：输入20n =，80m =，100s ≠，21n =，79m =，100s ≠， 22n =，78m =，100s ≠， 23n =，77m =，100s ≠， 24n =，76m =，100s ≠， 25n =，75m =，100s ，输出25n =， 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，属于基础题.8．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>【答案】A【解析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小. 【详解】 由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题． 9．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②．所以②选项是正确的； 当a =0时,则()1f x x=,其定义域为：{x |x ≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的． 本题选择C 选项.10．已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，2PA PB PC ===，90ABC ︒∠=，则三棱锥O ABC -体积的最大值是( )A ．3B ．1C ．12D ．3 【答案】B【解析】画图分析可知O 到面ABC 的距离为定值,故只需求底面ABC 的面积最大值,再根据基本不等式的方法求解即可. 【详解】如图,设PO 交平面ABC 于D .因为2PA PB PC ===,由球的对称性有PD ⊥底面ABC .又PB PO OB ==,PO DB ⊥.故1PD OD ==.3DB =,23AC =因为90ABC ︒∠=,所以111326O ABC V AB BC OD AB BC -=⨯⋅⨯=⋅. 又222122AB BC AC AB BC +==≥⋅.故6AB BC ⋅≤. 故116O ABC V AB BC -=⋅≤.当且仅当6AB BC ==时取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查了锥体外接球以及根据基本不等式求最值的问题,需要根据题意找到定量关系,利用基本不等式求最值,属于中档题.11．已知1F ，2F 分别是双曲线22:143x y C -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆22:(3)1E x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．6D ．3【答案】A【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，可得焦点坐标，求得圆E 的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值. 【详解】双曲线22143x y -=中2a =，b =c ==1(F ，2F ，0)，圆E 半径为1r =，(0,3)-E ，21124AF AF a AF ∴=+=+，1AB AE BE AE -=-(当且仅当A ，E ，B 共线 且B 在A ，E 之间时取等号)，21111433AB AF AE AF AF AE EF +-++=+++37==，当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号.2AB AF ∴+的最小值是7.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.12．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e---【答案】A【解析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x a f x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21Ma --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题13．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____. 【答案】1【解析】求出导函数，根据0x =处的导数值为1，即可求得参数的值. 【详解】因为x y axe =，故可得()xy eax a ='+，又x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直， 故01x y a ='==.故答案为：1. 【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值，属基础题.14．如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边CD 的中点，13DF DA →→=，若·4AE BF →→=-，则cos DAB ∠=___________.【答案】14【解析】直接利用三角形法则和向量的线性运算和向量的数量积的运算的应用求出夹角的余弦值. 【详解】因为平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 是边CD 的中点，13DF DA →→=，∴12AD DE AD AB AE →→→→→=+=+，23BF AF AB AD AB →→→→→=-=-，∴2212212()()23323AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB →→→→→→→→→→⋅=+⋅-=--⋅222123434cos 323BAD =⨯-⨯-⨯⨯⨯∠ 688cos 4BAD =--∠=-，所以1cos 4DAB ∠=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.15．如图，在一个底面边长为4cm 的正六棱柱容器内有一个半径为23cm 的铁球，现向容器内注水，使得铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm .【答案】43π 【解析】由题意可求球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，假设铁球刚好完全浸入水中，则水面高度为32883234433243h ππ-==，即可求水面下降高度．【详解】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积34(23)3233V ππ=⨯⨯=，水面高度为3此时正六棱柱容器中水的体积为2134643323288323V ππ=⨯⨯=-， 若将铁球从容器中取出，则水面高度3234433243h ππ==，则水面下降4443(43)33ππ=. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查了球体积的求解，考查了棱柱体积的求解.16．在数列{}n a 中，11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，则n S 为___________. 【答案】13(1)3n- 【解析】将122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+化为1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，再由等比数列的定义和通项公式､求和公式，可得所求和. 【详解】解：由11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-⋅+，可得1212213(1)3(1)33232(2)n n n n n n n a a n ------+=++--⋅+，即1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++，所以数列{}13(1)n n a -+是以1113(1)2a -+=为首项､2为公差的等差数列，所以13(1)2n n a n -+=，由1123n n a n -+=，12(1)133(1)1313n n nS -==--.故答案为：13(1)3n-. 【点睛】本题考查数列的通项公式和求和公式，构造等比数列是解题的关键，考查转化思想和运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知3()22sin()sin()2f x x x x ππ=++-，x ∈R ， （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且()f A =，3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）()f x 的最小正周期为：π；函数()f x 单调递增区间为： 511[,]()1212k k k Z ππππ++∈；（2. 【解析】（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可； （2）由（1）结合()f A =，求出A 的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可. 【详解】 （1）3()3cos 22sin()sin()23cos 22cos sin 3cos 2sin 22cos(2)6f x x x x x x x x x x πππ=++-=-=-=+()f x 的最小正周期为：22T ππ==； 当2222()6k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时，即当511()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为：511[,]()1212k k k Z ππππ++∈； （2）因为()3f A =-，所以3()2cos(2)3cos(2),6675(0,),2(,)2.2666663f A A A A A A A πππππππππ=+=-⇒+=-∈∴+∈∴+=∴=设BC 边上的高为h ，所以有113sin 22ah bc A h bc =⇒=， 由余弦定理可知：22222222cos 929a b c bc A b c bc b c bc bc =+-⇒=+-+≥∴≤（当用仅当b c=时，取等号），所以333h bc =≤，因此BC 边上的高的最大值33. 【点睛】本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数： 温度（单位：C ︒）21 23 24 27 29 32死亡数y （单位：株）61120275777经计算：611266i i x x ===∑，611336i i y y ===∑，()()61557i i i x x y y =--=∑，()62184ii x x =-=∑，()6213930i i y y =-=∑，()621ˆ236.64i i y y=-=∑，8.0653167e ≈，其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i =.