2020高考数学必胜秘诀(四)三角函数

2020高考数学必胜秘诀(四)三角函数

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

四、三角函数

1、 角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方 向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成 一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、 象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 X 轴的非负半轴重合，角 的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。假如角的终边在坐标轴上，就认为那个角不属于任何象 限。

，合

弧度。 〔答：25;

36

〔2〕 终边与 终边共线(的终边在终边所在直线上)

k (k Z).

〔3〕 终边与 终边关于x 轴对称 2k (k Z)

〔4〕 终边与 终边关于y 轴对称 2k (k Z).

〔5〕 终边与 终边关于原点对称 2k (k Z).

〔6〕

终边在x 轴上的角可表示为：

k ,k Z

; 终边在y 轴上的角可表示为:

k

-,k Z

； 终边在坐标轴上的角可表示为:

k ■ ,k Z .如 的终边与一的终边关于直线

2

2

6

x 对称，那么

=

。〔答：2k

,k Z 〕

3

4、 与=的终边关系：由”两等分各象限、一二三四'’确定

?如假设 是第二象限角，那么

是第

2 2

_____ 象限角〔答：一、三〕

5、弧长公式：I | |R ，扇形面积公式： S *IR 21 | R 2 , 1弧度(irad) 573.如扇形AOB

的周长是6cm ,该扇形的中心角是 1弧度，求该扇形的面积。〔答：2cm 2〕

6、 任意角的三角函数的定义 ：设 是任意一个角，P (x, y)是 的终边上的任意一点〔异于原点〕

，

x

r r cot

(y 0), sec x 0 , csc

y 0。三角函数值只与角的大小有关，

而与终边上

y

x

y

点P 的位置无关。女口〔 1〕角

的终边通过点 P(5, - 12),那么sin cos 的值为 ____________ 。〔答：

—〕；

13

〔2〕设 是第三、四象限角，sin 2m 3，那么m 的取值范畴是

〔答：〔一1, -)〕；〔3〕假

4 m

2

设 ls^_l -cos

0 ,试判定 cot(sin ) tan(cos )的符号

sin | cos |

7.三角函数线的特点 是：正弦线MP”站在x 轴上(起点在x 线OM”躺在

x 轴上(起点是原点)”、正切线AT ”站在点A(1,0) A )".三角函数线的

重要应用是比较三角函数值的大小和解

如〔1〕假设

0，那么sin ,cos ,tan 的大小关系

8

3.终边相同的角的表示

〔1〕 终边与 的终边一定相同， 终边相同(的终边在终边所在射线上 终边相同的角不一定相等

.如与角 1825

的终边相同, 2k (k Z)，注意：相等的角

且绝对值最小的角的度数是—

那么sin

—,cos r

tan

〔答：负〕 轴上)"、余弦 处(起点是 三角不等式。

为 _____ (答：

它与原点的距离是r

x

tan sin cos )； 〔2〕假设 为锐角，那么,sin ,tan 的大小关系为

〔答 sin

tan 〕；〔

3丨函数y

..1 2cosx lg(2sin

x

」3)的定义域是

〔答

(2 k

,2

k

](k Z)〕

3 '

3

8.专门角的三角函数值

30° 45°

：60°

0 ° ：90°

180° 270 ° 15° 75°

sin

1

1

-1

V 6 42 46 42 2

2 2

4 4 cos

&

运

1 1 0

-1

46 42

46 42

2

2

2

4

4

tan

邑

3

1

爲

/ 0

/

2-73

2+V 3

cot

1

3

/

/

2+J 3

2<3

9.同角三角函数的差不多关系式

〔1〕平方关

系： ?2

sin

cos 2

1,1 tan 2

2

sec ,1 cot 2

csc 2

〔2〕倒数关系： sin csc =1,cos sec =1,ta n cot =1,

〔3〕商数关系：

tan

sin

cos

,cot

sin

cos

同角三角函数的差不多关系式的要紧应用是， 一个角的三角函数值, 求此角的其它三角函数值。在运 用平方关系解题时，要依照角的范畴和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范畴，以便进行定号；在具体

求三角函数值时，一样不需用同角三角函数的差不多关系式， 而是先依照角的范畴确定三角函数值的符号，

再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 女口〔1〕函数y Sn ——坦 J 的值的符号为 ________ 〔答:

cos cot

2x 2 ，那么使1 sin 2x

cos2x 成立的x 的取值范畴是

〔答：吩1

r 3

m 3 4 2m “

[—,

]

〔3

sin

,cos

(- 4

m 5

m 5 2

tan

sin 3cos ?2

1 , 那么

；sin

tan 1

sin

cos

)，那么tan sin cos 〔答:

