成才之路数学选修2-1之1-1-1 (42)
成才之路数学选修2-1之1-1-1
只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的
近似图形．
第二章 圆锥曲线与方程
2．要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实
轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，
它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的
渐近线．
人
教
A
3．要理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外
版 数
教 A 版 数
学
故双曲线方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.
4
第二章 圆锥曲线与方程
[点评] 双曲线x92－1y62 ＝1 的渐近线方程是3x±4y＝0，可设
出双曲线的方程，将点 M 的坐标代入，即可求得．本题两种 人
教
解法，解法一是基本解法，要分两种情况讨论，解法二的设
A 版
数
版 数
学
(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，
实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；
(5)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、
e 的不同．
第二章 圆锥曲线与方程
人 教 A 版 数 学
第二章 圆锥曲线与方程
1．双曲线是以x轴、y轴为对称轴的 轴对称 图形；也
延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的． 学
第二章 圆锥曲线与方程
4．根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：
把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双
曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ax22－by22＝0 即 y＝±ba
人 教 A
版
x；双曲线ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay22－bx22＝0，
成才之路数学选修2-1之1-1
成才之路数学选修2-1之1-1高中数学成才之路高中数学成才之路人教A版数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词第1课时命题课时第2课时四种命题及其相互关系课时1.2 充分条件与必要条件第1课时充分条件与必要条件课时第2课时充要条件习题课课时 1.3 简单的逻辑联结词第1课时“且”与“或” 课时第2课时“非” 课时1.4 全称量词与存在量词章末归纳总结第一章综合素质检测第一章综合能力检测高中数学成才之路人教A版数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程第1课时曲线与方程课时第2课时曲线方程的求法课时 2.2 椭圆第1课时椭圆及其标准方程课时第2课时椭圆的简单几何性质课时第3课时直线与椭圆的位置关系课时 2.3 双曲线第1课时双曲线及其标准方程课时第2课时双曲线的简单几何性质课时第3课时双曲线的综合应用课时高中数学成才之路人教A版数学选修2-12.4 抛物线第1课时抛物线及其标准方程课时第2课时抛物线的简单几何性质课时第3课时直线与抛物线的位置关系课时章末归纳总结第二章综合素质检测第二章综合能力检测高中数学成才之路人教A版数学选修2-1第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算第1课时空间向量及其加减运算课时第2课时空间向量的数乘运算课时第3课时空间向量的数量积运算课时4课时第4课时空间向量的正交分解及其坐标表示第5课时空间向量运算的坐标表示课时 3.2 立体几何中的向量方法第1课时直线的方向向量和平面的法向量课时第2课时向量法在空间平行关系中的应用课时高中数学成才之路人教A版数学选修2-1第3课时向量法在空间垂直关系中的应用课时第4课时利用向量知识求空间中的角课时第5课时利用向量知识求距离课时章末归纳总结第三章综合素质检测第三章综合能力检测本册综合素质检测本册综合能力检测。
2022成才之路·人教B版数学·选修2-1练习：第1章 常用逻辑用语1.1.1
第一章 1.1 1.1.1一、选择题1．下列语句中是命题的是导学号641500012 ()A．|x＋a|B．0∈NC．集合与简易规律D．真子集[答案] B[解析]由命题定义知选B.2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是导学号641500013 ()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面[答案] B[解析]本题主要考查空间直线的位置关系，(A)如l1、l3共面为α，而l2⊥α，则A不对；(B)正确(C)可形成3个平面；(D)l1、l2、l3共点可形成3个平面，故选B.3．下列命题中真命题的个数为导学号641500014 ()①面积相等的三角形是全等三角形②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0③若a>b，则a＋c>b＋c④矩形的对角线相互垂直A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] A[解析]只有③正确．4．给出下列四个命题：①假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③假如两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④假如一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直．其中真命题的个数有导学号641500015 ()A．4个B．3个C．2个D．1个[答案] B[解析]①②④都是真命题．5．设a，b，c是任意非零平面对量，且两两不共线，则①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|≤|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题为导学号641500016 ()A．①②B．②③C．③④D．②④[答案] D[解析]①向量的数量积不满足结合律；③(b·c)a－(c·a)b与c相互垂直．所以②④正确．6．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中是假命题的是导学号641500017 ()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交[答案] D[解析]画出这两条直线与两个平面位置关系的草图，结合图形推断真假．如图，设α∩β＝c，a⊥α，b ⊥β，但a，b却没有相交，故D是假命题．二、填空题7．给出下列命题：导学号641500018①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实根；③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________． [答案] ③ ①②④⑤8．下面是关于四棱柱的四个命题：导学号 641500019 ①假如有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②假如两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③假如四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④假如四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出全部真命题的编号)． [答案] ②④[解析] ②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如斜四棱柱．三、解答题9．推断下列命题的真假：导学号 641500020(1)函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； (2)函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数；(3)能被6整除的数既能被3整除，也能被2整除． [解析] (1)y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x T ＝2π2＝π，故为真命题．(2)y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上是增函数，为假命题．(3)命题可写成若一个数能被6整除，则它既能被3整除，也能被2整除，明显为真命题.一、选择题1．“若x >1，则p ”为真命题，那么p 不能是导学号 641500021 ( ) A ．x >－1 B ．x >0 C ．x >1 D ．x >2[答案] D[解析] 若x >1，则p 为真命题，则x >1得不到x >2.故选D. 2．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是导学号 641500022 ( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③[答案] C[解析] 对于①，设球半径为R ，则V ＝43πR 3，r ＝12R ，∴V 1＝43π×(12R )3＝πR 36＝18V ，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为22，圆心(0,0)到直线的距离d ＝22，故直线和圆相切，故①，③正确． 3．下列命题正确的个数为导学号 641500023 ( ) ①已知－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，则3x －y 的范围是[1,7]；②若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的全部m 都成立，则x 的范围是(7－12，3＋12)； ③假如正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是[8，＋∞)； ④a ＝log 13 2，b ＝log 12 3，c ＝(13)0.5的大小关系是a >b >c .A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ①3x －y ＝x ＋y ＋2(x －y ) ∴1≤3x －y ≤7. 