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2303ˆ0.06xye =，且相关指数为20.9522R =.（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i ni i uu v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-；相关指数为：()()22121ˆ1ni i i niii v vR v v ==-=--∑∑.【答案】（1）ˆy =6.6x −139.4；（2）（i ）回归方程0.2303ˆ0.06xy e =比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好；（ii ）190.【解析】（1）根据公式，结合已知数据，分别求得ˆˆ,ba ，则问题得解； （2）根据相关指数的计算公式，结合已知数据，求得2R ，再进行比较即可； （3）将35x =代入回归方程，即可求得结果. 【详解】(Ⅰ)由题意得，()()()121557ˆ 6.6384nii i nii xx y y bxx ==--==≈-∑∑∴ˆa=33−6.63⨯26=−139.4， ∴y 关于x 的线性回归方程为：ˆy=6.6x −139.4． (Ⅱ) （i ）线性回归方程ˆy=6.6x −138.6对应的相关指数为： ()()6221621ˆ236.641110.06020.93983930ii i i i i yyR y y ==-=-=-≈-=-∑∑，因为0.9398＜0.9522，所以回归方程0.2303ˆ0.06xye =比线性回归方程ˆy=6.6x −138.6拟合效果更好． （ii ）由（i ）知，当温度35C x ︒=时，0.2303358.06050.060.060.063167190ˆye e ⨯==≈⨯≈， 即当温度为35︒C 时该批紫甘薯死亡株数为190. 【点睛】本题考查线性回归直线方程的求解、相关指数的求解，以及用回归直线方程进行估算，属综合中档题.19．已知四棱台1111ABCD A B C D -的下底面是边长为4的正方形，14AA =，且1AA ⊥面ABCD ，点P 为1DD 的中点，点Q 在BC 上，3BQ QC =，1DD 与面ABCD 所成角的正切值为2.（1）证明：//PQ 面11A ABB ；（2）求证：1AB ⊥面PBC ，并求三棱锥1Q PBB -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，6.【解析】（1）取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H ，可证四边形PQBE 为平行四边形，得出//PQ BE ，故而//PQ 面11A ABB ；（2）由1AA ⊥面ABCD 可得1AA BC ⊥，由相似三角形可得1AB BE ⊥，故而1AB ⊥平面PEBC ，求出1B 到平面PEBC 的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积. 【详解】（1）证明：取1AA 中点E ，连接PE ､BE ，过1D 作1D H AD ⊥于H .1AA ⊥面ABCD ，11//AA D H ，1D H ∴⊥面ABCD .1D DA ∴∠为1DD 与面ABCD 所成角. ∴12AA DH=，又14AA =， 2DH ∴=.112A D ∴=.111()32PE A D AD ∴=+=， 334BQ BC == 又//,//EP AD EP BQ ，∴四边形PQBE 为平行四边形，//PQ BE ∴，又PQ ⊂/面11A ABB ，BE ⊂面11A ABB ， //PQ ∴面11A ABB .（2）1AA ⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，1ABAA A =，BC ∴⊥面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ∴⊥.在梯形11A ABB 中，Rt BAE Rt ∆≅△11AA B ，111190B AE AEB B AE AB A ∴∠+∠=∠+∠=︒，1AB BE ∴⊥，又BEBC B =，BE ⊂平面PEBC ，BC ⊂平面PEBC ，1AB ∴⊥面PEBC .设1AB BE M ⋂=，2AE =，4AB =，25BM ∴=，112A B =，14AA =，125AB ∴=，·4525AE AB AM BE ∴===， 1165B M AB AM ∴=-=， 又334BQ BC ==， ∴11111165·3256332Q PBB B PBQ PBQ V V S B M --∆===⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.20．已知曲线C 上的点到点()1,0F 的距离比到直线:20l x +=的距离小1，O 为坐标原点.（1）过点F 且倾斜角为45的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求MON △的面积； （2）设P 为曲线C 上任意一点，点()2,0N ，是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PN 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22（2）直线l 存在，其方程为1x =，定值为2.【解析】（1）利用抛物线的定义可求得曲线C 的方程，由题意可得直线MN 的方程为1y x =-，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得MON △的面积；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，并设点()00,P x y ，求出以PN 为直径的圆的方程，将x a =代入圆的方程，求出弦长的表达式，进而可求得a 的值，由此可求得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意得，曲线C 上的点到点()1,0F 的距离与到直线:1l x =-的距离相等， 所以曲线C 的方程为：24y x =.过点F 且倾斜角为45的直线方程为1y x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，则124y y +=，124y y ⋅=-，则1212MAN S y y =-==△；（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，设点()00,P x y ， 则以PN 为直径的圆的方程为()()()0020x x x y y y --+-=， 将直线x a =代入，得()()20020y y y a a x -+--=，则()()()()2000424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦，设直线l 与以PN 为直径的圆的交点为()3,A a y 、()4,B a y ， 则340y y y +=，()()3402y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==，当10a -=，即1a =时，2AB =为定值. 故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线的方程，同时也考查了抛物线中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题. 21．已知函数2()ln 2f x x x x =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间.[,](,)m n m n ∈∈Z Z 内，求n m -的最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为10,2⎛ ⎝⎭，单调减区间为1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）答案见解析.【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）求出导函数()'g x ，分类讨论()'g x 的正负，确定()g x 的单调性，再根据零点存在定理确定零点存在的区间．首先确定(0,1)上有一个零点，然后确定1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,3)，(3,)+∞上有否零点，从而可得n m -的最小值．【详解】（1）2()ln 2f x x x x =+-的定义域为(0,)+∞，21221()22x x f x x x x'-++=+-=，令()0f x '=，得112x =，212x -=（舍）.当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当⎫+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，因此，函数()f x 的单调增区间为⎛ ⎝⎭，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （2）2()ln 2cos g x x x x x =+--，当(0,1)x ∈时，1()22sin g x x x x'=+-+， 因为1()22f x x x'=+-单调递减， 所以()12201g x '>+-+=，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)1cos10g =->，11111ln cos 0442164g ⎛⎫=+--<⎪⎝⎭， 所以存在唯一1(0,1)x ∈，使得()10g x =.当1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又22102g πππ⎛⎫'=+-+>⎪⎝⎭， 所以()0g x '>，()g x 在1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增. 因为(1)1cos10g =->，所以()0>g x ，故不存在零点.当,32x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()22sin g x x x x '=+-+，21()2cos 0g x x x ''=--+<， 所以()'g x 单调递减， 又02g π⎛⎫'>⎪⎝⎭，1(2)24sin 202g '=+-+<， 所以存在0,22x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，使得()00g x '=. 当0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()0,3x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减.