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2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-18题含详解

2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-18题含详解

专题2020年分类汇编-18题专题一图形的翻折【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为．2．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A 恰好落在线段EF上，那么边AD的长至少是cm．3．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC 上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．4．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B 所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝．5．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′E⊥AB时，则A′A＝．6．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为．专题二图形的旋转【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG 的正切值是．2．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为．3．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B 的对应点是点B′，则BB′的长等于．4．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝k，将矩形ABCD绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D′，联结AD′，分别交边CD，A′B于E、F，如果AE D′F，那么k＝．5．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos A＝35（如图），把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'．如果A'B'恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为．6．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．7.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P为边BC上一点，PC=3,将△ABC绕点P旋转得到△A'B'C'(点A，B、C分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G 的长等于．专题三其他题型【知识梳理】根据题目中给的知识点，结合所学函数及图形知识解答【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且AD3=AE2，那么DEBC的值是．2．（2019秋•宝山区期末）如图，点A在直线34y x上，如果把抛物线y=x²沿OA方向平移5个单位,那么平移后的抛物线的表达式为__．专题2020年分类汇编-18题专题一图形的翻折【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为24 7．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰梯形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵FB′⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C，∴sin∠ABC＝sin∠C＝AFBF＝45，设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k，∴k＝3，∴AF＝12，BF＝15，∵AD∥BF，∴△APD∽△FPB，∴PA AD62=== PF BF155，∴PA＝27AF＝247，故答案为24 7．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5cm ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF 上，那么边AD ．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据已知条件得到AE ＝DF ＝BE ＝CF ，求得四边形AEFD 是矩形，得到EF ＝AD ，∠AEN ＝∠BEN ＝90°，根据折叠的性质得到BN ＝AB ，根据直角三角形的性质得到∠BNE ＝30°，于是得到EN ＝32BN 到结论．【解答】解：如图，∵在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∴AE ＝DF ＝BE ＝CF ，∴四边形AEFD 是矩形，∴EF ＝AD ，∠AEN ＝∠BEN ＝90°，∵折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，∴BN ＝AB ，∵BE ＝12AB ，∴BE ＝12BN ，∴∠BNE ＝30°，∵AB ＝5cm ，∴EN ＝32BN∴EF ≥EN 时，点A 恰好落在线段EF 上，即AD∴边AD 的长至少是【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝6，点D 在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD ，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为1．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得AB BDBM BE=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CA CDCB AC=，∴464CD=，∴CD＝83，BD＝BC﹣CD＝103，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，∴DM＝3215，MB＝BD﹣DM＝65，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴AB BD BM BE=，∴BE＝BD BMAB＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．