电磁场与电磁波复习资料

一、名词解释

1.通量、散度、高斯散度定理

通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负）

散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。

高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。

2.环量、旋度、斯托克斯定理

环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。其物理意义随 A 所代表的场而定，当 A 为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。

旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。

斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。

3.亥姆霍兹定理

在有限区域 V 内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域 V 的闭合

面S 上矢量场的分布）唯一的确定。

说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度

4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：

电场力：电场对电荷的作用称为电力。

磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。

洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。

5.电偶极子、磁偶极子

电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。

磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。

6.传导电流、位移电流

传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。

位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。

7.全电流定律、电流连续性方程

全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。

电流连续性方程：

8.电介质的极化、极化矢量

电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶

极子，这种现象称为电介质的极化。

极化矢量 P：单位体积内的电偶极矩矢量和。

9.磁介质的磁化、磁化矢量

磁介质的磁化：当把一块介质放入磁场中时，它也会受到磁场的作用，其中也会形成一个个小的磁偶极子，这种现象称为介质的磁化。

磁化矢量 M：单位体积内磁偶极矩的矢量和。

10.介质中的三个物态方程

D=εE，B=μH，J C=γE

11.静态场、静电场、恒定电场、恒定磁场

静态场：场量不随时间变化的场。

静电场：静止电荷或静止带电体产生的场。

恒定电场：载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场。

恒定磁场：由恒定电流或永磁体产生的磁场不随时间变化，称为恒定磁场

12.静电场的位函数满足的泊松方程、拉普拉斯方程泊松方程：在有“源”的区域内，静电场

的电位函数φ所满足的方程，即

2ρ

φε

?=-

，这种形式的方程。

拉普拉斯方程：场中某处有电荷密度ρ=0，即在无源区域内，这中形式的方程20

φ

?=

。

13.对偶定理、叠加原理、唯一性定理对偶定理：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并且具有相似的边界条件或对应的边界条件，那么他们的数学解的形式也将是相同的。

叠加原理：若Φ1 和Φ2 分别满足拉普拉斯方程，即210φ?= 和

220φ?=,则 1φ1φ 和 2φ 的线性组合：12a b φφφ=+必然也满足拉普拉斯方程.2

12()0a b φφ?+=式中a 、b 均为常

系数。

唯一性定理：对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者

说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。

14.电磁波、平面电磁波、均匀平面电磁波电磁波：同相震荡且相互垂直的电场与磁场交互形成的行进波动。

平面电磁波：对于任意时刻 t ，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位面为平面的 波称为平面波，具有这种性质的电磁波称为平面电磁波。

均匀平面电磁波：在任意时刻，波所在的平面中场的大小和方向都是不变的平面电磁波。

15.电磁波的极化

均匀平面波传播的过程中，在某一波阵面上电场矢量的振动状态随时间变化的方式称为波的极化（或称为偏振）。

16.损耗正切

复介电系数的虚部与实部的比值 γ/ωε 它代表了传导电流和位移电流密度的比值。该比值是一个相角，可以用来描述媒质损耗的强弱，工业上称之为损耗正切。

17.正常色散介质、非正常色散介质正常色散介质：波长大的波，其相速度 大，群速 小于 相速；

非正常色散介质：是波长大的波，其相速度 小，群速 大于 相速

18.相速、群速

相速：波的相位的传播速度，V=ω/k （其中 k 为传播常数或波速）。通俗的说，就是电磁波

形状向前变化的速度。即正弦波的最大速度。一般情况下，速度 v 是恒定相位面在波中向前推进的速度，

群速：定义为 V g =d ω/dk ，群速是一个代表能量的传播速度，群速是波包络上某一恒定相位点推进的速度。

19.波阻抗、传播矢量

波阻抗：媒质电阻率和电磁场测量值的关系，是媒质的固有属性，平面波的波阻抗为电磁波

中电场与磁场的振幅比。

传播矢量：许多不同频率的正弦电磁波的合成信号在介质中传播的速度。不同频率正弦波的

振幅和相位不同，在色散介质中，相速不同，故在不同的空间位置上的合成信号形状会发生变化。群速是一个代表能量的传播速度。

20.色散介质、耗散介质

色散介质：不同频率的波在同一种介质中以以不同的速度传播的现象称为色散，相应的介质 称为色散介质。

耗散介质：耗散介质是指其折射率的虚部为非零值的媒质，这时波在传播的过程中会逐渐衰

减。(电导率≠0，但任然保持均匀，线性及各向同性等特性)