故①对．②由题意可知y ＝(x 2－1)m －(2x －1)<0， 对m ∈[－2,2]恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2(x 2－1)－2x ＋1<0－2(x 2－1)－2x ＋1<0即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<02x 2＋2x －3>0解得x ∈(7－12，3＋12)．故②对． ③a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≥2ab ＋3.解ab ≥3.ab ≥9.故③错． ④a ＝log 132＝－log 32∴－1<a <0.b ＝log 123＝－log 23，∴b <－1，c ＝(13)0.5>0，∴c >a >b ，故④错．故选B.4．若A 、B) A ．假如A ⊆B ，那么A ∩B ＝A B ．假如A ∩B ＝A ，那么(∁U A )∩B ＝∅ C ．假如A ⊆B ，那么A ∪B ＝A D ．假如A ∪B ＝A ，那么A ⊆B [答案] A[解析] 由韦恩图知A 正确． B 中(∁U A )∩B ≠∅. C 中A ∪B ＝B ， D 中应为B ⊆A . 二、填空题5．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )肯定是单函数． 其中的真命题是________．(写出命题的序号) [答案] ②③[解析] 对于①，如：－2,2∈R 且f (－2)＝f (2)，所以①错误；对于②，假设f (x 1)＝f (x 2)，据单函数的定义知肯定有x 1＝x 2，依据逆否命题的等价性知②正确；对于③，若b 有两个原象x 1≠x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝b ，这与f ：A →B 是单函数予盾，故③正确；对于④，函数f (x )在某区间上具有单调性，而不是在整个定义域上具有单调性，所以不肯定为单函数，故④错误．6．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] ①∵1∈Z,2∈Z ，∴12必需在整数集内，而12∉Z ，故①错误；②设M 中除了有理数外还有另一个元素2，则Q ⊆M ， ∵2∈Z ，∴22也必需在M 内，而22∉M ，故②错误；③设数域P ，a ∈P ，b ∈P (假设a ≠0)，则a ＋b ∈P ，则a ＋(a ＋b )＝2a ＋b ∈P ，同理na ＋b ∈P ，n ∈N ，故数域必为无限集；④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题7．假如命题“若x ∈A ，则y ＝log a (x 2＋2x －3)为增函数”是真命题，试求出集合A . [解析] 当a >1时，对数函数为增函数，由x 2＋2x －3>0可得x >1或x <－3，又二次函数对称轴x ＝－1，(－∞，－3)上二次函数递减，(1，＋∞)上二次函数递增，由复合函数单调性．故(1，＋∞)上函数递增．∴A ⊆(1，＋∞)，当0<a <1时，对数函数为减函数． 故当x ∈(－∞，－3)时，函数为增函数，故A⊆(－∞，－3)．8．推断下列语句是不是命题，假如是命题，指出是真命题还是假命题．导学号641500028(1)任何负数都大于零；(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；(3)x2＋x>0；(4)∅A；(5)6是方程(x－2)(x－6)＝0的解；(6)方程x2－2x＋5＝0有实数解．[解析](1)能构成命题，且是假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法确定，故不是命题．(3)由于x是未知数，无法推断x2＋x是否大于零，所以不是命题．(4)空集是任何非空集合的真子集，集合A是否非空集合无法推断，故是命题，但为假命题．(5)6的确是所给方程的解，所以这一语句是命题，且是真命题．(6)由于给定方程的判别式Δ＝4－4＝－16<0，知方程x2－2x＋5＝0无实根，故这是命题，但为假命题.。
成才之路数学选修2-1之1-1-1 (41)
第三章
空间向量与立体几何
●学法探究 一、作类比 1．空间向量概念、坐标表示及运算与平面向量类似， 向量加法的平行四边形法则、三角形法则仍然成立． 共线向量定理、数量积及其运算都是平面向量在空间 的推广，空间向量基本定理，是由二维到三维的推广． 2．可类比用平面向量解决平面几何问题探究如何用空 间向量解决立体几何问题． (1)a⊥b，a∥b，是用向量研究立体几何中线线、线面、 面面平行与垂直的基本工具，直线的方向向量、平面的法 向量是关键．
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第三章
Hale Waihona Puke 空间向量与立体几何[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①本题是指出正确的命题； ②给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解． 解答本题可根据向量的概念及运算律两方面辨析．
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第三章
空间向量与立体几何
[解析]
|a|＝|b|，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确
A 版 数 学 人
第三章
空间向量与立体几何
空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则(多 边形法则)，多边形法则的规则是“首尾相接，首指向 尾”． 即有限多个空间向量 a1，a2，……an 相加，也可以象 → 平面向量那样， 从某点 O 出发， 逐一引向量OA1＝a1， → 2 A1A ＝a2，……An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2……的起 → 就是 a1，2， 点 O 为起点， 终点 An 为终点的向量OAn， a ……， an 的和，即 → → OAn＝OA1＋A→ 2＋……An－1An＝a1＋a2＋……＋an. 1A
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第三章
空间向量与立体几何
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件：2-1-1 曲线与方程
的实数解就可以得到．
第二章 2.1
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
4．曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐标 表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究曲线的 性质．
第二章 2.1
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课前自主预习
第二章 2.1
第1课时
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1．在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 f(x，y)＝0 之间具有如下关系： (1)曲线 C 上点的坐标都是 方程 f(x，y)＝0 的解； (2)以方程 f(x， y)＝0 的解(x， y)为坐标的点都在 曲线 C 上 ． 那么，曲线 C 叫做方程 f(x，y)＝0 的曲线 ，方程 f(x，y) ＝0 叫做曲线 C 的方程 ．
第二章
2．1 曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
第二章
第 1 课时 曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数典例讲练 课后强化作业 方法规律总结
第1课时
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课堂典例讲练
第二章 2.1
第1课时
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思路方法技巧
命题方向 曲线与方程的概念
[例 1]
如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x，y)＝0， )
【成才之路】高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”名师课件 北师大版选修2-1
2．如果命题“p∨q”与命题“¬p”都是真命题，那么( ) A．命题p不一定是假命题 B．命题q一定为真命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q的真假相同 [答案] B [解析] ¬p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题， ∴q为真命题．
3．“x不大于y”是指( )
A．x≠y
B．x＜y或x＝y
[解析] (1)此命题为“p且q”形式的命题，其中p：(n－ 1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能 被3整除，其中p为真命题，q为真命题，所以“p∧q”为真命 题．
(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：函数y＝x2＋x ＋2的图象与x轴没有公共点；q：不等式x2＋x＋2＜0无解．因 为p为真命题，q也为真命题，所以“p且q”为真命题．
2．在判断三种形式的新命题的真假时，要熟练运用“至 少”、“最多”、“同时”、以及“至少有一个是(不是)”、 “最多有一个是(不是)”、“都是(不是)”、“不都是”这些词 语．
3．通过实例去理解“且”、“或”、“非”的含义． 对 “ 且 ” 的 理 解 ， 可 联 想 “ 交 集 ” 的 概 念 ． A∩B ＝ {x|x∈A，且x∈B}中的“且”，逻辑联结词中的“且”的含义 与“交集”中的“且”的含义是一致的． 对 “ 或 ” 的 理 解 ， 可 联 想 “ 并 集 ” 的 概 念 ． A∪B ＝ {x|x∈A，或x∈B}中的“或”，逻辑联结词中的“或”的含义 与“并集”中的“或”的含义是一致的． 对“非”的理解，可联想“补集”的概念，若将命题p对 应集合P，则命题非p就对应集合P在全集U中的补集∁UP.
