福建省三明市第一中学2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题 答案和解析

福建省三明市第一中学【最新】高一下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为 （ ） A ．()()f x g x > B ．()()f x g x =C ．()()f x g x <D ．随x 值变化而变化2．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若bsinB =csinC 且sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则该三角形是（ ）三角形． A ．等腰直角 B ．等边 C ．锐角D ．钝角3．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交C ．异面D ．A 、B 、C 均有可能4．若角α，β满足－＜α＜0＜β＜，则α－β的取值范围是（ ） A ．(,)23ππ-- B ．5(,0)6π- C ．(,)23ππ-D ．(,0)6π-5．已知{}是等差数列，＝15，＝55，则过点P （3，），Q （4，）的直线斜率为（ ）A 、4B 、C 、－4D 、－6．在平面直角坐标系中，不等式组03434y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域的面积是( )A ．32 B ．23C ．43D ．347．若P (2，－1)为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则弦AB 的长为（ )8．已知等差数列的前n 项和为，若则此数列中绝对值最小的项为A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项9．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )ABCD10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高ℎ，计算其体积V 的近似公式v ≈136L 2ℎ.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式v ≈275L 2ℎ相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A．227 B ．258 C ．15750 D ．35511311．某市为建设低碳、环保、宜居城市，决定从【最新】到【最新】五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则【最新】底更新现有总车辆数的(参考数据：1.14＝1.46，1.15＝1.61)( ) A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%12． 定义符号函数sgn x ＝1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩则当x ∈R 时，不等式x ＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( ) A ．33{|}44x x +-+-<<B ．3{|}4x x -<C ．{|x x <D ．{|3}x x <<二、填空题13．已知点P (1，－2)在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______． 14．已知数列{}n a 中，121,3a a ==，211n n na a a ++=+，则4a =________． 15．已知ABC 中，22232330a ab b c -+-=，则cos C ＝________．16．在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,ABCD 在同一个球面上，则该球的表面积为____.三、解答题17．已知集合A={}220x x x k -+， （1）当k =－3时，求集合A ； （2）若A=R ，求实数k 的取值范围．18．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，A （－3，－10）， B (－2，－1)，C (3，4)，（1）求边AD 和CD 所在的直线方程；（2）数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线CD 上，求证{}n a 为等比数列． 19．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 且cos (2)cos b C a c B =-． （1）求角B 的大小；（2）若不等式210x +<的解集是{|}x a x c <<，求ABC ∆的周长． 20．已知等比数列{}n b 的公比为12，数列{}n a 满足11,a =23,a =12nn n n a a b +-=⋅（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 21．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，AC =244AB BE AD ===．（1）在图中过点O 作平面α，使得α∥平面CDE ，并说明理由；（2）求直线DE 与平面CBE 所成角的正切值．22．已知A(4, 0)，B （2, 2），C (6, 0)，记△ABC 的外接圆为⊙P ． （1）求⊙P 的方程．（2）对于线段PA 上的任意一点G ，是否存在以B 为圆心的圆，在圆B 上总能找到不同的两点E 、F ，满足=，若存在，求圆B 的半径r 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．