又2ln 0224g ππππ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，(2)ln 2cos 20g =->，(3)ln 369cos30g =+--<，所以存在唯一2(2,3)x ∈，使得()20g x =.当[3,)x ∈+∞时，22()12130g x x x x x x <-+-+=-+≤，故不存在零点. 综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1(0,1)x ∈，0(2,3)x ∈， 因此n m -的最小值为3. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点．解题关键是掌握导数与单调性的关系．本题对学生分析问题解决问题的能力，转化与化归能力要求较高，本题属于难题．22．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积. 【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1【解析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积． 【详解】解：（1）1cos :1sin x t C y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l的极坐标方程：2cos 36πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M 到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．第 1 页 共 6 页 23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【答案】（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。
江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测(一)数学(文)试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：南昌二中2020届高三校测(一）文科数学试卷命 题：高三数学备课组第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U =R ，集合}10|{≤<∈=x R x A ，B={-1，0,1｝，则=⋂B A C U )( A ．{}1- B ．{1} C ．{1,0}- D ．{0,1} 2．若复数2i z =-,i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i + B ．24i -+ C ．24i -- D ．4- 3．已知实数.a b ，则“2ab ≥"是“224a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=,则ω的最小值为A ．32B ．2C ．52D ．35．已知数列}{n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =A ．35B ．33C ．31D ．29 6．已知向量(3,0)a =,(,2)b x =-，且(2)a a b ⊥-，则a b =A ．23-B ．23C ．32-D ．327．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧,大僧三个更无争。
小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”。
如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n 的值为A ．20B ．25C ．30D ．358．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60， 另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后,重新求得 样本的平均数为x ,方差为2s ，则A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>9．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点,O 为球心，2PA PB PC ===，90ABC ︒∠=，则三棱锥O ABC -体积的最大值是 A ．3B ．1C ．12D ．3411．已知1F ，2F 分别是双曲线C :22143x y -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆E ：()2231x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为 A ．7B ．8C ．63+D ．233+12．若函数()()1,{21,x x e x af x x x a-+⋅≤=-->有最大值，则实数a 的取值范围是A ．211,22e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭B ．21,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[)2-+∞ D ．2112,22e ⎛⎤--- ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直，则a =_____． 14．如图在平行四边形ABCD 中,AB=4，AD=3，E 为边CD 的中点,13DF DA =,若4AE BF ⋅=-则cos DAB ∠= 。
江西省大联考2020届高三6月数学试卷(理科)试题(wd无答案)
江西省大联考2020届高三6月数学试卷(理科)试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 复数，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知，，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A．0B．2C．6D．30(★★) 5. 用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形(★★) 6. 在数列中，，，且，则（）A．9B．11C．13D．15(★★★) 7. 已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（）A．80B．40C．D．(★★) 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（）A．3B．C．7D．(★★) 9. 在四面体中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值是（）A．B．C．D．(★★) 11. 设双曲线的右焦点为，点.已知点在双曲线的左支上，且，，不共线，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是（）A．3B．C．5D．(★★★★) 12. 若对任意的，都存在，使不等式成立，则整数的最小值为（）（提示：）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 已知函数，若，则___________．(★★) 14. 辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______.(★★★) 15. 在数列中，，且，则数列的前项和为______.(用含的式子表示)三、双空题(★★★) 16. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是______；若直线过点，则______.四、解答题(★★★) 17. 在△ 中，角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求；（2）若，为的角平分线，在上，且，求.(★★) 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）过点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积( 为坐标原点).(★★★) 19. 在三棱锥中，平面，为的中点，且.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.(★★★) 20. 某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为.记，分别表示甲，乙第次射击的得分.（1）若，记乙的累计得分为，求的概率.（2）①求数学期望，，；②记，，，….证明：数列为等比数列.(★★★) 21. 已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）若，，求的极小值的值域.(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，曲线的参数方程为 ( 为参数).（1）求曲线，的普通方程；（2）已知点，若曲线，交于，两点，求的值.(★★) 23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，且实数满足，求的最大值.。
2020届江西省南昌市第二中学高三下学期高考模拟检测(一)数学(文)试题(解析版)
【解析】如图,设 交平面 于 .因为 ,由球的对称性有 底面 .
又 , .故 . ,
因为 ,所以 .
又 .故 .
故 .当且仅当 时取等号.
故选：B
11．已知 , 分别是双曲线 ： 的左,右焦点,动点 在双曲线的左支上,点 为圆 ： 上一动点,则 的最小值为（）
A．7B．8C． D．
【答案】A
第II卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．函数 的图象在 处的切线与直线 互相垂直,则 _____．
【答案】1.
【解析】 函数 的图象在 处的切线与直线 垂直,
函数 的图象在 的切线斜率
本题正确结果：
14．如图在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点, ,若 则 =---------.
此时正六棱柱容器中水的体积为 ,
若将铁球从容器中取出,则水面高度 ,
则水面下降 .故答案为: .
16．在数列 中, , , 是数列 的前 项和,则 为.
【答案】
【解析】：由
得 ,即 ,所以数列 是以 为首项、 为公比的等比数列,所以 ,由 , .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
温度 （单位： ）
21
23
24
27
29
32
死亡数 （单位：株）
6
11
20
27
57
77
经计算： , , , , , , ,其中 , 分别为试验数据中的温度和死亡株数, .
