光的衍射偏振作业习题及解答赵近芳编

13-11 一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明条纹位置正好与6000οA 的单色平行光的第二级明条纹位置重合，求前一种单色光的波长．解：单缝衍射的明纹公式为： sin (21)2a k λϕ=+设x λλ=时，3=k ，由已知：当6000=λoA 时，2=k ，二者重合时ϕ角相同，所以有)132(26000)122(sin +⨯=+⨯=ϕa 2x λ解得 4286600075=⨯=x λ(o A )=428.6 ( nm)13-12 单缝宽0.10mm ，透镜焦距为50cm ，用5000=λoA 的绿光垂直照射单缝．求： (1) 位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的宽度和半角宽度各为多少? (2) 若把此装置浸入水中(n =1.33)，中央明条纹的半角宽度又为多少? 解：单缝衍射暗纹公式为：sin na k ϕλ=，k =1时，有1sin naλϕ=单缝衍射中央明纹的半角宽度为一级暗纹的角宽度，故101sin ()nanaλλϕϕ-==≈单缝衍射中央明纹的宽度为：11122tan 2sin 2x x f f fnaλϕϕ∆==≈=暗，(1) 空气中，1=n ，所以有：3310100.51010.01050005.02---⨯=⨯⨯⨯⨯=∆x (m )101013033500010500010sin 5.0100.10100.1010ϕ------⨯⨯=≈=⨯⨯⨯ (rad ) (2) 浸入水中，33.1=n ，所以有：33101076.31010.033.110500050.02---⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯=∆x (m ) 101013033500010500010sin 3.76101.330.110 1.330.110ϕ------⨯⨯=≈≈⨯⨯⨯⨯⨯ (rad ) 13-15 波长为5000oA 的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜焦距为60cm ．求： (1) 屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2) 当光线与光栅法线成 30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少?解：由已知，光栅常数为： 31mm5.010200a b -+==⨯mm =6100.5-⨯m (1) 由光栅衍射明纹公式：λϕk b a =+sin )(，对中央明纹0k =， 00sin 0,0x ϕ=∴=，对第一级明条纹1=k , 有：1016500010sin 0.15.010a b λϕ--⨯===+⨯，又11tan x fϕ=，所以2211tan6010 6.0310(m) 6.03(cm) x f fϕ--===⨯≈⨯=【或：ϕ较小时，有sin tanxfϕϕ≈=，对第一级明条纹1=k, 有：λ=+fxba1)(，即：62101100.51060105000---⨯⨯⨯⨯=+=bafxλ2100.6-⨯=(m)6=(cm)】则屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距为：1016.03cmx x x x∆=-==【或6cm】(2) 对应中央明纹，有0=k。

正入射时，0sin)(=+ϕba，所以sin0,0xϕϕ===斜入射时，0)sin)(sin(=±+θϕba，即sin sin0,30,sin0.5ϕθθϕ±==∴=±oQ，所以tanxfϕ===226010 3.510x f--==⨯≈±⨯(m)35=±(cm)故中央明条纹的位移值为：35cmx x x x∆=-==±（正、负号分别相应于入射方向在法线的下方和上方两种斜入射情况）13-16 波长6000=λo A的单色光垂直入射到一光栅上，第二、第三级明条纹分别出现在20.0sin=ϕ与30.0sin=ϕ处，第四级缺级．求：(1) 光栅常数；(2) 光栅上狭缝的宽度；(3) 在90°＞ϕ＞-90°范围内，实际呈现的全部级数．解：(1) 由光栅公式：λϕkba=+sin)(，由题意知：100.20()2600010a b-⋅+=⨯⨯，100.30()3600010a b-⋅+=⨯⨯，解得6100.6-⨯=+ba m(2) 因第四级缺级，故此光栅须同时满足：λϕkba=+sin)(，λϕka'=sin，解得kkbaa'⨯='+=-6105.14，取1='k，得光栅狭缝的最小宽度为：6min1.510a-=⨯m(3) 由λϕkba=+sin)(，得λϕsin)(bak+=，当2πϕ=，对应maxkk=，∴10106000100.6106max=⨯⨯=+=--λbak，由于接收屏有限大，故在90ϕ︒=±处的10±=k实际看不到，又因4(1,2,)k k k''==±±L缺级，即4±，8±缺级，所以在︒︒<<-9090ϕ范围内，实际呈现的全部明条纹级数为：9,7,6,5,3,2,1,0±±±±±±±=k，共15条明条纹。

