数学归纳法教学设计电子教案
2.3数学归纳法教学设计教案（最终定稿）
2.3数学归纳法教学设计教案（最终定稿）第一篇：2.3数学归纳法教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)2、过程与方法（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率．3、情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯．2.教学重点/难点重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握．难点：数学归纳法中递推思想的理解3.教学用具多媒体、板书4.标签教学过程一、课堂探究【问题导思】问题1 在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】（1）第一辆自行车倒下；（2）任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？【提示】一些与正整数n有关的问题．问题2多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答（1）第一张牌被推倒；（2）任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件（2）给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．数学归纳法的定义 1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立；②(归纳递推)假设____________________________．答案：第一个值n0(n0∈N*)，当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．一、数学归纳法的步骤原理例1.用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：（1）n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．（2）假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．【答案】从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，第二步证明时，未用到归纳假设．因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列的求和公式．【变式训练】用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2 证明:（1）当n=1时左＝1，右＝12＝1 ∴n=1时，等式成立（2）假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k2 那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k-1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立N*都成立由(1)、(2)可知等式对任何nÎ【小结】数学归纳法证明步骤的框图展示二、用数学归纳法证明等式综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．【变式训练】 1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是_________；当n＝2时，左边所得项是__________；n=1时，左边是（）A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3 答案：1.1+2+3 1+2+3+5 2.C 三．用数学归纳法证明不等式【小结】用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．四、用数学归纳法证明数列问题下面我们用数学归纳法证明这个猜想．变式训练】数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．解：由a1＝2－a1，【小结】归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．“归纳—猜想—证明”的一般环节五、当堂检测1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有（）A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是______________．解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n ＋1)2(其中n∈N*)．4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．证明(1)当n＝1时，左边＝1×(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．课堂小结在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；（2）递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；（3）利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．第二篇：机械制造教案(数3)（二）计划（30学时）教学步骤：1、要求学生收集与典型零件加工有关的图书与资料；2、利用多媒体课件或现场教学等手段，讲解典型零件加工方法，了解轴类零件、套筒类零件、箱体类零件的加工工艺；了解机床夹具设计的方法，学会设计一种机床专用夹具。
数学归纳法教案
数学归纳法教案数学归纳法教案教学目标：1.了解数学归纳法的基本思想和方法。
2.掌握数学归纳法的基本流程。
3.能够应用数学归纳法解决简单的数学问题。
教学重点：1.数学归纳法的基本思想和方法。
2.数学归纳法的基本流程。
教学难点：能够熟练运用数学归纳法解决简单的数学问题。
教学过程：一、引入新知识（5分钟）通过问题引导学生，如：小明有3条大鱼、第二天捕到1条，第三天捕到2条，小明现在一共有几条大鱼？二、导入新知识（5分钟）分析前面引导问题的解决方法，引出数学归纳法的思想——从一个已知的命题为引子出发，证明过程分成两个步骤：第一步，证明这个命题对于某个指定的变量值成立；第二步，证明对于正着那个值的后一个变量值命题也成立，然后通过数学归纳法对所有值都成立命题进行证明。
三、理论讲解（15分钟）1.从具体事例归纳到一般情况。
2.重点讲解数学归纳法的基本流程：首先证明第一个命题成立，然后假设命题对于某个整数n成立，即P(n)成立，即证明P(n+1)也成立。
四、实例演练（15分钟）通过一些简单的数学问题来帮助学生理解数学归纳法的应用方法。
例1：证明命题P(n)：1+2+3+...+n = n(n+1)/2解：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。
（2）假设命题P(k)成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2成立。
（3）考虑命题P(k+1)，即1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
左边等于1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。
右边等于(k+1)(k+2)/2，等式成立。
例2：证明命题P(n)：n^2 - n是偶数。
解：（1）当n=1时，左边=0，是偶数，命题成立。
（2）假设命题P(k)成立，即k^2 - k是偶数。
（3）考虑命题P(k+1)，即(k+1)^2 - (k+1) = k^2 + 2k + 1 - k - 1 = k^2 + k 是偶数，等式成立。
4[1].1《数学归纳法》教案(新人教选修4-5)[修改版]
