2015-2016-1《高等数学A1》期末总练习--参考答案

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东莞数学 (高一数学A卷)2015-2016学年度第一学期期末质量检查参考答案

2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（A 卷组题）考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=（其中S 为底面面积，h 为高），球的表面积公式24R S =（其中R 为球的半径）.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，设集合{2,4,5}A =，集合{1,2,3,4}B =，则()U C A B = A．{2,4}B．{1,3}C．{1,3,6,7}D．{1,3,5,6,7}2．下列图形中，不可作为．．．．函数()y f x =图象的是3．设{}A x x =是锐角，()0,1B =，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素030相对应的B 中的元素是 A.32B.22C.12D.334.直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于A．3B．33-C．33-或3D．33-或335．下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行；②平行于同一直线的两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两条直线相互平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有A．4个 B.3个 C.2个 D.1个6．在平面直角坐标系内，一束光线从点(3,5)A -出发，被x 轴反射后到达点(2,7)B ，则这束光线从A 到B 所经过的路程为A．12B．13C．41D．5362+7.下列不等关系正确的是XY OXY OXYOXY OA B C DA．43log 3log 4<B．1132log 3log 3<C．113233<D．1233log 2<8．一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为A．82πB．8πC．42πD．4π9.已知b a ,为异面直线，α平面⊂a ，β平面⊂b ，m =⋂βα，则直线mA．与b a ,都相交B．至多与b a ,中的一条相交C．与b a ,都不相交D．至少与b a ,中的一条相交10．如图，Rt A O B '''∆是AOB ∆的直观图，且A O B '''∆为面积为1，则AOB ∆中最长的边长为A.22B.23C.1D.211．已知圆9)3()1(:221=-++y x O ，圆01124:222=-+-+y x y x O ，则这两个圆的公共弦长为（）A．524B．512C．59D．5112．已知0a >且1a ≠，函数()234,0(),0xa x a x f x a x ⎧-+-≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有0)()(1212>--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是A．()1,2B．523⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．1lglg 254-=.14．一条线段的两个端点的坐标分别为()5,1、(),1m ，若这条线段被直线20x y -=所平分，则m =．15．右图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为．16.已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下图表示：给出下列四个命题：B''A 'O 'x 'y '①方程0)]([=xgf有且仅有6个根；②方程0)]([=xfg有且仅有3个根；③方程0)]([=xff有且仅有5个根；④方程0)]([=xgg有且仅有4个根；其中正确命题的是__________(注：把你认为是正确的序号都填上).三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合}12|{>-≤=xxxA或关于x的不等式)(222Raxxa∈>+的解集为B，（1）当1=a时，求解集B；（2）如果A B B=，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为(0,0)A，(2,1)B-，(4,2)C．（1）求直线CD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，045ADC∠=，1AD AC==，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，2PO=，M为PD中点．（1）证明：AD⊥平面PAC；（2）求三棱锥M ACD-的体积．ABCDyxD CA BPMO20．（本小题满分12分）经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关．开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散．用)(x f 表示学生的注意力，x 表示授课时间（单位：分），实验结果表明)(x f 与x 有如下的关系：59,(010)()59,(1016)3107(1630)x x f x x x x +<≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩，.（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长的时间？（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？设3)4()(2+++=x m mx x f .（1）试确定m 的值，使得)(x f 有两个零点，且)(x f 的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若1m =-时，在[]0,λ（λ为正常数）上存在x 使0)(>-a x f 成立，求a 的取值范围.定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数M ，都有()f x M ≥成立，则称)(x f 是D 上的有下界函数，其中M 称为函数)(x f 的一个下界.已知函数()()0x xe af x a a e=+>.（1）若函数)(x f 为偶函数，求a 的值；（2）求函数)(x f 在[ln ,)a +∞上所有下界构成的集合.2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（A 卷组题）参考答案一、选择题：BCAC CBAB DBAD二、填空题：13．-214．1-15．)7212(+16．①③④三、解答题：17.解：（1）因为x y 2=是增函数，所以xx x x212221>+⇔>+…………………2分解得1<x …………………3分于是解集)1,(-∞=B …………………4分（2）因为xy 2=是增函数，所以xx a x xa 2222>+⇔>+……………………5分所以(,)B a =-∞.……………………6分因为,A B B = 所以B A ⊆，……………………8分所以2a -≤，即a 的取值范围是(],2.-∞-……………………10分（注：分，扣的范围是1)2,(--∞a ）18.解：（1）由题知AB 和CD 的斜率相等……………………………2分所以，101202CD AB k k --===--……………………………4分∴直线CD 方程：()1242y x -=--，即280x y +-=………………6分（2）(0,0)A 到直线CD 的距离22885512d -==+……………………8分22(02)[0(1)]5CD AB ==-+--=…………………………10分∴平行四边形ABCD 的面积85585ABCD S CD d ===………………12分19.解：（1）证明：∵45ADC ∠=︒，且AD=AC=1，∴90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，……………………………2分又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PO AD ⊥，……………4分AC PO O ⋂=，AC PAC ⊂面，PO PAC⊂面∴AD ⊥平面PAC 。