4．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A1FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB=；②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为或4；故答案为：4；【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．5．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，D 是AC的中点，点E 在边AB 上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A ′处，当A ′E ⊥AB 时，则A ′A ＝2825或425．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用．【分析】分两种情形分别求解，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．想办法求出AE ，利用等腰直角三角形的性质求出AA ′即可．【解答】解：如图，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．在Rt △ACB 中，BC 22AB AC -＝6，∵∠DAF ＝∠BAC ，∠AFD ＝∠C ＝90°，∴△AFD ∽△ACB ，∴DF AD AF BC AB AC ==，∴46108DF AF ==，∴DF ＝125，AF ＝165，∵A′E⊥AB，∴∠AEA′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED＝45°，∴EF＝DF＝125，∴AE＝A′E＝125+165＝285，∴AA′＝2825，如图，作DF⊥AB于F，当EA′⊥AB时，同法可得AE＝165﹣125＝45，AA AE＝425．故答案为2825或425．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD，∠A＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A恰好与CD的中点E重合，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，联结EF，那么cos∠EFB的值为1 7．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用．【分析】如图，连接BD．设BC＝2a．在Rt△BEF中，求出EF，BF即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD．设BC＝2a．∵四边形ABC都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠A＝∠C＝60°，∴△BDC是等边三角形，∵DE＝EC＝a，∴BE⊥CD，∴BE=a，∵AB∥CD，BE⊥CD，∴BE⊥AB，∴∠EBF＝90°，设AF＝EF＝x，在Rt△EFB中，则有x2＝（2a﹣x）2+a）2，∴x＝74a，∴AF＝EF＝74a，BF＝AB﹣AF＝4a，∴cos∠EFB＝14774aBFaEF==，故答案为1 7．【点评】本题考查菱形的性质，解翻折变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．专题二图形的旋转【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是1．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【分析】连接BD，BF，EG．利用四点共圆证明∠BEG＝∠BFD＝45°即可．【解答】解：连接BD，BF，EG．由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，∵DG＝GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF＝∠BEF＝90°，∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG＝∠BFD＝45°，∴∠BEG的正切值是1．故答案为1．【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．2．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为【考点】三角形综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】分两种情况：①点A在E'D'的延长线上时；②点A在线段D'E'的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【解答】解：如图1，当点A在E'D'的延长线上时，∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE∥AC，DE＝12AC＝1，BD＝12BC＝2，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∵将△BDE绕着点B旋转，∴∠BD'E'＝∠BDE＝90°，D'E'＝DE＝1，BD＝BD'＝2，∵在Rt△ABC和Rt△BAD'中，D'B＝AC＝2，AB＝BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD'（HL），∴AD'＝BC，且AC＝D'B，∴四边形ACBD'是平行四边形，且∠ACB＝90°，∴四边形ACBD'是矩形，∴CD'＝AB＝如图2，当点A在线段D'E'的延长线上时，∵∠AD 'B ＝90°，∴AD '=＝4，∴AE '＝AD '﹣D 'E '＝3，∵将△BDE 绕着点B 旋转，∴∠ABC ＝∠E 'BD '，∵'12BE AB =＝BD BC ，∴△ABE '∽△CBD '，∴''AE AB CD BC=，∴'3254CD =，∴CD '故答案为：．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4点P 在边BC 上，联结AP ，将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B的对应点是点B ′，则BB ′的长等于5．