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第一篇：4[1].1《数学归纳法》教案(新人教选修4-5)数学归纳法教学目标1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．教学重点与难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析．难点：数学归纳法中递推思想的理解．教学过程设计（一）引入师：从今天开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应该从认识什么是归纳法开始．（板书课题：数学归纳法）（二）什么是归纳法（板书）师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点．问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好）生：把它倒出来看一看就可以了．师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做？生：一个一个拿，拿一个看一个．师：对．问题的结果是什么呢？（演示操作过程）第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．a2，a3，a4。
的值，再推测通项an的公式．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）师：同学们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法．特点是由特殊→一般（板书）．师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法还是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，由此而得到了结论．这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．对于问题2，由于自然数有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法．（三）归纳法的认识（板书）归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）．师：用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题3．问题3：对于任意自然数n，比较7n-3与6（7n+9）的大小．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）（给学生一定的计算、思考时间）生：经过计算，我的结论是：对任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）．师：你计算了几个数得到的结论？生：4个．师：你算了n=1，n=2，n=3，n=4这4个数，而得到的结论，是吧？生：对．师：有没有不同意见？生：我验了n=8，这时有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的结论不对吧！师：那你的结论是什么呢？（动员大家思考，纠正）生：我的结论是：当n=1，2，3，4，5时，7n-3＜6（7n+9）；当n=6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）．师：由以上的研究过程，我们应该总结什么经验呢？首先要仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数，就作推测．请把你们计算结果填入下表内：师：依据数据作推测，决不是乱猜．要注意对数据作出谨慎地分析．由上表可看到，当n依1，2，3，4，…变动时，相应的7n-3的值以后一个是前一个的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相应值的增长速度还不到2倍．完全有理由确认，当n取较大值时，7n-3＞6（7n+9）会成立的．师：对问题3推测有误的同学完全不必过于自责，接受教训就可以了．其实在数学史上，一些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过失误．资料1（事先准备好，由学生阅读）费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n∈N时，22n+1一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：资料2f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，…f（39）=1 601．但是f（40）=1 681=412是合数师：算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．师：归纳法为什么会出错呢？生：完全归纳法不会出错．师：对！但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢？生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份．师：完全同意．那么怎么办呢？生：应该予以证明．师：大家同意吧？对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明．（四）归纳与证明（板书）师：怎么证明呢？请结合以上问题1思考．生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了．师：也可以换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明．数学上称这种证法为穷举法．它体现了分类讨论的思想．师：如果这里不是12个球，而是无数个球，我们用不完全归纳法得到，这袋球全是白球，那么怎么证明呢？（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明．结合问题1来说，他首先确定第一次拿出来的是白球．然后再构造一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”．这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性．大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢？生：是．第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得第二次、第三次、第四次、……拿出的都是白球．师：对．它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明．生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗？生：一排排放很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排．生：再例如多米诺骨牌游戏．（有条件可放一段此种游戏的录相）师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．（五）数学归纳法（板书）师：用数学归纳法证明以上问题2推测而得的命题，应该证明什么呢？生：先证n=1时，公式成立（第一步）；再证明：若对某个自然数（n=k）公式成立，则对下一个自然数（n=k+1）公式也成立（第二步）．师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步．（应追问各步计算推理的依据）师：再证明第二步．先明确要证明什么？师：于是由上述两步，命题得到了证明．这就是用数学归纳法进行证明的基本要求．师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤．生：共两步（学生说，教师板书）：（1）n=1时，命题成立；（2）设n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立．