人教版数学八年级上册第15章分式教案
人教版初中八年级数学上册《第十五章分式》教案
第十五章分式第一课时 从分数到分式教学目标1． 了解分式概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 重点、难点重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 教学过程1．让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，.2．问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时，所以=.3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分710as 33200sv v+20100v-2060v+20100v-2060v+20100v-2060as sv式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 才有意义. 3、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式 有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3)[分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. 4、小结：谈谈你的收获 布置作业第二课时 分式的基本性质教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式约分。
人教版八年级上册数学第十五章 《分式》全章教学设计
人教版八年级上册数学第十五章《分式》全章教学设计第十五章分式15.1.1 从分数到分式在实际问题中，我们常常需要描述不同量之间的关系。
为了更好地描述这种关系，我们引入了分式的概念，并建立了数学模型。
学生需要理解分式的概念，并掌握分式有意义的条件和值为零的条件。
重点：理解分式有意义的条件和值为零的条件。
难点：熟练地求出分式有意义的条件和值为零的条件。
一、复引入1.整式、单项式和多项式的概念。
2.判断下列各式中，哪些是整式，哪些不是整式。
8m + nab + aba + b233x - 4.2①。
1 + x + y。
2/2.2/2^2.33/2x + 2x + 1a + b2x二、探究新知1.分式的定义1) 通过一个实际问题，我们可以得到以下分式：30 + v)/(30 - v) 和 90/(30 + v) = 60/(30 - v)观察这些式子，我们可以发现它们都像分数一样，都是A/B的形式。
分数的分子A和分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母。
归纳：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2) 为了使分式有意义，分式中的分母应满足B≠0的条件。
例如，对于分式2x/(1x + y)，分母1x + y不能为0，即x≠ -y。
学生可以自学教材中的例1和思考题，巩固理解分式有意义的条件。
2.分式的值为零的条件对于分式A/B，当A=0时，分式的值为0.而当B=0时，分式无意义。
学生需要熟练地求出分式有意义的条件和值为零的条件。
巩固练：教材第129页练第2和第3题。
3.补充例题：当分式的分子为零时，分式的值为多少？分析：当分式的分子为零时，分式的值为0，因为分子为零，分式的值就是0/分母，即0.答案：分式的值为0的条件是分子为零。
三、归纳总结1.分式是分数的推广，分式由分子和分母组成。
2.当分式的分母不为零时，分式有意义；当分式的分母为零时，分式无意义。
第十五章 分式【教案】八年级上册数学
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“分式”.1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,“数与式”是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,现阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.“数与式”的教学:教师应该把握“数与式”的整体性,一方面,通过负数、有理数和实数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表述,进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义,会进行实数的运算;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十五章“分式”,本章包括三个小节:15.1分式;15.2分式的运算;15.3分式方程.“数与式”主题通过从计算物体个数的活动中抽象出整数的概念,从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念,这是一种从实物到数的抽象;为更好地反映这个一般规律,在研究整数和分数的过程中,又抽象出整式和分式的概念,这是一种从数到式的抽象.分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系,即相对于分式而言,分数是具体的、特殊的对象,分式是把具体的分数一般化后的抽象形式.本单元强调的是“从具体到抽象,从特殊到一般”的认识事物的一般规律,处处突出类比在本单元学习中的重要作用,在概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等方面,分数与分式均相对应,两者具有一致性,也可以说是数式通性.本单元自始至终重视分式与实际的联系,选择一些适合分式内容又接近学生生活的实际问题展开编写.一方面要体现与研究分数类似,研究分式同样也是实际需要;另一方面以分式为工具,分析、解决实际问题,提高学生把实际问题转化为数学问题的能力,让学生认识到代数式(包含分式)、分式方程是解决现实问题的数学模型,体会数学中的建模思想,进一步培养学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识,这将有助于培养学生的创新精神.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十五章分式,它是“数与代数”中重要的一部分,学生在前面已经学习了整数与整式、一元一次方程、二元一次方程组等知识,初步积累了一定的用字母表示数以及四则混合运算的数学学习经验,特别是对一元一次方程的解法及基本思路已经比较熟悉,因此本单元运用类比的数学思想来展开分式教学,大大降低了学生学习的难度,同时这种“从具体到抽象、由特殊到一般”的认识事物的基本方法,会潜移默化地引导学生养成良好的学习习惯.