考研讲义数三经济部分

第十三章微积分在经济学中的经济应用（数三）

《考试要求》

1.掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。

2.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

3.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4.会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。

一、.极限及级数在经济学中的应用

（一復利：

设某银行年利率为r,初始存款为A o元，

t （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为A t A o 1 r

（2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为A A o（1 -）nt

t n

（3）由于lim [（1 -）r ]rt，所以当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到的存款n n

余额为A t Ae"

称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。

（二）将来值与现值：

上述结论中，称A t是A o的将来值，而A o是A t的现值。现值与将来值的关系为：

A t A o（1 r）t A o A t（1 r）t或A A o（1 r）t A o A t（1 r）t

例1现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款,每年付款数目相

同,1o年付清，

年利率为6%,按连续复利计算，问每年应付款多少？

例2（08）设银行存款的年利率为r 0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元, 并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？

经济学中的常用函数

需求函数：Q Q(P),通常Q Q(P)是P的减函数；

供给函

Q Q(P),通常Q Q(P)是P的增函数；

数：

成本函数：C(Q) C o C i(Q),其中C o C(0)为固定成本，C i(Q)为可变成本;

收益函数：R PQ;

利润函数：L(Q) R(Q) C(Q).

例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1 和p2 , 销售量分别为q1 和q2 , 需求函数分别为q1 24 02p1 , q2 10 0.05p2 , 总成本函数为C 35 40(q1 q2) , 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？

例2( 99)设生产某种产品必须投入两种要素,x1和x2分别为两种要素的投入量,Q为产出量；若生产函数为Q 2%| x2,其中，为正常数，且格分别为P i和

P2试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?

12的条件下，求总费用P i X i P2X2的最小值，为此作拉格

朗日函数

F(X1，X2，) P1X1P2X2(122X1 X2 ).

P12X1X20， (1)

片

F P

22X

X20， (2)由(1)和(2)，得

122X1 X20.⑶

(■Pj) ，X2 6(卫」)时，投入总费用最小

P1 P2 1，假设两种要素的价

解需要在产出量2x1 x2

X2 6(匚)，X1

因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故当P1

.利用导数求解经济应用问题

(一)、边际量:

当某经济量y y(x)的自变量X 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量，如

边际成本、

边际收益、边际利润等,由于y(x 1) y(x) y (x),且对于大数而言,一个单位可以看成是微小的，习惯

上将y (x)视为y y(x)的边际量.

1、定义：设y f x 或y f x,t ,则称?或一y 为y 关于x 的边际函数。

dx x

2、经济学含义：dy 表示自变量x 增加一个单位时经济量 y x 的改变量。

(二)、弹性函数：

1、定义：设某经济量y y(x)，称 Ey 一y --dy 为y y (x)的弹性函数。

Ex d x % y dx

2、

经

济学含义：当自变量x 增加1%时，经济量y y(x)增加( o 时)或减小(

时) %。

3、需求弹性：由于一般情况下需求函数 Q Q(P)是P 的减函数，因此定义需求对

价格的

C(x) 400 3x |x 2

,而需求函数为 P 学，其中x 为产量(假定等于需求量),P 为价格，试求

(1) 边际成本；(2)边际收益；(3)边际利润；(4)收益的价格弹性

弹性 E

EQ = pdQ EP = Q dP

(恒正，表示价格增加1%时需求减小E p %)

例1设某产品的成本函数为

例2设某商品的需求函数为 Q f(P) 12 - p

(1) 求需求弹性函数及 P=6时的需求弹性，并给出经济解释。 (2) 当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多

例3( 15)为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。 P 为价格，MC 为边际成本，

为需求弹性(正数)

(1)证明定价模型P

= —1

1 —

C(Q) 1600 Q 2,需求函数Q 40 P,试由(1中的定价模型确定此商品的价格

设Q 为需求量,

⑵若成本函

例4(04)某商品的需求函数为 Q = 100 5P ,其中价格P (0,20), Q 为需求量? (I)求需求量对价格的弹性

E d ( E d > 0)；

E d )(其中R 为收益)，并用弹性E d 说明价格在何范围内变化时,

低价格反而使收益增加

例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 10000(万元)，设该企

业生产甲、乙两种产品的产量分别为

x (件)和 y (件)，且固定两种产品的边际成本分别

为20 2 (万元/件)与6

y (万元/件).