《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷C)及参考答案

《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ．当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ．当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2．由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−，所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫，所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ．当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ．当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+−  ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+−  ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫，故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析方法一由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+．方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫，则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+，当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫．第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．证设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−．于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<．故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。

2015-2016高等数学(上)期末试题A卷解答与评分标准

2x 3 x 1 x 1
2
x 1 x 1 2! 2 2! 1 2 因为 f x 2 ， f x 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 13 1 2 n 所以 f n x 1 n ! n 2 , 3 , n 1 n 1 x 1 x 1 10 因此 f 0 10!
1 x 2 x 1 arctan x x ln 1 x 2 C 2
（4 分）（6 分）

2、
x2
1 x
3 2 2
dx
（1 分）（2 分）
解设 x tan x x2 tan2 t sin 2 t 2 dx sec tdt dt 3 cost sec3 t 2 2 1 x
共6页西北工业大学命题专用纸
第3页
四、计算题（每小题 6 分，共 18 分） 1、 2 x 1 arctan x dx 解原式 x 2 x arctanx

x2 x 1 x2
dx
（3 分）
1 x xx 1 arctanx 1 dx 2 1 x2 1 x

由条件知 lima cos x b a b 0
x 0
（2 分）
所以 lim
x 0
a cos x b a sin x a sin x a lim lim 1 x2 3 2 x 0 x 0 2x 2 x 2 ln 1 x 2 1 x
（7 分）
所以，向量 c 是向量 a 和向量 b 的角平分向量。

（8 分）

本科2015-2016-1高数A1期末试题A卷

浙江水利水电学院2015－2016学年第一学期期末考试试题 A 卷考试科目：高等数学A 考试时间: 120 分钟试卷总分： 100 分考试方式：闭卷考生学院：一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分,共18分） 1．设函数)(x f y =在点0x x =处可导,则000(3)()limh f x h f x h h→+--= ( ）（A ）'0()f x （B)'04()f x （C ）'0()f x - (D ） '03()f x2. 若()f u 可导，且()3ln y f x =，则d d yx= ( ) (A) ()3ln f x '； (B ） ()233ln ln x f x '；(C ）()233ln ln x f x x '⎡⎤⎣⎦；（D) ()233ln ln x f x x'。

3。

2cos d limx x t t t x→=⎰ ( ）(A) 0 （ B ）1 （C)12(D) 134。

曲线 322313y x x x =--+ 的凸区间是 ( ) (A） 1(,)2-∞ （B ）1(,)2-∞- (C ）1(,)2+∞ （D) 11(,)22-5。

下列反常积分收收敛的是（） (A)31d xe x +∞-⎰（B ）4x +∞⎰(C) 11d 1x x+∞+⎰（D） 11d ln x x x+∞⎰（A)ln (ln )d (ln )x f x x F x C ⋅=+⎰ （B ）(2)d (2)x f x x F x C ⋅=+⎰(C ）f x F C =+⎰ (D) sin (cos )d (cos )x f x x F x C ⋅=+⎰二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分，共18分）1．x =⎰；2．320y y y '''-+=的通解为； 3。

设()2cos xy x =+，则d d yx= ;4．定积分(211d =x x -⎰；5．由方程 21=0ye x y x +-- 所确定的隐函数()y y x =的导数值dyx dx == ____; 6。

