高中数学 向量 板块二 平面向量基本定理与坐标表示完整讲义(学生版)
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
高中数学新教材第二册第六章《6.3平面向量的基本定理及坐标表示》全套课件
其中实数t叫做参变数，简称参数.
（2）特殊：当t＝1 时，点M是中点，
O
2
M A
L
则OM＝OA OB (线段AB中点的向量表达式） 2
一、知识梳理
例2.设e1,e2是不共线的非零向量， 且a = e1 - 2e2,b = e1 + 3e2 （1)证明：a,b可以作为一组基底；
（2)以a,b为基底，求向量c = 3e1 - e2的分解式； 所以不存在，故a,b不共线，可以作为一组基底。
OA 1e1
a 1e1 2 e2
OB 2e2
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底，记为： e1，e2
新课引入
F1
F2
G
G与FG1,=FF2有1+什F2么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
A
DB AB AD a b
MA AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
22
MD 1 DB 1 a 1 b
2
22
M
a
B
一、知识梳理
已知点M是三角形AOB的边AB的中点，若OA＝a，OB＝b， 则OM 1（a b）
高二数学向量基本定理及坐标表示PPT教学课件
∴
x 3 ∴ 3
2. (教材改编题)如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，
设AB=a,AC=b,则AD可用a,b表示为12 a+
1 2
b
.
3. 在正三角形ABC中，AB与BC的夹角为120°.
2.解析： A D 1 (A B A C ) 1 (a b )
2
2
3.解析：在正三角形ABC中，B＝60°， ∴与的夹角为60°，∴与的夹角为180°－60° ＝120°.
4. (2011·聊城模拟)已知向量 a=(3,4),b=(sinα,cosα),
3
且a∥b，则tanα= 4 .
5. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 AB=(2,4),AC=(1,3)，则BD=(B ) A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)
O A a,O Bb 用, a、b为基底表示 OM
解 设 O M m a n b ( m , n R ) , 则
A M O M O A ( m 1 ) a n b ,
A D O D O A 1 b a a 1 b .
2
2
.
因为A，M，D三点共线，
所以
m 1 1
n 1
x1y2-x2y1=0
a= λb
基础达标
1. (原创题)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则向量2a+3b-
c的坐标1为( )
A
A. (-3,4)2 B. (3,4) C. (1,5) D. (3,-5)
解 (－析3,：3)－2a(＋2,31b)＝－(12 2c－＝32－(1,21,)2＋＋33(－－11),1＝)－(－12 (34,4,2))．＝(2,2)＋
平面向量的基本定理及坐标表示 课件
d
a AB (4,5) (2,2) (2,3)
yj
a (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
x a (x, y)
O
x叫做 a 在x轴上的坐标，
i xi
y叫做 a 在y轴上的坐标，
正交单位
基底
(1)向量
i ,
j
方向 与
(x,y)叫做向量的坐标表示.
x 轴y轴同向,且 i 1,0 j 0,1
i j 1, i 与j垂直
a （2）对于给定向量 ,必有一对实数（x,y）与它对应；
思考？ 在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
平面向量的正角分解及坐标表示.
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力
为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
物理背景:
F1
向量的
G
F2
正交分解
三.平面向量的正角分解及坐标表示.
y
a xi +y j
一、平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a
高中数学课件 平面向量的基本定理及坐标表示共25页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高中数学课件 而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 新人
2．关于两向量的夹角 (1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的 范围是[0°，180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一
平面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2，在具体求 λ1， λ2 时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求 解．
跟踪训练 3 已知△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是将O→B分成 2 1 两部分的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝ a，O→B＝b.
2．两向量夹角概念的正确理解 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量 平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的 角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量C→A与向量A→B的 夹角，∠BAD 才是向量C→A与向量A→B的夹角．
|自我尝试|
1．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作
为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的
向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基
底中的向量．其中正确的说法是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内 所有向量的基底，基底本身也可以用这组基底表示，故①错；②对； 由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．
(完整版)高中数学平面向量讲义
平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任向来量rr r rr 。
a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影： ︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ） 叫做 向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直 ：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【 变 式】 设 x, y R, 向 量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（ ）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4 (1)
③∵e1-2e 2= − 2 (4e2-2e1),∴e 1-2e 2 与 4e 2-2e1 共线 ,即 e1-2e2 与
4e2- 2e1 不可作为一组基底 ; ④设 e1+e2=λ(e1-e2),则 (1-λ)e1+(1+λ)e2=0, 1-������ = 0, 无解,∴e1+e2 与 e1-e2 不共线 ,即 e1+e2 与 e1-e2 可作 1 + ������ = 0, 为一组基底 . ∴
1.理解平面向量基本定理 剖析:(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量. (2)对于给定的向量a,实数λ1,λ2存在且唯一.实数λ1,λ2的唯一性是 相对于基底e1,e2而言的. (3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,所 以基底的选取不唯一.一旦选定一组基底,则给定向量按照基底的 分解是唯一的. (4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构,即同一平面内 任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他 两个不共线向量的线性组合. (5)零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量.