A 【解析】试题分析：因为2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，所以，2222()()31(21)22(1)10f x g x x x x x x x x -=-+-+-=-+=-+>，故()()f x g x >，选A ．考点：本题主要考查不等式的性质，比较大小的方法．点评：简单题，多项式比较大小，往往利用“差比法”---作差、变形、定号．常常用到“配方法”． 2．A 【解析】sinB sinC,b c =由正弦定理得，22sin ,sin sin sin B C B C B C =∴=∴=，由222sin sin sin A B C =+，得222a b c =+，所以ABC ∆为等腰直角三角形，故选A .3．D 【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A ，B ，C 均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明． 【详解】解：如图，在正方体1AC 中，1A A ⊥平面ABCD ，1A A AD ，1A A BC ⊥，又//AD BC ，∴选项A 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A AAD ，1A A AB ⊥，又AD AB A =，∴选项B 有可能；1A A ⊥平面ABCD ，1A A ⊥平面1111D C B A ，AC ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，1A A AC ∴⊥，111A A A D ⊥，又AC 与11A D 不在同一平面内，∴选项C 有可能．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题． 4．B 【解析】角α，β满足5,0,,23236πππππαβαβαβ-<<<∴----=-506παβ∴-<-<，α－β的取值范围是5,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B. 5．A 【解析】 试题分析：是等差数列，根据等差数列下标和的性质可得，，,,过点的直线的斜率．考点：等差数列，直线的斜率． 6．C 【解析】画出可行域如下图所示：34{,34x y x y +=+=解得1{,1x y ==34{,0x y y +==解得4{,0x y ==34{,0x y y +==解得3{40x y ==，那么平面区域的面积为14414233S ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，，故选C. 【方法点晴】本题主要考查线性规划的可行域，属简单题.常见的利用线性规划求最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．D 【解析】由圆的方程可得圆心()1,0O ，因为P (2，－1)为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，所以OP AB ⊥ ，且P 是AB 的中点，由两点间的距离公式可得PA ，由勾股定理可得AB == ，故选D.8．C 【解析】试题分析：由等差数列的性质得又故．易知公差，所以选C考点：等差数列的性质及前n 项和 9．A 【解析】由三视图知，原几何体是一个四棱锥，如图：四棱锥P ABCD -的底面是一个直角梯形，两底边分别为1,2BC AD ==，高为2CD =，四棱锥的一个侧面PAD 是一个边长为2的等边三角形，且这个侧面PAD与四棱锥的底面ABCD 垂直，所以四棱锥的高为PM =所以四棱锥的体积为()1112232V =⨯⨯+⨯= A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10．B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则L =2πr ，即r =L 2π，则圆锥的体积为V =13π(L 2π)2ℎ=112πL 2ℎ，当V =7264L 2ℎ时，π=227.11．B 【解析】设共有出租车S 辆，2017年更新了x 辆，2017年新车数量x ；2018年新车数量()01100x + ，即1.1x ；2019年新车数量21.1x ；2020年新车数量31.1x ；2021年新车数量41.1x ，可知每年新车的数量是以x 为首项，1.1 为公比的等比数列，根据五年间更新市内现有全部出租车可得2341.1 1.1 1.1 1.1S x x x x x =++++ ，可得51 1.1 6.11 1.1S x x -==- ，则2017年底更新现有总车辆的016.40x S ≈ ，故选B.12．D 【解析】当x ＞0时，不等式化为x ＋2＞2x －1，解得x ＜3，即0＜x ＜3； 当x ＝0时，不等式恒成立；当x ＜0时，不等式化为x ＋2＞(2x －1)－1， 即2x 2＋3x －3＜0，解得x <<即＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为{|3}x x <<.选D. 点睛：根据定义利用分段讨论法，将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集． 13．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】点()1,2P -在不等式的表示的平面区域内，所以2210b -+> ，解得32b <，即b 的取值范围是3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故答案为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ .14．133【分析】根据递推关系计算即可. 【详解】1221321111,3,,314n n n a a a a a a a a ++===+∴=+=+=，故43211134,33a a a =+=+= 故答案为：133. 