21.趋肤效应、趋肤深度

趋肤效应：当交变电流通过导体时，随着电流变化频率的升高，导体上所流过的电流将越来

越集中于导体表面附近，导体内部的电流越来越小的现象；

趋肤深度：将电磁波的振幅衰减到 e -1

时，它透入导电介质的深度定义为趋肤深度，用δ表

示。趋肤深度的表达式

/i c n δω=

22.全反射、全折射

全反射：当电磁波入射到两种媒质交界面时，如果反射系数 R=1，则投射到界面上的电磁波

将全部反射回第一种媒质中，这种情况称为全反射。

全折射：当电磁波以某一入射角入射到两种煤质交界面时，如果反射系数为零，则全部电磁

能量都进入到第二种媒质，这种情况称为全折射。

二、简答题

1.散度和旋度均是用来描述矢量场的，它们之间有什么不同？ 答：散度描述的是场中任意一点通量对体积的变化率旋度描述的是场

中任意一点最大环量密度和最大环量密度方向。

2.写出直角坐标系下的散度、旋度和梯度公式

→→→→→→→→

??=???

?

?++????? ????+??+??=A e e e e e e A x x z z y y x z y A A A z y x div

z A y A x A z

y x ??+??+??=

→

A div

3.亥姆霍兹定理的描述及其物理意义是什么？

答：亥姆霍茨定理:在有限区域的任一矢量场由它的散度，旋度以及边界条件唯一地确定；

物理意义：要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度

4.分别叙述麦克斯韦方程组微分形式的物理意义

答：第一方程：电荷是产生电场的通量源

第二方程：变换的磁场是产生电场的漩涡源

第三方程：磁感应强度的散度为0，说明磁场不可能由通量源产生；

第四方程：传导电流和位移电流产生磁场，他们是产生磁场的漩涡源。

5.解释坡印廷矢量及其物理意义、坡印廷定理及其物理意义

坡印廷矢量：S=E×H 具有电磁能量密度的量纲，表示电磁能量在空间的能流密度。瞬时坡印廷矢量表示了单位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。

坡印廷定理

描述的是能量守恒定律。

6.试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。

P101 ▽×E=0；▽·D=ρ前式表明静电场中 E 的旋度为零，即静电场不可能由漩涡源产生；后式表明产生静电场的通量源是电荷ρ，静电场是一个有源无旋场。

7.请说明镜像法、分离变量法、有限差分法。P125

镜像法：利用一个称为镜像电荷的与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷，然后通过计算由源电荷和镜像电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场的方法。

分离变量法：把一个多变量的函数表示成为几个单变量函数的乘积后再进行计算的方法。格林函数法：用镜像法或其他方法找到与待求问题对应的格林函数，然后将它代入第二格林公式导出的积分公式就可得到任一分布源的解得方法

有限差分法：在待求场域内选取有限个离散点，在各个离散点上以差分方程近似代替各点上的微分方程，从而把以连续变量形式表示的位函数方程转化为以离散点位函数表示的方程组的方法。

8.叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？

镜像法：利用一个称为镜像电荷的与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所

产生的感应电荷，然后通过计算由源电荷和镜像电荷共同产生的合成电场，而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场的方法。

关键：寻找合适的镜像电荷，在引出位函数并求解。

理论依据：唯一性定理，即所假设的位函数就是该区域上的唯一的电位函数。

9.举例说明电磁波的极化的工程应用。

A、极化波在天线设计中具有重要意义。利用极化波进行工作时，接收天线的极化特性必须

与发射天线的极化特性相同，才能获得好的接受效果，这是天线设计的基本原则之

一。例如，发射天线若辐射左旋圆极化波，则接收天线在接收到左旋极化波的时候，就收不到右旋极化波，这称为圆极化波的旋相正交性。又如，垂直天线发射地波，而垂直极化波，因为从天线到地的 E 场都是垂直的，因此接收天线应具有计划特性；

