人教版·选修1-1 §3.1.1 变化率问题

3V 如果将半径r表示为体积V的函数, 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) = 4π
3
3
我们来分析一下: 我们来分析一下:
增加到1 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) − r (0) ≈ 0.62(dm) r (1) − r (0) ≈ 0.62( dm / L ) 气球的平均膨胀率 膨胀率为 气球的平均膨胀率为 1− 0 增加到2 当V从1增加到2时,气球半径增加了 显然
r (2) − r (1) ≈ 0.16(dm) 0.62>0.16 气球的平均膨胀率 膨胀率为 气球的平均膨胀率为 r (2) − r (1) ≈ 0.16 ( dm / L ) 2 −1
当空气容量从V 增加到V 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨 胀率是多少? 胀率是多少?
思考? 思考
r(V ) − r(V ) 2 1 V −V 2 1
问题2 问题 高台跳水问题
在高台跳水运动中, 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 h(单位 单位： 与起跳后的时间t 单位： 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系： h(t)=存在函数关系： h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态? 描述其运动状态?
5、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一 、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化” 种粗略的刻画--------导数 --------导数
作业
1.过曲线y=f(x)=x3上两点P 1.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy) 过曲线y=f(x)=x3上两点 作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. Δx=0.1时割线的斜率 作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
课堂练习
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2) 已知函数f(x)= +x的图象上的一点A(-1,f(x)=的图象上的一点A( 及临近一点B( 1+Δx,-2+Δy),则 B(及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx= D 3ΔxA 3 B 3Δx-(Δx)2 33C 3-(Δx)2 D 3-Δx 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+∆x 、 附近的平均速度。
h
请计算
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
0 ≤ t ≤ 0.5和1 ≤ t ≤ 2时的平均速度v :
o t
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。 需要用瞬时速度描述运动状态。
65 h( ) − h(0) 65 0≤t ≤ 时v ： ＝ 49 =0 65 49 −0 49
思考? 思考
观察函数f(x)的图象 观察函数f(x)的图象 f(x)
∆y f(x2 ) − f ( x1 ) 表示什么? 平均变化率 ∆x = 表示什么? x2 − x1
y Y=f(x)
f(x2)
B f(x2)-f(x1)=△y △
f(x1)
A x1 x2
直线AB 直线AB的斜 AB的斜 率
x
O
x2-x1=△x △

平均变化率定义: 平均变化率定义
f(x2 ) − f ( x1 ) 1.上述两个问题中的变化率可用式子 上述两个问题中的变化率可用式子 x2 − x1 来表示
我们称之为函数f(x)从 函数f(x) 我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2.若设Δx=x Δy） 2.若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)（即Δy） 若设 则平均变化率为 平均变化率为
3 .质 点 运 动 规 律 s = t
2
+ 3 , 则 在 时 间
( 3 , 3 + ∆ t ) 中 相 应 的 平 均 速 度 为 ( A ) 9 A . 6 + ∆ t B . 6 + ∆ t + ∆ t C . 3 + ∆ t D . 9 + ∆ t
4.物体按照s(t)=3t +t+4的规律作直线运动 求在4s 的规律作直线运动, 4s附近 4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近 物体按照 的平均变化率. 的平均变化率. 25+3Δt
§1.1.1 变化率问题
变化率问题： 变化率问题： 研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度
问题1 问题 气球膨胀率
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程可以发现： 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程可以发现：随 着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。 着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。 从数学角度,如何描述这种现象呢? 从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 V(单位:L)与半径r(单位:dm) 4 3 函数关系是： 函数关系是： V ( r ) = π r
人教版·选修 － 人教版 选修1－1 选修 §3.1 变化率与导数 §3.1.1 变化率问题
微积分主要与四类问题的 处理相关: 处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数， 一、已知物体运动的路程作为时间的函数， 求物体在任意时刻的速度与加速度等； 求物体在任意时刻的速度与加速度等； 求曲线的切线; 二、求曲线的切线; 求已知函数的最大值与最小值; 三、求已知函数的最大值与最小值; 求长度、面积、体积和重心等。 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（ 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最 一般、最有效的工具。 一般、最有效的工具。
(1+∆x ) −1 k= = 3 + 3∆x +(∆x )2 = 3 + 3×0.1+ 0.12 = 3.31 (1+∆x ) − x
3 3
A组 2.P79 A组 T1
∆x x 2 − x1
∆f f(x 2 ) − f ( x1 ) = ∆x x 2 − x1
3.函数的平均变化率的几何意义： 3.函数的平均变化率的几何意义： 函数的平均变化率的几何意义 表示函数图象上两点A(x ))连线 表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))连线 割线）的斜率。 （割线）的斜率。 4.函数的平均变化率的物理意义 函数的平均变化率的物理意义： 4.函数的平均变化率的物理意义： s(t),则平均变化率表示物体运动时在时间段 若s= s(t),则平均变化率表示物体运动时在时间段 [t1 , t2 ] 中的平均速度 v ∆s = s2 − s1 ＝ ∆t t2 − t1
小结： 小结：
1.函数的平均变化率 1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: 2.求函数的平均变化率的步骤: 求函数的平均变化率的步骤 (1)求函数的增量 求函数的增量： (1)求函数的增量： Δx）－ ）－f(x Δf=Δy=f(x2)-f(x1)＝f（x1＋Δx）－f(x1); (2)计算平均变化率 (2)计算平均变化率 ∆ f = f ( x 2 ) − f ( x1 )
∆ f f(x 2 ) − f ( x1 ) = ∆x x2 − x1
注意：这里“ 是一个整体符号， 的积。 注意：这里“∆x”是一个整体符号，而不是∆与x的积。 的一个“增量” 它表示： 它表示：对于x1的一个“增量”，故：x2＝x1+∆x 同样∆f=∆y=f(x2)-f(x1)，故： y2＝y1+∆y