〔答:

sin 200 a ，那么 tan 160 等于

a

B 、Ta 2

〔答：B 〕；〔 6〕f(cosx) cos3x ，那么f (sin 30 )的值为

〔答：一1〕。

12〕；〔4

〕 5

〕；〔5〕

3'

1 a 2

10.三角函数诱导公式〔 象限〔看原函数，同时可把 负角变正角，再写成2k +

-

〕的本质是：奇变偶不变〔对

k 而言，指k 取奇数或偶数〕，符号看

2

看成是锐角〕?诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一样步骤： 〔1

〕

9 7

的值为

.3

—〕；〔2〕sin(540

3

4

4

，那么 cos( 270 )

5

______ ，假设 为

大于0〕；〔 2〕假设

如

( ) (

)

,2

( )( )，2 ( )(

)，

2 ,—

2

—

等〕，如〔1

〕tan( ) 2 tan(

— ) -，那

2

2 2

5 4

4

tan( —)的值是

〔答： 3 22 丨；〔2〕

0 - 2 ,且 cos( 2) 1 9sin( 2 ) 2

3， 求cos( )的值〔答 :490 丨

；

〔3〕, 为锐角，sin

x,cos y cos(

) 3 ,那么

y 与

729

3

-，1 2

4,3

x x( x

5

x 的函数关系为 〔答： y

1)〕

5 5 5

(2)三角函数名互化 (切割化弦 )，如〔 〔1〕求值 sin50(1 ,3ta n10) 〔答：1 〕；〔

2〕

sin cos 1,ta n( )

2

，求 tan(

3 1 cos 2

(3)公式变形使用

〔tan

tan

tan

tan A tan B tan A tanB 1，那么 cos(A

1 +ta n 1〕 8

tan 〔答: 。如〔1〕A 、B 为锐角，且满足

—丨；(2)设ABC 中，

2

2 1 cos2 sin = -----------------

2

的结果是 旦，对甲、乙求得的结果的正确性你的判定是 ______________ 〔答：甲、乙都对〕

2a

12.三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的差不多思路

是：一角二名三结构。即第一观看角与角

之间的关系，注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通 常"切化弦"；第三观看代数式的结构特点。 差不多的技巧有：

〔1〕巧变角〔角与专门角的变换、角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 第二象限角，那么[sin (18°

) cos( 360 )]2

tan(180 )

11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

sin

sin cos cos sin

令 cos

cos cos ? ?

sin

sin

令

tan tan tan

? 4 3

。〔答： 一；

〕

5

100

sin 2

2sin cos

cos2

2 ?2

cos

sin

2cos 2

1 1 2sin 2

2

1+cos2

cos —

--------- 如〔1〕

2

tan 2

2 tan 1 tan 2

B 、

2

1 cos30「

〔答：

c 〕；

〔2〕命

题

P ：

tan(

V 2

充要条件

B

充分不必要条件

C 、 sin(

)cos

cos(

)sin 3

5

值是 〔答:

4〕；(5) tan 1100 a ，求

2 . 2

cos sin - 12 12

0 ,命题Q : c

tan 22.5" C 、

2

"

1 tan 225

tan A tan B 0 ,那么P 是Q 的

既不充分也不必要条件〔答: 〔答：|〕；〔4〕

C 〕

；

.3 -的

sin 80'

tan 500的值〔用a 表示〕甲求得的结果是 sin 10' a

空，乙求得

1 3a

1??ta n

A B) 必要不充分条件

那么cos2 的值为

以下各式中，值为1的是 A 、sin 15；cos15

2 )的值〔答:

B)=

K

的符号确定， 角的值由tan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。如〔1〕假设方程 a

si nx JJcosx c 有实数解，那么c 的取值范畴是 _________________________ ?〔答：［—2,2］〕；〔 2〕当函数

3

y 2cosx 3sinx 取得最大值时，tanx 的值是 ____________________________ (答： -)；〔3丨假如

f x sin x 2cos(x )是奇函数，那么tan = _(答

3

先取横坐标分不为 0, —, , ,2 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦

2 2

曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数y sin x(x R)、余弦函数y cosx(x R)的性质： 〔1〕定义域：差不多上R 。

〔2〕值域：差不多上 1,1 ,对y si nx ,当x 2k

k Z 时，y 取最大值1 ；当

tan A tan B .3 、、3tan Atan B , sin Acos A —3，那么此三角形是

4

(4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos 2

1

曲2

三角形〔答：等边〕

1 cos2

c 2

2cos

2

,1 cos2 2sin )。如(1)假设

〔答: sin 〕； 2

〔2〕函数 f(x) 5sinxcosx

5、3 .2

,sin

2

cos x

1 cos 2

2"(x

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同 R)的单调递增区间为 〔答: 5

](

k

12

)。如〔1〕tan (cos

Z)〕 sin )