【答案】
江西省南昌市第二中学2020届高三数学下学期校测试题（三）理
江西省南昌市第⼆中学2020届⾼三数学下学期校测试题（三）理江西省南昌市第⼆中学2020届⾼三数学下学期校测试题（三）理第I 卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合4{log 1}M x x =<，{2}M N =，则集合N 可以是（）A.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{2,3,4}2.若复数z 的其共轭复数z 满⾜i iz311+=+，则复数z 为（） A.i 42-- B. i42+- C. i 44- D. i 44+3. “数摺聚清风，⼀捻⽣秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出⼊怀袖，扇⾯书画，扇⾻雕琢，是⽂⼈雅⼠的宠物，所以⼜有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的⽰意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取⼀点，则此点取⾃扇⾯（扇环）部分的概率是（）A ．14B ．12C ．58D ．434．设52-=a ，5log 2b =，8log 5c =,则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<5. 已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥??+≥??-≥?表⽰的平⾯区域内，则22m n +的最⼩值为（）A.25105 C.49 D.23 6. 函数()()2cos ln1xf x x x=+-的部分图象⼤致为（）A.B.C.D.7. 明代数学家程⼤位（1533~1606年），有感于当时筹算⽅法的不便，⽤其毕⽣⼼⾎写出《算法统宗》，可谓集成计算的⿐祖．如图所⽰的程序框图的算法思路源于其著作中的“李⽩沽酒”问题．执⾏该程序框图，若输出的y 的值为2，则输⼊的x 的值为（） A ..74 B. 5627 C. 2 D. 164818.=?-=?==?AC AB BE AD AC E DC BD AC AB ABC ，则4的中点，若是2中，,,( )A. 0B. 2C. 4D. 89. 已知数列{}n a 为等差数列, n S 是其前n 项和, 255,35==a S .数列?+11n n a a 的前n项和为n T ,若对⼀切*∈n N 都有n T m >+12恒成⽴,则m 能取到的最⼩整数为( ) A. 1- B. 0 C. 1 D. 210. 在棱长为2的正⽅体1111ABCD A B C D -中，E 是正⽅形11BB C C 的中⼼，M 为11C D 的中点，过1A M 的平⾯α与直线DE 垂直,则平⾯α截正⽅体1111ABCD A B C D -所得的截⾯⾯积为（） A.24 B. 26 C.52D. 10211.已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ,使得经过点T 所作的圆222()x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离⼼率的取值范围是A ． (30,] B ．（3,1]C ．(32,] D ．（2,1]12.已知函数()??≤<≤≤--=ex x x x x f 00212,ln ,，⽅程()a x f =恰有两个不同的实数根)(,2121x x x x <,则221x x +的最⼩值与最⼤值的和( )A. e +2B. 2C. 36-+eD. 34-+e第II 卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 宣传费⽤x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元） 45 24 a 50根据上表可得回归⽅程?9.6 2.9y x =+a 为．14．定义在R 上的函数)(x f 满⾜对任意的y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+.设2x x x f x g ++=sin )()(，若202010=)(g ，则=-)(10g ．15. 已知22024a x dx π=-?，若2020(1)-=ax 220200122020()++++∈b b x b x b x x R ，则20201222020222+++b b b 的值为______. 16.⾼三年级毕业成⼈礼活动中，要求A,B,C 三个班级各出三⼈，组成33?⼩⽅阵，则来⾃同⼀班级的同学既不在同⼀⾏，也不在同⼀列的概率为 .三、解答题：共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考⽣都必须作答.第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答. (⼀)必考题：共60分.17. （本⼩题满分12分）如图，在ABC ?中，点P 在边BC 上， .4,2,3=+==PC AC AP C π. (1) 求APB ∠的⼤⼩；(2)若25的⾯积为ABC ?，求PAB ∠sin 的值.18. （本⼩题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧⾯PAD 为等边三⾓形且垂直于底⾯ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． (1)证明：直线CE ∥平⾯PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底⾯ABCD 所成⾓为o 45，求⼆⾯⾓M AB D --的余弦值．19. （本⼩题满分12分）已知点F 1，F 2为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，F 1，F 2都在圆E ：22302yx y +--=上，椭圆C 和圆E 在第⼀象限相交于点P ，且线段PF 1为圆E 的直径．（1）求椭圆C 的⽅程；（2）椭圆C 的左、右顶点分别为M ，N ，过定点Q 的直线l: x ＝ty ﹣2（t +1）与椭圆C 分别交于点A ，B ，且点A ，B 位于第⼀象限，点A 在线段BQ 上，直线OQ 与NA 交于点C ．记直线MB ，MC 的斜率分别为k 1，k 2．求证：k 1k 2为定值．20. （本⼩题满分12分） 2019年由袁隆平团队研发的第三代杂交⽔稻10⽉21⽇⾄22⽇⾸次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公⽄，第三代杂交⽔稻的综合优势可以推动我国的⽔稻⽣产向更加优质、⾼产、绿⾊和可持续⽅向发展．某企业引进⼀条先进的⾷品⽣产线，计划以第三代杂交⽔稻为原料进⾏深加⼯，创建⼀个新产品，已知该产品的质量以某项指标值([70,100])k k ∈为衡量标准，其质量指标的等级划分如表：质量指标值k 10090<≤k 9085<≤k 8580<≤k 8075<≤k7570<≤k产品等级废品合格良好优秀良好机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到产品质量指标值k 的频率分布直⽅图（如图）．（1）若从质量指标值不⼩于85的产品中利⽤分层抽样的⽅法抽取7件产品，并采集相关数据进⾏分析，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值[90k ∈，95)的件数X 的分布列及数学期望；（2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件产品，记“抽出的产品中⾄少有1件为合格或合格以上等级”为事件A ，求事件A 发⽣的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如表所⽰(14):t << 质量指标值k 10090<≤k 9085<≤k 8580<≤k 8075<≤k7570<≤k利润y （元) t e -t 2t 4t 3tt 考数值：20.7ln ≈，3 1.1ln ≈，5 1.6)ln ≈．21. （本⼩题满分12分）已知函数()ln f x kx x =-，()k R ∈(1)讨论函数()f x 的单调性(2)若()f x 有两个零点1212,()x x x x <证明：ek x e x ->(⼆)选考题：共10分请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答.如果多做，则按所做的第⼀题计分.选修4-4：坐标系与参数⽅程 22．（本⼩题满分10分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，曲线C 的直⾓坐标⽅程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴⾮负半轴为极轴，建⽴极坐标系，直线l 的极坐标系⽅程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标⽅程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23. （本⼩题满分10分）已知函数21++-=x a x x f )((1) 当1=a 时，求不等式4≤)(x f 的解集；(2)当1-南昌⼆中 2020 届⾼三校测(三)数学(理)试卷参考答案C AD A A A C D B B C C27a = -1820 -11140⼩题详解：10. 【解析】由如图，在正⽅体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ，则平⾯1A MCN 即为平⾯α．证明如下：由正⽅体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M CN N 四点共⾯，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平⾯DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NCMC C =，则DE ⊥平⾯1A MCN ，所以平⾯1A MCN 即平⾯α，且四边形1A MCN 即平⾯α截正⽅体1111ABCD A B C D -所得的截⾯．因为正⽅体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对⾓线123AC =，22MN =，所以其⾯积1S ==. 11.【解析】b a >，所以离⼼率212c b e a a ??==+>，圆222()x c y a -+=是以(,0)F c 为圆⼼，半径r a =的圆，要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，⽽焦点(,0)F c 到双曲线渐近线的距离为b ，所以2TF a b =≥，即2ba≤，所以213c b e a a ??