p
¬p
真
___假_____
假
___真_____
成才之路数学北师大选修2-1答案
第一章 1.1一、选择题1．[答案] B[解析](1)不是命题．因为语句中含有变量x，在不给定变量x的值之前，我们无法判断这一语句的真假(这种含有变量的语句称为“开语句”)．类似的如：x>0,3x>2y 等都是开语句，也都不是命题．(2)是命题．它是可以作出判断的语句，而且这个判断是不成立的，即我们知道了他的真假．所以它是命题，而且是假命题(判断一语句是否为命题，不能只看它是否能作出判断，还要看它作出的判断能否判断真假)．(3)不是命题．因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断，疑问句不是命题．(4)不是命题，因为不涉及真假．(5)是命题．因为它对一个数给出了一个判断：“不是合数就是质数”，但这个判断是错误的，即可以判断真假，因而是命题，而且是假命题．(6)不是命题．它是祈使句，没有作出判断，要求我们做一件事，所以不是命题．若把“求证”两字去掉，改写成“若x∈R，则方程x2－x＋1＝0无实根”．这就可以成为命题了，而且是真命题．故选B项．2．[答案] A[解析]命题①中，当m＝0时，方程是一元一次方程；命题②中，由题设知a≠0，则Δ＝4＋4a，Δ的值可能为正数，可能为负数，也可能为零，故交点个数可能为0,1,2；命题④中，空集不是空集的真子集；命题③为真命题．3．命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是()A．a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数B．a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数C．a＋b不是偶数，则a，b都不是偶数D．a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数[答案] D [解析]“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题为“若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数”．二、填空题4．[答案]若a≤b，则2a≤2b－1[解析]该题将不等式和四种命题综合在一起，要注意不等号的方向及等号的取舍．原命题的否命题是：“若a ≤b，则2a≤2b－1.”5．[答案]若a是正数且a＋b是负数，则b是负数．[解析]逆否命题为真命题，即该命题为真，a是正数，且a＋b是负数，则一定b是负数，故填：若a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数．三、解答题6．[解析]原命题可改写成：如果一个正整数的各位数之和是3的倍数，则这个数能被9整除．逆命题：如果一个正整数能被9整除，则这个数的各位数字之和是3的倍数．否命题：如果一个正整数各位数字之和不是3的倍数，则这个数不能被9整除．逆否命题：如果一个正整数不能被9整除，则这个数的各位数字之和不是3的倍数．一、选择题1．[答案] C[解析]本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．2．[答案] A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．3．[答案] D[解析]对A，因为c的正负未知，因而a与b的大小不定，所以A假；对B，逆命题是“若b2>9，则b>3”它未必成立，因为b 可能小于－3，所以B 假；对C ，否命题为“当x ≠2时，x 2－3x ＋2≠0为假，因为x ≠2，但可以为1，使x 2－3x ＋2＝0成立”；对D ，其逆否命题为“两个三角形的对应角不相等，则这两个三角形不相似”，为真，因为原命题与逆否命题为等价命题，原命题为真． 4．[答案] A[解析] 本题主要考查向量的模的数量积以及解三角不等式．对于p 1：∵|a ＋b |>1，∴a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即a ·b >－12，∴cos θ>－12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π)，∴p 1正确，易得p 2错误；对于p 3：由|a －b |>1，∴a 2－2a ·b ＋b 2>1，即a ·b <12，∴cos θ<12，又θ∈[0，π]，∴θ∈(π3，π]，∴p 3错误；易得p 4正确，故选A. 5．[答案] A[解析] 本题考查数列单调性概念及四种命题．原命题即“若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n }为递减数列，则a n ＋1<a n ”为真命题，所以否命题也为真命题．原命题与其逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假． 二、填空题 6．[答案] a ≤0[解析] 由x 1<x 2<0可得x 1x 1x 2<x 2x 1x 2即1x 2<1x 1，要使a x 1>a x 2是假命题，则a ≤0. 7．[答案] (1)(2)[解析] 本题主要考查平面间的位置关系．考查学生对知识的掌握程度．(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β是正确的；(2)由线面平行判定定理知(2)正确；(3)由α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，不能推出α和β垂直，∴(3)不正确；(4)直线l 与α垂直能够推出l 与α内的两条直线垂直，而l 与α内的两条直线垂直不能推出直线l 与α垂直，∴(4)不正确． 三、解答题8．[解析] (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题． 9．[分析] 由“A ∩B ＝∅”是假命题，得出A ∩B ≠∅.由A ≠∅⇒Δ≥0.求出关于m 的全集U .再令方程两根均非负，求出m 的范围，最后利用补集思想在U 中取其补集即可．[解析] 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U 4m ≥02m ＋6≥0⇒m ≥32，又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．10．[分析] 根据四种命题之间的关系写逆命题，逆否命题，利用特例、反证法，证互为逆否的命题，从而证明结论．[解析] (1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0, 它是真命题，可用反证法证明它．假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，所以f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，与条件矛盾，所以逆命题为真． (2)逆否命题是：若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.若证它为真，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ；因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，所以逆否命题为真． [点评] (1)当证明一个否定性命题的真假发生困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假．(2)利用反证法证题要注意其步骤．第一章 1.2一、选择题 1．[答案] A[解析] 因为“1<x <2”⇒“x >2”，而x >2⇒/ “1<x <2”，故“1<x <2”是“x >2”的充分不必要条件，故选A. 2．[答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识． 由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，又因为x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A.3．[答案] A[解析] M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |0<x <3}，∵N M ，∴选A. 二、填空题4．[答案] 充分不必要[解析] 由a ＝1，得y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ，T ＝2π2＝π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝π，得a＝±1.5．[答案] 充分不必要条件[解析] ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－5.当x 1＝－1，x 2＝－4时，x 1＋x 2＝－5，而－1，－4不是方程x 2＋5x －6＝0的两根． 三、解答题6．[分析] 看p 是否推出q ，q 是否推出p .[解析] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0.所以p 是q 的充分不必要条件．(2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；而方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(3)由p ⇒q ，而q ⇒/ p ．所以p 是q 的充分不必要条件． [点评] 用定义判断p 是q 的什么条件的基本程序是： ①定条件：确定条件和结论．②找推式：确定p 与q 哪一个能推出哪一个． ③下结论：根据推式和结论下定义．一、选择题 1．[答案] C[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性． 当a >b ⇒a |a |>b |b |当a >b >0时，a |a |－b |b |＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0成立 当b <a <0时a |a |－b |b |＝a 2＋b 2＝(b －a )(b ＋a )>0成立 当b <0<a 时，a |a |－b |b |＝a 2＋b 2>0成立 同理由a |a |>b |b |⇒a >b .选C. 2．[答案] B[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知m α，若α⊥β则有m ⊥β，或m ∥β或m 与β相交；反之，若m ⊥β，∵m α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是m ⊥β的必要不充分条件．故选B. 3．[答案] A[解析] 本题主要考查不等式的性质及充要条件的判定等基础知识．“0<ab <1”，则a ，b 同号，若a >0，b >0，由ab <1得a <1b ；若a <0，b <0，由ab <1，得b >1a ，故“0<ab <1”⇒“a <1b 或b >1a”； 当a <1b 时，a －1b ＝ab －1b <0，若b >0，则ab <1，但ab 不一定满足ab >0；若b <0，则ab >1，故“a <1b 或b >1a ” ⇒/ “0<ab <1”．选A.4．[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件．由x ≥2且y ≥2，则x 2＋y 2≥4一定成立，而x 2＋y 2≥4时，x ≥2且y ≥2不一定成立，如x ≥3且y ≥0，故是充分不必要条件． 5．[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C. 二、填空题6．[答案] (1)必要不充分条件 (2)充分不必要条件 (3)既不充分也不必要条件 7．[答案] 充分不必要条件[解析] 当“m ，n 均为偶数”时，“m ＋n 是偶数”是成立的；而当“m ＋n 是偶数”时，“m ，n 均为偶数”不一定成立，如：3＋5＝8为偶数，但3,5都是奇数，∴“m ，n 均为偶数”是“m ＋n 是偶数”的充分不必要条件． 三、解答题8．[解析] 观察各题中是由p ⇒q ，还是由q ⇒p ，然后利用定义得答案．(1)因为“p ⇒q ”为假命题，“q ⇒p ”为真命题，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件． (2)c ＝0⇒抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过原点；抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过原点⇒c ＝0，所以p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件．