建立分式方程的模型来解决实际问题是本单元的一个重要任务,能否以分式方程为工具,分析和解决问题是对学生应用意识和模型观念的一个重要考量,也是教学的关键.虽然分式整章的学习接近学生的最近发展区,但利用分式方程解决问题的特殊性,对学生来说仍是一个难点,分式方程化整式方程的基本思路是基础,对解出的未知数进行检验确认是必不可少的步骤,所以在此体会解分式方程的基本思路是非常自然、合理的,这对学生认识水平的提高,知识体系的构建是不可缺少的.四、单元学习目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基础上发展学生的抽象能力.2.能通过类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,并利用分式的基本性质进行约分和通分,提高学生的知识类比和迁移能力,发展学生的推理能力.3.通过类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算法则,能进行简单的分式加、减、乘、除运算,逐步提高学生的运算能力.4.结合分式的运算,将指数的范围从正整数扩大到全体整数,了解整数指数幂的运算性质;能用科学记数法表示小于1的正数,发展学生的抽象能力、运算能力和模型观念.5.掌握可化分式方程为一元一次方程的解法,体会解分式方程过程中的化归思想,发展学生的运算能力和推理能力.6.经历利用分式方程解决实际问题的过程,进一步体会方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要模型,培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章 分式 整数指数幂(第2课时)教案.
第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数.2.经历探索用10的负整数次幂来表示绝对值较小的数的过程，完善科学记数法，培养正向、逆向思维能力.【过程与方法】经历探索用科学记数法表示数的过程,理解科学记数法.【情感、态度与价值观】用科学记数法的形式渗透数学的简洁之美，通过完善科学记数法，培养对数学完美形式的追求.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】用科学记数法表示绝对值较小的数.【教学难点】含负指数的整数指数幂的运算，尤其是混合运算以及科学记数法中10的指数与小数点的关系.五、课前准备教师：课件、直尺、科学记数结构图等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课通过上节课的学习，大家明确了整数指数幂具有正整数指数幂的运算性质，这节课我们来学习运用其性质进行有关计算及负整数指数幂在科学记数法中的运用.（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究用科学记数法表示绝对值较小的数教师问1：口答：(1)(3－2)2；(2)[(－4)－3]0；(3)5－3×52；(4)(－0.5)－2；(5)222332--⎛⎫⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(6)4.7×10－4.注：前三个小题计算比较直接，可快速抢答，并陈述所用法则；后三个小题允许学生笔算后再口答，并陈述计算时的注意点，尤其是第(5)小题，有正向、逆向两个思路，注意方法的选择.而(6)为学习科学记数法表示绝对值较小的数作了铺垫.学生回答：（1）3-4=181；（2）1；（3）5-1=15；（4）（-12）-2=（-2）2=4；（5）（23×32）-2=1-2=1；（6）0.00047教师问2：由前面的练习可知4.7×10－4＝0.00047，反过来就是，0.00047＝4.7×10－4，由这个形式同学们能想到什么？学生回答：科学记数法.教师问3：那现在我们就一起研究怎样把绝对值较小的数用科学记数法表示出来.请同学们首先完成以下练习：填空：(用科学记数法表示一些绝对值较大的数)(1)4000000000＝________；(2)－369000＝________；学生回答：(1)4×109(2)－3.69×105教师问4：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？（出示课件4）先完成下面的题目：（出示课件5）填空：（1）0.1=______=______;（2）0.01=______=_______;（3）0.001=______=______;（4）0.0001=_______=______;（5）0.00001=_______=________.学生讨论后回答：（1）110=10-1；（2）1100=10-2；（3）11000=10-3；（4）110000=10-4；（5）1100000=10-5.教师问5：你发现用10的负整数指数幂表示0.0000…001这样较小的数有什么规律吗？请你把总结的规律和你的同伴交流.学生交流后，师生达成共识：表达成10的负整数指数幂的形式时，其指数恰好是第一个非零数前面所有“0”的个数的相反数.教师问6：你能归纳出数学式子吗？学生讨论后回答：教师问7：你能利用10的负整数指数幂，将绝对值较小的数表示成类似形式吗？0.00001＝________；0.0000000257＝2.57×0.00000001＝2.57×________.学生回答：10-5；10-8教师问8：如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？（出示课件6）学生回答：0.0035=3.5×0.001=3.5×10-3；0.0000982=9.82×0.00001=9.82×10-5教师问9：观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？师生共同讨论后解答如下：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．教师问10：归纳：请说一说你对科学记数法的认识.师生共同讨论后解答如下：绝对值较大的数用科学记数法能表示为a×10n的形式，其中，n等于数的整数位数减1，a的取值为1≤|a|<10；绝对值较小的数用科学记数法能表示为a×10－n的形式，其中，a的取值一样为1≤|a|<10，但n的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数.