复变函数5.3第三节、整函数与亚纯函数

Department of Mathematics
第五章
第三节、整函数与亚纯函数
整函数的概念
如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就
称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤 立奇点。在C上，f(z) f(z)围绕无穷远点的洛朗展 式也就是其泰勒展式：

f (z) nzn, n0
当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去 奇点；当f(z)是 n( 1) 次多项式时，无穷远点是 它的n阶极点；在其它情况下，无穷远点是f(z) 的本性奇点，而这时称f(z)为一个超越整函数。
R | z |
内解析。在 | z | R 上，f(z)只可能有有限个极点
，因为否则极点的极限点既不是极点，而且函 数也不可能在这点解析，这是不可能的。因此 f(z)只可能有有限个极点，设为
z1, z2,..., z p
亚纯函数的刻画
此外，无穷远点是可去奇点或极点。在每一个 有限点附近把f(z)展开为洛朗级数，并且设在点
而当无穷远点是可去极点时，令 g(z) 0.
令
F(z) f (z) R(z)
其中 R(z) h1(z) h2 (z) ... hp (z) g(z)
是一个有理函数。函数F(z)除去 z1, z2 ,..., z p在
有可去奇点外，在其余各点解析；这是因为由
于展式的唯一性，F(z)在 z1, z2 ,..., z p 及
那 么 z 是 f(z)-g(z) 的 可 去 奇 点 。 因 此 ， f(z)=g(z)+C，其中C为一个常数。
定理的必要性显然成立。
亚纯函数的概念
如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，
到处解析，那么它就称为一个亚纯函数。
亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个 极点。例如 1 是一个亚纯函数，它有极点
z 的主要部分是：
h (z)

c() 1
z z

c() 2
(z z )2
...
(z
c()
z )
( 1,2,3,..., p);
当无穷远点是极点时，在这点的主要部分是：
g(z) A1z A2z2 ... Aq zq;
亚纯函数的刻画：
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或可去奇点（当 n m 时），在这里
k , l (k 0,1,2,...,n;l 0,1,2,...,m)
是复常数，m及n是正整数。
定理10.2
定理10.2如果无穷远点是亚纯函数的可去奇点 或极点，那么是一个有理函数。
证明：如果无穷远点是f(z)的可去奇点或极点， 那么可找到一个有限的R，使得f(z)在
整函数。
证明：设 z 是f(z)的可去奇点，那么为lim f (z)
有限复数，从而f(z)有界，由刘维尔定理，zf(z)恒
等于一个常数。
设 z 是f(z)的极点或本性奇点时，设f(z)在
z 的主要部分是
n

g(z) k zk或 k zk
k 1
k 1
整函数与亚纯函数的概念
sin z
z k (k 0,1,...)
有理函数
0 1z 2z2 ... n zn 0 1z 2z2 ... m zm
(n , m

0)
亚纯函数的概念
也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限 个极点，而无穷远点是它的极点（当n>m时）
也是代一数个整基函本数定，因理为：P1(z)
|
P(
z)
||
zn
(
n

n 1
z

...

0
zn
)
|
|
z
|n
(| n
|
|
n 1
|z|
|

...

|
|z
0|n|)
|
(z

0)
所以我们有
lim | P(z) | ,lim 1 0,
z
z P(z)
代数基本定理：
因而 1 在全平面上有界，于是根据刘维尔定理，
代数基本定理：
例如
ez ,sin z,cos z
都是超越整函数，无穷远点是它们的本性奇点 。由刘维尔定理，我们有
代数基本定理：任何 n( 1) 次代数方程至少有一个 根。
证明：设
P(z) n zn n1zn1 ... 0 (n 0)
是一个这样的代数方程。我们要证明整函数P(z)至 少有一个零点。反证之，假定P(z)没有零点，那么
P(z) 1
P(z) 恒等于0，与所设矛盾，因此P(z)至少有 一个零点。
注解1、此定理也表明，任何n次多项式恰有n个 根。 注解2、此定理具有非常广泛的应用。
整函数
定理10.1 设f(z)是一个整函数，按照 z 是可
去奇点、 n( 1) 阶极点或本性奇点，必须而且 只需f(z)是恒等于常数、n( 1) 次多项式或超越
附近的洛朗展式都不包含主要部分。因此，令
F
( z
)

lim
zz
F (z)(

1,2,3,... p),
F(z) 就 是 一 个 有 界 整 函 数 。 由C（常数），从而f(z)= R(z)+C。
It’s The End！
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Complex Function Theory