(3)因为p ⇔q 为真，所以p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件．9．[解析] ∵|4x －3|≤1，∴12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≤0， 得(x －a )[x －(a ＋1)]≤0， ∴a ≤x ≤a ＋1，即q ：a ≤x ≤a ＋1.∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q ⇒/ p . ∴{x |12≤x ≤1} {x |a ≤x ≤a ＋1}．故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1a ≤12，解得0≤a ≤12.所以a 的取值范围是0≤a ≤12.10．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.[证明] (1)必要性：设方程x 2＋2ax －b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°. (2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2将①式代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0， 可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0， 即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0. 可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0， 即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0. 故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.第一章 1.3一、选择题 1．[答案] A[解析] 因为x 2－3x ＋6＝(x －32)2＋154≥154，所以对于任意的x ∈R ，x 2－3x ＋6>0恒成立，因此A 中的命题为真命题． 2．[答案] D[解析] 本题考查量词命题的否定改写． 任意x 0∈∁R Q ，x 30∉Q ，注意量词一定要改写． 3．[答案] C[解析] 特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论． 二、填空题 4．[答案] ④[解析] ①是全称命题，但为假命题； ②不是命题； ③是特称命题 5．[答案] ①④[解析] ②是特称命题；③不是命题． 三、解答题6．[解析] (1)这一命题的否定为：所有的质数不是奇数．很明显，质数3就是奇数，所以命题的否定是假命题．(2)这一命题的否定为：存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1.因为原命题是真命题，所以命题的否定为假命题． [点评] 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．一、选择题 1．[答案] C[解析] 全称命题的否定是特称命题．2．[答案] B[解析] cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，显然选项C ，D 为真；sin α·sin β＝0时，选项A 为真；选项B 为假．故选B. 3．[答案] C[解析] 本题考查了全称、存在命题及命题的否定． “存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在)，再否定结论”的原则． 4．[答案] C[解析] 由于任意x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以命题“任意x ∈R ，x 2＋3<0”为假命题； 由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立， 所以命题“任意x ∈N ，x 2≥1”是假命题； 由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5<1， 所以命题“存在x ∈Z ，使x 5<1”为真命题；由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x ∈Q ，x 2＝3”是假命题．故选C. 5．[答案] C[解析] 由x 0＝－b2a (a >0)及抛物线的相关性质可得C 选项是错误的． 二、填空题 6．[答案] ①③④[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④. 7．[答案] 真[解析] 由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，所以只需m 2－m ≤0，即0≤m ≤1.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m <x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题． 三、解答题8．[解析] (1)A 中的队员都不是(一个也没有)北京人； (2)A 中的队员不都是北京人； (3)A 中的队员至少有一个是北京人； (4)A 中的队员都是北京人．9．[解析] (1)∵对任意实数x ，都有(x ＋1)－x ＝1>0，∴x ＋1>x ，∴x ∈R .(2)由x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)>0得x <2或x >3，∴使p (x )成立的x 的取值范围是x <2或x >3. (3)sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0， ∴2k π<x －π4<2k π＋π (k ∈Z )，∴2k π＋π4<x <2k π＋5π4，∴使p (x )：sin x >cos x 成立的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z . 10．[分析] 用分类讨论的数学思想解含a 的关于x 的不等式即可．[解析] 当a ＝－1时，不等式不成立； 当a ＝1时，原不等式恒成立．当a 2－1≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝(a －1)2－4(a 2－1)(－1)<0， 所以－35<a <1.所以a 的取值范围是(－35，1]．第一章 1.4一、选择题1．[答案] D[解析] 本题主要考查逻辑联结词．利用命题真值表进行判断．根据命题真值表知，q 是假命题，非q 是真命题． 2．[答案] C[解析] 本题考查命题真假的判断．p 为假命题，q 为假命题．所以p ∧q 为假命题．对“p 且q ”真假判定：全真为真，一假则假． 3．[答案] C[解析] 由题意知点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y ＝－x 2，验证各选项知，只有C 成立． 二、填空题 4．[答案] ②④[解析] 命题p 是真命题，命题q 是假命题． 5．[答案] p 或q ，¬p[解析] ∴任意x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，∴命题p 为假，¬p 为真；∵x －2x －1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≤0x －1≠0⇔1<x ≤2. ∴命题q 为真，p 或q 为真，p 且q 为假，非q 为假． 三、解答题6．[解析] (1)3不是9的约数，也不是18的约数． (2)菱形的对角线不相等或不互相垂直．(3)方程x 2＋x －1＝0的两实数根的符号不相同且绝对值不相等．[点评] “p 或q ”命题的否定为“(非p )且(非q )”，“p且q ”命题的否定为“(非p )或(非q )”．一、选择题 1．[答案] C[解析] 本题考查命题的真假．命题p ：所有有理数都是实数为真命题．命题q ：正数的对数都是负数是假命题．非p 为假命题，非q 是真命题，(非p )或(非q )是真命题，故选C.2．[答案] B[解析]由题意可知，“p且r”是真命题，则可知p是真命题且r是真命题，则可知“p或q”是真命题．3．[答案] B[解析]根据题意知应满足p假，q真，只有B满足．4．[答案] C[解析]本小题考查了命题的相关知识，结合指数函数的单调性，综合考查了含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题真假．p1是真命题，则非p1为假命题；p2是假命题，则非p2为真命题；∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题，∴q3：(非p1)或p2为假命题，q4：p1且(非p2)为真命题．∴真命题是q1，q4，故选C.5．[答案] A[解析]“p且q”为真，即p、q同为真．对于命题p，任意x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0成立，即a≤1；对于命题q，存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0成立，只需保证判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1，故选A.二、填空题6．[答案]方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3假命题方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3假命题[解析]∵p：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2，q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝3，∴p且q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2且方程x2－5x ＋6＝0的根是x＝3，为假命题．p或q：方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2或方程x2－5x ＋6＝0的根是x＝3，为假命题．7．[答案]1≤a≤2[解析]因为f(x)＝lg(ax2－x＋116a)的定义域为R，所以⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，Δ＝1－14a2＜0，即a＞2.因为2x＋1＜1＋ax(x＞0)⇒a＞2x＋1－1x⇒a＞22x＋1＋1恒成立，又因为x＞0，所以22x＋1＋1＜1，解得a≥1.因为命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，所以p，q中一个为真一个为假．所以⎩⎪⎨⎪⎧a＞2，a＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a≤2，a≥1解得1≤a≤2. 三、解答题8．[分析]分清题设和结论，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．[解析]否定形式：存在面积相等的三角形但不全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．9．[解析](1)a、b、c不都相等，也就是说a、b、c中至少有两个不相等．(2)存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角．(3)因为(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或x>2，所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.另解：(x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2.10．[分析]由“p或q”为真，“p且q”为假，可知p，q中一真一假，因此有两种情况，要分类讨论．[解析]p：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4>0，m>0，解得m>2.q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1<m<3.∵p或q为真，p且q为假，∴p为真，q为假；或p为假，q为真．即⎩⎪⎨⎪⎧m>2，m≤1或m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m≤2，1<m<3.