教师讲解：这样，任何一个数根据需要都可以记成科学记数法的形式. a×10n的形式，其中，n为整数，a的取值为1≤|a|<10；例1：用科学记数法表示下列各数：（出示课件7-9）(1)0.005师生共同解答如下：(2)0.0204师生共同解答如下：(3)0.00036师生共同解答如下：例2：计算下列各题：（出示课件11）(1)(－4×10-6)÷(2×103)(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)师生共同解答如下：解：(1)(－4×10-6)÷(2×103)=(-4÷2)(10-6÷103)=-2×10-9(2)(1.6×10-4)×(5×10-2)=(1.6×5)×(10-4×10-2)=8×10-6总结点拨：科学记数法的有关计算，分别把前边的数进行运算，10的幂进行运算，再把所得结果相乘.例3：纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10–9m，把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体？(物体之间间隙忽略不计)师生共同解答如下：（出示课件13）解：1mm=10－3m，1nm=10－9m.(10－3)3÷(10－9)3=10－9÷10－27=1018，1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.（三）课堂练习（出示课件16-20）1.斑叶兰被列为国家二级保护植物,它的一粒种子重约0.0000005克将0.0000005用科学记数法表示为()A.5×107B.5×10-7C.0.5×10-6D.5×10-62.用科学记数法表示下列各数：(1)0.001=________________；(2)-0.000001=_______________；(3)0.001357=____________________；(4)-0.000504=________________________.3.下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数.(1)4.5×10-8=________________；(2)-3.14×10-6=________________；(3)3.05×10-3=___________________.4.计算(结果用科学记数法表示).(1)(6×10-3)×(1.8×10-4)；(2)(1.8×103)÷(3×10-4).5.一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少400公里长的光纤.试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积的多少倍？(用科学记数法表示且保留一位小数)参考答案：1.B2.（1）10-3；（2）-10-6；（3）1.357×10-3；（4）-5.04×10-43.（1）0.000000045；（2）-0.00000314；（3）-0.00305.4.（1）解：原式=1.08×10-6；（2）解：原式=0.6×107=6×1065.解：这种光纤的横截面积为1÷(1.256×10-4)≈8.0×103答：1平方厘米是这种光纤的横截面的8.0×103倍.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:用科学记数法表示绝对值小于1的数绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，1≤│a│<10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面那个0).（五）课前预习预习下节课（15.3）149页到151页的相关内容。
人教版初中数学八年级上册第十五章：分式(全章教案)
人教版初中数学八年级上册第十五章：分式(全章教案)Chapter 15: nsThis chapter covers ns。
ns with ns。
and ___ ns。
as well as using our knowledge of ns to solve real-world problems。
In the middle school entrance exam。
the ___ ns。
___ ns。
___。
and their ns.Key Focus of this Chapter]Using the ___ and combine them。
performing mixed ns with ns。
and solving real-___.Challenges of this Chapter]Performing mixed ns with ns and solving real-___.Thinking Methods in this Chapter]1.Master ___。
___ ns。
and understanding the rules of ns with ___ to the rules of ns with ns.2.Master ___。
___。
___。
___.3.___ method。
For example。
when using ___ real-world problems。
it is ___ model based on the actual problem and then ___ it.15.1 ns15.2 ns with ns15.3 ___2 class hours5 class hours2 class hours15.1 ns15.1.1 From ___ (First Class Hour)I。
Basic ObjectivesKnowledge and Skills]1.___.2.___.3.___-___.Processes and Methods]___ processes。
数学八年级上册第15章分式 教案 新人教版
【预习速填】
第十五章 分式
15.1 分式
1.分式的概念.分式有三个要素:①形如 的式子;②A,B 都是 ;③分母 B 中含有 .满足 这三个条件的式子即为分式.区别整式和分式的唯一标准是看分母中是否含有字母,若分母 中含有字母,则式子就是分式,若分母中字母,则分子是整式.此外,在列分式表示实际问题中 的某个量时,一定要注量关系的转化. 2.分式有(无)意义及分式值为 0 的条件.理解时注意以下几点:①分式的分母表示除数,由于
a，则宽为 (2)把体积为 200 cm3的水倒入底面积为 33 cm2的圆柱形容器中，则水面的高度为
cm；把体积为 V 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中，则水面的高度为 学生举手回答，教师与学生一起及时纠正学生出现的错误，并将正确答案填入横线中. 然后教师引入本节课题，并板书.
