苏教版数学高二-北京四中数学选修【知识讲解】导数的综合应用题(基础)
高二数学理导数的应用苏教版知识精讲
高二数学理导数的应用苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：导数的应用二. 本周教学目标：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2. 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.三. 本周知识要点：（一）基本知识1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点。
2. 极小值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点。
3. 极大值与极小值统称为极值。
4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
5. 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )。
（2）求方程f ′(x )=0的根。
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值。
6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值。
（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值。
高二数学导数及其应用苏教版知识精讲
高二数学导数及其应用苏教版知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：导数及其应用二. 重点、难点：教学重点：1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念．2. 熟记基本导数公式：x m（m为有理数）、sinx、cosx、e x、a x、lnx、log a x的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．教学难点：导数的定义和导数的几何意义的理解与运用，理解导数的工具性．三. 主要知识点：1. 知识网络2. 方法分析有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明．本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的． 3. 方法总结（1）导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率，是变量的变化速度在数学上的一种抽象；（2）在导数的定义中“比值xy∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率”；（3）用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于定义法解决单调性问题是十分简捷的；（4）函数极值的确定，实际是建立在对函数单调性的认识基础上的；（5）在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较；（6）理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键． 4. 概念与公式（1）导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =．（2）导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))((')(000x x x f x f y -=-．（3）导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)('x f ，从而构成了一个新的函数)('x f ，称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．（4）可导：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导．（5）求函数)(x f y =的导数的一般方法： ①求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆．②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(．③令0→∆x ，得导数'y ＝()f x ' （6）常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=对数函数的导数： x x 1)'(ln =e xx a a log 1)'(log = 指数函数的导数： x x e e =)'( a a a x x ln )'(= （7）法则1 )(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+，[()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（8）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ） 在某个区间内有导数，如果在这个区间内'y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数．（9）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．（10）极大值：一般地，设函数f （x ）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＜f （x 0），就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极大值，记作y 极大值＝f （x 0），x 0是极大值点．极小值：一般地，设函数f （x ）在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f （x ）＞f （x 0）.就说f （x 0）是函数f （x ）的一个极小值，记作y 极小值＝f （x 0），x 0是极小值点．