高等数学期末15-16-A1-A卷答案

河南工程学院 2015 至 2016 学年第 1 学期高等数学A1 试卷 A 卷（答案与评分标准）考试方式：闭卷本试卷考试分数占学生总评成绩的 70%一、单选题（本题18分，每小题3分）1. C2. B3. A4. C5. C6. B二、填空题（本题18分，每小题3分）1. 1x =，2x = 或1，22. 2e3. 14. -15. cos x6. 12x x C e C e -+三、计算题（本题48分，每小题6分）1.2222220011sin lim()lim sin sin x x x x x xx x →→--= ....................................2分 224300sin 2sin 2lim lim 4x x x x x x x x →→--==....................................2分 222001(2)1cos 212lim lim 663x x x x x x →→-===....................................2分2.00x x →→=...........2分 0x →=....................................2分 1=......................................................2分3.y''=........................................2分2)x'=-..................................2分=.......................................2分4.2ln ln ln ln()x x x xf x x e e=== ..........................................2分2ln1()2lnxf x e xx'∴=⋅⋅ ........................................2分ln2lnxx xx⋅= ..............................2分或者ln()ln()ln lnxf x x f x x x=⇒= .....................2分两者都对x求导12()ln()f x xf x x'= .......................................2分lnln()2xxf x xx'∴=⋅ ..........................................2分5.2()2sin22cos2f x x x x x'=+ ................................2分22()2(sin22cos2)2(2cos22sin2)(24)sin28cos2f x x x x x x x xx x x x''=++-=-+....................2分()4f x''=-π ...........................2分6.11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ................3分lnln x C=+ .....................................................3分或11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ...........................................2分令ln x t =11ln ln d x dt x t =⎰⎰ln t C =+ ..........................................2分lnln x C =+ ..................................................2分 7.111000arctan arctan arctan xdx x x xd x =-⎰⎰ .......2分 12041x dx xπ=-+⎰ 122011(1)421d x x π=-++⎰ ......................................2分 1201ln(1)42x π=-+ 1ln 242π=-………………………………………………2分 8.法1 常数变量法设齐次方程为0dy y dx += ...................2分求解得x y Ce -=设非齐次方程的解为()x y C x e -= .........................................2分代入原方程求得()C x x C =+∴原方程的通解为()x y x C e -=+ ..........................................2分法2 公式法()1P x = ()x Q x e -= ...............................2分求()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ ..................................2分 ()x e C x -=+ .......................................2分四、讨论题（本题8分）...............................................................................2分 101p dx x =⎰11011p x p --ln x1p ≠0p =①当10p ->即1p <时10111p dx x p=-⎰ 收敛...............................................2分 ②当10p -= 即1p =时11001ln pdx x x ==∞⎰发散.........................................2分 ③当10p -<即1p >时101p dx x =∞⎰ 发散..........................................2分五、综合题（本题8分）。

历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案

2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰---=211010),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰⎰⎰---=111010),,(y x x dz z y x f dy dx I ；C 、 ⎰⎰⎰--=11110),,(yx dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰⎰⎰--=11010),,(yx x dz z y x f dy dx I .2、设y e x u 2=，则=du （ A ）A. dy e x dx xe y y 22+；B. dy e xdx y +2；C. dy xe dx e x y y 22+；D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dxdyx= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）(A) ⎰⎰∑++2Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(B) ⎰⎰∑++3Rdxdy Qdzdx Pdydz ；(C)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑21 ；(D)Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑31 .5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）A 、x axe 3-；B 、x e b ax 3)(-+；C 、x e b ax x 3)(-+；D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 22yx xyu +=的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑+∞=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞=-121)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）A. x x e C e C y --=21；B. 221x xe C e C y --=； C. 221x xe C eC y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.解：特征方程0)1)(12(122=+-=-+r r r r ，11-=r ，212=r ，通解为221xx e C e C y -=-.选（C ）.9、设⎰⎰+=Ddxdy y x I 21)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，则1I 与2I 的大小关系是（ A ）A 、21I I <；B 、21I I =；C 、21I I >；D 、21I I ≥. 10、积分 0 0adx ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为（ B ）A 、⎰⎰40csc 02πθθa dr r d ；B 、⎰⎰40sec 02πθθa dr r d ；C 、⎰⎰20tan 02πθθa dr r d ；D 、⎰⎰40sec 0πθθa rdr d .二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(x S ，则=)5(πS 2π. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂xzy y z x0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e Ly x ||||e 24.5、若曲线积分⎰---=Ldy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。

2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案

2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是（ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是（ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为（ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范（ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是（ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是（ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像（ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为（ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间（ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称；其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求（1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分）解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分）解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分）解：（1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分）解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。