==+≤，所以双曲线M 的离⼼率的取值范围是(2,3]．12. 【解析】函数()≤<≤≤--=ex x x x x f 00212,ln ,的图像为：则[](],ln ,,,,2213211且02x x e e x x =-∈-∈-所以(]e e x x x x x ,,ln 32222211-∈+-=+ 令()(]()x x x x g e e x x x x g 111则13-=+-=∈+-=-/,,,ln ,所以()()()()33421--+====e e g x g g x g max min ,，选C.15. 【解析】由积分的⼏何意义知221(2)24a ππ==，220200122020(12)-=++++x b b x b x b x 中，01b =，令12x =，则2020120220200222++++=b b b b ，∴202012220201222+++=-b b b ． bTFO16. 【解析】⾸先，第⼀⾏队伍的排法有33A 种；第⼆⾏队伍的排法有2种；第三⾏队伍的排法有1种；然后，第⼀⾏的每个位置的⼈员安排有111333C C C 种；第⼆⾏的每个位置的⼈员安排有111222C C C 种；第三⾏的每个位置的⼈员安排有111??种.所以来⾃同⼀班级的同学既不在同⼀⾏，也不在同⼀列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ==. 17. 【解析】（1）32π（6分）（2）38573（12分）18. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF ．因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，12EF AD =，由90BAD ABC ∠=∠=?得BC ∥AD ，⼜12BC AD =，所以EF BC ∥，四边形BCEF 是平⾏四边形，CE ∥BF ．⼜BF ?平⾯PAB ，CE ?平⾯PAB ，故CE ∥平⾯PAB ．（5分）（2）由已知得BA AD ⊥，以A 为坐标原点，AB 的⽅向为x 轴正⽅向，AB 为单位长，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,3P ，(1,0,3)PC =-，(1,0,0)AB =，设()(),,01M x y z x <<，则()1,,,(,1,3)BM x y z PM x y z =-=--，因为BM 与底⾯ABCD 所成的⾓为45°，⽽()0,0,1=n 是底⾯ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45BM =?n ，()21zx y z =-++，即()22210x y z -+-=．①⼜M 在棱PC 上，设PM PC λ=，则 ,1,33x y z λλ===-．②由①②解得21216x y z ?=+==-??(舍去)，21216x y z ?=-?=??=．所以26(1,1,)2M -，从⽽26(1,1,)2AM =-．（9分）设()000,,x y z =m 是平⾯ABM 的法向量，则0,0,AM AB ??=?? =m m 即0000(22)260,0,x y z x ?-++=??=?? 所以可取(0,6,2)=-m ．于是 10cos ,?==m n m n m n ，因此⼆⾯⾓M AB D --（12分）19. 【解析】（1）在圆E 中，令y ＝0可得x ＝3±，所以由题意可得c ＝3，由圆的⽅程可得圆的半径为47，所以由题意可得|PF 1|＝27，连接PF 2，因为F 2在圆上，所以PF 2⊥F 1F 2，⼜有|F 1F 2|＝2c ＝23，则|PF 2|＝,211244922121=-=-F F PF 由题意的定义可得：2a ＝|PF 1|+|PF 2|，可得a ＝2，b 2＝1，所以椭圆的⽅程为：42x +y2＝1；（4分）（2）Q （﹣2，2），设A （x ，y ），B （x '，y '），直线l 的⽅程：x ＝ty ﹣2（t +1），联⽴椭圆的⽅程整理得：（4+t 2）y 2﹣4t （t +1）y +4t （t +2）＝0∴038,0<<->?t ，y +y '＝2414t t t ++)(，yy '＝2424t t t ++)(，（6分）设点C （﹣c ，c ），由A ，C ，N 三点共线点：22-=--x yc c ，所以c ＝22-+-y x y ，（8分）则k 1k 2＝()()()()()22222222222222////////-+--=-++-=+-+-+-?+=+-?+y t y t yy y x x yy y x y y x yx y c c x y()()[]422++-+-=///y y yy t t yy ＝??+++-++?+++-441424242424222t t t t t t t t t t t )()()()(＝41-，所以k 1k 2为定值41-．（12分） 20. 【解析】（1）由频率分布直⽅图得指标值不⼩于85的产品中，[85k ∈，90)的频率为0.0850.4?=， [90k ∈，95)的频率为0.0450.2?=，[95k ∈，100]的频率为0.0250.1?=，∴利⽤分层抽样抽取的7件产品中，[85k ∈，90)的有4件，[90k ∈，95)的有2件，[95k ∈，100)的有1件，从这7件产品中，任取3件，质量指标值[90k ∈，95)的件数X 的所有可能取值为0，1，2，(0)7C P X C ===，1225374(1)7C C P X C ===，2125371(2)7C C P X C ===，（4分）()0127777E X =?+?+?=．（5分）（2）设事件A 的合格率为P （A ），则根据概率分布直⽅图得：⼀件产品为合格或合格以上等级的概率为1(0.040.02)50.7p =-+?=，∴事件A 发⽣的概率P （A ）973030703 33...=??=C ．（7分）（3）由频率分布直⽅图可得该产品的质量指标值k 与利润y （元)的关系与表所⽰(14)t <<，0.30.40.30.40.150.3 1.25t t y e t t t t e t =-++++=-+，(14)t <<，则0.3 1.25t y e '=-+，令0.3 1.250t y e '=-+=，解得256t ln =，∴当25(1,)6t ln ∈时，0y '>，函数0.3 1.25t y e =-+单调递增，当25(6t ln ∈，4)时，0y '<，函数0.3 1.25t y e t =-+，单调递减，（10分）∴当256t ln =时，y 取最⼤值2562532550.3 1.25(2523)0.561064ln e ln ln ln ln -+?=-?+?--=，∴⽣产该产品能够实现盈利，当251.46t ln ==时，每件产品的利润取得最⼤值为0.5元．（12分）21. 【解析】（Ⅰ）由题设可得定义域()0,x ∈+∞，()11kx f x k x x-'=-= 01当0k ≤，()1<恒成⽴，()f x 在()0,+∞上单调递减； 02当0k >，()11k x k f x k x x -'=-=， 10,x k ??∈，()0f x '<，故()f x 在10,k ??单调递减；1,x k ??∈+∞ ，()0f x '>，故()f x 在1,k ??+∞单调递增.（5分）（Ⅱ）⽅法⼀：()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则ln xk x=有两解，令()ln x g x x =，()21ln xg x x-'=， ()()()()0,e ,0,e,,0x g x x g x ''∈>∈+∞<，则()()max 1g x g e e==，()()120,,,x e x e ∈∈+∞，（7分）由题意可得，11ln 0..........(1)kx x -=22ln 0. (2)kx x -=1221211ln ln 1ln 1ln ek x e x x ek x ek x x -∴>?->-?+->⼜()()120,,,x e x e ∈∈+∞, 所以1ln 1,x <故121ek x e x ->转化为：只需证明2ln 11x ek +->,设()22ln 1F x x ek =+-（9分）由(2)式可得22ln x k x =，()22222ln ln 1ln 1x F x x ek x e x =+-=+-； ()2222221ln (1ln )1x x e x F x e x x x -+-'=+=，()()()22221ln ,x ,x x e x e ?=+-∈+∞， ()2210ex x ?'=->，(),x e ∈+∞恒成⽴，()()20,x e e ??∴>=>∴()20F x '>，故()F x 在(),e +∞上单调递增，()()211ln F x F e x >=>，即2212ln ln 1ln x x e x x +->，整理可得121ek xe x ->.（12分）⽅法⼆：由（1）知，()f x 有两个零点12,x x ，则0k >且1()1ln 0f k k=+<，得10k e<<，则1e k >，12x x <21x e k∴>>，⼜11ek e e k <<，（7分）且()()0ek ek ekf e ke ek k e e =-=-<，⼜1()0f x =，即1()()ekf e f x <，⼜()f x 在1(0,)k上单调递减，（9分）111(0,),(0,)ek e x k k ∈∈10ek x e ∴<<，⼜2x e >，121ek ek x ee x e-∴>=，所以原命题成⽴.（12分）22. 【解析】（1）将22(1)(1)3x y -++=改为222210x y x y +-+-=，化为极坐标⽅程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（4分）（2）将3θ=代⼊22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，（6分）以为211)480?=+=->，所以⽅程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C相交，公共弦的长为12ρρ-==（10分）23. 【解析】(1)当1=a 时，21++-=x x x f )(-≤--<<-≥+=212123112x x x x x ,,,（2分）令4≤)(x f ，解得2325-≤≤x ，即解集为：??∈23，25-x （5分）(2)当1-≥-++<<-++-≤-++=1121121212-21）1（-x a x a x a x a x a x a x f ),()(,)(),()(，（7分）)(x f 的图像与x 轴围城的三⾓形⾯积等于6，2-=∴a （10分）。
江西省南昌二中2020届高三数学第四次考试卷理科 人教版