探究 1：分式的定义 让学生观察刚才的四个式子，看它们有什么相同点和不同点？
教师板书(1)(2)的解答过程，学生独立完成(3)(4).
解：(1)要使分式 有意义，则分母 3x≠0，即 x≠0.因此，当 x≠0 时，分式 有意 义.
(2)要使分式
有意义，则分母 x-1≠0，即 x≠1.因此，当 x≠1 时，分式
有
意义.
(3)要使分式 有意义.
有意义，则分母 5-3b≠0，即 b≠53.因此，当 b≠53 时，分式
教师引导学生总结：①定符号：只把负号留给分式；②定分子与分母的公因式：各项系 数的最大公因数和相同因式的最低次幂的积;③分式约分的最后结果应为最简分式或整式， 即分子、分母没有公因式.
学生先练习，教师再根据情况指导.
教师总结方法：如果分子或分母是多项式，要先分解因式，再找出分子、分母的公因式， 最后根据分式的基本性质进行约分.
人教版八年级数学上册第十五章分式单元教材分析优秀教学案例
3.小组合作：在教学过程中，我将学生分成若干小组，引导学生共同探讨分式的性质、运算规则等。这种教学方式培养了学生的合作精神，使学生在交流互动中学习和掌握分式的知识。
4.学生通过分式学习，能够总结出分式的性质和运算规则，培养学生的归纳总结能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与分式的学习，对分式学科产生浓厚的兴趣，形成积极的学习态度。
2.学生能够通过分式的学习，感受到数学的乐趣，培养对数学学科的热爱。
3.学生能够理解分式在实际生活中的应用，提高学生学习数学的实用性意识。
其次，针对学生的认知水平，本章节分为三个层次进行教学。第一层次：让学生通过观察、实践、探究，理解分式的概念和性质；第二层次：培养学生运用分式解决实际问题的能力；第三层次：提高学生分析、解决问题的能力，为高中数学学习奠定基础。
最后，教学目标围绕知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度设定。知识与技能目标：掌握分式的概念、性质、运算及分式方程的求解；过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生的数学思维能力和问题解决能力；情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养积极的学习态度和良好的学习习惯。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组学生共同探讨分式的性质、运算规则等，通过小组讨论，让学生在交流互动中学习和掌握分式的知识。我会引导学生关注小组成员之间的交流和合作，鼓励学生提出问题，互相解答，共同提高。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会让学生回顾本节课所学的内容，引导学生自己总结出分式的概念、性质和运算规则。通过总结归纳，让学生加深对分式知识的理解和记忆。
2022年人教版八年级数学上册第十五章分式教案 分式方程(第2课时)
第十五章分式15.3 分式方程第2课时一、教学目标【知识与技能】能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.【过程与方法】1. 以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力.2.培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.【教学难点】将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果.五、课前准备教师:课件、直尺、分式方程的解法等。
学生:三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？这节课我们来学习怎么用分式方程来解决现实生活中的问题。
（出示课件2）教师问:同学们能不能说一下解分式方程的一般步骤是什么？学生回答:解分式方程的一般步骤.(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3) 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.(4)写出原方程的根.（二）探索新知1.创设情境，探究列分式方程解答实际问题教师:请同学们完成下面的题目:（出示课件4）甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？学生小组讨论后回答:（出示课件5）解:设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得:解得:x=18.经检验，x=18是原分式方程的解，且符合题意.由x＝18，得x–6=12答:甲每小时做18个，乙每小时做12个.教师问:请同学们说一说列分式方程解应用题的步骤:学生讨论后回答:读题，设未知数，列方程，解答.总结点拨:（出示课件6）列分式方程解应用题的一般步骤:1. 审:分析题意，找出数量关系和相等关系.2. 设:选择恰当的未知数，注意单位统一.3. 列:根据数量和相等关系，正确列出方程.4. 解:解这个分式方程.5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.6. 答:注意单位和语言完整.教师小结:客观世界中存在着大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题，这也恰恰体现了我们经常谈到的一个关键词:“学以致用”.例1:两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快?（出示课件7）师生共同解答如下:分析:本题没有具体的工作量，常常把工作量虚拟为1，工作时间的单位为“月”.甲队一个月完成总工程的13，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的16，乙队半个月完成总工程的12x，两队半个月完成总工程的16＋12x.等量关系为:甲队单独做的工作量＋两队共同做的工作量＝总工程量1，则有13＋16＋12x＝1. 