13-17 一双缝，两缝间距为0.1mm，每缝宽为0.02mm，用波长为4800oA的平行单色光垂直入射双缝，双缝后放一焦距为50cm的透镜．试求：(1) 透镜焦平面上单缝衍射中央明条纹的宽度；(2) 单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹?解：由题知，0.1mm,=0.02mma b a+=(1) 单缝衍射暗纹公式为：sinna kϕλ=，k=1时，有1sin/()naϕλ=单缝衍射中央明纹的宽度为：011122tan 2sin 2l x f f fnaλϕϕ==≈=暗，空气中n =1，则中央明纹宽度为：02.010501048002270⨯⨯⨯⨯==-f a l λmm 4.2=cm(2) 由缺级条件：λϕk b a =+sin )(，λϕk a '=sin ，知k k a b a k k '='=+'=502.01.0（1,2,k '=±±⋅⋅⋅） 即5,10,15,k =±±±⋅⋅⋅缺级．中央明纹的边缘对应1k '=±，所以单缝衍射的中央明纹包迹内有4,3,2,1,0±±±±=k 共9条双缝衍射明条纹．13-19已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10-6rad ，它们都发出波长为5500oA 的光，试问望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星?解：由最小分辨角公式： 1.22/D θλ=，则能分辨出这两颗星的望远镜的口径至少为：565.5101.22 1.22cm 13.864.8410D λθ--⨯==⨯=⨯cm 14-8 使自然光通过两个偏振化方向夹角为60°的偏振片时，透射光强为1I ，今在这两个偏振片之间再插入一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°，问此时透射光I 与1I 之比为多少? 解：设自然光的光强为I 0，插入偏振片P 3前，如解14-8图1所示，插入一偏振片P 3后， 如解14-8图（2）所示，由已知： α=60°, α1=α2=30°， 又 01012I I = 则由马吕斯定律：22ο0101cos cos 602I I I α==80I =220020113cos cos 3028I II I α===o22ο002239cos cos 30832I I I I α===∴ 0019932 2.2548I I I I ===14-9 自然光入射到两个重叠的偏振片上．如果透射光强为：(1)透射光最大强度的三分之一，(2)入射光强的三分之一，则这两个偏振片透光轴方向间的夹角为多少? 解：设自然光光强为I 0，自然光通过第一片偏振片的透射光强为I 0/2，（1）设两个偏振片透光轴方向间的夹角为1α，由已知，透射光强：1max /3I I =，由马吕斯定律：max 120131cos 2I I I ==α， 又 20max I I =， ∴ ,601I I = 故2ο'1111cos ,cos 544433ααα==∴=图2 (b )P 1P 2P 3α1 α2P 231图2 (a )P 2P 1α图1 (a )图1 (b )解14-8图(2) 设两个偏振片透光轴方向间的夹角为2α，由已知，透射光强：10/3I I = 由马吕斯定律：0220231cos 2I I I ==α， ∴2ο'2222cos ,cos 35163ααα===14-10 一束自然光从空气入射到折射率为1.40的液体表面上，其反射光是完全偏振光．试求： (1) 入射角等于多少? (2) 折射角为多少?解：设入射角为0i ，折射角为γ，当反射光是完全偏振光时，入射角为布儒斯角，即0b i i =。

由布儒斯特定律知：21tan /b i n n =， 由已知，211.40,1n n ==，则(1) 0tan 1.40,i = ∴ 入射角 'ο02854=i(2) 因为入射角为布儒斯角时， 090i γ+=o ，故折射角οο'0903532i γ=-=【或，由折射定律：102sin sin n i n γ=，得折射角ο'3532γ=】补充题1. 用一束具有两种波长(λ1=600nm;λ2=400nm)的平行光垂直入射在某衍射光栅上，发现距中央明纹5cm 处λ1光的第k 级主极大明纹和λ2的第(k +1)级主明纹重合。

知放置在该光栅后的透镜焦距f =50cm ，试问： (1)上述级数k =？ (2)光栅常量d = (a +b ) =?解(1): 由题意及光栅方程，有： (a +b ) sin φk =k λ1; (a +b ) sin φk +1=(k +1)λ2两种波长上述的主明纹重合，即: sin φk = sin φk +1, 则有： k λ1=(k +1)λ2则所求的级数为: k =λ2/(λ1-λ2)= 400/200=2(2)：由题意，有：(a +b ) sin φ2=2λ1, d = (a +b ) =2λ1/ sin φ2 ,由几何关系，有：25cm x =， tan φ2=x 2/f ,2tan sin ϕϕ=2sin x ϕ∴=【或取近似22sin tan ϕϕ≈得，5112222 1.210(m)tan fd a b x λλϕ-=+≈==⨯】补充题2.自然光和线偏振光的混合光束，通过一偏振片时，随着偏振片以光的传播方向为轴转动，透射光的 强度也跟着改变，如最强和最弱的光强之比为6:1，那么入射光中自然光和线偏振光的强度之比为多大？ 解：设入射自然光的光强为I 0， 线偏振光的光强为I P 。