——ta ^〔答：sin 〕；〔2〕求证: cot csc

1 sin 1 2sin

1 tan

—2 ;〔 3〕化简:

tan —

2

2cos 4 x 2cos 2

2

2tan$ x)sin (壬 x)

1

〔答：一 cos2x 〕

2

(6)常值变换要紧指” 1 ”的变换〔1

?2

sin x

2

cos x

sec x tan 2x

tan 4 sin 二 川等〕，女口 tan 2 ,

(7)正余弦"三兄妹一sinx cosx 、sinxcosx

求 sin 2

sin c

2

cos 3cos

”知一求二 tan x cot x

〔答：-〕?

5

”， 如 sin x cosx t ,

那么 sin xcosx

〔答:

设(o, ),sin cos ，求tan 的值。

的内存联系 t 2 1 ),专门提醒：那个地点t ［

2

r 侮 4 77、r 、sin 2

2sin 2

〔答： ------- 〕；〔3〕

3

〔1〕假设

三］;〔2〕假

1 tan

试用k 表示sin

cos 的值〔答:

,r~k 〕

13、辅助角公式中辅助角的确定

:asinx

bcosx a 2 b 2 sin x

(其中

角所在的象限由a, b

2) ； 〔 4 〕 求值

3 2

sin 20 | 2

一2 64 si n 220 cos 20

14、正弦函数和余弦函数的图象

_______ (答：32) :正弦函数y sinx 和余弦函数 y cosx 图象的作图方法：五点法:

为

与升幕公式:

2k

—k Z 时，y 取最小值—

2

1 ；对y cosx ，当x 2k k Z 时，y 取最大值1，当

2k k Z 时，y 取最小值—1。 如〔1〕 假设函数y a bsin(3x 3

6)的最大值为2，最小值 1 —,那么 2 的值域是 1 a —, b —〔答：a -, b 2

_〔答：［—1,2］〕；〔3〕假设

2 1〕；〔2〕函数 f (x) ，那么y cos sin x 6 sin ■■■.?

3 cos x 〔 x ［ ,］〕 2 2 的最大值和最小值分不是 现在x = 〔答：7; — 5〕；〔4〕函数 f (x) 2cos xsin(x —) , 3si 3 sin 2

x sin xcosx 的最小值是 〔答：2; k (k 12 Z)丨；〔5〕己知 sin cos 1 + ，求 t sin cos

2

的变化范 畴〔答：［0,丄］〕；〔6〕假设sin 2 2 y min 2 2 2〕。

〔3〕周期性： 2 si n 2 2 2

2 cos ，求y sin sin 的最大、最小值〔答: y max 1 , f(x) Acos( x

专门提醒: sin x 、y cosx 的最小正周期差不多上 多上T — | 函数 f(1) f(2) f( 3)川 ?4 sin x 的最小正周期为 在解含有正余弦函数的咨询题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗? 2 :② f(x) Asin( 最小正周期差不 f (2003)=—〔答: 0〕；⑵ I 。如(1)假设 f(x) sin 4

f (x) cos x 2sin xcosx 〔答: 〕；⑶

设函数 f(x) f (x 1) f (x) f (x 2)成立，那么 | 为 〔4〕奇偶性与对称性：正弦函数y x 21的最小值为

sin x(x R) 2sin( x -)，假设对任意 2 5 〔答：2〕 是奇函数，对称中心是 ,0 k Z 直线x 轴是直线

Z ；余弦函数y cosx(x R)是偶函数，对称中心是 Z 〔正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 为图象与 x 轴的交点〕 3

f(x) ax bsin x y 2cosx(sin x k ( ,1)( k 2 8 cosx) 5 。如〔1〕函数y sin — 2x 的奇偶性是

2 1(a,b 为常数〕，且f(5) 7 ,那么f( 5) 的图象的对称中心和对称轴分不是_ k

(k Z )丨；〔4〕f(x) 2 8 sin( x ) 值。〔答: 6(k Z)〕 〔5〕单调性：y sinx 在2k 单调递减；y cosx 在2k ,2k 专门提醒，不忘了 k Z ! 16、形如y Asin( x )的函数： 1 ,2k k Z 2 2

k Z 上单调递减，在 上单调递增, 2k ,0 k 2 x 轴的直线, x R 都有 ，对称轴是 Z ，对称

对称中心

〔答：偶函数〕；

〔2〕

〔答：—5〕；〔 3〕 、 _____

〔

?、3cos(x )为偶函数,

在 2k ,2k

2

2

,2k

函数 函数 答：

3

2

上单调递增。

〔1〕几个物理量：A —振幅；f —频率〔周期的倒数〕 T x —相

位； 一初相； 〔2〕函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定; 由周期确定;