解得m≥3或1<m≤2.∴m的取值范围是[3，＋∞)∪(1,2]．[点评]这是一道将方程与逻辑知识结合的综合题目，构思较新颖．第二章 2.1一、选择题 1．[答案] D[解析] a ，b 不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A ，B ，C 都不正确，只有D 正确． 2．[答案] B[解析] 由四边形ABB ′A ′是平行四边形，可得AA ′→＝BB ′→.但是由AA ′→＝BB ′→，只能说明AA ′→与BB ′→是相等向量，AA ′→与BB ′→所在的直线可能平行或共线，并不一定构成平行四边形ABB ′A ′，所以M 是N 的必要不充分条件． 3．[答案] C[解析] 先画出平行六面体的图像，可看出向量D 1A →、D 1C →在平面ACD 1上，由于向量A 1C 1→平行于AC →，所以向量A 1C 1→经过平移可以移到平面ACD 1上，因此向量D 1A →、D 1C →、A 1C 1→为共面向量． 二、填空题 4．[答案] ①②③[解析] 当a 与b 共线时，n 就不一定是平面α的法向量，故④错误． 5．[答案] 8[解析] 研究长方体模型可知，棱长为1的棱有4条，故模为1的向量有8个． 三、解答题6. [分析] 根据法向量的概念求解，若直线l 垂直于平面ABCD ，那么任何与直线l 平行的非零向量都为法向量．[解析] 平面ABCD 所有的法向量有DF →、CG →、BH →、AE →、FD →、GC →、HB →、EA →.由于正方体的三条棱DA 、DC 、DF 互相垂直，所以〈DA →，DC →〉＝90°，〈DA →，DF →〉＝90°.一、选择题 1．[答案] D[解析] 任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A 、B 不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确；由于向量的模是一个实数，故可以比较大小． 2．[答案] D[解析] 由于所求的是向量，所以首先排除B ，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D 项正确． 3．[答案] A[解析] GC ⊥平面ABCD ，所以GC ⊥AC .在Rt △GAC 中，AC ＝42，GC ＝2，所以AG ＝AC 2＋GC 2＝6，即|AG →|＝6. 4．[答案] A[解析] 与向量AB →平行的向量就是直线AB 的方向向量，有AB →，BA →，A 1B 1→，B 1A 1→，C 1D 1→，D 1C 1→，CD →，DC →，共8个，所以选A.[点评] 直线的方向向量就是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的． 5.[答案] C[解析] 向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关．表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线． 二、填空题 6．[答案] 2[解析] ①②是错误的，共面向量所在的直线不一定平行，只要能平移到一个平面内就可以．7．[答案] 0° 0° 90°[解析] 由题意得AO →，OC →方向相同，是在同一条直线AC 上，故〈AO →，OC →〉＝0°；O 1C 1→可平移到直线AC 上，与OC →重合，故〈AO →，O 1C 1→〉＝0°；由题意知OO 1是正四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1的高，故OO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以OO 1⊥A 1B 1，故〈OO 1，A 1B 1→〉＝90°. 三、解答题8．[分析] 应把实际问题抽象为数学问题，飞机水平飞行时与水平面平行，由图可知向量AB →与BC →在同一平面内，并且向量CD →垂直于这个平面α.[解析] (1)飞机水平飞行时所经过的路线与水平面平行，因而三个向量中BC →和CD →平行于水平面α. (2)由于向量AB →与BC →在同一平面内，设为平面β，又由于CD →为正北方向，所以CD →垂直于平面β，即BC →⊥CD →和AB →⊥CD →.因为AB →与水平面的夹角为45°，所以得：〈AB →，BC →〉＝45°，〈BC →，CD →〉＝90°，〈AB →，CD →〉＝90°. 9．[解析] (1)单位向量即模为1的向量，则AB →，BC →，AD →，CD →都是单位向量．(2)由于向量DC →与向量AB →方向相同，且模都为1，故DC →是与向量AB →相等的向量．10．[解析] (1)向量DF →在平面D 1B 1BD 上，由于向量AA 1→、CC 1→平行于平面D 1B 1BD ，所以向量AA 1→、CC 1→、DF →都能够平移到平面D 1B 1BD 上，即向量AA 1→、CC 1→、DF →是共面向量．(2)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC →为平面A 1B 1BA 的法向量，BE →又在平面A 1B 1BA 上，所以BC →⊥BE →，即〈BE →，BC →〉＝90°.(3)平面BB 1C 1C 的一个法向量为BA →(或B 1A 1→、CD →、C 1D 1→)．第二章 2.2一、选择题 1．[答案] D[解析] 由条件知，|BA 1→|＝2a ，|AC →|＝2a ， BA 1→·AC →＝(AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →) ＝AA 1→·AB →－|AB →|2＋AA 1→·AD →－AB →·AD → ＝－|AB →|2－AB →·AD →＝－a 2，∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA →|·|AC →|＝－a 22a ·2a ＝－12.∴向量BA 1→与AC →所成的角为120°，故选D. 2．[答案] A[解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →－DD 1→＝B 1D →； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→.故选A. 3．[答案] B[解析] 根据数量积的定义知：①②正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°，∴③不正确，故选D. 二、填空题 4．[答案] 13 23 13[解析] AG →＝AP →＋PG →＝AP →＋23[12(AD →－AP →)＋12(AD →＋AB →－AP →)]＝AP →＋13(AD →－AP →＋AD →＋AB →－AP →)＝13AP →＋23AD →＋13AB →. ∴x ＝13，y ＝23，z ＝13.5．[答案]232 [解析] AB →的模为22，根据题中条件，可得|BC →|＝13|AB→|，即BC →的模为23 2.三、解答题6．[解析] (1)AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→＋12CD →＝AA 1→－12AB →.∵AB →·AD →＝0，AB →·AA 1→＝0，AD →·AA 1→＝0， ∴CE →·AF →＝(AA 1→－12AB →)·(AD →＋12AA 1→)＝12，又|AF →|＝|CE →|＝52，∴cos 〈CE →，AF →〉＝25，(2)证明：BD 1→＝BD →＋DD 1→＝AD →－AB →＋AA 1→，EF →＝ED 1→＋D 1F →＝－12(AB →＋AA 1→)，∴BD 1→·EF →＝0，∴BD 1→⊥EF →.一、选择题 1.[答案] B[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝A 1A →＋12(AD →－AB →)＝A 1A →＋12A 1D 1→－12A 1B 1→＝－12a ＋12b ＋c .2．[答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2 ＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉 ＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0， ∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角， ∴△BCD 为锐角三角形． 3．[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→)＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →. 4．[答案] B[解析] AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→， ∴|AC ′→|＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝AB →2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA ′→＋2AD →·AA ′→＋AD →2＋AA ′→2 ＝85. 5．[答案] C[解析] ∵AE →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝0， AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD → ＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD →＝|AB →|·|BD →|·cos120°－|AB →|·|BC →|cos120°＋12|BC →|·|CD→|cos120°<0.∴AE →·BC →>AE →·CD →. 二、填空题 6．[答案] 0[解析] AB →·CD →＋BC →·AD→＋CA →·BD →＝AB →·CD →＋BC →·(AB →＋BD →)＋CA →·BD →＝AB →·(BC →＋CD →)＋BD →·(BC →＋CA →)＝AB →·BD →＋BD →·BA →＝BD →·(BA →－BA →)＝0. 7．[答案] 12 12[解析] A 1E →＝A 1A →＋AE →＝A 1A →＋12AB →＋12AD →＝A 1A →＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→.∴x ＝12，y ＝12.三、解答题8．[解析] (1)AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→；(2)DD ′→－AB →＋BC →＝DD ′→－(AB →－AD →) ＝DD ′→－DB →＝BD ′→；(3)AB →＋AD →＋12(DD ′→－BC →)＝AC →＋12(CC ′→＋CB →)＝AC →＋12CB ′→＝AC →＋CM →＝AM →.9．[分析] 可直接运用|a |2＝a·a . [解析] |a ＋ b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2 ＝|a |2＋|b |2＋|c | 2＋2(a·b ＋a·c ＋b·c ) ＝1＋4＋9＋2(0＋1×3×12＋2×3×32)＝17＋63，∴|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.10.[解析] (1)AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2AB →·BC →＋2BC →·CC ′→＋2AB →·CC ′→＝1＋1＋1＋2×1×1×12＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝6.∴|AC ′→|＝ 6(2)同理可得BD ′→2＝(BA →＋BC →＋BB ′→)2＝BA →2＋BC →2＋BB ′→2＋2BA →·BC →＋2BC →·BB ′→＋2BA →·BB ′→＝1＋1＋1＋2×1×1×(－12)＋2×1×1×12＋2×1×1×(－12)＝2.∴BD ′＝ 2.第二章2.3 第1课时一、选择题 1．[答案] C[解析] 令A 点为坐标原点，建立如图的空间坐标系．由于AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则C 1点的坐标为(3,2,5)，即AC 1→＝3i ＋2j ＋5k ，故选C.2．[答案] B[解析] AB 在l 上的投影为：|AB →|·cos120°＝－3 2. 3．[答案] B[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →共面且过相同点B ，故A 、B 、M 、N 共面． 