（11）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．（12）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ） ②求方程f ′（x ）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值．（13）函数的最大值和最小值：在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．①在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．②函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．③函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．④函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．（14）利用导数求函数的最值步骤：①求)(x f 在(,)a b 内的极值；②将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．【典型例题】例1. （2003年烟台统考）已知函数f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3（a ＋2）x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．目的：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力．解：∵f ′（x ）＝3x 2＋6ax ＋3a ＋6，令f ′（x ）＝0，则x 2＋2ax ＋a ＋2＝0 又∵f （x ）既有极大值又有极小值∴f ′（x ）＝0必有两解，即△＝4a 2－4a －8＞0 解得a ＜－1或a ＞2．点评：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略．变式：已知f （x ）＝x 3＋3ax 2＋3（a ＋2）x ＋1，试讨论函数y ＝f （x ）的单调性 提示：分△＞O ，△＝O ，△<O 三种情况分别就a 的不同取值进行讨论．例2. 过曲线C ：y ＝x 2－1（x>0）上的点P 作C 的切线L 与坐标轴交于M ，N 两点，试求P 点的坐标，使∆OMN 的面积最小．点拨：1、设点P （x 0，x 20－1），求出y'|0x x =＝2x 0，即切线斜率．写出切线方程：y －（x 20－1）＝2x 0（x －x 0）2、分别令x ＝0，y ＝0求出M ，N 点的坐标，则S OMN ∆可表示．3、通过求导求S OMN ∆的最小值及P 点坐标．答案：P （32,33-） 思考：若P 点不在曲线上，如何求切线方程？已知曲线C ：y ＝x 2－1（x>0），过点P （2，1）作C 的切线L 与坐标轴交于M ，N 两点，试求∆OMN 的面积．易错点：学生往往会把过P 点的切线斜率算成y'|2=x ＝2·2＝4．点拨：设切点Q （x 0，x 02－1），过Q 点的切线斜率为y'|0x x =＝2x 0，得切线方程y －（x 02－1）＝2x 0（x － x 0），P 点代入，得x 0＝22+±，代回得切线方程，下略．例3. 设函数f （x ）＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d （a 、b 、c 、d ∈R ）的图象关于原点对称，且x ＝1时，f （x ）取极小值－32． （1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当x ∈[－1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若x 1，x 2∈[－1，1]时，求证：|f （x 1）－f （x 2）|≤34． 目的：本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力．解（1）：∵函数f （x ）图象关于原点对称，∴对任意实数x ，都有f （－x ）＝－ f （x ）. ∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ，即bx 2－2d ＝0恒成立． ∴b ＝0，d ＝0，即f （x ）＝ax 3＋cx. ∴f ′（x ）＝3ax 2＋c ．∵x ＝1时，f （x ）取极小值－32． ∴f ′（1）＝0且f （1）＝－ 32， 即3a ＋c ＝0且a ＋c ＝－32． 解得a ＝31，c ＝－1.（2）证明：当x ∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A （x 1，y 1）、B （x 2＋y 2），使得过这两点的切线互相垂直，则由f ′（x ）＝x 2－1，知两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且（x 12－1）（x 22－1）＝－1． （*）∵x 1、x 2∈[－1，1]， ∴x 12－1≤0，x 22－1≤0 ∴（x 12－1）（x 22－1）≥0，这与（*）相矛盾，故假设不成立． （3）证明：∵f ′（x ）＝x 2－1，由f ′（x ）＝0，得x ＝±1． 当x ∈（－∞，－1）或（1，＋∞）时，f ′（x ）＞0; 当 x ∈（－1，1）时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）在[－1，1]上是减函数，且f max （x ）＝f （－1）＝32， f min （x ）＝f （1）＝ －32． ∴在[－1，1]上，|f （x ）|≤32．于是x 1，x 2∈[－1，1]时，|f （x 1）－f （x 2）|≤|f （x 1）|＋|f （x 2）|≤32＋32＝34． 故x 1，x 2∈[－1，1]时，|f （x 1）－f （x 2）|≤34． 探究：①若x 0点是y ＝f （x ）的极值点，则f ′（x 0）＝0，反之不一定成立；②在讨论存在性问题时常用反证法；③利用导数得到y ＝f （x ）在[－1，1]上递减是解第（3）问的关键．例4. 