一元一次方程知识点完整版(供参考)

第三章：一元一次方程
本章板块 知识梳理
【知识点一：方程的定义】
方程：含有未知数的等式就叫做方程。

注意未知数的理解，n m x ,,等，都可以作为未知数。

题型：判断给出的代数式、等式是否为方程 方法：定义法
例1、判定下列式子中，哪些是方程？
（1）4=+y x （2）2>x （3）642=+（4）92
=x （5）2
11=x 【知识点二：一元一次方程的定义】
一元一次方程：①只含有一个未知数(元)；
②并且未知数的次数都是1(次)；
③这样的整式方程叫做一元一次方程。

题型一：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程 方法：定义法
例2、判定下列哪些是一元一次方程？
0)(22=+-x x x ，
712
=+x π
，0=x ，1=+y x ，31
=+
x
x ，x x 3+，3=a 题型二：形如一元一次方程，求参数的值
方法：2
x 的系数为0；x 的次数等于1；x 的系数不能为0。

例3、如果()051=+-m
x
m 是关于x 的一元一次方程，求m 的值
例4、若方程()05122
=+--ax x a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值
【知识点三：等式的基本性质】
等式的性质1：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。

即：若a=b ，则a ±c=b ±c
等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即：若b a =，则bc ac =；若b a =，0≠c 且
c
b c a = 例5、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A 、如果a=b ，那么a-c=b-c
B 、如果a=b ，那么a+c=b+c
C 、如果a=b ，那么
c
b
c a = D 、如果a=b ，那么ac=bc 【知识点四：解方程】
方程的一般式是：()00≠=+a b ax 题型一：不含参数，求一元一次方程的解
例7、解方程
2
84=- 练习1、()()()35123452+--=-+-x x x x
练习2、
14.01.05.06.01.02.0=+--x x 练习3、x =+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+221413223
题型二：解方程的题中，有相同的含x 的代数式
方法：利用整体思想解方程，将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简，并求值。

再将得到的值与该代数式相等，求解原未知数。

例8、
()()046
1253122212=++++++x x x 思路点拨：因为含有x 的项均在“12+x ”中，所以我们可以将作为“12+x ”一个整体，先求出整体的值，进而再求x 的值。

题型三：方程含参数，分析方程解的情况
方法：分情况讨论，①0≠a 时，方程有唯一解a
b x =； ②0,
0==b a 时，方程有无穷解； ③0,
0≠=b a 时，方程无解。

例9、探讨关于x 的方程03=-++x b ax 解的情况 【知识点五：方程的解】
方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解。

题型一：问x 的值是否是方程的解
方法：将x 的值代入方程的左、右两边，看等式是否成立。

⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=)
0()0(0
)0(||a a a a a a 例10、检验5=x 和5-=x 是不是方程
23
1
2-=-x x 的解 题型二：给出的方程含参数，已知解，求参数
方法：将解代入原方程，从而得到关于参数的方程，解方程求参数 例11、若3-=x 是方程()524=--+x k x k 的解，求k 的值
题型三：方程中含参数，但在解方程过程中将式子中某一项看错了，从而得到错误的解，求参数的值
方法：将错误的解代入错误的方程中，等式仍然成立，从而得到关于参数的正确方程，解方程求参数
例12、小张在解关于x 的方程1523=-x a 时，误将x 2-看成x 2得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解。

题型四：给出的两个方程中，其中一个方程含参数，并且题目写出“方程有相同解”或者“这个方程的解同时也满足另一个方程”。

要求参数的值或者含参数代数式的值
方法：求出其中一个不含参的方程的解，并将这个解代入到另一个方程中，从而得到关于参数的方程，解方程求参数即可
例13、若方程()x x 32123-=-和关于x 的方程1226-=-x k 有相同的解，求k 的值 题型五：解方程的题中，方程含绝对值
方法：根据绝对值的代数意义：分情况讨论。

例14、62=+x x
题型六：方程中含绝对值，探讨方程解的个数
方法：根据绝对值的代数意义去绝对值，再根据一元一次方程的步骤解方程。

例15、求423=-+x x 的解的个数
【知识点六：实际应用与一元一次方程】 列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系； （2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，有时也可间接设未知数；
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程； （4）解方程
（5）检验，看方程的解是否符合题意； （6）作答。

题型一：和、差、倍、分问题
例15、小明暑期读了一本名著，这本名著一共有950页，已知他读了的是没读过的三倍，问小明还有多少页书没读？ 题型二：调配问题
例16、有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？ 题型三：行程问题（四种） 1.相遇问题
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 快行距＋慢行距＝原距
例17、甲、乙两人从相距500米的A 、B 两地分别出发，4小时后两人相遇，已知甲的速度是乙的速度的两倍，求甲、乙两人的速度 2.追及问题
2.1行程中追及问题：快行距－慢行距＝原距
例18、甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，乙比甲先跑30分钟，问何时甲能追上乙？ 2.2时钟追及问题：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走
1
12
小格，每分钟走0.5度 例18、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？ 3.环形跑道
例19、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？ 4.航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
例20、一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。

题型四：打折利润问题 利润=售价-成本 %100-%100⨯=⨯=
成本
成本
售价成本利润利润率 例21、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价
为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。

问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？ 题型五：工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间
例22、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？ 题型六：数字问题
例23、若一个两位数十位上数字与个位上数字之和为8，把这个两位数减去36后，得到的结果恰好是这个两个位数对调之后组成的数，求原来的两位数是多少？ 题型七：年龄问题
例24、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的两倍，那么乙现在的年龄是多少岁？ 本章总结：
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