【点睛】本题考查数列的递推关系，当利用该关系计算指定项时，一般逐次代入计算即可，本题属于基础题. 15．13【解析】22223ab a b c +-= ,2221cos 23a b c C ab +-==. 16．28π 【分析】取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，可知外接球的球心在面AEC 中，再作OG CE ⊥，分别求出OG 与CG 的长度后即可得解. 【详解】如图1，取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，由已知易知面AEC ⊥面BCD ，则外接球的球心在面AEC 中.由二面角A BD C --的大小为120︒可知120AEC ∠=. 在面AEC 中，设球心为O ，作OG CE ⊥，连接OE ， 易知O 在面BCD 上的投影即为G ，OE 平分AEC ∠，∴G 为BCD ∆的中心，∴22CG GE ==，∴tan 603OG GE=⋅=，∴OC ∴2=4=28S ππ⨯球.故答案为：28π【点睛】 本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.17．(1) {}|13A x x x =-或;(2) (1，＋∞)．【解析】试题分析：（1）把k =－3的值代入A 中，求利用一元二次不等式的解法可确定出A ；（2）x 2－2x ＋k >0对一切实数x 恒成立，利用Δ＝(－2)2－4k <0即可得结果. 试题解析：(1) k =－3时，由x 2－2x －3>0得(x －3)(x ＋1)>0，所以x ＜－1或x >3， 所以{|13}A x x x =-或．(2)依题意， x 2－2x ＋k >0对一切实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4k <0，解得k >1，即实数k 的取值范围是(1，＋∞)．18．（1）:70,:70AD x y CD x y --=+-=；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据两点间的斜率公式可得41132BC k +==+，根据两直线平行、垂直的性质可得边AD 和CD 所在的直线的斜率，利用点斜式可得结果；（2）由(1)得7n n S a =-， 当2n ≥时，117n n S a --=-，两式相减可得{}n a 是首项为72，公比为12的等比数列. 试题解析：(1)B (－2，－1)，C (3，4)，41132BC k +∴==+， 又AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，1AD BC k k ∴==,11CD BCk k =-=- 又 A （－3，－10），C (3，4)，∴边AD 所在的直线方程为103y x +=+，即70x y --=边CD 所在的直线方程为()43y x -=--，即70x y +-=．(2)由(1)得70n n a S +-=，即7n n S a =-，①当2n ≥时，117n n S a --=-，②①-②得，1n n n a a a -=-，即112n n a a -=， 又当1n =时，117S a =-，解得172a =， ∴ {}n a 是首项为72，公比为12的等比数列． 【方法点睛】本题主要考查直线斜率、直线方程以及数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用公式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况.19．（1）3B π=（2【解析】试题分析：（1）由已知，根据正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得sin 2sin cos A A B =，从而可得1cos 2B =，进而得结果；（2）根据韦达定理可得a c +=b =.试题解析：（1）由()cos 2cos b C a c B =-得, ()sin cos 2sin sin cos B C A C B =- 即sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，得()sin 2sin cos B C A B += 即sin 2sin cos A A B =， 得1cos 2B =， 又，于是3B π=（2）依题意a 、c 是方程210x -+=的两根a c ∴+=1ac =由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()23a c ac =+-63=-3=b ∴=∴求ABC ∆+20．（1）21n a n =-；（2）(23)23n n S n =-⋅+【解析】试题分析：（1）由12n n n n a a b +-=⋅，令1,2n = 可得1b 的值，从而可得{}n b 的通项公式，进而得{}n a 的通项公式；（2）由（1）得()1212n n n a n b -=-⋅，利用错位相减法即可求得前n 项和n S .试题解析：（1） 11,a = 23,a = 12n n n n a a b +-=⋅2112a a b ∴-=即1312b -=，解得11b =， 又公比为12， 故{}n b 的通项公式为1111122n n n b --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭． ∴ 12n n n n a a b +-=⋅即11222n n n n a a +--==， ∴ {}n a 是等差数列，公差为2又11,a =∴ {}n a 的通项公式为21n a n =-．