数据结构严蔚敏 图4

关键活动 定义：
假设第 i 条弧为 <j, k>, 则活动i 的时间余量为：
活动i 最迟开始时间减活动i 最早开始时间
即：l(i)－ e(i)
如果完成活动i 的时间余量： l(i)－ e(i) ＝0 则把活动i 称为关键活动
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求关键活动的步骤：
① 求事件的最早发生时间ve；
ve(k) = Max{ve(j) + dut(<j, k>)}
关键路径
AOV网(Activity On Vertex) 顶点表示活动, 弧表示优先关系
C4 C2 C1 C12 C9 C10 C6 C11 C8 C3 C7 C5
只表示活动之间定性的拓扑关系。 不表示活动之间定量的时序关系。
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AOE网(Activity On Edge)
1. 工程完成时间？ 顶点表示事件，弧表示活动 2. 关键子工程？ 权表示持续活动时间
第七章 图
7.1 图的抽象数据类型定义
7.2 图的存储表示
7.3 图的遍历 7.4 最小生成树 7.5 拓扑排序 关键路径 7.6 最短路径问题
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7.5 拓扑排序
如何判断一个图是否存在环(回路)?
无向有环图
A B D 有向无环图 A
C E
F D
B
C E
F
对无向图---深度优先遍历。 对有向图----拓扑排序。
2 4
a
5
4
vl(汇点)=18 P vl(g)=18-2=16 vl(h)=18-4=14
2 d f vl(e)= min(vl(g)-8,vl(h)-7) ＝min(16-8,14-7) =7 vl(b)= min(vl(e)-1) = min(7-1)=6
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活动 i 的 最早开始时间 e(i)
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求顶点的最早发生时间ve和最迟发生时间vl b 1 g 2 6 8 a
4 5
d c
1
e
7
h 4 f
P
4
2
p a b c d e f g h k
① ②
ve vl
0 0 0 0 0 0 15 14 18 6 4 5 5 7 0 11 0 7 0 18 18 18 18 18 18 18 18 18 0 6 6 8 8 10 16 14 7
1 c
2
e
7
P 4
h
4 f
―关键活动”：构成最长路径的所有活动(弧）.
―关键活动”的权值增加将使有向 图上的最长路径的长度增加。 13
如何求关键活动？
―事件(顶点)‖ 的 最早发生时间 ve(j) ―事件(顶点)‖ 的 最迟发生时间 vl(k) ―活动(弧)‖ 的 最早开始时间 e(j) ―活动(弧)‖ 的 最迟开始时间 l(k) 完成第i项活动的时间余量
Status CriticalPath ( ALGraph G ) {//输出G的各项关键活动。 if (!TopologicalOrder (G, T)) return ERROR; vl[0..G.vexnum-1]=ve[G.vexnum-1]; //初始化事件最迟发生时间 while ( ! StackEmpty (T) ) //按拓扑逆序求各顶点的vl 值 for (Pop(T,j), p=G.vertices[j].firstarc; p; p=p->nextarc) { k=p->adjvex; dut=*(p->info); //dut<j, k> if(vl[k]–dut<vl[j]) vl[j]=vl[k]–dut; } // for for (j=0; j < G.vexnum; ++j ) //求e、l和关键活动 for(p=G.vertices[j].firstarc; p; p=p->nextarc){ k=p->adjvex; dut=*(p->info); e=ve[j]; l=vl[k]–dut; tag=( e = = l ) ? ‗*‘ : ‗ ‘ ; printf ( j, k, dut, e, l, tag ); // 输出关键活动 } // for 25 } //CriticalPath
C4 C2 C1 C12 C3 C7
C5
C9
C10 C6 C11
C8
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何谓“拓扑排序”？
对有向图进行如下操作: 按照有向图给出的次序关系，将图 中顶点排成一个线性序列，对于有向 图中没有限定次序关系的顶点，则可 以人为加上任意的次序关系。 由此所得顶点的线性序列称之为拓 扑有序序列
4
例如：对于下列有向图
活动的开始顶点的最早发生时间 假设第 i 条弧为 <j, k>，则：e(i) = ve(j);
① b ④ 6 1 ⑨8
g
11
2 P
a
5
③
4② c
1
⑤
e
事件j的 最早发生时间
⑦7
