2017—2018学年第一学期期末考试试题

第一学期期末考试试题高二数学(理科)（考试范围：选修2－1）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 命题“x R ∃∈ ，使x ＞1”的否定是( ) A ．x R ∀∈, 都有x ＞1 B ．x R ∃∈，使x ＞1 C ．x R ∀∈, 都有x ≤1 D ．x R ∃∈，使x ≤12.已知非零向量a 、b ，则“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分又不必要条件3.若直线l 的方向向量为b ，平面α 的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( ) A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 4．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A .x 216＋y 212＝1 B .x 212＋y 216＝1 C .x 216＋y 24＝1 D .x 24＋y 216＝15. 对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面 D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面6. 已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于 （ ）A ．13B ．12C ．2D ．27．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．48. 设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A .B .C .6332 D . 949．设e 为双曲线1222=+myx 的离心率，且)2,1(∈e ，则实数m 的取值范围为A ．)1,6(--B .)6,0(C .)1,4(--D . )0,6(-10．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A .3B ．2C .5D .611.已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A . ⎝⎛⎭⎫43，43，83B .⎝⎛⎭⎫12，32，34C . ⎝⎛⎭⎫12，34，13D .⎝⎛⎭⎫43，43，7312．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足)(21+=，R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子： ①1tan tan =βα ②2sin sin ≤+βα ③1cos cos >+βα ④2tan |)tan(|βαβα+>-中一定正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共20分）13．椭圆2212516x y +=的离心率为___35_____．14．已知a ＝(2，－3,1)，b ＝(4，－6，x )，若a ⊥b ，则x 等于________．15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别是11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为_________．16．曲线C 是平面内到直线1l ：x ＝－1和直线2l ：y ＝1的距离之积等于常数2(0)k k >的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 过点(－1，1)； ②曲线C 关于点(－1，1)对称；③若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上，则|||PB |PA + 不小于2k .④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线x ＝－1、点(－1，1)及直线y ＝1对称的点分别为1P ，2P ，3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k .其中，所有正确结论的序号是 .泉州中远学校2010—2011学年第二学期期末考试试题高二数学(理科)（考试范围：选修2－1 ） （考试时间：120分钟 满分：150分）二、填空题：13、 14、 15、 16、第Ⅱ卷三．解答题17．（本题满分12分）命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对于一切x ∈R 恒成立，命题q ：10a -≤，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ACBD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .第18题图BAECFP19．（本题满分12分(14分) 已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点．（I ）求证：DE ∥平面ABC ； （II ）求证：F B 1⊥平面AEF ；（III ）求二面角F AE B --1的余弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．21．（本题满分12分）已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.22. （本题满分7分）给定抛物线C: 24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点。

（1）设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；（2）设,FB AF λ=若[4,9]λ∈，求l 在y 轴上截距的变化范围。

泉州中远学校2013—2014学年第二学期期末考试（答案）高二数学(理科)（考试范围：选修2－1 ） （考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：二、填空题：13、 35 14、 －26 15、 _25 16、 ②③④第Ⅱ卷17.解析：设g(x)＝224x ax ++，由于关于x 的不等式2240x ax ++>对于一切x ∈R 恒成立，所以g(x)函数的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝24a －16＜0，所以－2＜a ＜2. 若q 为真命题，a≤x2恒成立，即a≤1.由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 、q 一真一假.①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞1，所以1＜a ＜2； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤－2或a≥2，a≤1，所以a≤－2； 综上可知，所求实数a 的取值范围是{a|1＜a ＜2或a≤－2}．18.证明 (1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)， B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，∴E (12，1，12)，F (0,1，12)，EF →＝(－12，0,0)，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝ (0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0). ∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF ∥AB ， 又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PDC ，∴平面P AD ⊥平面PDC .19.解：方法1：如图建立空间直角坐标系O —xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A （0，0，0），E （0，4，2），F （2，2，0），B （4，0，0）， B 1（4，0，4），D （2，0，2）， …………（2分）（I ）=→DE （2-，4，0），面ABC 的法向量为=→1OA （0，0，4）， ∵→DE 01=→⋅OA ，⊄DE 平面ABC ，∴DE ∥平面ABC ． …………（4分） （II ）)222()422(1--=→--=→，，，，，EF F B 0)2()4()2(22)2(1=--+-+-=→→×××·EF F B 00)4(222)2(1=-++-=→→×××·AF F B …………（6分）∴AF F B AF F B ⊥∴，⊥11→→ ∵AEF F B F FE AF 平面⊥∴，1= …………（8分） （III ） 平面AEF 的法向量为)422(1--=→，，F B ，设平面 B 1AE 的法向量为 n x y z n AE n B A →=→→=→→=⎧⎨⎪⎩⎪()，，，∴··001 即⎩⎨⎧=+=+002z x z y …………（10分）令x ＝2，则21z y n→=-==-，，∴，，∴662496||||cos 111==→→→→=>→→<×··，F B n F B n F B n ∴二面角B 1—AE —F的余弦值为6…………（13分） 20.解析： (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点， 设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－2|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.21.解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b ya x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为.1322=-y x （2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k .设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,31553115200202210kx y k k kx y k k x x x BE-=+=-=+=⋅-=+=,000=++∴k ky x 即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又 故所求k=±7.【解析】 （1）的方程为、设，由，。