立体图形梳理

立体图形的框架结构分析

内容领域：空间与图形

一级结构：立体图形

二级结构：立体图形的认识立体图形的测量

教材对立体图形分三个层次安排的：

1、直观整体感知。（第一学段认识长方体、正方体、圆柱和球）

2、具体刻画特征。（第二学段认识长正方体和圆柱圆锥的特征。）

3、度量。（第二学段从测量表面积、体积的角度认识）

第一学段第二学段

一上二上三上四下五下六上六下

认识物体观察物体观察物体观察物体认识长方

体

展开与折

叠

露在外面

的面

观察物体面的旋转

认识圆柱

体

认识圆锥

1、教材呈现形式：

一上：（1）通过分、摸实物认识几何体特征。

（2）建立实物与立体图形的联系，认识立体图形。

（3）拼搭积木进一步认识几何体。

二上：（1）观察长方体实物（讲桌）体验最多只能看到三个面。

（2）观察长方体模型辨认正、侧、上三个面。

（3）观察正方体搭成的简单物体，辨认表示三个方向观察到的形状

（4）搭建简单物体并观察，体验不同物体的某一面的形状可能相同。

三上：（1）根据指令搭积木，初步学会用“上、下、左、右、前、后”等词语描述正方体的相对位置。

（2）问问题搭立体图形，想象所搭形状，提高形象思维能力。

四下：（1）根据观察点想先对象形状的变化，判断位置与变化图的对应关系。

培养空间想象力和空间推理能力。

五下：（1）长方体的认识：

a、借助生活场景辨认长、正方体。

b、借助长、正方体模型认识顶点、面、棱。

c、通过自主探索发现长、正方体的特点，并利用表格进行整理，加深对长、

正方体特点的认识。

（2）长方体、正方体的展开图：

a、剪长、正方体盒子，直观认识长、正方体的展开图。

b、通过将展开图折成长、正方体，体会展开图与长、正方体的联系。

（3）露在外面的面：

a、呈现堆箱子的生活情境，观察并求出露在外面的面积。

b、用学具摆出其他的堆放方法，体会堆放方法不同，露出的面积可能会发生

相应变化。

c、按图摆放小正方体，探索露出部分的变化规律。

（4）折叠：

a、通过想、画、做将平面图形折叠成立体图形，体会立体图形和它的平面展

开图之间的关系。

六上：

a、辨认不同方向观察到的立体图形的形状并画出平面图形。

b、把平面图形还原成立体图形，体会两个方向观察到的平面形状，可以确定用

正方体的数量。

c、观察平面图形还原立体图形，知道三个方向才能确定立体图形的形状

六下：面的旋转（圆柱和圆锥的认识）：

a、结合具体生活情境体会“点、线、面”之间的联系。

b、转动不同形状的小旗，体会“面和体”之间的联系。

c、从实物中找出学过的立体图形，深化对立体图形的认识。

d、动手操作，探索圆柱和圆锥的特征。

e、认识圆柱、圆锥的直观图及各部分名称，提高识图能力。

2、从教材的编排上看：学生在第一学段直观认识立体图形时，初步体会了特征，达到直观认识水平。而长方体和正方体的认识则是学生系统学习立体几何图形的开始，是中小学生学习空间中的线线、线面、面面之间关系的重要载体，对长正方体的认识实现了小学生对几何形体认识的一次质的飞跃。因此这一单元的教学十分关键。长正方体到圆柱圆锥的编排也使学生对面的认识从平面过度到了曲面。

3、从认识水平上看：学生对立体图形的认识从“直观的整体感知”水平上升到“具体精细认识”水平。（即了解立体图形的形成过程，说出各部分的名称，会求立体图形的度量量。）

4、教材将立体图形认识的学习内容分成了两部分：一部分是认识图形的特征，另一部分是立体图形与平面图形的转换。（几何体与其展开图之间的转化以及几何体与其三视图之间的转化，使学生在观察、操作、想象、分析的过程中发展空间观念。）认识图形特征这部分主要是从图形的形成过程来认识：一是静态的认识，借助直观抽象而成；一类是动态生成，使学生感受到点动成线，线动成面，面动成体的几何事实。

4、课程基本理念：在活动中探索长、正方体的特征，加深对长正方体的认识，并能进行长、正方体与其展开图的转化。能辨认不同看到立体图形的形状，根据三个方向的平面形状还原立体图形，并根据两个方向的平面形状确定正方体的数量。通过观察、操作，认识圆柱和圆锥

5、涉及的数学文化：

使用最久的数学教科书——《几何原本》

《几何原本》（The Elements）由希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）所著，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。

几何原本》全书共13卷。第1卷，给出了欧几里得几何学的基本概念、定义、公理、公设等；第2卷，面积和变换；第3卷，圆及其有关图形；第4卷，多边形及圆与正多边形的作图；第5、6卷，比例与相似形；第7卷，数论；第8卷，连比例；第9卷，数论；第10卷，不可通约量的理论；第11卷，立体几何；第12卷，利用“穷竭法”证明圆面积的比等于半径平方的比；球体积的比等于半径立方的比，等等；第13卷，正多面体。《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发，推导出大量结果，最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了其后数学发展的主要方向，使公理化成为现代数学的根本特征之一。《几何原本》是数学史上的一个伟大的里程碑，问世以来，受到广泛的重视与传播。除《圣经》之外，没有任何一本著作，其使用、研究与印行之广泛能与《几何原本》相比。2000多年来,它一直支配着几何的教学。因此，有人称《几何原本》为数学的《圣经》。战争使大量人类文化和珍贵书籍化为灰烬。欧几里得的《几何原本》手稿至今也荡然无存。