解:设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的1x，依题意得（出示课件8）方程两边同乘6x ，得2x+x+3=6x ， 解得 x=1.检验:x=1时，6x≠0，x=1是原分式方程的解.答:由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务， 而甲队1个月完成总工程的 13 ，可知乙队施工速度快.例2:某列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？（出示课件11）解:设提速前列车的平均速度为x km/h ，则提速前列车行驶s km 所用的时间为s x h ；提速后列车的平均速度为（x+v ）km/h ，提速后列车运行 （s+50）km ，所用时间为s+50x+v h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:去分母得:s(x+v)=x (s+50) (出示课件12)去括号，得sx+sv=sx+50x.移项、合并同类项，得 50x=xv.解得x=sv 50.检验:由于v ，s 都是正数，x=sv 50时，x （x+v ）≠0，x=sv 50是原分式方程的解. 答:提速前列车的平均速度为 sv 50km/h.例3:关于x 的方程 无解，求k 的值.（出示课件14） 解:方程的两边同时乘(x+3)(x –3)得x+3+kx –3k=k+3整理得:(k+1)x=4k ，因为方程无解，则x=3或x = –3当x=3时，(k+1) ·3=4k，k=3，当x= –3时，(k+1)(–3)=4k ， k=-37所以当k=3或k=-37时，原分式方程无解.（三）课堂练习（出示课件17-23）1. 下列方程中属于分式方程的有（ ）；属于一元分式方程的有（ ）. ① ②③④ x 2 +2x –1=02.解方程:3. 某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？4. 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?(2)若甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作____天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元?参考答案:1. ①③；①2. 解:方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1)得:（x–1）+2（x+1）=4∴x=1检验:当x=1时，（x+1）（x–1）=0，所以x=1不是原方程的根.∴原方程无解.3.解:（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x–9）元/条，根据题意得:3120x−9=4200x，解得:x=35，经检验，x=35是原方程的解，∴x–9=26．答:A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a条A型芯片，则购买（200–a）条B型芯片，根据题意得:26a+35（200–a）=6280，解得:a=80．答:购买了80条A型芯片．4. 解:(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x+30)天完成此项工程.由题意得:20( )=1整理得x2–10x–600=0，解得x1=30，x2= –20.经检验:x1=30，x2=–20都是分式方程的解，但x2=–20不符合题意舍去.x+30=60.答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天.(2)设甲单独做a天后，甲、乙再合作(20–)天，可以完成此项工程.(3)由题意得1×a+(1+2.5)(20–)≤64解得a≥36答:甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量和未知量各有几个，量与量之间的基本关系是什么.(2)设未知数，找出尽可能多的相等关系，用含有未知数的代数式表示其他未知量.注意，所设未知量的单位要明确.(3)列方程，抓住题中含有相等关系的语句，将这些语句抽象为含有未知数的等式，这就是方程.(4)解方程，检验解的合理性(包括检验是否是方程的解，是否符合实际)，写出答案.注意:列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程.不同之处是所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.（五）课前预习预习下节课157页小结的相关内容。
人教版初中数学课标版八年级上册第十五章151分式教案
重点：了解分式的概念，能识别整式、分式；难点：会判断分式中的字母满足什么条件时分式有意义.六、教学过程教师活动预设学生活动设计意图导入新课探究一：分式的概念1.长方形的面积为5，一边长3，则另一边长为_________；2.长方形的面积为S，一边长3，则另一边长为_________；3.长方形的面积为S，一边长a，则另一边长为_________；4.长方形的面积为（），一边长（），则另一边长为____________.思考：观察所列式子，如何对它们进行分类？预设：生1：一类，式子中不含有字母，，，为一类，式子中含有分母；生2:，为一类，式子分母中不含有字母，，为一类，式子分母中含有字母.师：像第一个圈中的式子，我们称他们为整式，分母中都不含有字母，而第二个圈中的式子分母含有字母，你们想如何称呼它们呢？通过长方形的实际背景问题引入，让学生在具体情境中抽象出数量关系和变化规律，培养符号感，体会数学是源于生活的思想，增强数学的应用意识.同时，让学生认识到从分数到分式的发展.同时，让学生对所列式子分类，有助于学生理解分式与分数、分式与整式的区别和联系.形成概念分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，叫做分子，叫做分母.