师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题成立．例如，对于问题3推测得的命题：当n=6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）．第一步应证明n=6时，不等式成立．（若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步，若无时间可布置学生课下思考）（六）小结师：把本节课内容归纳一下：（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法．分完全归纳法和不完全归纳法二种．（3）由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行．（4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步．数学归纳法在数学中有广泛的应用，将从下节课开始学习．（七）课外作业（1）阅读课本P112～P115的内容．（2）书面作业P115练习：1，3．课堂教学设计说明1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．即n=k+1时等式也成立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1时命题到底成立不成立，而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向．第二篇：第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5).1第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。
4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.1数学归纳法一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标：1、知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。
2、过程与方法：（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。
三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：运用类比启发探究的数学方法进行教学；七、教学过程1、自主导学：复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。
数学23《数学归纳法》教案(新人教A版选修2-2)
数学：2.3?数学归纳法?教案〔新人教A 版选修2-2〕第一课时 2.3 数学归纳法〔一〕教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备： 1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. 〔过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,n a n N n =∈〕 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83，(7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：〔1〕第一张牌被推倒；〔2〕骨牌的排列，保证前一张牌倒那么后一张牌也必定倒.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法概念：① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.不完全归纳法：根据事物的局部(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.② 讨论：问题1中，如果n =k 猜测成立，那么n =k +1是否成立？对所有的正整数n 是否成立？③ 提出数学归纳法两大步：〔i 〕归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；〔ii 〕归纳递推：假设n =k 〔k ≥n 0， k ∈N *〕时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在根底和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.2. 教学例题： ① 出例如1：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈. 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？小结：证n =k +1时，需从假设出发，比照目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.② 练习：求证：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈. ③ 出例如2：设a n 12×23×…(1)n n +n a n <12(n ＋1)2. 关键：a 1k +<12(k ＋1)2(1)(2)k k ++122232k k ++12(k +1)2+(k +32)＝12(k +2)2 小结：放缩法，比照目标发现放缩途径. 变式：求证a n >12n (n ＋1) 3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推根底不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉〞；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、稳固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B 组1、2、3题.第二课时 2.3 数学归纳法〔二〕教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜测、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程：一、复习准备：1. 练习：()*()13521,f n n n N =++++-∈，猜测()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜测2()f n n = → 用数学归纳法证明.2. 提问：数学归纳法的根本步骤？二、讲授新课：1. 教学例题： ① 出例如1：数列1111,,,,2558811(31)(32)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜测n S 的表达式，并证明. 分析：如何进行猜测？〔试值1234,,,S S S S →猜测n S 〕 → 学生练习用数学归纳法证明→ 讨论：如何直接求此题的n S ？ 〔裂项相消法〕小结：探索性问题的解决过程〔试值→猜测、归纳→证明〕② 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.解题要点：试值n =1,2,3， → 猜测a 、b 、c → 数学归纳法证明2. 练习： ① 0(1,2,,)i a i n >=，考察111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥之后，归纳出对12,,,n a a a 也成立的类似不等式，并证明你的结论. ② 〔89年全国理科高考题〕是否存在常数a 、b 、c ，使得等式 〔答案：a =3,b =11,c =10〕 12222(1)223.....(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+++=++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜测→四证明〞.三、稳固练习：1. 