23题图

由图象上的专门点确定， 女口 f (x) Asin( x )(A 0,

0, | | -)的图象如下图，那么 f(x)=

2

〔答：f (x) 2sin(^x §)〕；

3

〔3〕函数y Asin( x )图象的画法：①”五点法"一一设 X x ，令X = 0,—,，匕,2

2 2 求出相

应的x 值，运算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

〔4〕函数y

变，横坐标向左〔 图象的纵坐标不变, Asin( x ) k 的图象与y sin x 图象间的关系 >0〕或向右〔<0〕平移| |个单位得y sin 1 横坐标变为原先的 ，得到函数y

sin x

:①函数y sinx 的图象纵坐标不 的

图象；②函数 y sin

的图象; ③函数y sin x

象的横坐标不变，纵坐标变为原先的 图象的横坐标不变，纵坐标向上〔 A 倍，得到函数y k 0丨或向下〔k Asin( x

0〕，得到

)的图象; Asi n Asin(

④函数y

k 的图象。要 )

专门

注意，假设由y sin x 得到y sin x 的图象，那么向左或向右平移应平移 函数y 2sin(2 x —) 1的图 4 象通过如 何样的变换才能得到y sin x 的图象？〔答： y 2sin(2 x -) 1向上平移1个单位得y

2sin(2x )的图象，再向左平移一个单位得y 2sin 2x 4 8 的图象，横坐标扩大到原先的 2倍得y 2sin x 的图象，最后将纵坐标缩小到原先的 8 1 -即得 2 y sin x 的图 象〕；(2)要得到函数y cos(x

2 左；—〕；〔3〕将函数y 2 向量是否唯独？假设唯独，求出 2sin(2 x x )的图象，只需把函数 y sin 的图象向 4 2

—)1图像，按向量

3

平移 个单位〔答: 平移后得到的函数图像关于原点对称，如此的 ;假设不唯独，求出模最小的向量〔答：存在但不唯独，模最小的向量

a ( -, 1)〕；〔4〕假设函数 f x 6 的交点，那么k 的取值范畴是 __________ 〔5〕研究函数y Asin( x y Asin( x )中的 x 看成 意A 和的符号，通过诱导公式先将 [k [6k 直线 函数 _5_ 12 3

4 2

3 C 、 ,k ,6k

对称, 2si

n

cosx sinx x 0,2 的图象与直线y k 有且仅有四个不同 _____ 〔答：［1,、、2)〕 )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质， sin x 中的x ，但在求y Asin( x )的单调区间时， 只需将 要专门注 化正。如 〔1〕函数y sin( 2x 3)的递减区间是 〔答: -](k Z)丨； 12 3 、 ](k Z)丨; 4 〔3〕设函数 x log 1 cos( 一

2 3 f (x) Asi n( 它的周期是

，那么A 、f(x)的图象过点 5 f (x)的图象的一个对称中心 是(—,0) 4)的递减区间是

x )(A 0, 1

(0,：) B 、 2 f (x)的最大值是 0 - _)的图象关于 ，2 2 5 2 f (x)在区间［—,］上是减

12 3

A 〔答：C 〕；〔4〕关于函数

2x

给出以下结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线

3

x

成轴对称;

12

③图象可由函数y 2sin 2x的图像向左平移—个单位得到；④图像向左平移—个单位，即得到函数

3 12

y 2cos2x的图像。其中正确结论是___________〔答：②④〕；〔5〕函数f(x) 2sin( x )图象与直线y 1

的交点中，距离最近两点间的距离为一，那么此函数的周期是________ 〔答：〕

3

17、正切函数y tanx的图象和性质：

〔1〕定义域：｛x|x — k ,k Z｝。遇到有关正切函数咨询题时，你注意到正切函数的定义域了

2

吗？

〔2〕值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；

〔3〕周期性：是周期函数且周期是，它与直线y a的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的阻碍：一样讲来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变?既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如y sin2 x, y sinx的周期差不多上，但y sinx

K 1

cosx 的周期为一，而y |2sin(3x —) - |, y | 2sin(3x —) 21, y | tanx|的周期不变；

2 6 2 6

k

〔4〕奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0 k Z ,专门提醒：正(余)切型函数的对称

2

中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦

函数的不同之处。

〔5〕单调性：正切函数在开区间一k ,一k k Z内差不多上增函数。但要注意在整个定

2 2

义域上不具有单调性。如以下图：