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】如图，延长AB '交BC 于E ，过点B '作B 'D ⊥AB 于点D ，由勾股定理可求AC 的长，由旋转的性质可求AP＝AM ，∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB '＝2，通过证明△ABP ∽△CBA ，可得∠PAB ＝∠C ，可得CE ＝AE ，由勾股定理可求CE ，BE 的长，由相似三角形的性质可求B 'D ，BD 的长，即可求解．【解答】解：如图，延长AB '交BC 于E ，过点B '作B 'D ⊥AB 于点D ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4，∴AC =＝∵点M 是AC 中点，∴AM ∵将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，∴AP ＝AM ，∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB '＝2，∵AP 2＝AB 2+PB 2，∴PB ＝1，∵BA PB ＝2＝BC AB，且∠ABP ＝∠ABC ＝90°，∴△ABP ∽△CBA ，∴∠PAB ＝∠C ，∴∠C ＝∠CAE ，∴CE ＝AE ，∵AE 2＝AB 2+BE 2，∴CE 2＝4+（4﹣CE ）2，∴CE ＝AE ＝52，∴BE ＝32，∵B 'D ∥BC ，∴△AB 'D ∽△AEB ，∴''AB AD B D AE AB BE ==，∴'253222AD B D ==，∴AD ＝85，B 'D ＝65，∴BD ＝25，∴BB '=2105，故答案为：5．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE 的长是本题的关键．4．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k ，将矩形ABCD 绕着点B顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，联结AD ′，分别交边CD ，A ′B 于E 、F ，如果AED ′F ，那么k【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，通过证明△ADE ∽△FA 'D '，可得''''AD DE AE A F A D D F==，可求DE ，A 'F 的长，通过证明△A 'D 'F ∽△CEF ，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，∴AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，∴A 'D '∥BA ∥CD∴∠A 'D 'F ＝∠FEC ＝∠DEA ，且∠D ＝∠A '＝90°，∴△ADE ∽△FA 'D '，∴''''AD DE AE A F A D D F==，且AED ′F ，∴DEA 'D '，A 'FAD ＝22，∵∠A '＝∠DCF ＝90°，∠A 'FD '＝∠EFC ，∴△A 'D 'F ∽△CEF ，∴'''EC FC A D A F =，∴''212222k k A D ---=∴k+1，+1．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求DE ，A 'F 的长是本题的关键．5．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，cos A ＝35（如图），把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点A '、B '．如果A 'B '恰好经过点A ，那么点A 与点A '的距离为365．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点C 作CE ⊥A 'B '，由锐角三角函数可求AC ＝6，由旋转的性质可得AC ＝A 'C ＝6，∠A '＝∠BAC ，即可求A 'E 的长，由等腰三角形的性质可求AA '的长．【解答】解：如图，过点C 作CE ⊥A 'B '，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，cos ∠BAC ＝35，∴AC ＝6，∵把△ABC 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，∴AC ＝A 'C ＝6，∠A '＝∠BAC ，∵cos ∠A '＝cos ∠BAC ＝＝35，∴A 'E ＝185，∵AC ＝A 'C ，CE ⊥A 'B '，∴AA '＝2A 'E ＝365，故答案我：365．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，求出A 'E 的长是本题的关键．6．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，A ′D '与边BC 交于点E ，那么BE 的长是258．【考点】旋转的性质；相似三角形的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，由勾股定理可求AC ＝5，由面积法可求BF ＝125，由勾股定理可求AF ＝95，由旋转的性质可得AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，可求CA '＝75，由等腰三角形的性质可求HC 的长，通过证明△EHC ∽△ABC ，可得EC BC HC AC ，可求EC 的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，∵AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝＝＝5，∵S △ABC ＝12AB ×BC ＝12AC ×BF ，∴3×4＝5BF ，∴BF ＝125∴AF 22144925AB BF -=-95，∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，∴AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，且BF ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠BA 'A ，AF ＝A 'F ＝95，∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∴A 'C ＝AC ﹣AA '＝75，∵∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∠BAA '+∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠EA 'C ，∴A 'E ＝EC ，且EH ⊥AC ，∴A 'H ＝HC ＝12A 'C ＝710，∵∠ACB ＝∠ECH ，∠ABC ＝∠EHC ＝90°，∴△EHC ∽△ABC ，∴BC HC AC EC =∴74105EC =∴EC ＝78，∴BE ＝BC ﹣EC ＝4﹣78＝258，故答案为：258．