平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个局部.2. 是否存在正整数m ，使得f 〔n 〕=〔2n +7〕·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?假设存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；假设不存在，请说明理由. 〔答案：m =36〕3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)n n n N >∈的邮资. 证明：〔1〕当8,9,10n =时，由835,9333,1055=+=++=+可知命题成立； 〔2〕假设(7,)n k k k N =>∈时，命题成立. 那么 当3n k =+时，由〔1〕及归纳假设，显然3n k =+时成立.根据〔1〕和〔2〕，可知命题成立.小结：新的递推形式，即〔1〕验证00(),(1),,P n P n + 0(1)P n l +-成立()l N ∈；〔2〕假设()P k 成立，并在此根底上,推出()P k l +成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数0()n n ≥,命题()P n 都成立.2. 作业：。
《数学归纳法》第一课时教学设计
《数学归纳法》第一课时教学设计《《数学归纳法》第一课时教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学任务分析】(1)了解数学归纳法的意义，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。
(2)使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明有关正整数的命题。
【教学目标】1、知识与技能：理解“数学归纳法”的含意和本质;掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论;会用“数学归纳法”证明简单的恒等式和整除问题。
2、过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法;培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质;让学生养成自主思维、主动发现的学习习惯。
3、情态与价值：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】1、了解数学归纳法的原理及其使用题型和基本步骤;2、会用数学归纳法证明相关的等式和整除问题。
【教学难点】如何理解数学归纳法证题的有效性;递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学基本流程】创设情景，从具体实例引入新课观看实验短片，类比得到引例的解决方法探究得到一般情况下证明步骤(得到数学归纳法定义)例题练习利用数学归纳法证题小结：数学归纳法的注意事项及其它应用【教学过程】一.课题导入在数学研究中，有很多与正整数或自然数有关的命题，它们要求对所有的正整数都成立，或者对于从某个正整数开始的所有正整数都成立，例如：能够被7整除我们怎么证明它们呢?这一节我们将讨论这类命题的证明。
思考：通过计算下面的式子，你能猜想出的结果吗?-1+3=————-1+3-5=————-1+3-5+7=————-1+3-5+7-9=————上面四个式子的结果分别是2，-3，4，-5，由此猜想：怎么证明它呢?师生活动：学生A回答四个结果，然后教师引导学生猜想加到第n项时的结果，学生分组进行讨论，学生B回答。
设计意图：培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而培养学生创造性思维的能力。
选修2-2数学归纳法教案
高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法, 在高中数学内容中占有重要的地位, 其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先, 我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法, 即不完全归纳法, 这是研究数学问题, 猜想或发现数学规律的重要手段.但是, 由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确, 这种推理方法不能作为一种论证方法.因此, 在不完全归纳法的基础上, 必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法, 这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节, 掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.二、教学目标1. 知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确, 初步理解数学归纳法原理.（2）能以递推思想为指导, 理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习, 使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.（3）在学习中培养学生大胆猜想, 小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力.3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究, 亲历知识的构建过程, 领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐, 感悟数学的内在美, 激发学生学习热情, 使学生喜欢数学.（3）学生通过置疑与探究, 初步形成正确的数学观, 创新意识和严谨的科学精神.三、教学重点与难点1. 教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想, 掌握它的基本步骤, 运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式, 特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.2. 教学难点（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.（2）递推步骤中如何利用归纳假设, 即如何利用假设证明当时结论正确.四、教学方法本节课采用类比启发探究式教学方法, 以学生及其发展为本, 一切从学生出发.在教师组织启发下, 通过创设问题情境, 激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理, 并类比多米诺骨牌倒下的原理, 探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力, 进而应用数学归纳法, 证明一些与正整数有关的简单数学命题；提高学生的应用能力, 分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考, 又提倡团结合作；既重视教师的组织引导, 又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.五、教学过程（一）创设情境, 提出问题情景一: 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话: 财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论, 用的就是“归纳法”, 不过, 这个归纳推出的结论显然是错误的.情境二：平面内三角形内角和是, 四边形内角和是, 五边形内角和是, 于是得出：凸边形内角和是 .情境三: 数列的通项公式为可以求得于是猜想出数列的通项公式为.情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔, 怎么证明它们是白色的呢？