已知平面向量a ＝（3，－1）.b ＝（21，23）． （1）证明a ⊥b ；（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋（t 2－3） b ，y ＝－k a ＋t b ，x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f （t ）； （3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f （t ）－k ＝0的解的情况．【考查目的】本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力．解：（1）∵a b ⋅＝3×21＋（－1）×23＝0 ∴a ⊥b ． （2）∵x ⊥y ，∴x y ⋅＝0 即[a ＋（t 2－3） b ]·（－k a ＋t b ）＝0． 整理后得－k 2a ＋[t －k （t 2－3）] ab ⋅＋ （t 2－3）·2b ＝0 ∵a b ⋅＝0，2a ＝4，2b ＝1，∴上式化为－4k ＋t （t 2－3）＝0，即k ＝41t （t 2－3） （3）讨论方程41t （t 2－3）－k ＝0的解的情况，可以看作曲线f （t ）＝ 41t （t 2－3）与直线y ＝k 的交点个数．于是f ′（t ）＝41（t 2－1）＝ 43t （t ＋1）（t －1）． 令f ′（t ）＝0，解得t当t ＝－1时，f （t ）有极大值，f （t ）极大值＝2． 当t ＝－1时，f （t ）有极小值，f （t ）极小值＝－21．函数f （t ）＝41t （t 2－3）的图象如图所示，可观察出：（1）当k ＞21或k ＜－21时，方程f （t ）－k ＝0有且只有一解； （2）当k ＝21或k ＝－21时，方程f （t ）－k ＝0有两解；（3）当－21＜k ＜21时，方程f （t ）－k ＝0有三解．探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径．例5. （2004·温州市一模∙21）已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，都有4S n ＝（a n ＋1）2（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若2n ≥tS n 对于任意的n ∈N *成立，求实数t 的最大值．分析：利用S n －S n －1＝a n （n ≥2）易得a n ＝2n －1，从而S n ＝n 2则问（2）转化为t ≤22nn恒成立，故只需求出数列22n n n b =的最小项，有以下求法：法一：研究数列{b n }的单调性．法二：数列作为一类特殊的函数，欲求22{}n n 的最小项可先研究连续函数22(0)xy x x =>的单调性，求导得42(ln 22)x x x y x ⋅-'=，易得2ln 2x =为函数22x y x =的极小值也是最小值点，又22ln ln 2e <<，所以2[]3ln 2=而334223b b =<，故389t b ≤= （注：不能直接对22(*)ny n N n=∈求导，为什么？）探究：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在．特别提示：例2、例3、例4充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例4还说明了一点：欲用导数，得先构造函数．例6. 已知双曲线:(0)mC y m x=<与点M （1，1），如图所示．（1）求证：过点M 可作两条直线，分别与双曲线C 两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A 、B ，其△MAB 是正三角形，求m 的值及切点坐标． 【考查目的】本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的沟通．（1）证明：设(,)mQ t C t∈，要证命题成立只需要证明关于t 的方程|x t MQ y k ='=有两个符号相反的实根．|x t MQy k ='=221201m m t t mt m t t -⇔-=⇔-+=-，且t ≠0，t ≠1．设方程220t mt m -+=的两根分别为t 1与t 2，则由t 1t 2＝m<0，知t 1，t 2是符号相反的实数，且t 1，t 2均不等于0与1，命题获证．（2）设1212(,),(,)m mA tB t t t ，由（1）知，t 1＋t 2＝2m ，t 1t 2＝m ，从而 2121212121()2,()2222t t m m m t t m m m t t t t m++=+===，即线段AB 的中点在直线y x =上． 又1221212121()1()ABm mm t t t t k t t t t t t --===---，∴AB 与直线y x =垂直． 故A 与B 关于y x =对称， 设(,)(0)m A t t t <，则(,)m B t t有t 2－2mt ＋m ＝0 ① 由22,,60MAMB m m k k AMB t k=-=-∠=︒及夹角公式知2222tan 601t mm t t m m t-+︒=+⋅，即22m tt m -= ②由①得221t m t =- ③从而2214(1)(21)02121m t t t t t m t t --=--=>--由②知2222m t m t m t -==，代入③知t =因此，1,(2m A B =-． 探究：求切线方程的常见方法有：1、数形结合．2、将直线方程代入曲线方程利用判别式．3、利用导数的几何意义．小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为沟通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点．【模拟试题】一、选择题1.函数32cos y x x =，则y '等于 （ ）A. 26sin x xB. 22sin x x +-C. 26sin x x ++D. 26sin x x -2. 已知曲线23123,,2sin y x y x y x ===，这三条曲线与x ＝1的交点分别为A 、B 、C ，又设k 1、k 2、k 3分别为经过A 、B 、C 且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ） A. k 1<k 2<k 3 B. k 3<k 2<k 1 C. k 1<k 3<k 2 D. k 3<k 1<k 23. 