江西省南昌二中2020届高三数学第四次考试卷理科考试时间：120分钟 试卷满分：150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率p n (k )=C kn P k (1―P )n ―k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．命题甲：“,,a b c 成等差数列”是命题乙：“2a c b b+=”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．的椭圆称为“优美椭圆”．设22221y x a b +=(a ＞b ＞0)为“优美椭圆”F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它短轴的一个端点，则∠ABF 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°3.设a>0，b>0，a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，则x 1+x 2与y 1+y 2的大小关系是（ ）A.x 1+x 2≤y 1+y 2B.x 1+x 2≥y 1+y 2C.x 1+x 2<y 1+y 2D.x 1+x 2>y 1+y 24．设5)(lim 1=→x f x ，而⎩⎨⎧>+≤-=)1(,4)1(,2)(2x bx x ax x f 则直线0=++c by ax 的斜率是 ( ) A ．7arctan B ．7tan arcc C ．)7arctan(- D ．)7tan(-arcc5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．566．已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为（ ）A ．25B ．50C ．100D ．不存在7.设),(a -∞为221)(--=x x x f 反函数的一个单调递增区间,则实数a 的取值范围为( ) A. 2≤a B. 2≥a C. 2-≤a D. 2-≥a８．设x x x f sin )(=,若1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx 且)()(21x f x f >， 则下列不等式必定成立的是（ ）A ．2221x x >B ．021>+x xC ．21x x >D ．21x x <９．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有（ ）A ． 6种B ．5种C ．4种D ．3种10．一个动圆圆心在x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点（ ）A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，－2）11. 锐角△ABC 中，若A=2B ，则ba 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（1，3 ） C ．（2,2 ） D ．（,23 ）12．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x, y, 5, 6, 4，已知这组数据的平均数为5，方差为2，则||x y -的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分．把答案填在题中横线上．1３．已知向量k 与且),5,(),0,2(==的夹角为π43，则实数k 的值为 ．14．设命题P ：不等式a x x >++1的解集为R ；Q ：方程01612=++ax x 有两个不等负实根；，若P 或Q 为真，P 且Q 为假，则实数a 的取值范围为__________．15. 设n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++Λ,则=++++n a a a a 2420Λ .16．由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列21，41，81，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为71，则此子数列的通项公式为__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 已知函数x x x f cos 26sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=π. （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，求函数)(x f 的值域. ； （3）求函数)(x f y =的对称中心．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）对于点集A={(x ，y)|x=m,y=－3m+2，m ∈N *},B={(x,y)|x=n,y=a(n 2－n+1),n ∈N *}，是否存在这样的非零整数a ，使A ∩B ≠φ？若存在，求出a 的值集，若不存在说明理由．20．（本小题满分12分）已知当x ≥1时，不等式x ln x ≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 有a a =1，p a =2（常数0>p ），对任意的正整数n ，n n a a a S +++=Λ21，并有n S 满足2)(1a a n S n n -=． （1）求a 的值；（2）试确定数列{}n a 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）令2112+++++=n n n n n S S S S p ，n T 是数列{}n p 的前n 项和，求证：23n T n -<．在y 轴的负半轴上任取一点A (0,m),过点A 作抛物线2y ax = (0)a >的切线，切点为C ，交X 轴于点B,F 为抛物线的焦点．(1)证明点B 为线段AC 的中点； (2)是否存在实数FAFC AC λμλμ⋅u u u r u u u u r u u u r 、使得（＋）＝0.[参考答案]一、选择题：ACBCC ACCBB DD二、填空题：13.-5; 14. 21≤a 或1≥a ；15．);13(21+n ；16.n ⎪⎭⎫ ⎝⎛81. 三、解答题17．（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππΘ， x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x cos sin 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ππ≤≤x 2Θ， 6563πππ≤-≤∴x ，16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.（3）由ππk x =-6，得ππk x +=6，所以对称中心为)0,6(ππk +（k )Z ∈. 18．解：（1）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ．因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．1)0(==∴ξP ，4)1(==ξP ，2)2(==ξP ．则随机变量ξ的分布列为： 因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 19．解：由⎩⎨⎧+-=+-=)1(232x x a y x y 02)3(2=+-+⇒x a ax 09230)2(4)3(22≤--⇒≥---=∆⇒a a a a a,37213721+≤≤-⇒a 又,+∈N a 1-=∴a ，或1=a ,或.2=a 当1-=a 时,1=x +∈N 或3=x +∈N , 当1=a 时,,21+∉±=N x当2=a 时,+∉=N x 0 或+∉-=N x 21，.1-=∴a 20．解：设[).,1),1(ln )(+∞∈--=x x k x x x f 当.1ln )(,),1(k x x f x -+='+∞∈时（i ）当k ≤1时，[)+∞>',1)(,0)(在函数x f x f 单调递增.因为f (1) = 0，所以当x ≥1时，f (x )≥0，即x ln x ≥k (x －1)（ii ）当k ＞1时，由f ′(x ) = 0，得ln x = k －1，即x = e k －1.当111,0)1(,)(,0)(,),1(--<<=<'∈k k e x f x f x f ex 则且单调递减时时，f (x )<0，即)1(ln -<x k x x ，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(].1,∞-21. 解：（1）021111=-==a a a S ，即0=a （2）()2111----=-=n n n n n a n na S S a 121---=⇒n n a n n a ()p n a n n n n 112233432212-=⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--=Λ ∴{}n a 是一个以0为首项，p 为公差的等差数列。
2020年江西省南昌二中高考(理科)数学第一次模拟测试试卷 含解析
2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜14．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜16．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18B．17C．16D．159．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4B．5C．6D．710．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B．C．D．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝二、填空题13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝；该段曲线的函数解析式是．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值为．三、解答题：共70分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22-23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B＝B D．A∪B＝B【分析】先求出集合A，从而找出正确选项．解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A＝{y|y≥﹣1}，又B＝{x|x≥2}∴A∩B＝{x|x≥2}＝B．故选：C．2．已知复数z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，则＝（）A．8﹣6i B．8+6i C．﹣8+6i D．