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求出HC 的长是本题的关键．7.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC 中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P 为边BC 上一点，PC=3,将△ABC 绕点P 旋转得到△A'B'C'(点A ，B 、C 分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB ，边A'C'与边AB 交于点G ，那么A'G 的长等于2013．【考点】旋转的性质;解直角三角形；平行线的判定，图形的旋转【专题】矩形菱形正方形；平移，旋转与对称；解直角一角形及其应用；应用意识。

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴第25题精选30道-几何综合问题(解析版)

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴第25题精选30道-几何综合问题(解析版)

压轴第25题精选30道-几何综合问题（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（ ）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒【答案】C【分析】 设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，①612t <≤和①1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒， B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；①如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP ''，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；①如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．2．如图，E 在线段BA 的延长线上，①EAD ＝①D ，①B ＝①D ，EF①HC ，连FH 交AD 于G ，①FGA 的余角比①DGH 大16°，K 为线段BC 上一点，连CG ，使①CKG ＝①CGK ，在①AGK内部有射线GM ，GM 平分①FGC ，则下列结论：①AD①BC ；①GK 平分①AGC ；①①E ＋①EAG ＋①HCK ＝180°；①①MGK 的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理得到AD①BC，故①正确；由平行线的性质得到①AGK=①CKG，等量代换得到①AGK=①CGK，求得GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质得到①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；根据题意列方程得到①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，得到①AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：①①EAD=①D，①B=①D，①①EAD=①B，①AD①BC，故①正确；①①AGK=①CKG，①①CKG=①CGK，①①AGK=①CGK，①GK平分①AGC；故①正确；延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，①EF①CH，①①EPQ=①CQP，①①EPQ=①E+①EAG，①①CQG=①E+①EAG，①AD①BC，①①HCK+①CQG=180°，①①E+①EAG+①HCK=180°；故①正确；①①FGA的余角比①DGH大16°，①90°-①FGA-①DGH=16°，①①FGA=①DGH，①90°-2①FGA=16°，①①FGA=①DGH=37°，设①AGM=α，①MGK=β，①①AGK=α+β，①GK平分①AGC，①①CGK=①AGK=α+β，①GM平分①FGC，①①FGM =①CGM ，①①FGA +①AGM =①MGK +①CGK ，①37°+α=β+α+β，①β=18.5°，①①MGK =18.5°，故①错误，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．3．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8BC =．将矩形纸片沿GH 折叠，使点B 与D 重合．有下列语句：①四边形BGDH 是菱形；①74AG =；①7.5GH =；①60BGH ∠=︒．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】 根据折叠的性质及矩形的性质可得BH =DH =GD =BG ，即可判定①正确；若设AG =x ，则BG =DG =8-x ，在Rt ①AGB 中由勾股定理建立方程可求得x ，即AG 的长，因此可判定①；连接BD ，利用菱形的面积相等，可求得GH 的长，从而可判定①；根据对①的判定可确定①ABG 是否为30°即可判定①．【详解】根据折叠的性质得：BH =DH ，BG =GD ，①BHG =①DHG ，①BGH =①DGH①四边形ABCD 是矩形①AD ①BC ，AD =BC =8，①A =90°①①DGH =①BHG①①DGH =①DHG①GD =DH①BH =DH =GD =BG①四边形BGDH 是菱形即①正确设AG =x ，则BG =GD =8-x在Rt ①AGB 中，由勾股定理建立方程得：2226(8)x x +=- 解得：74x = 即AG 的长74故①正确如图，连接BD在Rt ①ABD 中，由勾股定理得：10BD = ①12BD GH GD AB =，GD =AD -AG =725844-= ①12510624GH ⨯=⨯ ①GH =7.5故①正确①BG =GD =254 ①12AG BG ≠ ①①A =90°①①ABG ≠30°即①AGB ≠60°①①BGH =①DGH①①BGH +①DGH ≠120°从而①BGH ≠60°即①不正确故正确的有3个故选：C ．