已知a>0，函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在 [－2，2]上的最小值为 （ ）A. －37B. －29C. －5D. －115. （2004年浙江高考）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）二、填空题6. 某汽车启动阶段的路程函数为S （t ）＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的速度和加速度分别为7. 曲线21y x =与曲线y =在交点处的切线的夹角为 ． 8. 已知()sin 2,,f x x x x R =+∈且(1)(2)0f a f a -+<，则a 的取值范围是 ．三、解答题9. 已知曲线2212::(2)C y x C y x ==--与，求与C 1、C 2均相切的直线l 的方程．10. 函数32()f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点(1,())P f x 的切线方程为y ＝3x ＋1（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）的条件下，求()y f x =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围．11. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f （t ）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效． ①求服药一次治疗疾病有效的时间？②当t ＝5时，第二次服药，问t 1[5,5]16时，药效是否连续？[参考答案]http//1. D2. D3. D4. A5. C6. 4，37. 90°8. （－∞，－1）9. 解答：由2y x =得2y x '=，由2(2)y x =-- ，得2(2)y x '=--； 设直线l 与2y x =的切点为211(,),(2)P x y y x =--与的切点为22(,)Q x y①＋②整理得121212(2)(2)y y x x x x +=+--+ 由③得1220x x +-=120y y ∴+=即21y y =-，代入④与①联立可解得x 1＝0或x 1＝2当x 1＝0时，x 2＝2；当x 1＝2时，x 2＝0 ∴直线l 过（0，0）、（2，0）点，或直线过（2，4）、（0，－4）点因此所求直线方程为y ＝0或y ＝4x －4．10. 解：（1）由32()f x x ax bx c =+++求导数得2()32f x x ax b '=++过()y f x =上点(1,(1))P f 的切线方程为：(1)(1)(1),(1)(32)(1)y f f x y a b c a b x '-=--+++=++-即，而过()y f x =上，(1,(1))P f 的切线方程为31y x =+ 故32321a b a b c ++=⎧⎨++-=⎩ 即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩()y f x =在x ＝－2时有极值，故(2)f '-＝0 412a b ∴-+=- ③由①②③式联立解得2,4,5a b c ==-=，32()245f x x x x ∴=+-+ （2）22()32344(32)(2)f x x ax b x x x x '=++=+-=-+ ①②32()(2)(2)2(2)4(2)513f x f =-=-+---+=极大，3(1)1214154f =+⨯-⨯+=，()f x ∴在[－3，1]上最大值为13．（3）()y f x =在区间 [－2，1]上单调递增，又2()32f x x ax b '=++， 由（1）知20a b +=，2()3f x x bx b '∴=-+依题意()f x '在[－2，1]上恒有2()0,30f x x bx b '≥-+≥即在[－2，1]上恒成立．①当16bx =≥时，()(1)30f x f b b ''==-+>小，6b ∴≥ ②当26bx =≤-时，()(2)1220f x f b b ''=-=++≥小，b ∴∈∅③当216b -≤≤时，212()012b b f x -'=≥小，∴0≤b ≤6 综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0．11. 解答：（1）当0≤t ≤1时，y ＝4t ， 当t ≥1时，1()2t ay -=，此时M （1，4）在曲线上，114(),32a a -∴=∴=，这时31()2t y -= 所以＝＝)(t f y 34(01)()1()(1)2t tt y f x t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩（2）①340.25()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即 解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩1516t ∴≤≤∴服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时． ②设1[5,5]16t ∈，5小时第二次服药后，血液中含药量g （t ）为：第二次产生的含药量4（t －5）毫克以及第一次的剩余量31()2t -毫克，即g （t ）＝4（t －5）＋ 31()2t -只要证明，当1[5,5]16t ∈时,g （t ）≥0.25即可33111()4()ln 4()ln 2222t t g t --'=+=-，()g t '∴在R 上是增函数，1()[5,5]16g t '∴在上有21()(5)4()ln 202g t g ''≥=->， 1()[5,5]16g t ∴在上是增函数，故g （t ）≥g （5）＝0.25，∴当t ＝5时，第二次服药，1[5,5]16t ∈时，药效连续．。
苏教版高二数学选修2-2 1.4 导数在实际生活中的应用 课件(37张)
第1章 导数及其应用
解：设 C 点距 D 点 x km，则 BD＝40，AC＝50－x，
∴BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402.