思考：（1）分式与分数有何联系？①分数中不含有字母，分式中分母一定含有字母；②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.（2）分式与整式区别是什么？整式分母不含有字母，分式的分母中含有字母.（3）既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称让学生了解分式的概念是一种形式概念，它与整式的本质区别是它的分母中含有字母.为什么呢？有理式小试牛刀例1.下列各式哪些是整式？哪些是分式？2.请你说出一个式子，让你的同桌判断是整式还是分式？设置小试牛刀这一环节，意在及时巩固刚刚学会的新知识，进行概念的辨析，能区分整式与分式.提炼方法归纳小结：1、判断时，注意含有的式子，是常数.2、式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如： .及时引导学生归纳易错点，提高认识.探究二探究二：分式有意义的条件例2.引例中的问题4 分式，（1）当时，分式的值是多少？当时，分式值为（2）当，能算出来吗？当，分式的分母（3）当x为何值时，分式有意义？通过给分式中的字母赋值，让学生体会分式比分数更具有一般性，从分式到分数，体现了从一般到特殊的应用过程.同时让学生发现分母为0的情况，通过与分数类比，得出分式有意义的条件，渗透类比的数学思想.提炼方法归纳：对于分式，当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.引导学生及时对解题方法进行总结，提高认识.小试牛刀下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？（写出过程）（1）（2）（3）（4）通过练习，让学生巩固解题方法.探究三探究三：分式值为零的条件例3：已知分式，当为何值时，分式的值为0？解：分式的值为0，因此分子的值为0，又因为分式分母不能为0，则进一步与分数类比，得出分式值为0的条件，渗透类比的数学思想.提炼方法归纳小结对于分式，当时，分式值为0.引导学生及时对解题方法进行总结，提高认识.小试牛刀当下列分式中的字母满足什么条件时分式的值为0？（1）（2）（3）通过练习，让学生巩固解题方法.游戏环节环节一：各显神通游戏规则：在第一环节中，为必答题.看到题目后，每组选取一个代表，按照组的顺序依次答题，答题过程中其他组不得讨论.答对一题得10分，答错不得分.1.长方形的面积为Scm²,长为7cm.宽应为______cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为______;2.把体积为200cm³的水倒入底面积为 33cm²的圆柱形容器中,水面高度为_____cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为 ___ ;3、△ABC的面积为 S ，BC边长为 a，高AD为______4、某村有n个人，耕地 40 公顷，人均耕地面积为_____ 公顷；5、甲完成工作量为m的工作需t小时，则甲的工作效率为______，乙完成同样工作比甲少用1小时，则乙的工作效率为________.环节二：眼疾嘴快游戏规则：第二环节为抢答题，看到题目后，任何人都可以回答.回答时先举手，答对得10分，答错不得分.游戏环节再次提升学生的兴趣.教师鼓励学生开阔思路、大胆发言、不断出新，师生共同分享“突发奇想”、掌握知识的喜悦，培养学生参与竞争的意识.综上所述：1、一辆汽车行驶a 千米用b小时，它的平均车速为千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为千米/小时.2.下列式子中，是分式的是_________①，②，③，④，⑤，⑥，⑦3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）A. B. C. D.4.一个分子为x－5的分式，且知它在x≠1时有意义.你能写出一个符合上面条件的分式吗？试试看.拓展提高 1.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？2.在什么条件下，分式的值为0？让学有余力的学生有拓展思维的空间.学生感悟与反思引导学生思考并回答以下问题：通过本节课我知道了……我能……需要注意的是……我感悟了....数学思想鼓励学生大胆发言，审视自己本节课的学习效果.教师引导课堂小结1、分式的概念；2、分式有意义的条件；3、分式值为零的条件；4、数学思想方法：类比思想、从特殊到一般、从一般到特殊、转化思想.小结本节课所学知识，引导学生建构自己的学习框架，升华认识.布置作业1、书本P133 习题 15.1 1，2，32、《优化设计》课时作业课后作业的布置，使课堂学习的知识得到巩固和延伸.。
人教版数学八年级上册教学设计15.1《分式》
人教版数学八年级上册教学设计15.1《分式》一. 教材分析人教版数学八年级上册第15.1节《分式》是初中数学的重要内容，主要让学生了解分式的概念、性质和分式的运算。
本节内容为后续的分式方程和不等式的学习打下基础。
教材通过丰富的实例引入分式，让学生在具体的情境中感受分式的意义，进而总结出分式的概念。
本节课的内容包括分式的定义、分式的基本性质、分式的运算以及分式的化简。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、代数式的相关知识，具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但是，对于分式的理解还需要通过具体的实例来帮助学生建立直观的认识。
学生在学习过程中可能对分式的运算规则和分式的化简部分存在一定的困难，因此需要教师在教学过程中进行详细的讲解和引导。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握分式的概念、性质和分式的运算方法，能够正确进行分式的化简。
2.过程与方法：通过实例引入分式，让学生在具体的情境中感受分式的意义，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生能够自主探究、合作交流。