【点睛】本题是矩形的折叠问题，有一定的综合性质，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解决本题的前提．4．如图，正方形ABCD 中，P 为CD 边上任意一点，DE①AP 于点E ，点F 在AP 延长线上，且EF ＝AE ，连结DF 、CF ，①CDF 的平分线DG 交AF 于G ，连结BG ．给出以下结论：①DF＝DC ；①①DEG 是等腰直角三角形；①①AGB ＝45°；①DG+BG ．所有正确的结论是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】D【分析】 根据等腰三角形三线合一，得到AD ＝DF ，又根据正方形性质得AD ＝DC ，从而等量代换得，DF ＝DC ，即可判断①；设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，由902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-,推得1452FDG PDF α∠=∠=-，进一步得到=45DGE DFA FDG ∠=∠+∠，从而可判断①；在Rt ADE △和Rt ADP △中进行角等量代换，得到DAP EDP ∠=，再由AD DF =和角平分线两个条件，进行角之间的等量代换，结合DE AF ⊥，即可判断①；作BH ①AF ，分别在Rt BHG 和Rt DEG △中，进行边的转换，再根据BAH ADE ≅△△得到DG ，由AH GH AG +=，代入化简即可判断①．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，①AD DC =,90BAD ADC ∠=∠=，DE AF ⊥，EF AE =，①AD DF =，①DF DC =，①①正确；①AD DF =，①DAF DFA ∠=∠，设DAF DFA α∠=∠=，则1802ADF α∠=-，①902PDF ADF ADC α∠=∠-∠=-，①DG平分①CDF，①1452FDG PDFα∠=∠=-，①=45DGE DFA FDG∠=∠+∠，①①DEG是等腰直角三角形，①①正确；①四边形ABCD是正方形①90ADC∠=,①90ADE EDP∠+∠=,①DE AF⊥，①90ADE DAP∠+∠=，①DAP EDP∠=∠，①AD DF=，①DAP DFP∠=∠，①EDP DFP∠=∠，①CDF∠的平分线交AF于点G，①CDG FDG∠=∠，①EDP CDG DFP FDG ∠+∠=∠+∠，①EDG EGD∠=∠，又①DE AF⊥，①DEG△是等腰直角三角形．①①正确如下图：作BH①AF于H，①①AGB＝45°，①BG，①DEG△是等腰直角三角形，①DG=，①四边形ABCD是正方形①AB AD=，又①BH AF⊥,DE AP⊥，①90BHA AED∠=∠=，①90BAH EAD EAD ADE∠+∠=∠+∠=，①BAH ADE∠=∠，①BAH ADE≅△△，①AH DE=，①DG=，①AH GH AG+=，=，①DG BG+=，①①正确；①故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质等相关知识点，结合条件找见相关切入点是解题关键．5．如图，Rt①ACB中，①ACB=90°，①ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF①AD 交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①①APB=135°；①AD=PF+PH；①DH平分①CDE；①S四边形ABDE=74S①ABP；①S①APH=S①ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．①正确．证明①ABP①①FBP，推出P A=PF，再证明①APH①①FPD，推出PH=PD即可解决问题．①错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．①错误，可以证明S四边形ABDE=2S①ABP．①正确．由DH①PE，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在①ABC中，A D、BE分别平分①BA C、①ABC，①①A +①B =90°，又①A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC ，①①BAD +①ABE =12（①A +①B ）=45°，①①APB =135°，故①正确．①①BPD =45°，又①PF ①AD ，①①FPB =90°+45°=135°，①①APB =①FPB ，又①①ABP =①FBP ，BP =BP ，①①ABP ①①FBP （ASA ），①①BAP =①BFP ，AB =FB ，P A =PF ，在①APH 和①FPD 中， APH FPD PA PFPAH PFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①APH ①①FPD （ASA ），①PH =PD ，①AD =AP +PD =PF +PH ．故①正确．①①ABP ①①FBP ，①APH ①①FPD ，①S ①APB =S ①FPB ，S ①APH =S ①FPD ，PH =PD ，①①HPD =90°，①①HDP =①DHP =45°=①BPD ，①HD ①EP ，①S ①EPH =S ①EPD ，①S ①APH =S ①AED ，故①正确，①S 四边形ABDE =S ①ABP +S ①AEP +S ①EPD +S ①PBD=S ①ABP +（S ①AEP +S ①EPH ）+S ①PBD=S ①ABP +S ①APH +S ①PBD=S ①ABP +S ①FPD +S ①PBD=S ①ABP +S ①FBP=2S ①ABP ，故①不正确．若DH 平分①CDE ，则①CDH =①EDH ，①①CDH=①CBE=①ABE，①①CDE=①ABC，①DE①AB，这个显然与条件矛盾，故①错误，故选B．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将①ADE沿AE对折至①AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①①ABG①①AFG；①BG=CG；①S①AGE=18；①①GAE=45°，其中正确的是（）A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①【答案】D【分析】根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt①ABG①Rt①AFG，推出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt①ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，由DE=2，得出GE=GF+EF=5，AF=AB=6，计算出S△AGE=15；根据全等得出①DAE=①F AE，①BAG=①F AG，即可得出△GAE.