江苏省盐城中学高三数学月考试卷 苏教版
江苏省盐城中学2008届高三第二学期期中测试
数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
１．本试卷共5页，包含［填空题（第1题～第12题，共60分）、选择题（第13题～第16题，共16分）、解答题（第17～22题，共84分）及加试题（共40分，物理方向考生作答）］。本次考试时间历史方向考生120分钟，满分160分、物理方向考生150分钟，满分200分。考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一．填空题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分。）
1．集合A 中的代表元素设为x ，集合B 中的代表元素设为y ，若B x ∈?且A y ∈?，则A 与B 的关系是 ▲ 。
2．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= ▲ 。
3．已知复数z=x+yi,且2z -=y
x
的最大值 ▲ 。 4. 数列{}{}111,21,+c n n n n a a a a a +==+满足若数列恰为等比数列，则c 的值为 ▲ 。 5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y = f (x )的图像关于直线x =
1
2
对称，则f (1)+ f (2)+f (3)+ f (4) +f (5)= ▲ 。
6．设向量a ，b ，c 满足a +b +c =0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若│a │=1，则│a │+│b │+│c │的值是 ▲ 。 7．在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，使等式成立且这两个自然数的和最小：
)
(
9)
(
11+
=
。
8．二面角α—a —β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥a 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥a 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱a 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 ▲ 。 9．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项
为n
2，则数列{n a }的前n 项和n S = ▲ 。
10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在 同一水平面内的两个测点C 与D ．测得 0
153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为0
60,则塔高AB= ▲ 。
11．已知函数qx px x x f --=2
3)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大
值和极小值分别为 ▲ 和 ▲ 。
12．设()2x x e e f x -+=，()2
x x
e e g x --=，计算(1)(3)(1)(3)(4)
f
g g f g +-=_______，
(3)(2)(3)(2)(5)f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的
两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是 ▲ 。
二．选择题（本大题共有４小题，每小题4分，满分16分；每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．） 13．若集合{},,M a b c =中的元素是ABC ?的三边长，则△ABC 一定不是
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形 14．设f ,g 都是由A 到B 的映射，其中对应法则（从上到下）如下表：
表一 映射f 的对应法则 表二 映射g 的对应法则
则与)]1([g f 相同的是
A ．)]1([f g
B ．)]2([f g
C ．)]3([g f
D ．]1)1([-g f
15．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p +2)%
征税，有一公司的实际缴税比例为 (p +0.25)%，则该公司的年收入是 A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元 D ．320万元 16
那么方程2
2x
x =有一个根位于下列区间的
A ．( 1.6, 1.2)--
B ．( 1.2,0.8)--
C ．(0.8,0.6)--
D ．(0.6,0.2)--
三．解答题（本大题共有6题满分84分，解答下列各题必须写出必要的步骤．） 17．(本题满分12分)已知B A ,是ABC ?的两个内角，a ＝2cos
2B A +i ＋2
sin B
A -j （其中i ,j 是互相垂直的单位向量），若│a
│＝
2
6
（1）试问B A tan tan ?是否为定值，若是定值，请求出,否则请说明理由; （2）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状.
18．(本题满分13分)已知函数：c bx x x f ++=2
)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，且,bc
Z ∈，记函数)
(x f
满足条件：??
?≤-≤3
)1(12
)2(f f 的事件为A ，求事件A 发生的概率。
19．(本题满分14分)
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时当顾客在该商场内消费满一定金额
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．如购买标价为400元的商品，则消费金额
为320元，获得的优惠为：400×0.2+30=110（元）．设购买商品得到的
优惠率计算公式为：
试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到优惠率是多少？
（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可
得到不小于3
1
的优惠率？
20．(本题满分14分)已知数列{}
1
2n n a -的前n 项和96n S n =-
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(3log ),3n
n a b n =-求数列1n b ??????
的前n 项和。
21．(本题满分15分)已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。
（1）求,a b 的值；
购买商品获得的优惠额
商品的标价
（2）证明：函数)(x f 在R 上是减函数；
（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
22．（本题满分16分）
设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +
∈），函数=y a ·b 在[0，1]上的最小值与最大值
的和为n a ，又数列{n b }满足：110
9
)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb ． （1）求证：1+=n a n ； （2）求n b 的表达式；
（3）n n n b a c ?-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成
立？证明你的结论.
