高考数学-复合函数常考题型

复合函数常考题型
复合函数常考的题型有：
（1）求解定义域问题
（已知的定义域，求的定义域；已知的定义域，求的定义域；
已知的定义域，求的定义域）遵循等位等效性原则。

（2）判定函数单调性问题：
已知函数))
(x
g
u=在区间b
y=.若)
g
(x
(
f
a,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数
g
(x
f
y=在区间b f
(
(u
)
y=在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))
a,(）上是增函数.遵循同增异减原则。

一、复合函数定义域问题：
(1)、已知的定义域，求的定义域
例1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。

解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）
又f对lnx作用，作用范围不变，所以
解得，故函数的定义域为（1，e）
例2. 若函数，则函数的定义域为______________。

答案：
（2）、已知的定义域，求的定义域
思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。

例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。

解析：的定义域为，即，由此得 所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以
即函数
的定义域为
例4. 已知，则函数的定义域为______________。

答案：
（3）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即
，由此得，
的作用范围为E ，又f 对
作用，作用范围不变，所以，解得，F 为
的定义域。

例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：
的定义域为
，即
，
由此得的作用范围为
又f 对作用，所以，解得
即的定义域为。

二、复合函数单调性问题
已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数
)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.
例、证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21
因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即
),(,21,21d c u u u u ∈>且
因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.
复合函数的单调性是由两个函数共同决定 “同向得增，异向得减”或“同增异减”. 复合函数))((x g f y =的单调性判断
例1、 求函数)32(log 22
1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或
单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则
)32(log 1212
11--=x x y )32(log 22
22
12--=x x y
---)32(121x x )32(22
2--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数12
1
0<< ∴012<-y y 即 12y y <
∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数
例2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.
［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.3
1
,1|{-<>x x x 或
则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.
若3
1
-<x ，∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，
若3
1
-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.
例3、.已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 答案：0<a<1
或1＜a ＜2例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ， 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a ， 解得.3
7
213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a
∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ，即.1)(2+-=x x f
242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==，
∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F
假设存在实数)0(<p p ，使得)(x F 满足条件，设21x x <，
∴].12)()[()()(22
21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数，
∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022
212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x ,∴11612)(22
21-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①
当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F
∵02221>-x x ,∴11612)(22
21--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②
由①、②可知161-
=p ，故存在.16
1
-=p
针对性课堂训练
一、复合函数定义域问题部分
1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数
)x (f 2的定义域。

答案：]1,1[-
2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-
3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)
23
,1()0,21(⋃-
二、复合函数单调性问题：
1、函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
答案（2，＋∞） 2、找单调区间. （1）)1(2
32>=++-a a y x x
； （2）.2
3
22++-=x x y
答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),2
3
[+∞上是减函数。

（2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。

3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。

答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。