【详解】解：①四边形ABCD是正方形，①AB=AD=DC=6，①B=①D=90°，①CD=3DE，①DE=2，①①ADE沿AE折叠得到①AFE，①DE=EF=2，AD=AF，①D=①AFE=①AFG=90°，①AF=AB，①在Rt①ABG和Rt①AFG中AG AG AB AF ==⎧⎨⎩ ，①Rt ①ABG ①Rt ①AFG （HL ）．①①正确；①Rt ①ABG ①Rt ①AFG ，①BG =FG ，①AGB =①AGF ．设BG =x ，则CG =BC -BG =6-x ，GE =GF +EF =BG +DE =x +2．在Rt ①ECG 中，由勾股定理得：CG 2+CE 2=EG 2．①CG =6-x ，CE =4，EG =x +2，①（6-x ）2+42=（x +2）2，解得：x =3．①BG =GF =CG =3．①①正确；①BG =GF =CG =3，CD =3DE ，AB =AD =DC =6，DE =EF =2，①GE =GF +EF =5，AF =AB =6，①S △AGE =11561522GE AF ⨯=⨯⨯=， ①①错误；①①ADE 沿AE 折叠得到①AFE ，①①DAE ①①F AE ．①①DAE =①F AE ．①①ABG ①①AFG ，①①BAG =①F AG ．①①BAD =90°，①①EAG =①EAF +①GAF =12×90°=45°．①①正确．故选D ．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x =-+的图象交x 轴、y 轴于A 、B 两点，以AB 为边在直线右侧作正方形ABCD ，连接BD ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交BD 于点E ，连接AE ．则下列说法中正确的是（ ）A．点D的坐标为(17,7)B．45EAF∠=︒C．点C的坐标为(12,17)D．AEF的周长为(14+【答案】C【分析】根据一次函数教师式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的教师式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则①EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出①AEF 的周长．【详解】解：①一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴与A、B两点，①当x=0，则y=12，故B（0，12），当y=0，则x=5，故A（5，0），①AO=5，BO=12，在Rt①AOB中，AB，故AB的长为13；过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：①四边形ABCD是正方形，①①ABC =①BAD =90°，AB =DA =BC =CD ，①①OAB +①OBA =①OAB +①HAD =90°，①①OBA =①HAD ，在①OBA 和①HAD 中，AOB DHA OBA HAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①OBA ①①HAD （AAS ），①DH =AO =5，AH =BO =12，①OH =OA +AH =17，①点D 的坐标为（17，5），A 错误，不符合题意；①①CBN +①NCB =①CBN +①ABO =90°，①①NCB =①ABO ，在①CNB 和①BOA 中，NCB OBA CNB BOA CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①CNB ①①BOA （AAS ），①BN =AO =5，CN =BO =12，又①CF ①x 轴，①CF =BO +BN =12+5=17，①C 的坐标为（12，17），C 正确，符合题意；设直线BD 的教师式为y =kx +b ，①17512k b b +=⎧⎨=⎩，解得：71712k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①直线BD 的教师式为71217y x =-+， ①OF =CN =12， ①AF =12-5=7，E 点的坐标为（12，12017）， ①EF =12017≠AF ， ①CF ①x 轴，①①EAF ≠45°，B 错误，不符合题意；在①CDE 和①ADE 中，CD AD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①CDE ①①ADE （SAS ），①AE =CE ，①AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，①C ①AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24，D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键．8．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，90BAF CAG ∠=∠=︒，AB AF =，AC AG =．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ．则下列结论：①BG CF =；①BG CF ⊥；①2BC AE =；①EF EG =，其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①①【答案】D【分析】 证得①CAF ①①GAB （SAS ），从而推得①正确；利用①CAF ①①GAB 及三角形内角和与对顶角，可判断①正确；证明①AFM ①①BAD （AAS ），得出FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，得出NG =AD ，则FM =NG ，证明①FME ①①GNE （AAS ）．可得出结论①，①正确．【详解】解：①①BAF =①CAG =90°，①①BAF +①BAC =①CAG +①BAC ，即①CAF =①GAB ，又①AB =AF ，AC =AG ，①①CAF ①①GAB （SAS ），①BG =CF ，故①正确；①①F AC ①①BAG ，①①FCA =①BGA ，又①BG 与AC 所交的对顶角相等，①BG 与FC 所交角等于①GAC ，即等于90°，①BG ①CF ，故①正确；过点F 作FM ①AE 于点M ，过点G 作GN ①AE 交AE 的延长线于点N ，①①FMA =①F AB =①ADB =90°，①①F AM +①BAD =90°，①F AM +①AFM =90°，①①BAD =①AFM ，又①AF =AB ，①①AFM ①①BAD （AAS ），①FM =AD ，①F AM =①ABD ，同理①ANG ①①CDA ，①NG =AD ，,AN CD =①FM =NG ，①FM ①AE ，NG ①AE ，①①FME =①ENG =90°，①①AEF =①NEG ，①①FME ①①GNE （AAS ）．