武汉大学2015-2016第一学期高等数学A1期末试题A解答

武汉大学2015-2016第一学期高等数学A1期末试题A 解答一、计算题（每小题7分，共63分）1、若()f x 在点1x =可导，且(1)1f '=，计算 20151()(1)lim1x f x f x →-- 解 20152014201311()(1)()(1)limlim 1(1)(1)x x f x f f x f x x x x x →→--==--++++120157分或 201520152014111()(1)()(1)111limlim (1)lim 1(1)120152015x x x f x f f x f x f x x x x →→→---'===--- 2、计算极限 11lim().nn n n e →∞+解：7分或 x 0x 011ln()limlim 21x 0lim()xxxe x e x e x x x x e eee →→+++→+=== 所以121lim()nn nn e e →∞+=3、已知()F x 是()f x 的一个原函数，满足()()xF x f x xe =，()0,(0)1F x F >=，求()f x ．解：对()()xF x f x xe =两边积分得()()x F x f x dx xe dx =⎰⎰，即()()x xF x dF x xe e c =-+⎰，()21()2xx F x xe e c =-+，又(0)1F =代入上式得32c = 注意到()0F x >，解得()F x =，所以()()x x xe f x F x ==或()()xf x F x '==分4、设函数(x y y =是由方程2e 22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.解 ()22e e0xyxyx yy y y y xy '''+--+=将点()2,0代入得()403y '=423y x =+ (4360)x y -+=或7分5、计算定积分1dx -⎰解：原式=102⎰12016ln(2016ln(1x ⎡⎤==⎣⎦ 7分 6、设2, 01(), 120, ther x x f x x x o ⎧≤<⎪=≤<⎨⎪⎩，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式。

《高等数学一》期末复习题及答案

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题 1、极限2lim()xxxx 的结果是（ C ）（A）0 （B）（C） 12 （D）不存在 2、方程3310xx在区间(0,1)内（ B ）（A）无实根（B）有唯一实根（C）有两个实根（D）有三个实根 3、)(xf是连续函数, 则 dxxf)(是)(xf的（ C ）（A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sinxxy和直线0y所围的面积是（ C ）（A）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) 5、微分方程2xy满足初始条件2|0xy的特解是 ( D ) （A）3x （B）331x （C）23x （D）2313x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(lnxx (B) )0(1lnxx (C) cos (0)xx (D) )2(422xxx 7、极限011lim(sinsin)xxxxx 的结果是（ C ）（A）0 （B） 1 （C） 1 （D）不存在 8、函数arctanxyex在区间1,1上（ A ）（A）单调增加（B）单调减小（C）无最大值（D）无最小值 9、不定积分 dxxx12= （ D ） (A)2arctanxC (B)2ln(1)xC (C)1arctan2xC (D) 21ln(1)2xC 10、由曲线)10(xeyx和直线0y所围的面积是（ A ）（A）1e (B) 1 (C) 2 (D) e
8、设sin1,yxx则()2f 1 9、 11(cos1)xxdx 2 10、 231dxx 3arctanxC 11、微分方程ydyxdx的通解为 22yxC 12、1415xdx 2 13、 sin2limxxxx 1 14、设2cosyx，则dy 22sinxxdx 15、设cos3,yxx则()f -1 16、不定积分xxdee Cx2e21 17、微分方程2xye的通解为 212xyeC 22222222222111120,201122xxxxxxxdyyyeyedyedxdxydyedxeCyyxyCeyey代入上式可得到所求的特解为或者 18、微分方程xyln的通解是 xyeC 19、xxx3)21(lim＝ 6e 20、,xyxy设函数则(ln1)xxx 21、)21(lim222nnnnn的值是 12