而水平天线则发射水平极化波，所以接收天线应具有水平极化特性。

B、为了避免对某种极化波的感应，采用极化性质与之正交的天线，如垂直极化天线与水平

极化波正交；右旋圆极化天线与左旋圆极化波正交。这种配置条件称为极化隔离。C、无线电系统必须利用圆极化波才能进行正常工作。例如，由于火箭等飞行器在飞行过程

中，其状态和位置在不断变化，因此火箭上的天线姿态也在发生不断的变化，此时若

使用线极化的发射信号来遥控火箭，在某些情况下，火箭上的天线可能收不到地面控制信号而失控。

D、两种互相正交的极化波之间所存在的潜在的隔离性质，可应用于各种双极化体制。例

如，用单个具有双极化功能的天线实现双信道传输或收发双工；用两个分立的正交极化的天线实现极化分集接收或体视观测（如立体电影）等。

E、此外，在遥感、雷达目标识别等信息检测系统中,散射波的极化性质还能提供幅度、相

位信息之外的附加信息。

10.试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。

1. 如果矢量的尖端在一条直线上运动，称之为线极化波。

2.如果矢量的尖端的运动轨迹是一个圆，则称之为圆极化波，分为右旋极化波和左旋极化波。

3. 椭圆极化波：电场的尖端的运动将描绘出一个椭圆。

3.1

如果用右手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场

矢量运动的方向相同，这个波就是右旋极化波。

3.2

如果用左手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场

矢量运动的方向相同，这个波就是左旋极化波。

4. 无一定极化的波，如光波，通常称为随机极化波。

11.简述唯一性定理，并说明其物理意义

唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件给定后，空间各处的场也就唯一的确定了，或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的。

唯一性定理是求解电磁场问题的重要的方法和理论依据。

12.说明自由空间中均匀平面电磁波的传播特性

1波是横向的，波的传播方向与场的方向相互垂直，被称为横向电磁波或TEM波。

2波传播的时候不会发生任何旋转，即一旦固定了电场合磁场的方向，波的传播方向将是确定的。

3场向量的大小满足E=cB，说明在电磁波中其主要作用的常常是电场力。

13.说明平面电磁波在非理想介质中的传播特性

即在有耗介质中：1.相速与波的频率有关，波长变短；2. 电场强度矢量与磁场强度矢量之间存在相位差，波阻抗为复数；3.传播过程中有能量损耗。

在无耗介质中：1.相速与波的频率无关；2.电场强度，磁场强度，传播方向三者相互垂直，传播方向上无电磁场分

量。3.电场强度矢量与磁场强度矢量处处同相，波阻抗为实数。4.传播过程中没有能量损耗。

14.说明趋肤效应在高速或高频电路板设计中的电路布线、器件选择、板层设计中的应用

电路布线：扁平、微带线、带状线、共面波导线、线距、线宽、线均匀

器件选择：贴片、扁平

板层设计：采用多层板

趋肤效应：波从导电煤质表面进入导电煤质越深，场的幅度逐渐衰减，能量就变得越小。在高频电路中可以：①采用空心导线代替实心导线，②采用多根

导线，总截面积 不变，有效面积增加了，③导体表面镀银，减小表面电阻④多层保护层⑤对金属 零件进行高频表面淬火，是趋肤效应在工业中应用的实例

15.试论述介质在不同损耗正切取值时的特性

答：1.在tan δc=0时，为理想介质，衰减常数α=0 ； 2．在tan δc<<1时，为良介质，属于非色散介质，但衰减常数不为0，并且随着频率的增高，衰减将加剧。