①,EM EN = EF =EG ．故①正确．222,BD DC BC AM AN AM ME AE ∴+==+=+=故①正确故选：D ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（ ）A．B ．C ．72 D ．4【答案】D【分析】 做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．【详解】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的轴对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ，如图：①,ACE BCF ∆∆是,ACD BCD ∆∆的对称三角形①6,20,AE AD BF BD CE CD CF ======,,,AEC ADC BFC BDC ACE ACD BCF BCD ∠=∠∠=∠=∠∠=∠①CD AB ⊥①90ADC BDC AEC BFC ∠=∠=∠=∠=︒又①135ACB ∠=︒①135ACE BCF ∠+∠=︒①36013513590ECF ∠=︒-︒-︒=︒①四边形CEGF 是正方形设CD CF GF CE GE x =====，在Rt GAB ∆ 中：222AG +BG AB =即：()()22262026x x +++= 解得：124,30x x ==-（舍） ①CD 的长为4．【点睛】 本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键． 10．如图，ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点D 在ABC 内部，且使得302ABD BAD α=∠-∠=︒．则ACD ∠的度数为（ ）A ．30α-︒B ．60α-︒C ．30D ．不能确定【答案】C【分析】 如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，证明ABD ACE ≅，得到ACE 为等腰三角形，再证明ADE 为等边三角形，推出DCE 为等腰三角形，由三角形外角的性质得出12ACD AED ∠=∠即可． 【详解】如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，在ABD △和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(),ABD ACE SAS ∴≅ABD BAD ∠=∠，∴ABD △为等腰三角形，∴ACE 为等腰三角形，CAE BAD ∠=∠，BAC α∠=，302BAD α-∠=︒，30302260,DAE BAC BAD CAEααα∴∠=∠-∠-∠⎛⎫⎛⎫=--︒--︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=︒ADE ∴为等边三角形，,DE AE CE ∴==∴DCE 为等腰三角形，延长CE 交AD 于F 点，(),,2222,116030,22AEF EAC ECA DEF ECD EDC AED AEF DEFACE DCEACE DCE ACD ACD AED ∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=⨯︒=︒故选：C ．【点睛】 本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．二、填空题11．如图，在等腰①ABC 中，AB=AC ，①BAC=120°，点D 是线段BC 上一点，①ADC=90°，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：①①APO=①ACO ；①①APO+①DCO=30°；①AC=AO+AP ；①PO=PC ，其中正确的有______．【答案】①①①①【分析】连接BO ，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出①APO =①ACO ，①APO +①DCO =30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出①POC =60°，再由等边三角的判定证明①OPC 是等边三角形，得出PC =PO ，①PCO =60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO +AP =AC ，即可得出结果．【详解】解：连接BO ，如图1所示：①AB=AC，AD①BC，①BO=CO，①①OBC=①OCB，又①OP=OC，①OP=OB，①①OBP=①OPB，又①在等腰①ABC中①BAC=120°，①①ABC=①ACB=30°，①①OBC+①OBP=①OCB+①ACO，①①OBP=①ACO，①①APO=①ACO，故①正确；又①①ABC=①PBO+①CBO=30°，①①APO+①DCO=30°，故①正确；①①PBC+①BPC+①BCP=180°，①PBC=30°，①①BPC+①BCP=150°，又①①BPC=①APO+①CPO，①BCP=①BCO+①PCO，①APO+①DCO=30°，①①OPC+①OCP=120°，又①①POC+①OPC+①OCP=180°，①①POC=60°，又①OP=OC，①①OPC是等边三角形，①PC=PO，①PCO=60°，故①正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：①①BAC +①CAP =180°，①BAC =120°，①①CAP =60°，①①APE 是等边三角形，①AP =EP ，又①①OPC 是等边三角形，①OP =CP ，又①①APE =①APO +①OPE =60°，①CPO =①CPE +①OPE =60°，①①APO =①EPC ，在①APO 和①EPC 中，AP EP APO EPC OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①APO ①①EPC （SAS ），①AO =EC ，又①AC =AE +EC ，AE =AP ，①AO +AP =AC ，故①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是________．【答案】【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP①AH时，PB有最小值，即可求解．