又设总的水管费用为 y 元，
依题意，得 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．
y′＝－3a＋
5ax x2＋402
.令 y′＝0，解得 x＝30.
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第1章 导数及其应用
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的 问题( √ ) (2)生活中的优化问题都必须利用导数解决( × ) (3)生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是 最值点( √ )
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第1章 导数及其应用
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第1章 导数及其应用
解：设广告的高和宽分别为 x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为 x－20，y－225， 其中 x>20，y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－225＝18 000， 由此得 y＝1x8－02000＋25. 广告的面积 S＝xy＝x(1x8－02000＋25)
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第1章 导数及其应用
[解] (1)设圆锥的高为 h1 米，母线长为 l 米， 圆柱的高为 h2 米． 圆柱的底面用料单价为每平方米 2a 元，圆锥的侧面用料 单价为每平方米 4a 元．
因为 h1<r，所以 θ∈0，π4 .
圆锥侧面的用料费用为 4aπ rl，圆柱侧面的用料费用为 2a π rh2，圆柱底面的用料费用为 2aπ r2，
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第1章 导数及其应用
4．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最 大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案． 注意：根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的实 际问题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果 遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0，且该函数在这个 点有极大(小)值，那么不与端点值比较，就可以知道这就是 最大(小)值．
高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用课件苏教版选修2-2
1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类 问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准 确求导，结合实际作答．
2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点 取得最大(小)值．
用料最省、成本(费用)最低问题 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1-4-3所示，若
两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最 短．
图1-4-3 【精彩点拨】 可设CD＝x，则CE＝3－x，利用勾股定理得出AC，BC的 长，从而构造出所需电线总长度的函数．
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小
时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝
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x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变
化率的最小值是________．
【解析】 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值为－1.
1．解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义 域，利用导数求解函数的最值． 2．解决导数在实际应用时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域； (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内 只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意 义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
阶
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苏教版高中数学选修学导数及其应用本章练测Word含解析
第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数()2π2)(x x f =的导数是 .2.函数xx x f -⋅=e)(的一个单调递增区间是 .3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =4．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为 .5.曲线y =－2－4x +2在点（1，－3）处的切线方程是 .6.函数y =x +2cos x 在[0,上取得最大值时，x 的值为 .7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则= .8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大. 9．函数f (x )的定义域为开区间（a ,b ），导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值点的个数是 .10．已知sin (ππ)1cos xy x x=∈-+，，，当2y '=时，x = .11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的n 12.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a 、b 、c 的大小关系 是 .13. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，且 g (－3)＝0，则不等式的解集是 . 14.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为 . 二、解答题（共90分）15．（14分）求下列函数的导数： (1)y =5－4；(2)y =3+x cos x ；(3)y =tan x ；(4)y =x ；第1章导数及其应用（苏教版选修2-2）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．8． 9． 10． 11． 12． 13．14．二、解答题15.16．17.18.19.20.第1章 导数及其应用（苏教版选修2-2）答案一、填空题1.x x f 2π8)(=' 解析：()∴==,π4π2)(222x x x f =⨯='x x f 2π42)(x 2π8;或()()=⋅='⋅⋅='π2π4π2π22)(x x x x f x 2π8. 2．（ 解析：∴=⋅=-.e e)(x xx x x f []2e e e 1)(x x x x x f ⋅-⋅='，()[]1,0e e 12<∴>⋅-x x x x. 或().1 ,0e .0e )1(1e e 1)(<∴>>⋅-=-⋅⋅+⋅='----x x x x f x x x x Θ ∴ 函数xx x f -⋅=e )(的单调递增区间是（.3.41解析：设切点),(00y x P .因为错误!未指定书签。
苏教版高中数学高二选修1-1课件 3.4 导数在实际生活中的应用
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解析 答案
3.某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品， 成 本 增 加 100 元 ， 若 总 收 入 R 与 年 产 量 x 的 关 系 是 R(x) ＝ －9x030＋400x，0≤x≤390， 则当总利润最大时，每年生产产品的单 90 090，x>390， 位数是__3_0_0_.