(I) 求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元).

(II) 当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本 (III)

求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意

义。

(II)推导 Q(1

例6 (09)设某产品的需求量函数为Q Q(P),其对价格P的弹性P0.2，则当需

求量为10000件时，价格增加1元，会使产品收益增加_________ 元?

例7已知某商品的需求量X对价格p的弹性3p3,而市场对该产品的最大需求量为1 (万件),求需求量函数

例8设生产某产品的固定成本为10,当产量为x 时的边际成本为

MC 3x 2 20x 40,边际收益为 MR 10x 32.试求

(1)总利润函数；(2)使总利润最大的产量?

例9设产品的需求函数为 Q Q(p)，收益函数R pQ ，其中p 为产品价格，Q 为需求量(产品的产量)，Q(p)是单调减少函数。如果当价格为 p 0对应产量为Q 0时，边际收

b 1，求 P 0，Q 0。

益dR

Q Q

a 0 ,收益对价格的边际效应 dR dp p

c 0。需求对价格的弹性为

四、差分方程及其在经济学中的应用

(一)、差分与差分方程的概念及性质

定义：若记y y(t)为y t ，则称差y t 1 y t 为函数y t 的一阶差分，记为

含有y t 1, y t 或y t 的等式叫一阶差分方程。定理：线性差分方程的性质：

1、若丫丫 t 为线性齐次差分方程 y t i p t y t 0的解，则通解y

2、若y 为线性非齐次差分方程 y t 1 p t y t f t 的一个特解，y 的

1 % y

2 为 y t 1 p t y t 0 的解；一(％ y 2)仍为 y t 1 p t y

(二)一阶线性常系数差分方程的解法

1、一阶线性常系数齐次差分方程

y t1 ay t 0的解法：

特征方程：r a 0,特征值：r a ,通解：y t Ca t . 2、一阶线性常系数非齐次差分方程

y t 1 ay t f (t)的解法：

+ * *

方程的通解为y t Ca y t ，其中％为原非齐次方程的特解。当 f(t)

* k t

0, d a *

设特解形式为 y t Q m (t)d ,其中k

.，y t 可用待定系数法求之:

线性齐次差分方程

y t 1

p t y t

0的通解，则 Y cY Y 为 y t 1 p

通解。

3、若y 为y t 1

p t y t f 1 t 的特解，y 2 为 Y t 1 p t y t f 2 t

则 Y 1

Y 2 为y t 1

p t y t

f 1 t

f 2 t 的特解。

4、若 y 1,y 2 均为 y t 1

p t y t

f t 的解,

则

y t y t 1 y t ；

cY t ； cY t 为对应

t y t f t 的

的特解，

f t 的解。

P m (t)d t 时,

1, d a

(三八典型例题

例1 (01,1)某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以W t表示第t年的工资总额(单位：百万元),则W t满足的差分方程是_______________ .

例2 (98)差分方程2y t 1 10y t 5t 0的通解为_____________

例3差分方程y t 1 2y t 3t的通解为 _____________

例4 (97)差分方程2y t t2t的通解为_________

例5求y t i 2y t 3t t2t的通解。

例 6 已知Y(t) 2t,Y,(t) 2t 3t为y t i p(t)% f(t).的解，求p(t),f(t)

例7设某养鱼池一开始有某种鱼A。条，鱼的平均年净繁殖率为R，每年捕捞X条，要使n 年后鱼池仍有鱼可捞，应满足什么条件？