1
2
(
【做一做 2】 如图,在等边三角形 ABC 中, ������������与������������ 的夹角等于 )
A.60° C.120°
B.90° D.150°
1
2
解析 :延长 AB 到 D,使 AB=BD,如图 , 则 ������������ 与 ������������的夹角等于∠CBD. 又 ∠ABC=60° , 则 ∠CBD=180° -∠ABC=180° -60° = 120° ,所以 ������������ 与 ������������的夹角等于120° . 答案 :C
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学而思高中完整讲义：向量.板块二.平面向量基本定理与坐标表示.学生版题型一： 平面向量基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c【例3】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( )A . AB CD - B . 1122AB CD -+ C.1()2AB CD - D. ()AB CD --【例4】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向典例分析量BD ，AO ．【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB ．AC【例7】 在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且, AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP .【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．F CBA【例9】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、BA CPNMOC 、ODO．【例10】 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .【例11】 已知向量a ，b 不共线，()c ka b k =+∈R ，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例12】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）B 'D 'DCBA PA ．()AB AD λ+，(01)λ∈，B ．()AB BC λ+，0λ⎛∈⎝⎭C ．()AB AD λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭ D ．()AB BC λ-，0λ⎛∈ ⎝⎭【例13】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += ．ABCH∙M【例14】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．【例15】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且1BF aFC a=-，1DE bEC b=-，若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．FB【例16】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【例17】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONMCBA【例18】 在△OAB 中，11,42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .【例19】 如图所示，OM AB ∥，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ；当12x =-时，y 的取值范围是 ．【例20】 已知P 是ABC ∆所在平面内一点,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为S .证明:只有唯一的一点P 使得S 与P 重合.【例21】 点M 、N 、S 分别是OAB ∆的边OA 、OB 、AB 上的点，OA a =，OB b =，⑴若M 、N 分别是OA 、OB 的中点，线段AN 与BM 的交点为P ，求OP ； ⑵若OS 是AOB ∠的角平分线，求OS ．⑶若:1:3OM OA =，:1:4ON OB =，线段AN 与BM 交于点Q ，求OQ ．【例22】 如图，设P 、Q 为△AB C 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )A ．15B ．45 C ． 14 D ．13【例23】 如图，已知ABC ∆的面积为214cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点， 且::2:1AD DB DE CE ==，AE 、CD 交于点P ，求APC ∆的面积．ABCD E P【例24】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为AM CNr AC CE==，如果,,B M N 共线，求r 的值．题型二: 平面向量的坐标表示与运算【例25】 设向量(2,3)AB =，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为 ．【例26】 若(2,1)a =，(3,4)b =-则34a b +的坐标为_________．【例27】 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ． ()7,2【例28】 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ．【例29】 若A (0, 1), B (1, 2), C(3, 4) 则-2=【例30】 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；【例31】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【例32】 若向量()1a x =-，与()2b x =-，共线且方向相同，求x【例33】 已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例34】 已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2【例35】 若向量a =（1，1），b =（-1,1），c =（4，2），则c = ( )A .3a +bB . 3a -b C.-a +3b D. a +3b【例36】 在平面直角坐标系xoy 中，四边形AB CD 的边AB ∥DC,A D∥B C,已知点A (－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.【例37】 已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．【例38】 在直角坐标系xOy 中，已知(3,13)A --，(0,2)B ，(2,12)C ，求证：A 、B 、C 三点共线．【例39】 已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A14 B －14 C －31 D 31【例40】 已知(1,2),(3,2)a b ==-,当实数k 取何值时,k a ＋2b 与2a —4b 平行？【例41】 点(2,3)A 、(5,4)B 、(7,10)C ，若(R )A P A B A C λλ=+∈，试求λ为何值时，点P在一、三象限角平分线上．【例，求线段AB 的其中一个四等分点P 的坐标．【例43】 若平面向量a ,b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，()21b =-，，则a = .【例44】 设O 为坐标原点，向量()12OA =，．将OA 绕着点O 按逆时针方向旋转90︒得到向量OB ，则2OA OB +的坐标为 ．【例45】 正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(03)OP =，，(40)OS =，，则RM =（ ）A ．7122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．7122⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(74)，D ．7722⎛⎫⎪⎝⎭，【例46】 已知(10)(21)a b ==，，，，①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？【例47】 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.【例48】 已知向量(2,2),(5,)a b k =-=，若a b +不超过5，则k 的取值范围是．【例49】 已知向量(1sin )a θ=，，(13cos )b θ=，，则a b -的最大值为．【例50】 已知向量a =(1sin ,1)θ-，b =1(,1sin )2θ+，若a //b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒【例51】 已知点O(0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP OA t AB =+，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
(2)四边形O AB P 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。