结论: 情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论, 即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法, 情景四是完全归纳法, 结论可靠但要一一核对,工作量大.提出问题: 如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.（二）实验演示, 探索解决问题的方法① 1. 几何画板演示动画多米诺骨牌游戏, 师生共同探讨: 要让这些骨牌全部倒②下, 必须具备哪些条件呢③第一块骨牌必须倒下.两块连续的骨牌, 当前一块倒下一定导致后一块倒下.可以看出, 条件②事实上给出了一个递推关系: 当第块倒下时, 相邻的第块也倒下.这样, 只要第1块倒下, 其他所有的就能够相继倒下.无论多少块, 只要①②成立, 那么所有的骨牌一定可以全部倒下.演示小节: 数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.2. 数学归纳法原理证明一个与正整数 有关的命题, 可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基） 当n 取第一个值0n （*0n ∈）时命题成立；（2） （归纳递推）假设当 时命题成立, 证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立. 上述证明方法称为数学归纳法.主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础, 解决了特殊性；第二步是递推的依据, 解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步, 属不完全归纳法；只有第二步, 假设就失去了基础.（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.”）（三）迁移应用, 理解升华例1 用数学归纳法证明：如果 是一个等差数列, 那么 对于一切 都成立.证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立(2)假设当 时结论成立, 即则当1n k =+ 1k k a a d +=+ ()11a k d d =+-+ ()1[11]a k d =++-当 时, 结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并用数学归纳法证明你的结论. 用假设凑结论解: （1）323459S S a =+=+= 4349716S S a =+=+=(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=证明:（1） 当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.(2) 假设当 时等式成立, 即有()213521k k ++++-= 则当1n k =+,有()()()()22213521[211][211]211k k k k k k k ++++-++-=++-=++=+因此, 当 时, 等式也成立由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.（四）反馈练习, 巩固提高课堂练习：课本第95页练习1, 2（五）课堂小结: 让学生归纳本节课所学内容, 不足的老师补充.1.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法2.数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两 个步骤一个结论.3数学归纳法的科学性: 基础正确, 可传递.用有限的步骤证明无限的结论.（六）布置作业课本第96页习题 2.3 A 组1.2.。
课时7《数学归纳法》教案
§7 数学归纳法（一）【学习目标】1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．【学习重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析．【学习难点】数学归纳法中递推思想的理解．【学习内容】一、预习提纲数学归纳法公理二、典型例题例1．用数学归纳法证明：当*N n ∈时，2)12(531n n =-++++Λ例2．用数学归纳法证明：当*N n ∈时，6)12)(1(3212222++=+++n n n n Λ例3．用数学归纳法证明：设,,0*N n x ∈>且2≥n ，求证：nx x n +>+1)1(三．课堂练习用数学归纳法证明下列各题：1．当*N n ∈时，)2)(1(31)1(433221++=++⨯+⨯+⨯n n n n n Λ2．n n x xx x x -=++++--1)1)(1(12Λ§7 数学归纳法（一）课外作业用数学归纳法证明下列各题：1．当*N n ∈时，23333)321(321n n ++++=+++ΛΛ2．观察下列算式，猜测一般性结论，并加以证明。
1252927252321641917151327119785311=++++=+++=++=+=3．设1,*>∈n N n ，求证：n n >++++131211Λ4．试比较1+n n 与)()1(*N n n n ∈+的大小，分别取5,4,3,2,1=n 加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明。
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数学归纳法教学设计
授课日期： 2016 年 4 月 8 日授课班级：高二年级2 班
【教学难点】
（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性；
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确.
教法、学法分析
教法：
学习数学归纳法的过程紧扣多米诺骨牌是怎样倒下的，通过对科技节活动中多米诺骨牌倒下的分析类比得出数学归纳法的应用步骤，尤其是在引导学生理解数学归纳法由n=k得出n=k+1时必要性和有效性中，类比“后一块骨牌必须是被前一块骨牌砸倒的”起到重要作用。
在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。
这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．
学法：
本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习.本课学生的学习主要采用下面的模式进行：
教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．
教学资源
导学案、PPT
教学过程
教学环
节
教师活动学生活动设计意图
课前复习准备
1、布置导学案内容;
2、批改纠正学生出现的错误;
3、及时了解学生学习情.
完成学案内容
1、归纳推理：
2、回忆等差数列,等比数
列的通项公式；思考等
差、等比数列通项公式的
得出过程，你能证明该公
式吗？
3、已知数列{}n a中，
1
1
=
a,
)
(*
+
∈
+
=N
n
a
a
a
n
n
n2
2
1
，
试猜想这个数列的通项公
式并证明你的猜想.
复习公式及
其得出过
程，为本节
学习做好铺
垫.
使学生发现
不能解决的
问题，激发
学生学习新
知的愿望.
创设问题情景，引出新课问题情景：引导学生共同回顾学案
第3小题数列{}n a通项公式的得出过
程，提问：你的猜测正确吗？如何证
明？
学生回忆第3小题数列
{}
n
a通项公式的得出过
程，并思考老师的问题.
发现问题，
突出矛盾．
合作探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏.
引导学生共同探讨多米诺骨牌全
部依次倒下的条件：
（1）第一块要倒下;
学生类比多米诺骨牌依顺
序倒下的原理，探究出证
明有关正整数命题的方
播放视频活
跃课堂氛
围，激发学
生的兴趣.
提
出
问
分
析
问
猜想与
置疑
论证
观察
情景
应用。