本科2015-2016-1高数A1期末试题A卷

考试科目：高等数学A 考试时间： 120 分钟试卷总分: 100 分一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则000(3)()limh f x h f x h h→+--= ( )（A ）'0()f x （B ）'04()f x （C ）'0()f x - (D) '03()f x2. 若()f u 可导，且()3ln y f x =，则d d yx= ( ) (A) ()3ln f x '； (B) ()233ln ln x f x '；(C)()233ln ln x f x x '⎡⎤⎣⎦； (D) ()233ln ln x f x x'. 3.2cos d limx x t t t x →=⎰ （）(A) 0 ( B)1 (C)12(D) 134. 曲线 322313y x x x =--+ 的凸区间是（） (A) 1(,)2-∞ (B)1(,)2-∞- (C)1(,)2+∞(D) 11(,)22-5. 下列反常积分收收敛的是（） (A)31d xe x +∞-⎰(B) 4x +∞⎰(C) 11d 1x x +∞+⎰ (D) 11d ln x x x +∞⎰6. 设()f x 连续，且()d ()f x x F x C =+⎰，则下面正确的是（）(A) ln (ln )d (ln )x f x x F x C ⋅=+⎰ (B)(2)d (2)x f x x F x C ⋅=+⎰(C) f x F C =+ (D) sin (cos )d (cos )x f x x F x C ⋅=+⎰二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1．x =⎰；2．320y y y '''-+=的通解为；3.设()2cos xy x =+，则d d y x= ；4．定积分(211d =x x -⎰；5．由方程 21=0ye x y x +-- 所确定的隐函数()y y x =的导数值0dyx dx == ____；6.方程256(35)xy y y x e '''-+=- 的特解形式为 *y = .三、试解下列各题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分） 1．求极限: 20cos sin limsin x x x xx x→-；2．求不定积分2arctan d x x x ⎰；3．计算定积分220sin cos d x x x π⋅⎰；4. 计算定积分41x ⎰；5．求函数23ln y x x =-的单调区间与极值；6．求微分方程 223(1)22(1)x y xy x x '+-=+ 的通解；7．求微分方程3sin d cos d 0x y x e y y -= 的通解.四、应用题（本大题共3个小题，第 1,2小题各5分，第3 小题6 分，共16分） 1．求曲线x y e =，x y e -=与直线2x =所围成的图形的面积.2. 计算曲线3223y x =上相应于38x ≤≤的一段弧长.3．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各为10m 和6m, 高为20m 。