3．tan δc=无穷，为理想导体，衰减常数为无穷，电磁波在其中立刻衰减到0，相位常数为无穷，说明波长为零，相速为零。因此电磁波不能进入理想导体。

4．tan δc>>1（一般≥10），为良导体，此时γ与ω越大，衰减越快，波长越短，相速越低；相速与频率有关，为色散介质。 5．γ与ωε相比拟，为半导体。

16.说明复数折射率的实部/虚部对电磁波传播的影响

复数折射率的实部决定了波的速度，而且很容易得出折射率实部的定义为两个速度之比，即 nr=c/v

当波在介质中传播时，复数折射率的虚部使波的幅值按指数规律衰减，虚部值越大，波的衰减就越快。

17.试论述介质的色散带来电磁波传播和电磁波接收的影响，在通信系统中一般采取哪些

有效的措施

传播，色散会引起电磁波波传播过程中的衰减，能量不同程度的损失 接收，由于电磁波往往是多频信号，因此色散现象引发的传播速度不一致会引起各种频率波之间相位不一致，从而接收信号失真。 在通信系统中，一般采用信道编码或进行色度补偿方式。

【习题2.9】

解答：H J ??=

表明，电流是磁场的旋度源，所以，通电导体周围存在磁场；

V D ρ= 表明，电荷是电场的散度源，所以，电荷周围存在电场； 【习题2.11】

解：将H

表示为复数形式:

(,)2cos(15)i z

y H x z e i x e βπ-=-

（1）

由时谐形式的麦克斯韦第二方程可得：

000

11(,)12cos(15)30sin(15)y y x z i z x z H H E x z H e e i i z x i e x e i x e βωεωεβπππωε

-????=??=-+??

??????=-+??

002220

1(,)2(15))cos(15)y x z y i z

e E E H x z E i i z x e i x e βωμωμβππωεμ-????=-??=--??????

??=-+?

?

(2) 比较（1）式何（2）式，有

7

222922

009

410(15))(610)4003610πβπωμεπππ-?+==?=?

所以

2240022541.56(/)rad m βππ=-=

所以，相应的磁场强度为：

99(,,)496cos(15)sin(61041.56)565.5sin(15)cos(61041.56)/x y E x z t e x t z e x t z V m

ππππ=-?-+?-

【习题2.12】

（1）解：将E

表示为复数形式:

0.5100(,)i z r E r z e e r

-=

则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：

00.511

(,)0.398(/)

r

i z

E

H x z E e i i z e e A m r

?

?ωμωμ-?=-

??=-

?=

而磁场的瞬时表达式为

85(,,)cos(100.5)

(/)

4H r z t e t z A m r

?π=-

（2）内导体表面的电流密度

8397.9cos(100.5)

(/)

s r a

r r a

z J n H

e H

e t z A m ===?=?=-

（3）8205sin(100.5)(/)18d r

E J e t z A m t r

επ?==--?

所以，在01z ≤

≤中的位移电流 180

20.55sin(100.25)

()d d d r s

i J ds J e rdz t A π===--??

【习题2.13】

解：（1）将E

表示为复数形式:

0(,)sin()x ik x y E x z e E z e d

π

-=

则由时谐形式的麦克斯韦方程可得：

00

011

(,)()[cos()sin()](/)x y y x z ik x

x z x E E H x z E e e i i z x E z z e i e k e A m d d d

ωμωμπππωμ-??=-??=-

-+??=-+

而磁场的瞬时表达式为

00

0(,,)cos()sin()

sin()cos()

(/)x x x z x E z H x z t e t k x d d

k E z e t k x A m d

ππωωμπωωμ=-+-

（2）z=0处导体表面的电流密度为

00

0sin()

(/)

s z z y x E J e H

e t k x A m d

πωωμ==?=-

z=d 处导体表面的电流密度为

00()sin()

(/)s z z d

y x E J e H

e t k x A m d

πωωμ==-?=-

【习题3.4】

解：（1）在区域中，传导电流密度为0，即 J=0 将H

表示为复数形式，有

2

(,)cos(2)H r z e z r

?π=

由复数形式的麦克斯韦方程，可得电场的复数形式

0021

1(,)[()]502

sin(2)

r r

r r H E r z e H e rH i i z r r e i z r

??