解答
反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之 一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正 确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x) ＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以 知道在这个点取得最大(小)值.
解答
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
解答
命题角度2 费用(用料)最省问题
例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙
需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔
热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔
解析 y′＝－38t2－32t＋36＝－38(t2＋4t－96) ＝－38(t＋12)(t－8)，
当t∈(6,8)时，y′>0；当t∈(8,9)时，y′<0，
故t＝8时，y取最大值.
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解析 答案
2.用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为 正方形，则这个长方体体积的最大值为__8_ m3. 解析 设长方体的底面边长为x m，则高为(6－2x)m， ∴0<x<3，则长方体的体积为V(x)＝x2·(6－2x)＝6x2－2x3， V′(x)＝12x－6x2. 令V′(x)＝0，得x＝2或x＝0(舍去). ∴当x∈(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x∈(2,3)时，函数V(x)是减函数， ∴当x＝2时，V(x)max＝4×2＝8(m3).
高二数学苏教版选修讲义：常见函数的导数含解析
_1.2导数的运算1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x 的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx －1xΔx＝x －(x ＋Δx )x (x ＋Δx )Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx→－1x 2，即⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2.1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； 7．(x )′＝12x.1．(x α)′＝αx α－1(α为常数)；2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1x log a e ＝1x ln a (a >0，且a ≠1)；4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1x ；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x与f (x )＝e x .[对应学生用书P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x 3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x 4； (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 的导数是________． 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝⎛⎭⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x，正确；④正确． 答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22－1. 解：(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值．[精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －56′＝⎝⎛⎭⎫－56x －116， ∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1nx 且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程； (2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x－1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)． 即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n 的理解：(1)y ＝x n 中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x log a e 和(a x )′＝a x lna 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．[对应课时跟踪训练(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，2或P ⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1.∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2x ln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0. 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2. 又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
苏教版数学高二-1.4导数的应用要点讲解
导数的应用要点讲解导数的在函数中的应用主要包含两方面：一是在求函数的极值、最值中的应用；二是在解最优化问题中的应用。
下面针对这两个要点分别进行讲解。
一、在求函数的极值、最值中的应用若函数在0x x =处取得极值，则0()0f x '=；而在导数值为零处可求出极值点.对于闭区间上的连续函数则一定存在着最大值和最小值，可通过对极值点处和端点处的函数值进行比较得到函数的最值，以于开区间若函数有且仅有一个极值点（单峰函数），此极值即为函数的最值.因此一般利用导数求函数的极值或最值要经过三步，一．函数求导数，二．求极值点，三．求极值或最值.例题：已知函数32()(1)7f x x ax a x =+--+有极大值和极小值，求a 的取值范围.分析：这是一个导数在求函数极值．最值中的应用问题，这类问题一般分两个方面，一是直接求极值．最值，另一类是已知极值、最值求函数或变量的范围，本题属于第二类问题.破解的方法其实是一样的三步，即求导、求极值、求最值.解析：对函数求导得，2()32(1),()0,f x x ax a f x ''=+--=令则232(1)0x ax a +--=，要使函数有极大值和极小值，则导函数与x 轴有两个交点，因此2412(1)0a a ∆=+->，整理可得2330,a a a a +-><>即，因此a 的取值范围为33,22⎛⎛⎫--+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：这在问题在学习时要做到举一反三，加强训练，既要学会从正面求极值．最值，又要学会从反面求函数或变量的范围，做到以不变应万变.二、最优化问题导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问题的答案，诸如用料最省、容量最大、亮度最强等，本文将介绍用导数求解生活中几个常见问题，供参考．1．用料最省问题例1 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为3500m ，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？解析：欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为d ，高为h ，表面积为S ，由2π5002d h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得22000πh d =． 又22π2000ππ24d d S d h d ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，而2π20002d S d '=-．令0S '=，即2π200002d d-=，得d =h =350002πd <<∵时，0S '<；35002πd >时，0S '>， 所以，当35002πd =，3500πh =时，用料最省． 点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解．2．流量最大问题例2 用宽为a 、长为b 的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽（如图）．问斜角?兹多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积越大，槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其实就是求横截面面积的最大值．设横截面面积为S ，则1()2S AB ED CD =+·． 由于2cos AB a a θ=+，sin CD a θ=，因此21π[(2cos )sin ]sin (1cos )022S a a a a a θθθθθ⎛⎫=++=+<< ⎪⎝⎭·． 又22(2cos cos 1)S a θθ'=+-，令0S '=，即22(2cos cos 1)0a θθ+-=，得1cos 2θ=或cos 1θ=-． 由于π02θ<<，得cos 1θ≠-， 那么1cos 2θ=，此时π3θ=． ∵当π03θ<<时，0S '>；当ππ32θ<<时，0S '<， 所以，当π3θ=时，横截面的面积最大；此时，槽的流量最大． 点评：流量最大、横梁的强度最大等都与横截面的面积有关，而面积又往往与三角联系在一起，根据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键．。
