圆锥曲线小题练习

【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点 的坐标，利用向量法求出点 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率 用参数 表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．
2．A
【解析】
试题分析：不妨设 为椭圆的右焦点，点 在第一象限内，则由题意，得，代入椭圆方程，得，结合 ，化简整理，得 ，即 ，解得 ，故选A．
31．已知点 分别是双曲线 的左、右焦点，若点 在双曲线 上，且 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
32．点 是抛物线 的对称轴及准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
33．若直线 及双曲线 的左支交于不同的两点，则 取值范围为（ ）
圆锥曲线小题练习02
1．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且 =2 ,则直线OM的斜率的最大值为
（A） （B） （C） （D）1
2．椭圆的一个焦点为 ，该椭圆上有一点 ，满足 是等边三角形（ 为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．若抛物线 上有一条长为6的动弦 ，则 的中点到 轴的最短距离为（ ）
55．设椭圆的两个焦点F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰Rt△，则椭圆的离心率_____________.
56．已知椭圆C：，斜率为1的直线 及椭圆C交于 两点，且，则直线 的方程为.
57．抛物线 上两点 、 关于直线 对称，且，则 等于.
58．直线 及椭圆相交于 两点，则
A．5B．4C．3D．2
37．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
38．若椭圆和双曲线有相同的左右焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则 的值是（）
A. B.
C. D.
39．点 是双曲线 在第一象限的某点， 、 为双曲线的焦点.若 在以 为直径的圆上且满足 ，则双曲线的离心率为（ ）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 ，A（x1，y1）B（x2，y2）．
由 ．…（4分）
∴ =x1x2+y1y2= = = ．
综上， = 为定值．…（6分）
故选B．
8．C
【解析】
试题分析：双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为 ，又 ，即， ，解得.
考点：双曲线、抛物线的性质.
9．B
【解析】本题考查直线和抛物线的综合应用。设直线AB方程为 ，A ，B ，由借助根及系数关系得： =1，，又 所以 =0，得斜率
A. B. C. D.
28．椭圆上的点到直线 的最大距离是（ ）
A、3B、 C、 D、
29．已知点 为双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左右焦点，且， 为三角形 的内心，若 ， 则 的值为（ ）
A．B． C． D．
30．设M为椭圆上的一个点， , 为焦点, ，则 的周长和面积分别为 （）
A.16， B.18， C.16， D.18，
12．C
【解析】
试题分析：设 ，根据抛物线的焦半径公式： ，所以 ， ，代入双曲线的方程，，解得： ，所以，双曲线方程是，渐近线方程是
考点：1．双曲线方程和性质；2．抛物线的定义．
名师点睛：对应抛物线和两个圆锥曲线相交的问题，多数从交点所满足的抛物线的定义入手，得到交点的坐标，然后代入另一个圆锥曲线，解决参数的问题．
A. B. C. D.
40．已知点 是以 为焦点的椭圆上一点，若 ，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B. C． D．
41．已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．
42．设抛物线 （t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（ p,0），AF及BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为 ，则p的值为_________.
12．已知双曲线及抛物线 的一个交点为 ， 为抛物线的焦点，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．已知双曲线C： ﹣ =1，若存在过右焦点F的直线及双曲线C相交于A，B 两点且 =3 ，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
14．过椭圆左焦点 作x轴的垂线交椭圆于点P， 为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
解：∵椭圆方程为，
∴a2=25，可得a=5
∵△MF1F2中，N、O分别为MF1和MF1F2的中点
∴|ON|= |MF2|
∵点M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a=10
∴|MF2|=10﹣|MF1|=8，
由此可得|ON|= |MF2|= =4
故选：B
点评：本题给出椭圆一条焦半径长为2，求它的中点到原点的距离，着重考查了三角形中位线定理、椭圆的标准方程及简单几何性质等知识，属于基础题．
47．若抛物线 的焦点及椭圆的右焦点重合，则 的值为
48．已知直线l： 及 交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则___________．
49．已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线的左顶点为 ，若双曲线一条渐近线及直线 垂直，则实数 ．
50．已知直线l1：4x﹣3y+16=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1的距离为d1，动点P到直线l2的距离为d2，则d1+d2的最小值为
59．已知 、 是椭圆（ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为9，则 =____________.
60．直线 及椭圆相交于A,B两点，且 恰好为AB中点，则椭圆的离心率为
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：设 （不妨设 ），则
，故选C.
【考点】抛物线的简单几何性质，平面向量的线性运算
∵x1≤﹣a，x2≥a，
∴3x2﹣x1≥4a，
∴2c≥4a，
∴e= ≥2，
∴双曲线离心率的最小值为2，
故选：C．
考点：直线及圆锥曲线的综合问题．
14．B
【解析】
试题分析：由题意，得，在 中，， ，所以，即 ，即 ，解得；故选B．
A． B．
C．1 D．2
4．过抛物线 的焦点作一条直线交抛物线于 ，则 为（）
A、4 B、-4 C、 D、
5．如图， ， 是双曲线 ：及椭圆 的公共焦点，点 是 ， 在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则 的离心率是（）．
A． B． C. D．
6．若抛物线 的焦点是双曲线的一个焦点，则实数 等于（ ）
考点：抛物线的概念.
4．B.
【解析】解：特例法：当直线垂直于 轴时，
5．
【解析】
试题分析：由题意知，
的离心率是，故选
考点：椭圆、双曲线的几何性质.
6．C
【解析】双曲线的焦点坐标是 ， ，
抛物线 的焦点坐标是
所以，或
得
故选
【考点】抛物线和双曲线的焦点.
7．B
【解析】
若直线l垂直于x轴，则 ， . = ．…（2分）
A． B．
C． D．
34．曲线 及直线 交于 两点， 为 中点，则 （ ）
A B C D
35．椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
36．过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线 及抛物线在第一、四象限分别交于 两点，则的值等于（）
51．已知 是椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，若
52．过点 作直线 交椭圆于 两点，若点 恰为线段 的中点，则直线 的方程为．
53．过椭圆的左顶点 作斜率为 的直线 交椭圆于点 ，交 轴于点 ， 为 中点，定点 满足：对于任意的 都有 ，则 点的坐标为．
54．已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上的一点，且 为坐标原点）为正三角形，若射线 及椭圆相交于点 ，则 及 的面积的比值为______．
A． B．1C．2D．4
18．设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为
A． B． C． D．
19．椭圆上存在 个不同的点 ，椭圆的右焦点为 。数列 是公差大于 的等差数列，则 的最大值是（ ）
A.16 B.15 C.14 D.13
20．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：， 点 是它的两个焦点，当静止的小球放在点 处，从 点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点 时，小球经过的最长路程是（ ）
A.20 B.18 C.16 D.14
21．已知点 ，椭圆 及直线 交于点 ，则 的周长为( )
A．4B．8C．12D．16
22．我们把离心率的椭圆叫做“优美椭圆”。设椭圆为优美椭圆，F、A分别是它的右焦点和左顶点，B是它短轴的一个端点，则 等于（ ）
A.600B.750C.900D.1200
23．在椭圆上有一点 ， 是椭圆的左、右焦点， 为直角三角形，则这样的 点有（ ）
A. B. C. D.
7．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 ， 为坐标原点，则 的值
A． B．C． D．
8．已知双曲线 的两条渐近线及抛物线 的准线分别交于 、 两点， 为坐标原点， 的面积为 ，则双曲线的离心率 （ ）
A. B. C. D.