﹣8﹣6i【分析】把z1＝6﹣8i，z2＝﹣i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，∴＝．故选：B．3．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a＝﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．4．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）【分析】题目要写出与的终边相同的角，只要在该角基础上加2π的整数倍即可，但角度值和弧度制不能混用．解：与的终边相同的角可以写成2kπ+π（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．故选：C．5．已知函数y＝log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x＝1时log a（x+c）＝log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x＝0时log a（x+c）＝log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．6．已知函数f（x）＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）＝，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．故选：A．8．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18B．17C．16D．15【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案．解：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25＝17．故选：B．9．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：作出x，y满足约束条件，对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，0），此时z max＝3×2+2×0＝6，故选：C．10．斜率为1的直线l与椭圆+y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．解：设直线l的方程为y＝x+t，代入+y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝4×≤．故选：C．11．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，0）B．（﹣5，0）C．[﹣3，0）D．（﹣3，0）【分析】由题意，求导f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围．解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，在（﹣2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2﹣＝﹣得，x＝0或x＝﹣3；则结合图象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故选：C．12．记M的最大值和最小值分别为M max和M min．若平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2．则（）A．||max＝B．||max＝C．||min＝D．||min＝【分析】由条件可设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），由向量的坐标表示可得C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，运用最大值为d+r，最小值为d﹣r，计算可得所求．解：平面向量，，满足||＝||＝•＝•（+2﹣2）＝2，由•＝2×2cos＜，＞＝2，可得cos＜，＞＝，sin＜，＞＝，设＝＝（2，0），＝（1，），＝＝（x，y），可得（x，y）•（4﹣2x，2﹣2y）＝2，即为x（4﹣2x）+y（2﹣2y）＝2，化为x2+y2﹣2x﹣y+1＝0，则C在以圆心P（1，），半径r＝的圆上运动，且|﹣|表示点A与点C的距离，显然最大值为|AC|+r＝+＝；最小值为|AC|﹣r＝﹣＝；且|+|表示点D（﹣2，0）与点C的距离，显然最大值为|DC|+r＝+＝；最小值为|DC|﹣r＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，某地一天从6﹣14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b，则b ＝20；该段曲线的函数解析式是y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．．【分析】通过函数的图象，求出A，b，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（10，20）求出φ，得到函数的解析式．解：由题意以及函数的图象可知，A＝10，b＝20，T＝2（14﹣6）＝16，所以ω＝＝，函数经过（10，20）所以20＝10sin（×10+φ）+20，所以φ＝，所以函数的解析式：y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．故答案为：20；y＝10sin（x+）+20，x∈[6，14]．14．设a∈R，若函数y＝e x+ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是{a|a＜﹣1}．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．解：∵y＝e x+ax，∴y'＝e x+a．由题意知e x+a＝0有大于0的实根，由e x＝﹣a，得a＝﹣e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＜﹣1．故答案为：{a|a＜﹣1}．15．已知P（1，1）为椭圆+＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为x+2y﹣3＝0．【分析】设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），代入椭圆方程，作差，即可求得直线的斜率，求得的直线方程；解：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则两式相减得+＝0．∵x1+x2＝2，y1+y2＝2，∴x1﹣x2+2（y1﹣y2）＝0，x+2y﹣3＝0故答案为：x+2y﹣3＝0．16．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则（+）•的最小值为﹣．【分析】根据图形知：O是线段AB的中点，所以+＝2，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出．【解答】解∵圆心O是直径AB的中点，∴+＝2，∴（+）•＝2•，∵||+||＝3≥2，∴||•||≤，即（+）•＝2•＝﹣2||•||≥﹣，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为﹣．故答案为：﹣．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值2．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）．【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，即可求得函数解析式；（2）用五点法即可作函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期上的图象．解：（1）因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω＝2．又因为当x＝时，f（x）取得最大值2．所以A＝2，同时2×+φ＝2kπ+，k∈Z，φ＝2kπ+，k∈Z，因为﹣＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）因为x∈[0，π]，所以2x+∈[，]，列表如下：2x+π2πx0πf（x）120﹣201描点、连线得图象：18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，∴AB∥EF，又∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，∵BC⊥BD，FG∥BC，∴FG⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，FG⊂平面BCD，∴FG⊥平面ABD，∵AD⊂平面ABD，∴FG⊥AD，∵AD⊥EF，且EF∩FG＝F，∴AD⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴AD⊥EG，∵EG∥AC，∴AD⊥AC．19．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可；（2）X的可能取值为：200，300，400；求出对应的概率，得到分布列，然后计算数学期望值．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）＝＝＝；（2）X的可能取值为200，300，400，P（X＝200）＝＝＝，P（X＝300）＝＝＝，P（X＝400）＝1﹣P（X＝200）﹣P（X＝300）＝1﹣﹣＝；所以X的分布列为：X200300 400P数学期望为EX＝200×+300×+400×＝350．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2＝3，即可得到椭圆方程．解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc＝0，则原点到直线的距离为d＝＝c，即为a＝2b，e＝＝＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2＝4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|＝，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y＝k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝．x1x2＝，由M为AB的中点，可得x1+x2＝﹣4，得＝﹣4，解得k＝，从而x1x2＝8﹣2b2，于是|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝＝，解得b2＝3，则有椭圆E的方程为+＝1．21．已知函数的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3和0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），根据y＝f'（x）的两个零点﹣3和0以及a的符号，即可解得不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，从而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）及所给已知条件可求出f（x），再利用导数即可求得函数f（x）在闭区间上的最大值；解：（Ⅰ），令g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c，因为e x＞0，所以y＝f'（x）的零点就是g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．又因为a＞0，所以﹣3＜x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，当x＜﹣3，或x＞0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x＝﹣3是f（x）的极小值点，所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以．∵f（x）的单调增区间是（﹣3，0），单调减区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），∴f（0）＝5为函数f（x）的极大值，∴f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值取f（﹣5）和f（0）中的最大者．而＞5，所以函数f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最大值是5e5．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，C2：ρ＝2cosθ．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C1：ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，转换为直角坐标方程为．所以该曲线为直线．曲线C2：ρ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0．所以该曲线为以（1，0）为圆心，1为半径的圆．（2）首先把x2+y2﹣2x＝0转换为（x﹣1）2+y2＝1，利用点（1，0）到直线的距离d＝，则说明圆心在直线上，所以|AB|＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣p|．（I）当p＝2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（II）若f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），（m＞0，n＞1），求证：m+2n≥11．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）表示出x的范围，得到关于p的方程组，求出p的值，得到，根据乘“1”法证明即可．解：（I）当p＝2时，不等式化为|x﹣2|+|x﹣1|≥4∵∴不等式的解集为（II）根据f（x）≥1得|x﹣p|≥1⇒x≤p﹣1或x≥p+1，∵f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[2，+∞），故，所以，∵m＞0，n＞0，∴，当且仅当m＝3，n＝4时取等号，∴m+2n≥11．。
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当a=0时,则 ,其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项是正确的．
本题选择C选项.
6．D
【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．
【详解】
∵非零向量 ， 满足 ，
物理题
数学题
总计
男同学
女同学
总计
（1）在犯错误的概率不超过 的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？
（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为 分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为 分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；
（3）现从选择做物理题的 名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
∴平方得 ，即 ，
A． B． C． D．
12．已知 上的奇函数 满足 ，则不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知抛物线 的焦点为 是抛物线上一点，过点 向抛物线 的准线引垂线，垂足为 ，若 为等边三角形，则 ______．
14．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数 ，其中 的各位数字中， ， ，3，4， 出现0的概率为 ，出现1的概率为 ，则启动一次出现的数字 中恰有两个0的概率为__．
2．D
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算及虚数单位 的运算性质化简，求出 的坐标得答案．
【详解】
，
在复平面内对应点的坐标为 ，
在第四象限．
故选：D．
【点评】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．A
【解析】
本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识．
充分性：由均值不等式 ；必要性：取 ，显然得不到 ．故“ ”是“ ”的充分不必要条件，选A．
（1）求 的方程；
（2）直线 交 于 ， 两点，且 .已知 上存在点 ，使得 是以 为顶角的等腰直角三角形，若 在直线 的右下方，求 的值.
20．华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取 名同学（男同学 名，女同学 名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作斜率为 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ，则双曲线的离心率为（）
A．2B． C． D．
11．下图是棱长为2的正方体 木块的直观图，其中 分别是 ， ， 的中点，平面 过点 且平行于平面 ，则该木块在平面 内的正投影面积是（）
附表及公式
21．已知函数 ．
（1）讨论 的单-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知点 ，直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与曲线 的交点为 ，求 的面积.
23．已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
根据补集的运算，求得 或 ，再结合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，全集 ，集合 ，
可得 或 ，
又由集合 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
4．C
【分析】
由对称轴为 可知 为最大值或最小值，即可求解.
【详解】
∵ ，
且函数 的图象的一条对称轴为 ，
∴当 时， 取最大值或最小值，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.
5．C
【解析】
当a<0时,如取a=−4,则 其定义域为：{x|x≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；
6．若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角为( )
A． B． C． D．
7．不等式组 表示的平面区域的面积是9，则m的值是（）
A．8B．6C．4D．1
8．设 是等差数列 的前 项和，存在 且 时,有 ， ，则 （）
A．8B． C．17D．16
9．如图，点 在以 为直径的圆上，且满足 ，圆内的弧线是以 为圆心， 为半径的圆的一部分.记 三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ.在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为 ， ，则（ ）
（2）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，求 边上的高的最大值．
18．如图，多面体 中，四边形 为矩形，二面角 为 ， ， ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2） 为线段 上的点，当 时，求二面角 的余弦值.
19．已知椭圆 ( )的离心率为 ，以 的短轴为直径的圆与直线 相切.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知实数 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若函数 的图象的一条对称轴为 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．下列图象可以作为函数 的图象的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）校测试题（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，复数 在复平面内所对应的点位于（）
15．若数列 满足 ，且 ，若使不等式 成立的 有且只有三项，则 的取值范围为__．
16．已知函数 ，方程 在 ， 上只有4个不同实根 ， ， ， ．给出下列结论：① 的最小正周期为 ；② 在 上的值域为 ；③若 ，则 ；④ ，则 ．其中正确结论的序号为__．
三、解答题
17．已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递增区间；