现存《几何原本》的一种版本是公元4世纪末泰恩(Theon)的《几何原本》修订本。还有一个版本是18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个10世纪的《几何原本》希腊手抄本，其内容早于泰恩的修订本。

《几何原本》传人中国，首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启(1562～1633)，字子先，上海吴淞人。他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力。他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作。利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识。但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》。他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。

徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来之笔。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。

徐光启要求全部译完《几何原本》，但利玛窦却认为应当适可而止。由于利玛窦的坚持，《几何原本》的后9卷的翻译推迟了200多年，才由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成。李善兰(1811～1882)，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，自幼喜欢数学。1852年到上海后，李善兰与伟烈亚力相约，继续完成徐光启、利玛窦未完成的事业，合作翻译《几何原本》后9卷，并与1856年完成此项工作。至此，欧几里得的这一伟大著作第一次完整地引入中国，对中国近代数学的发展起到了重要的作用。

徐光启在评论《几何原本》时还说过：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”其大意是：读《几何原本》的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按一定的法则，培养巧妙的思考。所以全世界人人都要学习几何。

二、立体图形的测量

1、教材呈现形式：

（1）长方体的表面积：

a 、分析长方体与其展开图各部分的对应关系。

b 、通过解决实际问题，认识表面积并探索长方体表面积的计算方法。

c 、解决实际问题，探索正方体表面积得计算方法

（2）体积与容积：

a 、交流物体的大小和盛东西的多少，初步感知。

b 、直观实验比较两个物体的大小，揭示体积的概念。

c 、引导学生设计实验比较哪个杯子装水多，揭示容积的概念。

d 、通过搭小正方体的活动，判断谁搭的长方形体积大。

（3）体积单位：

a 、利用直观模型引入、认识体积单位。

b 、通过实际操作体会13cm 、13分米、13米的实际大小。

c 、说说生活中13cm 、13分米、13米的物体，加深对体积单位的实际感受。

d 、结合实物、图示揭示升、毫升的含义，感受升的实际意义并介绍容积单位与体积单位之间的关系。

e 、通过测量、估测活动，体会毫升的意义。

（4）长方体的体积：

a 、比较三组长方体，初步感知体积与长、宽、高有关系。

b 、用小正方体摆不同的长方体，探索、归纳长方体体积的计算方法。

c 、思考并推理出正方体体积公式。

d 、计算体积，探索体积与底面积和高的关系。

（5）体积单位的实际意义及换算：

a 、通过摆体积单位模型，认识和理解3cm 和3dm 之间的进率，进而思考并

推导出升与毫升之间的关系。

b 、计算认识3dm m 3和之间的进率。

（6）有趣的测量：

a 、通过测量石块体积的实验，探索测量不规则物体体积的方法。

b 、运用测量方法解决实际问题。

（7）包装的学问：

a 、创设生活情景，讨论如何节约包装纸，提高解决实际问题的能力。

b 、讨论三盒的情况，进一步体会表面积最小的最优策略。

（8）圆柱的表面积：

a 、创设情景,引导学生结合具体物体理解圆柱表面积的意义。

b、探索圆柱侧面展开后的形状以及计算方法。

c、在情境中计算圆柱的表面积。

d、计算无盖水桶的表面积，提高解决实际问题的能力。

（9）圆柱的体积：

a、结合情景体会圆柱体积与容积的实际含义。

b、呈现长、正方体体积计算方法，猜想圆柱体积计算方法。

c、验证说明猜想。

d、运用公式解决问题。

（10）圆锥的体积：

a、结合生活情景，猜想圆锥的体积计算方法。

b、验证说明猜想，推导计算公式。

c、运用公式解决实际问题。

2、图形的测量从教材的编排上看经历了以下过程：

（1）感知表面积、体积和容积，建立概念。

（2）认识测量单位（体积、容积），体会测量单位的实际意义。

（3）测量的实施。

（4）度量在生活中的应用。

3、对测量单位的认识：

（1）理解测量的量（体积、容积）的实际意义同时体会度量的含义。

（2）确定、比较物体体积的大小。

（3）认识、体会测量单位的实际意义。

表面积的测量：长方体——正方体——圆柱

体积的测量：规则图形（长、正方体、圆柱、圆锥）——不规则物体

4、数学思想：

（1）圆柱、圆锥体积的教学中，引导学生通过类比长正方体和圆柱、圆柱和圆锥，猜想圆柱、圆锥体积的计算方法并进行验证说明。

（2）用堆得过程说明“底面积×高”计算圆柱体积的道理，渗透的是积分的思想。

（3）把圆柱的体积转化为长方体的体积，渗透了转化的思想和极限的思想。（4）把不规则石块的体积转化为可测量的水的体积，渗透了转化的思想。

5、课程基本理念：

a、了解体积、容积的意义及度量单位，会进行单位之间的换算，感受生活中

米、1升、1毫升的实际意义。

13

cm、13

b、在具体情境中，探索并掌握长方体、正方体的表面积和体积、圆柱的体

积和表面积以及圆锥体体积的计算方法并能用其解决实际问题

c、探索不规则物体体积的测量方法。

6、重点课程：低：一上物体分类、二上观察物体

中：三上观察物体、四下观察物体

高：五下长方体的认识展开与折叠体积单位、

六上观察物体、六下圆柱的表面积圆柱的体积