4 h ⑩
⑧
d
2
⑥
4 f
e(1)=ve(a)=0 e(4)= ve(b)=6
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e(8) =ve(f)=7 e(9)=ve(e)=7
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―事件(顶点)” 的最早发生时间 ve(k) ve(k) = 从源点到顶点k的最长路径长度; ve(k) = Max{ve(j) + dut(<j, k>)}
<j, k>为与事件k关联的弧，dut(<j, k>)为弧权值 6 a 5 d 4 c 2 4 b 1 1 e 8 g 4 h 2
7
f ve(e)= max(ve(b)+1,ve(c)+1) = max(6+1,4+1) =7 ve(h)= max(ve(e)+7,ve(f)+4) = max(7+7,7+4)=14 15
2
课程编号 课程名称
课程编号 课程名称
C1 程序设计基础 C7 编译原理 AOV网(Activity On Vertex) 操作系统 C2 离散数学 C8 (C1,C2,C3,C4,C5,C7,C9,C10,C11,C6,C12,C8) C3 数据结构 C9 高等数学 顶点表示活动, 弧表示优先关系 C4 汇编语言 C10 线性代数 (C9,C10,C11,C6,C1,C12,C4,C2,C3,C5,C7,C8) C5 语言的设计和分析 C11 普通物理 C6 计算机原理 C12 数值分析
ve(源点)=0 P ve(b)=6 ve(c)=4 ve(d)=5
“事件(顶点)” 的最迟发生时间 vl(j)
vl(j) = 汇点的最迟发生时间－ 从顶点j到汇点的最短路径长度;
vl(j) = Min{vl(k) – dut(<j, k>)}
<j, k>为与事件j关联的弧，dut(<j, k>)为弧权值 6 b 1 1 c 4 e 8 7 h g
如何进行拓扑排序？
一、从有向图中选取一个没有前驱 的顶点，并输出之; 二、从有向图中删去此顶点以及所 有以它为尾的弧;
三、重复上述两步，可能得到两种结果： 1. 图空——拓扑排序成功! 2. 图不空,但找不到无前驱的顶点——有环!
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a
a
b h c d g f
c d
e
g
b f
e
h
1。没有前驱的顶点 入度为零的顶点 2。删除顶点及以它为尾的弧 弧头顶点的入度减1
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拓扑排序求事件最早发生事件Ve和拓扑逆序栈T Order( Status TopologicalSort ( ALGraph ,Stack &T) { G）{ FindInDegree(G,indegree); //计算各顶点的入度 InitStack(S); count=0; Ve[0,…, G.vexnum-1]=0; //初始化
6 4 5 1 1 2 8 7 4 2 4
0 0 6
2 3 6
③e 0 ④l 0 ⑤
4
6
5 7
8 8
7 7 15 14
7 10 16 14
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算法的实现要点:
显然，求ve的顺序应该是按拓扑有序的次序;
而 求vl的顺序应该是按拓扑逆序的次序;
因为 拓扑逆序序列即为拓扑有序序列的 逆序列， 因此 应该在拓扑排序的过程中， 另设一个“栈”记下拓扑有序序列。
为避免每次都要搜索入度为零的顶点， 在算法中设置一个“栈”，以保存“入度为零” 的 9
Status TopologicalSort( ALGraph G){
FindInDegree(G,indegree); InitStack(S); count=0; //计算各顶点的入度
for ( i=0; i<G.vexnum; ++i) if (!indegree[i]) Push(S, i); //入度为零的顶点入栈 while (!EmptyStack(S)) { Pop(S, v); ++count; printf(v); for (w=FirstAdj(v); w; w=NextAdj(G,v,w)){ --indegree(w); // 弧头顶点的入度减1 if (!indegree[w]) Push(S, w); } // 入度为零的顶点入栈 }//while if (count<G.vexnum) printf(―图中有回路”) } 10
需要设一个数组inDegree[w]，记录顶点的入度数
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算法描述
初始化 inDegree[w]； while(取一个新的入度为零的顶点v){ printf(v); ++m; //对输出顶点计数 for( w=FirstAdj(v); w; w=nextAdj(v,w)) inDegree[w]--; } if (m<n) printf(―图中有回路”);