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导数的综合应用题 编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。
2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。
3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。
4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【要点梳理】 要点一、有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上 ②切点在曲线上③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。
要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组。
要点二、有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数。
要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤。
（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤。
② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥。
（或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使）max (,)0f x m ≤） 要点三、函数极值、最值的问题1.函数极值的问题 ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： （1）先求出定义域（2）一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则该点为极小值点。
注意：无定义的点不用在表中列出（3）依表给结论：注意一定指出在哪取得极值。
2.函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四、优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决。
我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。
利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2) 求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释1．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：2. 得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；3. 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．4. 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题例1. 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 【思路点拨】点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点． 【解析】曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值。
举一反三：【变式】求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 【答案】设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 类型二： 利用导数解决有关函数单调性的问题 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3】 例2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22k x (k ≥0)。
(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。
【思路点拨】(Ⅱ)求出导数(1)'()1x kx k f x x+-=+后，主要根据(1)x kx k +-的正负进行分类讨论。
【解析】（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x=-++ 由于(1)ln 2f =，3'(1)2f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2y x -=- 即 322ln 230x y -+-=（II ）(1)'()1x kx k f x x+-=+，(1,)x ∈-+∞.当0k =时，'()1xf x x=-+.所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210kx k-=>所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)kk-上，'()0f x <故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)kk-+∞，单调递减区间是1(0,)kk-.当1k =时，2'()1x f x x=+故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)kx k-=∈-，20x =.所以没在区间1(1,)kk--和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk- 【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式'()0f x ≥或'()0f x ≤，若'()f x 中含有参数，须分类讨论。
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域。
举一反三：【变式1】 若x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间. 【答案】13)(2+='ax x f（1）当0>a 时，则()10f x '≥>()x R ∈，此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞，与题设矛盾；（2）当0=a 时，则()10f x '=>，此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞，与题设矛盾； （3）当0<a 时，则21()3()3(3f x a x a x x a '=+=+- 由0)(<'x f 得a x a x 3131->--<或，由0)(>'x f ，得ax a3131-<<--∴综上可知，当0<a 时，)(x f 恰有三个单调区间：减区间),31(),31,(+∞----∞aa；增区间)31,31(aa---【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】 【变式2】函数()2sin 2=-xf x x 的图象大致是（ ）【答案】C首先易判断函数为奇函数，排除A ，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B 、D,故选C.类型三：利用导数解决函数极值、最值的问题例3.设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值； 【解析】（Ⅰ）当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． （2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法。