下面证明①④正确．①假设d 与a 、b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0， ∴存在实数k ，使d ＝k c ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a 、b 共面与条件矛盾． ∴d 与a ，b 不共面． 同理可证④也是正确的． 二、填空题4.[答案] (12，0，－12)[解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12BP →， 即MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12. 5．[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF FD ＝2 1，连结MF ，则MN →＝MF →＋FN →， ∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)， MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →，∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP →，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.三、解答题 6.[解析](1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(4,0,3)、B (4,4,0)、B 1(4,4,3)、C (0,4,0)． ∴A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．(2)连结AC ，A 1C →在平面ABCD 上的投影长为|A 1C →|·cos ∠A 1CA ＝|AC →|＝42.一、选择题 1．[答案] D[解析] ∵OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，∴OA →，OB →，OC →三个向量共面， ∴O ，A ，B ，C 四点共面．故选D. 2．[答案] D[解析] 因为NM →＝NA →＋AB →＋BM →＝－12b ＋a ＋12c ，所以选D. 3．[答案] C[解析] ∵a ＝12p ＋12q ，∴a 与p 、q 共面，∵b ＝12p －12q ，∴b 与p 、q 共面，∵不存在λ、μ，使c ＝λp ＋μq ，∴c 与p 、q 不共面，故{c ，p ，q }可作为空间的一个基底，故选C. 4．[答案] A[解析] a ·i ＝|a |·|i |·cos 〈a ，i 〉，则|a |·cos 〈a ，i 〉＝a ·i |i |＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝i 2＝1，故选A. 5．[答案] A[解析] d ＝αa ＋βb ＋γc ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又因为d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， 所以有：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.二、填空题6．[答案] (－2，－1，－4) (－4,2，－4)[解析] DO →＝－OD →＝－12OA →－12OB →－OO 1→＝－2i －j －4k ；A 1B →＝A 1A →＋AO →＋OB →＝－4k －4i ＋2j . ∴DO →＝(－2，－1，－4)，A 1B →＝(－4,2，－4)．7．[答案] (12，0，－12)[解析] MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12BP →，即MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－12.三、解答题8．[解析] (1)∵AE EC ′＝1 2，∴AE →＝13AC ′→＝13(AB →＋BC →＋CC ′→)＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.(2)∵F 为B ′D ′的中点，∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→)＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12.(3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点， ∴GF →＝12BB ′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0.9.[解析] 设DA →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k . ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－23AB →＋AP →＋23PC →＝－23AB →＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB →)＝13AP →＋23AD →＝13AP →＋23(－DA →)＝－23i ＋13k ， ∴MN →＝(－23，0，13)．10．[解析] (1)证明：因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →， 所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)解：因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.第二章 2.3 第2课时一、选择题 1．[答案] D[解析] OA →＋OB →＝(2,1,3)＋(－4,2，x )＝(－2,3，x ＋3) ∵(OA →＋OB →)⊥OC →，∴－2－3x ＋2x ＋6＝0，解得x ＝4. 2．[答案] B[解析] ∵AB →＝(－3,7，－5)，∴OC →＝23(－3,7，－5)＝⎝⎛⎭⎫－2，143，－103. 故选B. 3．[答案] A[解析] 向量x 与a 平行，则x ＝λa ，a·x ＝λa 2＝－18，解得λ＝－2，所以x ＝－2a ＝(－4,2，－4)． 二、填空题 4．[答案] 310[解析] a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，所以|a －b ＋2c |＝92＋32＋02＝310. 5．[答案] ①③[解析] 不妨设基底为{i ，j ，k }． ①设a ＝x b ＋y c ，则可得i ＋2j ＋3k ＝(3x ＋4y )i ＋2y j ＋(2x ＋5y )k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝12y ＝22x ＋5y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1这表明存在实数x ＝－1，y ＝1，使a ＝x b ＋y c ， ∴a 、b 、c 共面．同理可知③中a 、b 、c 共面，其余不共面． 三、解答题6．[解析] a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a·b |a |·|b |＝－1＋0＋02·5＝－1010.(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.[点评] 解决本题时直接套用公式即可，向量夹角及向量垂直是向量应用的重要方面，解题方式也是程序化过程．一、选择题 1．[答案] D[解析] 求两向量a 、b 不平行，只要计算a ≠λb (λ∈R )即可，从而可知D 项中－216＝3－24≠540.2．[答案] D[解析] AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)，∵A 、B 、C 、D 共面，∴AB →、AC →、AD →共面， ∴存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1，x ＝11.3．[答案] B[解析] ∵b －a ＝(2，t －2，t ＋1)－(1－t,1－t ，t －1)＝(1＋t,2t －3,2)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －3)2＋22 ＝5t 2－10t ＋14＝5(t －1)2＋9， 当t ＝1时，|b －a |有最小值3.故选B. 4．[答案] C[解析] AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)．因为AC →·BC →＝2×5－3×1－7×1＝0， 所以AC ⊥BC .所以∠ACB ＝90°. 又因为|AC →|＝53，|BC →|＝14， 即|AC →|≠|BC →|，所以△ABC 为直角三角形． 5．[答案] B[解析] AB →＝(2cos β－3cos α，2sin β－3sin α，0)，则|AB →| ＝(3cos α－2cos β)2＋(3sin α－2sin β)2 ＝13－12cos (α－β).由于cos(α－β)∈[－1,1]，所以|AB →∈[1,5]． 二、填空题 6．[答案] 30°[解析] AB →＝(－32，12，0)，AC →＝(－1,0,0)．则cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.7．[答案] (－1,0,2)[解析] 由已知得：P A →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)．又P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，所以P A →·AB →＝x －1＋z ＝0，P A →·AC →＝－2x ＋0－z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＋z ＝0，－2x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2.所以P 的坐标为(－1,0,2)． 三、解答题8．[解析] (向量法)(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD . 由BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1， 因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1， 所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1.又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.故以D 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D 1－xyz .由题设，可得A 1D 1＝2，AD ＝1.由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，于是AD ∥A 1D 1.所以A (0，－1,4)，B (1,0,4)，A 1(0,2,0)，C (－1,0,4)，D (0,0,4)， 故AA 1→＝(0,3，－4)，BC →＝(－2,0,0)，AA 1→·BC →＝0， 因此AA 1→⊥BC →，即AA 1⊥BC .(2)解：因为AA 1→＝(0,3，－4)，所以|AA 1→|＝5，即AA 1＝5. 9．[解析] (1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)． 因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－x ，1－y ，－z )＝m (－1，0，2)，(－x ，－y ，2－z )＝n (－1，1，0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2.即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，BC →＝(0，－1,2)， 假设存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，α－β＝0，2β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．10．