（2）由（1）得()1212n n na nb -=-⋅， ()0121123252...212n n S n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅ ①()()12121232...232212n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅②①-②得()()1211222 (2)212n n n S n --=+⨯+++--⋅ ()()12121221212n n n -⨯-=+⨯--⋅- ()1224212n n n =+⨯---⋅()3223nn =-⋅- ()2323n n S n ∴=-⋅+【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}·n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.21．（1）见解析；（2）3【解析】 试题分析：（1）在BE 上取点F ，使得14BF BE =，在BC 上取点H ，使14BH BC =，平面OFH 即为所求的平面α取BE 的中点G ，连接AG ，再证明α∥平面CDE 即可；（2）先证明AGC ∠是AG 与平面CBE 所成的角，根据AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，利用直角三角形性质可得结果.试题解析：（1）如图，在BE 上取点F ，使得14BF BE =，在BC 上取点H ，使14BH BC =，连接OF ，FH ，OH ，则平面OFH 即为所求的平面α．理由如下：取BE 的中点G ，连接AG ，2BE AD =，G 为BE 中点，AD EG ∴=∥∥，AGED ∴是平行四边形， ∴∥ABG ∆中，F 是BG 中点，O 是AB 中点，所以OF 是中位线，∥ ∥，OF ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∥平面CDE ．又BCE ∆中，14BF BE =，14BH BC =， //FH CE ∴，FH ⊄平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，//FH ∴平面CDE ，又OF FH F ⋂=，OF ⊂平面OFH ，FH ⊂平面OFH ，∴平面//OFH 平面CDE ，即α∥平面CDE ．（2）连接CG ，因为AD ⊥平面ABC ，又∥ ，所以BE ⊥平面ABC ，BE AC ∴⊥又AC CB ⊥ AC ∴⊥平面EBCAGC ∴∠是AG 与平面CBE 所成的角，∥，∴ AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角在Rt ABC ∆中，4AB = ，AC =BC ∴=∴在Rt BCG ∆中，3CG =∴在Rt ACG ∆中，tan AC AGC CG ∠== 即直线DE 与平面CBE所成角的正切值为322．（1）22106240x y x y +--+=；（2）35r ≤< 【解析】试题分析：（1）设⊙P 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A(4, 0)，B （2, 2），C (6, 0)代入圆方程，解方程组即可得结果；（2）假设存在圆B:()()22222x y r -+-=满足题意， ()5,3P ，又A(4, 0)，∴PA 的直线方程是：3120x y --=，设G （m , n ）（[]4,5m ∈），设F (x , y )，则中点,22m x n y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据E 、F 在圆B 上可得22210882009r m m r ≤-+≤，进而可得结果.试题解析：(1) 解法一：设⊙P 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为点A ，B ，C 均在所求圆上，所以164082203660D F D E F D F ++=⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩解得10624D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故⊙P 的方程是22106240x y x y +--+=． 解法二：A(4, 0)，B （2, 2），C (6, 0)，∴AB 的中垂线方程为：20x y --=，①AC 的中垂线方程为：50x -=,②联立①②可得圆心()5,3P ，∴半径PA ==故⊙P 的方程是()()225310x y -+-=．（2）假设存在圆B:()()22222x y r -+-=满足题意，()5,3P ，又A(4, 0)，∴PA 的直线方程是：3120x y --=， 设G （m , n ）（[]4,5m ∈）则有3120m n --=，312n m ∴=-，[]4,5m ∈设F (x , y )，则中点,22m x n y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由E 、F 在圆B 上可得：， 即，① 存在E 、F 即方程组①有解，即圆()()22222x y r -+-=与圆()()222444x m y n r +-++-=有公共点， 所以3r r ≤，把312n m =-代入可得22210882009r m m r ≤-+≤故22210882009r m m r ≤-+≤对任意[]4,5m ∈恒成立，22223210882001055m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭在224,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， ()2min 3210882005m m ∴-+=，()2max 108820010m m -+=，22325109r r⎧≥⎪∴⎨⎪≤⎩，解得35r ≤≤， 又 E 为线段GF 的中点， E 、F 在圆B 上，∴G 在圆B 外∴ ()()22222m n r -+->，即()()2222314m m r -+->在[]4,5m ∈恒成立()22min 32108820005r m m r ∴<-+=⇒<<∴r ≤<。