四. 教学重难点1.重点：分式的概念、性质和分式的运算。
2.难点：分式的化简以及分式运算的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的实例引入分式，让学生在实际情境中感受分式的意义。
2.启发式教学法：引导学生主动探究分式的性质和运算规律，培养学生的抽象思维能力。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神，提高学生的交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引入分式和解释分式的概念。
2.准备分式的运算练习题，用于巩固学生的运算能力。
3.准备分式的化简示例，用于引导学生掌握分式的化简方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入分式，如“一块土地的长是宽的2倍，若长方形土地的面积为36平方米，求这块土地的宽是多少米？”让学生在具体的情境中感受分式的意义。
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第十五章分式 §15.1.1从分数到分式一、 教学目标1.了解分式概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程（一）让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，.（二）问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时，所以=. （三） 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 才有意义.（四）例题讲解例1. 当x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？（1）（2） (3)[分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. （五）随堂练习1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ，2. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1） （2） （3）710as 33200sv v+20100v -2060v +20100v-2060v+20100v -2060a ssv BAx7209y +54-m 238y y -91-x 1-m m 32+-m m 112+-m m 4522--x x xx 235-+23+x 2312-+x x3. 当x 为何值时，分式的值为0？（1） （2） (3) （六）小结： 谈谈你的收获。
（七）布置作业P133习题15.1 第2、3、4题。
§15.1.2分式的基本性质（一）一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式约分. 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点重点: 理解分式的基本性质. 掌握约分.难点: 灵活应用分式的基本性质将分式约分. 三、教学过程第一步：课堂引入1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？ 2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）同一个整式，使分式的值不变.可用式子表示为：＝ ＝（C ≠0）第二步：例题讲解例2.填空：（1) = (2) =例3．约分： （1） （2）第三步：随堂练习 1．填空：(1) = (2) =2．约分：B AC B C A ••BA CB CA ÷÷c a b ++1()cn an +()222y x y x +-()yx -532164xyz yz x -x y y x --3)(2x x x 3222+()3+x 32386b b a ()33a x x 57+x x3217-x x x --2214320152498343201524983（1） （2） 第四步：小结： 谈谈你的收获。
第五步：布置作业P133习题15.1 第5、6、题板书设计§15.1.2分式的基本性质（二）一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式通分. 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点重点: 理解分式的基本性质. 掌握通分.难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、教学过程第一步：复习引入1．判断下列约分是否正确： （1）= （2）= （3）=02．通分和 、 和第二步：例题讲解例4．通分：（1）和 （2）和[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母. 第三步：随堂练习 1．通分：（1）和 （2）和第四步：小结谈谈你的收获。
cab b a 22632228mn n m c b c a ++b a 22y x y x --y x +1n m n m ++223ab c 28bc a -11-y 11+y 321ab c b a 2252xy a223x b 43651218332第五步：布置作业P133 习题15.1 6、7题。