?ωεεωεεπ??=??=

-+??=-

所以，电场的瞬时值形式为

8502(,,)sin(2)sin(410)(/)r

E r z t e z t V m r

ππ=?

（2）5,25r mm z mm ==处的表面电流密度

8395.1cos(410)/s r z J n H e H e t A m π=?=?=?

（3）20,25r mm z mm ==处的表面电荷密度

78200.7810sin(410)/s r r n D e E t C m ρεεπ-==-=-??

（4） 10,25r mm z mm ==处的位移电流密度

820196.6cos(410)/d r r D E J e t A m t t

εεπ??===???

【习题3.10】

解：()1对于海水,已知 σ=4S/m, f=1GHZ, r ε=81,

2f ωπ＝=6.28910?rad/s

由一般介质中麦克斯韦第四方程可知

0()c r D H J E i E t

σεεω???=+=+-?

=[]0()r i σεεω+-E

=()129

4818.85410 6.28 10i -??+???-????E =()4.54i i E -

()2对于铜,已知 σ=5.7?710S/m, f=1GHZ, r ε=1, 2f ωπ==6.28910?

rad/s

介质中, 位移电流密度 0r d E

J t

εε?=?

; 传导电流密度 c J E σ=

位移电流与传导电流幅值之比为

S d d c

S c J dS i i J dS

=?? =0r i w εεσ-=0r εεωσ=129107

8.85410 6.281019.75105.710--????=?? 由一般介质中麦克斯韦第四方程可知,

0()C r D H J E i E t

σεεω???=+=+-?

=[]0()r i σεεω+-E

=()71295.71018.85410 6.28 10i -???+???-????E =5.7?7

10E

【6.9题】 解：（1）从电场方程可知，传播方向为 z e

（2）从电场方程可知，0020k πωεμ==

所以 00

20π

ωεμ=

900

10

310()32f Hz GHz ω

π

εμ=

==?=

（1） 原电场可表示为 420()10i z x y E e ie e π--=+

是左旋圆极化波

（2） 由0

1z H e E η=

?

可得

4(20)

(20)77(20)2

10()1202.6510 2.6510i t z y x i t z i t z x y H e ie e e e e e ωππ

ωπωππ---+---=-=-?+?

（5）平均功率

*(20)42042

(20)77202

1121

Re[]

2

1Re[(1010)

2

( 2.6510 2.6510)]2.6510(/)

av i z i z x y i z i z x y Z S E H e e e e e e e e e W m π

πππ

ππ---------=?=+?-?+?=?

即1122.6510(/)av P W m -=? 6.18 解：

（1）()()2(0.80.6)x x y y z z x y z x y z k r e k e k e k e x e y e z k x k y k z x y π?=++?++=++=-

所以 20.820.6x y k k ππ=?=-?

则 相位常数22

22(20.8)(20.6)2(/)x y k k k rad m βπππ==+=?+?=

而角频率 882310610(/)kv kc rad s ωππ===??=? （2）波传播方向的单位矢量为

20.820.60.80.62x y n x y e e k e e e k πππ?-?===-

故磁场为 002(0.80.6)

053.153.12(0.80.6)11()(0.80.6)[34(34)]1201

(345)120i x y n x y x y z i i i x y x y y e r e e e e e i e e e e e e e ππηπ

π------=?=-?++-=--+ H(r)E

则 {}00Re[]

1

3cos[2(0.80.6)53.1]1204cos[2(0.80.6)53.1]5cos[2(0.80.6)(/)

i t x y z e e t x y e t x y e t x y A m ωωππωπωπ==--------+--

H(r,t)H(r)

（3） {}

00*2(0.80.6)

53.153.12(0.80.6)21

Re[()()]

2

11Re [34(34)](345)21201(4030)(/)240i x y i i i x y x y z x y y x y E r H r e e e i e e e e e e e e e W m πππ

π-----=?=++-?--+=-

av S