[解析] 由已知，得AB →＝(1，－3,2)，AC →＝(2,0，－8)，∴|AB →|＝1＋9＋4＝14， |AC →|＝4＋0＋64＝217，AB →·AC → ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－1414×217＝－14217，∴sin 〈AB →，AC →〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝12×217×14×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD . 则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝36，即△ABC 中AB 边上的高为3 6.第二章 2.4一、选择题 1．[答案] D[解析] ∵α⊥β，∴它们的法向量也互相垂直， ∴(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10， 故选D. 2．[答案] A[解析] ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，a·b ＝0，∴4＋4y ＋4x ＝0，即x ＋y ＝－1. 3．[答案] A[解析] ∵(1,1,1)·(1，－1,0)＝0，(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，∴a ⊥b ，a ⊥c ，又b 与c 不平行且b 、c 所在的直线都与平面α平行，∴l ⊥α. 二、填空题4．[答案] －64 －26 －17[解析] 因为a ，b ，c 两两垂直，所以a ·b ＝b·c ＝c·a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，2，－4)·(－1，y ，3)＝0(－1，y ，3)·(－1，－2，z )＝0，(1，－2，z )·(x ，2，－4)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－64y ＝－26z ＝－17.5．[答案] (－12，12，1)[解析] 设M (x ，y ，z )，又AB →＝(－1,1,0)，AM →＝(x ，y ，z －1)，CM →＝(x －1，y －2，z ＋3)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＋y －2＝0，x ＝－y ，z －1＝0.∴x ＝－12，y ＝12，z ＝1，∴点M 的坐标为(－12，12，1)．三、解答题6.[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG . 依题意，得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a 2)．∵底面ABCD 是正方形，∴G 是正方形ABCD 的中心． 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)，且P A →＝(a,0，－a )，EG →＝(a2，0，－a 2)．∴P A →＝2EG →.这表明P A ∥EG .而EG 平面EDB ，且P A ⃘平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意，得B (a ，a,0)，∴PB →＝(a ，a ，－a )．又DE →＝(0，a 2，a 2)，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE .又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E . ∴PB ⊥平面EFD.一、选择题 1．[答案] B[解析] ∵a ＝(－1,0,2)，n ＝(－2,0,4)，n ＝2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.故选B. 2.[答案] B[解析] 方法一：判断平面ACD 的法向量，可以从平面ACD 中找出AC →，AD →，CD →中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得．方法二：直接利用已知边角关系判断线面垂直． 设AD ＝1，则BD ＝CD ＝1.因为△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，所以AB ＝AC ＝ 2. 又因为∠BAC ＝60°，所以BC ＝ 2.所以△BCD 也是直角三角形，且BD ⊥CD ，从而可得BD ⊥平面ACD . 3．[答案] B[解析] a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)， ∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ(2－x )4＝3λ4－y ＝(－2y －2)λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－44．[答案] B[解析] a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0， ∴a ⊥b .∴l 1⊥l 2. 5．[答案] D[解析] AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，BC →＝(0，－1,1)．设平面ABC 的一个单位法向量为u ＝(x ，y ，z )，则u ·AB →＝0，u ·AC →＝0，得x ，y ，z 之间的关系，且x 2＋y 2＋z 2＝1，求值即可． 二、填空题6．[答案] ①②③[解析] AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →.AP →·AD →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →， ∵AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，AB →∩AD →＝A ，∴AP →⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量． 7.[答案] 2[解析] 先建立如图所示的空间直角坐标系，设|BQ →|＝b ，则A (0,0,0)，Q (1，b,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，D (0，a,0)，所以PQ →＝(1，b ，－1)，QD →＝(－1，a －b,0)． ∵PQ →⊥QD →，∴b 2－ab ＋1＝0. ∵b 只有一解，∴Δ＝0，可得a ＝2. 三、解答题8．[证明] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)， B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)． 设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0. 解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)， 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)， 而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0，即n ⊥AC →.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.9．[解析] (1)以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E (a2，1,0)，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝B 1E →＝(－a 2，1，－1)，AB 1→(0,1,1)，(a,0,1)，AE →＝(a2，1,0)．＝∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥ AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE .此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥ AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，－a2，－a )．要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.10．[解析] 假设点P 存在，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为a ，DP ＝m (0≤m ≤a )，则由正方体的性质知，CC 1⊥BD ，AC ⊥BD ，CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥面ACC 1，。
成才之路数学选修2-1之1-1-1 (8)
1.3.11．下列语句：①3是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．其中不是命题的是()A．①②③ B．①②④C．①③④D．②③④[答案] D[解析]对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故选D.①是命题，②、③、④均不是命题．2．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C[解析]①中有“且”；②中没有；③中的“或”是逻辑联结词．3．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)[答案] C[解析]命题“p且q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题，即点P既在直线y ＝2x－3上，又在直线y＝－3x＋2上，即点P是这两条直线的交点．4．“x不大于y”是指()A．x≠y B．x<y或x＝yC．x<y D．x<y且x＝y[答案] B[解析]“不大于”是指“小于或等于”．5．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0 D．不都是0[答案] A[解析]xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.6．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.7．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[答案] B[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．8．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题[答案] C[解析]“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q中只有一个为真命题，故选C.9．命题“x＝±1是方程|x|＝1的解”中，使用逻辑联结词的情况是()A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“或”与“且”[答案] B10．下列命题：①2>1或1<3；②方程x2－3x－4＝0的判别式大于或等于0；③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；④集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数是()A．1 B．2C ．3D ．4[答案] C [解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．二、填空题11．p ：ax ＋b >0的解集为x >－b aq ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b则p ∧q 是________命题(填“真”或“假”)[答案] 假[解析] 命题p 与q 都是假命题．12．设命题p ：3≥2，q ：32∈[23，＋∞)则复合命题“p ∨q ”“p ∧q ”中真命题的是________．[答案] p ∨q13．已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p 或q ”“p 且q ”形式的命题中真命题有________个．[答案] 1[解析] 命题p 正确，命题q 错误，故“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．