§15．2．1分式的乘除(一)一、教学目标：1.理解分式乘除法的法则2.会进行分式乘除运算.3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、教学过程 （一）课堂引入1.出示P135本节的引入的问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.P135[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.2．[提问] P135[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. （二）例题讲解P136例1. （1） （2）[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.P136例2. (1) (2)[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.P136例3.[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是、，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a 2-2a+1<a 2-2+1,即(a-1)2<a 2-1，可得出“丰收2号”单位面积产量高. （四）随堂练习nmab v ⋅⎪⎭⎫⎝⎛÷n b m a 322542nm m n ⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x x y 274411242222++-⋅+--a a a a a a )3(2962y y y y -÷++-15002-a ()21500-a计算（1） （2）-8xy （3）（五）小结谈谈你的收获。
（六）布置作业P146习题15.2 第1题§15．2．1分式的乘除(二)一、教学目标：1.掌握分式乘除法的法则2.熟练地进行分式乘除法的混合运算. 3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 三、教学过程 1、课堂引入计算（1） (2)2、例题讲解例4.计算(1) (2) [分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.（补充）例.计算(1)= (先把除法统一成乘法运算) = （判断运算的符号） ab c 2cb a 22⋅x y 52÷b a ab ab b a 234222-⋅-)(xy yx xy -⋅÷)21()3(43xyx yx -⋅-÷)2(216322b a a bc a b -⋅÷9323496222-⋅+-÷-+-a a b a ba a )4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅x b b a xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅xbb a xy y x ab 349823232⋅⋅= （约分到最简分式） (2) = (先把除法统一成乘法运算)= (分子、分母中的多项式分解因式)==3、随堂练习计算(1) （4） 4、小结谈谈你的收获 5、布置作业P146习题 2、题§15．2．1分式的乘除(三)一、教学目标：1.理解分式乘方的运算法则2.熟练地进行分式乘方的运算3.渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、教学过程 （一）课堂引入 计算下列各题：（1）==（ ） (2) ==（ ）（3）==（ ）32916axb x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(444622x x x x x x x --+⋅+⋅+--3)2)(3(31444622x x x x x x --+⋅+⋅--3)2)(3(31)2()3(22)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x 22--x )6(4382642z y x yx y x -÷⋅-22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-2)(b a ⋅b a b a 3)(b a ⋅b a ⋅b a b a4)(b a ⋅b a ⋅b a b a ba⋅[提问]由以上计算的结果你能推出（n 为正整数）的结果吗？（二）例题讲解例5.计算(1) (2)[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. （三）随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）= （2）= （3）= （4）= 2．计算(1) （2） （2） （3） （4) (5) （四）小结谈谈你的收获。
（五）布置作业P146习题第3题板书设计§15．2．2分式的加减（一）一、教学目标：1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算.2.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.3.渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.n ba)(332)2(a b -4234223)()()(c aba cb ac ÷÷23)2(a b 252a b 2)23(a b -2249a b -3)32(x y -3398xy 2)3(b x x -2229b x x -22)35(y x 332)23(c b a -32223)2()3(x ay xy a -÷23322)()(z x zy x -÷-)()()(422xy x y y x -÷-⋅-232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅-三、教学过程 （一）课堂引入1.出示问题3、问题4，教师引导学生列出答案.引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？4．请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？ （二）例题讲解例6.计算(1) （2） [分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；（补充）例.计算（1）(2) 解：= ====（三）随堂练习计算（1） （2） （四）小结谈谈你的收获。