加试题(满分40分)
一、选择题：本大题共两小题，每小题5分，共10分.将答案填写在题后的括号内. 1.设n x x )
3(21
3
1+的二项展开式中各项系数之和为
t ，其二项式系数之和为h ，若272=+t h ，则其二项展
开式中2
x 项的系数为 A.
2
1
B. 1
C. 2
D. 3 2.若2
0π
<
A.4sin 3x x > B.4sin 3x x < C.4sin 3x x ≥ D.与x 的值有关 二、填空题：本大题共两小题，每小题5分，共10分. 将答案填写在题后的横线上. 3.某中学拟于下学期在高一年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课，在计划任教高一的10名数学教师中，有3人只能任教《矩阵与变换》，有2人只能任教《信息安全与密码》，另有3人只能任教《开关电路与布尔代数》，三门课都能任教的只有2人.现要从这 10名教师中选出9人，分别担任这三门课的任课教师，且每门课安排3名教师任教.则不同的安排方案有 种. 4.由曲线2613y x x =-+与直线3y x =+所围成的封闭区域的面积为 . 三、解答题：本大题共两小题，共20分.解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5. （本小题满分10分） 已知2143M -??= ?-??，4131N -?? = ?-?? ，求二阶方阵X ，使MX N =. 6. （本小题满分10分） 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程2 0x bx c ++=实根的个数（重 根按一个计）． （1）求方程2 0x bx c ++=有实根的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望； （3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2 0x bx c ++=有实根的概率． 江苏省盐城中学2008届高三第二学期期中测试 数学参考答案及评分标准 一、填空题 (每题5分共60分) 1．A B ? 或A B ?≠? 2．1 3．3 4．1 5.0 6．4 7．) 12(9 )4(11+ = 8．26 9. 221 -+n 10．AB = 11． 4 ,027 12．0, 0, ()()()()()0f x g y g x f y g x y +-+= 二、选择题(每题4分共16分) D A D C 三.解答题 17．解：（1）由题意得2 3 2sin 2cos 222 =-++B A B A ， ……………… 2分 从而得2 3 2)cos(11)cos(=--+ ++B A B A ，0)cos()cos(2=--+B A B A ，……4分 化简得:cos cos 3sin sin 0A B A B ?-?=. 显然cos cos 0A B ?≠ B A tan tan ?=3 1 ……6分 （2）由B A tan tan ?=31 可知A 、B 都是锐角， ………………………………………7分 )tan (tan 2 3 )tan(tan B A B A C +-=+-= ………………………………………8分 由B A tan tan +≥3 3 2tan tan 2= ?B A 所以)tan (tan 23tan B A C +-=≤3-， 当且仅当3 3 tan tan = =B A 时取等号， ………………………………………………9分 所 以C tan 的最大值为3-， ………………………………………10分 这时三角形为有一顶角为0 120的等腰三角形 ………………………………………12分 18．由 ?? ?≤-≤3)1(12 )2(f f 得: 28 2 b c b c +≤?? -+≤? 且 04,04b c ≤≤≤≤,b c Z ∈ ………2分 当b=0时c=0,1,2 ………………………………………………4分 当b=1时c=0,1,2,3 ………………………………………………………6分 当b=2时c=0,1,2,3,4 ………………………………………8分 当b=3时c=0,1,2 ………………………………………………10分 当b=4时c=0以上共16种情形 ………………………………………………………12分 故事件A 发生的概率为16 ()25 P A = ………………………………………………13分 19．（1）解：顾客得到优惠率是 %331000 130 2.01000=+? ……………………………7分 （2）解：设商品的标价为x 元，则500≤x ≤800，消费额为400≤0.8x ≤640, …9分 由已知得?????<≤≥ +5008.040031602.0x x x 或 ?????≤≤≥+640 8.050031 1002.0x x x , 解得625≤x ≤750………………………………………13分 因此当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时，可得到不小于3 1 的优惠率………14分 20．（1）当n =1时，011123a S a =∴= ………………………………………2分 当n ≥2时 112n n n n a S S --=-，得 2 32n n a -=-……………………………………5分 即数列的通项公式为 ???? ?≥-==-2 23 132 n n a n n ………………………………7分 （2） 当n =1时，31log 321=-=b ……………………………………………9分 当2n ≥时)1()21log 3(2 2 +=-=-n n n b n n 故2n ≥时 1111 (1)1 n b n n n n ==- ++ ………………………………………11分 设数列1n b ?? ???? 