14．分别用“p ∧q ”“p ∨q ”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式．(2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．[答案] (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∨q三、解答题15．已知命题p ：0不是自然数，q ：π是无理数，写出命题“p ∨q ”，“p ∧q ”，并判断其真假．[解析] p ∧q ：0不是自然数且π是无理数．假命题；p ∨q ：0不是自然数或π是无理数．真命题．16．指出下列命题的构成形式(“p ∧q ”或“p ∨q ”)及构成它的命题p ，q ，并判断它们的真假．(1)5≥3；(2)(n －1)·n ·(n ＋1)(n ∈N *)既能被2整除，也能被3整除；(3)∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集．[分析] 本题考查命题的构成形式及其真假的判断，解决此类问题的关键在于理解逻辑联结词“或”“且”的含义，掌握判断p ∧q 和p ∨q 真假的真值表．[解析](1)此命题为“p或q”的形式，其中，p：5>3；q：5＝3.此命题为真命题，因为p为真，q为假，所以“p或q”为真命题．(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被2整除；q：(n－1)·n·(n＋1)(n∈N*)能被3整除．此命题为真命题，因为p为真命题，q也是真命题．所以“p且q”为真命题．(3)此命题为“p且q”的形式，其中，p：∅是{∅}的元素；q：∅是{∅}的真子集．此命题为真命题，因为p为真，q也为真，故“p且q”为真命题．17．已知命题p：x2－5x＋6≥0；命题q：0<x<4.若p是真命题，q是假命题，求实数x 的取值范围．[解析]由x2－5x＋6≥0得x≥3或x≤2.∵命题q为假，∴x≤0或x≥4.则{x|x≥3或x≤2}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤0或x≥4}．∴满足条件的实数x的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．18．命题p：二次函数y＝(5－3)x2＋(3－2)x＋(2－5)的图象与x轴相交，命题q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，判断由p、q组成的新命题p∧q的真假．[解析]p：二次函数y＝(5－3)x2＋(3－2)x＋(2－5)与x轴相交，易知图象过(1,0)，故p为真．q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，而Δ＝－3<0，故q为假，所以p∧q为假命题．。
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3.1.2一、选择题1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3D.c －b 3[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b )． 2．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC →[答案] C[解析] 根据A ，B ，C ，P 四点共面的条件即可求得AP →＝xAB →＋yAC →.即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，由图知x ＝3，y ＝－23．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定 [答案] A[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.4．i ∥\ j ，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝m i ＋n j 是i ，j ，k 共面的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件[答案] A[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i 不平行j ，则k 与i ，j 共面⇔存在惟一的一对实数x ，y 使k ＝x i ＋y j .故选A.5．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错[答案] B[解析] 解法一：∵13＋13＋13＝1，∴选B. 解法二：∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P 、A 、B 、C 共面．6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →②若a ，b 所在直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面一定平行或重合．其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] A[解析] a ，b 共线是指a ，b 的方向相同或相反，因此a ，b 所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB →，A 1B 1→，DC →三向量共面，然而平面ABCD 与平面ABB 1A 1相交，故④错，故选A.9．在三棱锥S —ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )A.SG →＝12(SA →＋SB →＋SC →) B.SG →＝13(SA →＋SB →＋SC →) C.SG →＝14(SA →＋SB →＋SC →) D.SG →＝SA →＋SB →＋SC →[答案] B[解析] SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋13(AB →＋AC →)＝SA →＋ 13(SB →－SA →)＋13(SC →－SA →)＝13(SA →＋SB →＋SC →)． 10．有下列命题：①当λ∈R ，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝0时，λa 1＋λa 2＋…＋λa n ＝0；②当λ1，λ2，…，λn ∈R ，且λ1＋λ2＋…＋λn ＝0时，λ1a ＋λ2a ＋…＋λn a ＝0；③当λ1，λ2，…，λn ∈R ，且λ1＋λ2＋…＋λn ＝0时，a 1，a 2，…，a n 是n 个向量，且a 1＋a 2＋…，a n ＝0，则λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0.其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] 由于λa 1＋λa 2＋…＋λa n ＝λ(a 1＋a 2＋…＋a n )＝λ0＝0，故命题①为真命题．由于λ1a ＋λ2a ＋…＋λn a ＝(λ1＋λ2＋…＋λn )a ＝0×a ＝0，故命题②也为真命题．命题③为假命题，例如当n ＝2时，取λ1＝1，λ2＝－1，a 1＝a (a ≠0)，a 2＝－a ，则λ1a 1＋λ2a 2＝a ＋(－1)(－a )＝2a ≠0，但此时有λ1＋λ2＝0，a 1＋a 2＝0，命题③不成立．二、填空题11．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝________.[答案] －13i ＋2j ＋7k12．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N分别为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP→的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ∶FD ＝2∶1，连结MF ，则MN →＝MF →＋FN →∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP → ＝16DP →＝16(AP →－AD →) MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB → ∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP → ∴x ＝－23 y ＝－16 z ＝1613．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1A ，B 1B 的中点，O 为BD 1的中点．设AB →＝a ，AA 1→＝b ，AD →＝c ，用a ，b ，c 表示下列向量：(1)D 1N →＝________；(2)OM →＝________.[答案] a －12b －c －12a －12c [解析] (1)D 1N →＝a －12b －c (2)OM →＝－12a －12c 14．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝________.[答案] 76[解析] 在进行空间向量的线性表示时，一定要与所求一致，才不至于犯错．如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，∴x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2y ＝1，3z ＝－1，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.三、解答题15．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．[解析] A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)． ∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →. ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．16．如图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ∶EC ′＝1∶2，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x ，y ，z 的值．(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →；(2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →；(3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →.[解析] (1)∵AE ∶EC ′＝1∶2，∴AE →＝13AC → ＝13(AB →＋BC →＋CC ′→)＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →，∴x ＝13，y ＝13，z ＝13. (2)∵F 为B ′D ′的中点，∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→) ＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12. (3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点，∴GF →＝12BB ′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0. 17．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j ，证明这三个向量共面．[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ－3μ＝13λ＋7μ＝－22λ＝1，∴⎩⎨⎧ λ＝12μ＝－12，故存在实数λ＝12，μ＝－12，使a ＝λb ＋μc ， 故a ，b ，c 共面．18．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p ，q ，r 是否共面？[解析] 假设存在实数λ，μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧ λ＝53μ＝13， 即存在实数λ＝53，μ＝13， 使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．。