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两边积分 y x3 3 x C2 ；利用 y x0 1 得 C2 1,
因而所求特解 y x3 3 x 1
27．解：由 y x2 ax b 得， y 2 x a
方程 2y xy3 1两边对 x 求导，得 2y y3 3xy2 y,
将 x 1, y 1代入得 y( 1 ) 1 ,
1 )dx x 1
1 4
1 x2 1
d
(x2
1)
1 [[ln x 1 ln x 1 ln | x2 1|] C 4
30. 解：设 t 4x 3, 则 x t2 3 , dx 1 tdt,
4
2
3 2
dx
3
=
0 (2x 3) 4x 3 3
1 tdt
(t2
2 3
3)t
3 3
x2
dx
17．解：由方程 e y sin( x y) 1两边求导得
e y dy cos( x y)(1 dy ) 0
(1)
dx
dx
将方程（1）两边再求导得
e y dy dx
2
ey
d2 y dx 2
s
i
nx(
y)1
dy dx
2
c
o
sx(
y)
d2 y dx 2
0
(2)
将 x 0, y 0 代入方程（1）得 dy dx
据题意得， a b 1 1 及 2 a 1 ，故 a 3, b 3
28．解一： lim
(e sin x t2
0
1)dt
lim
(esin2 x
1) cos
x
lim
(esin2 x
1)
lim sin2
x
2
x0 x sin x
x0 1 cos x
x0 1 cos x x0 1 x2
2
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y
1
tan x x
取对数得： ln y
1
lntan x
x
两边微分得： d(ln y) d 1 lntan x
x
1 dy y
d
1 lnt x
a
nx
1d( x
l
n
txa)n
lnt a x2
nx
s x
e 2cx t a nx
dx
1 2x csc 2x lnt a nx
dy ( t a nx) x
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0 不是特征根，故设原方程特解 y* ax b
代入原方程得， a 1, b 1，即 y* x 1
原方程的通解为 y C1ex C2e3x 1 x ， y C1ex 3C2e3x 1 ，
由 y(0) 0,
y(0) 4 得
C1
=
1 2
，
C2
3， 2
所求的特解为 y 1 ex 3 e3x 1 x 22
h0
h
h0 h
f (x2)
f (x2) x2
lim
x0
x(e2 x
1)
lxim0
x2
x(e2x 1)
f (x2)
x2
= lim x0
x2
lim
x0
x(e2 x
1)
f
(0)
lim
x0
x2 2x2
1a 2
20．解：
y
2x x2 1
2 1 x2
y
， x2 1 2
令y 0 得x1,2 1 ；
dx
C
]
=
1 x2 [
arccos xdx C ]
=
1 x2
[
x arccos
x
x 1 x2
dx C ]
1 x2
[ x arccos
x
1 x2 C ]
32. 解：对应的齐次方程的特征方程为
r2 2 r 3 0 , 解得 r1 1, r2 3, 对应的齐次方程的通解为 Y C1ex C2e3x
39．解：原式 lim ex ex 2 lim ex ex lim ex ex 2 x0 1 cos x x0 sin x x0 cos x
33．解：原式
lim
x sin
2
lim(1
1
2x) x
0 e2
e2
x0
x x0
34．解：原式 1 2
arctan xdx2 1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1 x 1 arctan x C
2
22
1
35．解：
2 ex 1 x2 dx
10．解： y 2x ln 2 f (2x )
y 2x ln2 2 f (2x ) 22x ln2 2 f (2x ) 2x ln2 2[ f (2x ) 2x f (2x )] 11．解：方程两边取对数，得 y ln x x ln y
从而有 ln xdy y dx ln ydx x dy
1 ， 2
故所求的切线方程为 y ln2 2( x ) ，即 2 y 4x 2ln2 0 4
法线方程为 y ln2 1 ( x ) ，即 8y 4x 8ln2 0 24
19．解：由题知， f (0) lim f (0 h) f (0) lim f (h) a
3．解： lim x0
f
(x)
lim x arctan x0
1 x
0
f
(0) ，故函数在 x
0 处连续。
f
'(0) lim x0
x arctan x
1 x
lim arctan x0
1 不存在，故函数在 x
x
0 处不可导。
4、两边取对数： ln y ln(x 1) 1 ln(x 1) 2ln(x 4) x+2, 3
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于是 x
1 x2 1
dx
1 x
x x2 1
dx
ln x 1 2
d x2 1
1
x2 1
= ln x ln 2
x2 1
C
23．解：设 t x则x t2, dx 2tdt,且当x 0时，t 0; x 1时，t 1
1 e
x dx 2
解二： lim
(e sin x t2
0
1)dt
(esin2 x lim
1) cos x
lim
(esin2 x
1)
lim
2 sin
x cos xesin2 x
2
x0 x sin x
x0 1 cos x
x0 1 cos x x0
sin x
29.
解一：
x
1
x4 1 dx 2
d (x2 ) (x2)2 1
上式两边对 x 求导 y ' 1 1 2 1得 y x 1 3(x 1) x 4
(x 1) 3 x 1 1
1
2
1
y' x2
(x 4)2 ex-2
x
1
3(x
1)
x
4
1
x2
18
则切线方程为： y 1 1 x 2即：2x 36y 7 0
12 18
5．解：方程两端对 x 求导得 ey y y x y 0 （1 )，
21
exd
1
1
x
1
ex
2
e
e
1
36．解：令 t x
则
e x dx 2
tetdx 2
tdet
2t et
2
etdt 2 et 2
0
0
0
0
0
0
37．解：当 0 x 1时， F( x)
x
f (t)dt
x t 2dt 1 ( x3 1)
1
1
3
当 1 x 2时， F( x)
13．在方程两边关于 x 求导，得 cos y x sin y y ey y 0
将 x 0, y 0 代入，得 y 1 ，从而所求切线方程为 y x (0,0)
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14．解： lim n( n 2 n) = lim 2 n = lim 2 =1
n
n n 2 n n 1 2 1
x
f (t)dt
x
dt x 1
1
1
从而
F
(
x)
1 3
(
x3
1),
0 x1
x 1, 1 x 2
38．解：原方程可化为 dy dx
2x 1 x2
y3
从而
y
e
2 1
x x
2
dx
(3
e
2 1
x x
2
dx
dx
C
)
(1 x2 )(3
dx 1 x2
C)
(1
x2 )(3arctan
x
C)
x x2 1
1 x2 x2 dx
x x2 1
1 x
x x2 1
dx
ln x 1 d x2 1 = ln x 1 ln x2 1 C
2 x2 1
2
解二：设 x
1 x2 1
dx
A x
Bx x2
C 1
dx
得：
A B x2 Cx A 1 A 1; B 1;C 0
2
200
8．解： lim x0
1 5x 1 3x x2 +2x
lim x0 (x+2)(
8 15x
2 。 1 3x)