的前n 项和为 n n b b b b T ++++= 321= 1111111.....323341n n +-+-++-=+ = 5161 n -+ ………………………14分 21．解：（1）因为()f x 是奇函数，且定义域为R ，所以0)0(=f ， ∴1 11201()22 x x b b f x a a +--=?=∴=++ ………………………………………………3分 又)1()1(f f -=-，知1 112 2 2.41 a a a - -=-?=++ …………………………………4分 而当2,1a b ==时()f x 是奇函数 …………………………5分 （2）证明：法一：由（Ⅰ）知11211 ()22221 x x x f x +-==-+++，……………………6分 令21x x <，则21 22 0x x <<，02212>-x x ………………………………………7分 2 11 2212 222121)()(21x x x x x x x f x f +-=-=-＞０，即)()(21x f x f > ∴函数)(x f 在R 上为减函数 ………………………………………10分 法二：由（Ⅰ）知11211 ()22221 x x x f x +-==-+ ++，………………………………6分 2 )12(2 ln 2)(+?-='∴x x x f ， ………………………………7分 0) 12(2 ln 2,02ln ,02,2 <+?-∴>>∴∈x x x R x ，即0)(<'∴x f ∴函数)(x f 在R 上为减函数．…10分 （3） ()f x 是奇函数，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数， ………12分 ∴2222t t k t ->-，即2320t t k -->对一切t R ∈横成立， ∴1 4120.3 k k ?=+ 22．（1）证明：=y a ·b =2)4(2-++x n x ，因为对称轴2 4 +- =n x ,所以在[0，1]上为增函数，∴1)3()2(+=++-=n n a n ………………………………………5分 （2）解：由1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb 得110 9 )109()109( )2()1(32121++++=++-+---- n n n b b n b n 两式相减得n n n n S b b b b ==++++--1 121)10 9( ，………………………………7分 当1=n 时，111==S b ………………………………………8分 当n ≥2时，2 1)10 9(109--- =-=n n n n S S b ………………………………………9分 即?????≥=-=-21)109(10112n n b n n ………………………………………10分 （3）解：由（1）与（2）得=?-=n n n b a c ?????≥=+--21)10 9(10122n n n n ………………11分 设存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立， 当2,1=n 时，1212010 23 c c c c >?>=- ………………………………12分 当n ≥2时，100 8)109(21n c c n n n -?=--+， 所以当8 所以存在正整数9=k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立．………16分 加试题 1．B (5分) 2．A (5分) 3．16 (5分) 4． 9 2 (5分) 5．解：设x y X z w ??= ???，按题意有21414331x y z w --?????? = ??? ?--?????? ……2分 根据矩阵乘法法则有24 21433431x z y w x z y w -=??-=-? ?-+=-??-+=? ……6分 解之得921 51 x y z w ? =???=-??=?=-?? ……8分∴ 912 51X ?? - ? = ?-?? ……10分 6．解:（1）基本事件总数为6636?=， ……1分 若使方程有实根，则240b c ?=-≥ ，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =；当2c =时，3,4,5,6b =；当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =；当5c =时，5,6b =；当6c =时，5,6b =, 目标事件个数为54332219,+++++= ……3分 因此方程2 0x bx c ++= 有实根的概率为 19 .36 ……4分 (2)由题意知，0,1,2ξ=，则17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ== =17 (2)36 P ξ==，……5分 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 1736 118 1736 ξ的数学期望17117012 1.361836 E ξ=? +?+?= ……7分 (3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程2 0ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11 ()36 P M = ，7 ()36P MN = ， ……9分 ()7()()11 P MN P N M P M = =. ……10分