【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，①四边形ABCD是矩形，①AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，①点E是AB中点，点H是CD中点，①CH＝AE＝DH＝BE＝4，①四边形AECH是平行四边形，①AH//CE，①点P是DF的中点，点H是CD的中点，①PH//EC，①点P在AH上，①当BP①AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，①AD＝DH＝CH＝BC＝4，①①DHA＝①DAH＝①CBH＝①CHB＝45°，AH＝BH＝①①AHB＝90°，①BP的最小值为故答案为【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．13．如图，在ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足2=，3AE BE=，CD AD过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．【答案】525【分析】连接AO ，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．【详解】如图，连接AO ，①CD =3AD ，①AD ：CD =1：3， ①13ADF CDF S S =△△，13ADO CDO S S =△△，3ABD CBD S S =△△， ①12CDF S =△，①4ADF S =△，16ACF S =△，①AF ①BC ，①16ABF ACF S S ==△△，①12ABD S =，①36CBD S =△，48ABC S =△，①AE =2BE ，①BE ：AE =1：2，①2AEC BEC S S =△△，2AEO BEO S S =△△，①32AEC S =△，16BEC S =△，①()2AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△，即22AOE AOD COD BOE BOC S S S S S ++=+△△△△△， ①123COD COD BOC S S S +=△△△，即423COD BOC S S =△△， ①:3:2COD BOC S S =△△，①36BCD BOC COD S S S =+=△△△， ①1085COD S =△， ①S 四边形AEOD 108523255AEC COD S S =-=-=△△． 故答案为：525． 【点睛】 本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．14．已知①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，①BAC=①DAE=90°，AB=6，AD=4，连接CE 、BE ，点F 和G 分别为DE 和BE 的中点，连接FG ，在①ADE 旋转过程中，当D 、E 、C 三点共线时，线段FG 的长为_______．【分析】分两种情况画出图形，如图1，连接BD ，证明①ADB ①①AEC ，求得①BDC =90°，在Rt ①BDC 中利用勾股定理求出BD 长度，最后利用三角形中位线性质求解FG 长度，如图2，同理可求出BD 的长，则可得出答案．【详解】解：如图1，连接BD ，①①BAD =90°-①BAE ，①CAE =90°-①BAE ，①①BAD =①CAE ．在①ADB 和①AEC 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝①①ADB ①①AEC （SAS ）．①BD =CE ，①ADB =①AEC =135°，①①BDC =135°-45°=90°．①①ABC 和①ADE 均为等腰直角三角形，AB =6，AD =4，①DE =42，BC =62． 设BD =x ，则DC =42+x ，在Rt ①BDC 中，利用勾股定理BD 2+DC 2=BC 2，①x 2+（42+x ）2=72，解得x 1=-22-27（舍去），x 2=-22+27．①点F 、G 分别为DE 、BE 的中点，①FG =12BD =-2+7．如图2，同理，设BD =CE =a ，在Rt ①BDC 中，BD 2+CD 2=BC 2，①a 2+(a −42)2=72，解得a =22-27（舍去），a =22+27，①FG =12BD =2+7，故答案为：72±．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线性质，解题的关键是找到共顶点的全等三角形，从而得到直角三角形，运用勾股定理求解线段长度．15．如图， ABCD 中，AB //x 轴，12AB =．点A 的坐标为()2,8-，点D 的坐标为()6,8-，点B 在第四象限，点G 是AD 与y 轴的交点，点P 是CD 边上不与点C ，D 重合的一个动点，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将①PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，点P 的坐标为______．【答案】8)或(8) 【分析】 先求出直线AD 的教师式为24y x =--，则可求(0,4)G -，设(,8)P m ，则(,4)M m -，可求12PM =，8PN =，分两种情况讨论：当M '在x 轴负半轴时，由折叠可知12PM '=，在Rt ①M NP '中，由勾股定理可求M N '=Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，可求M O '，所以x =855x ，则P ，8)；当M '在x 轴正半轴时，同理可得，x -x =(P 8)． 【详解】解：设AD 的直线教师式为y kx b =+，将(2,8)A -，(6,8)D -代入可得，2868k b k b +=-⎧⎨-+=⎩， 解得24k b =-⎧⎨=-⎩， 24y x ∴=--，(0,4)G ∴-，点P 是CD 边上，//CD x 轴，设(,8)P m ， //GM y 轴，(,4)M m ∴-，12PM ∴=，8PN =，当M '在x 轴负半轴时，如图，由折叠可知GM GM '=，PM PM '=，12PM '∴=，在Rt ①M NP '中，M N '在Rt ①M OG '中，M G x '=，4OG =，M O '∴=∴x = 解得855x，P ∴，8)； 当M '在x 轴正半轴时，如图，同理可得，x -+=解得x =(P ∴8)；综上所述：P 点坐标为8)或(8)，故答案为8)或(8)．【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质、平面上点的坐标特点、并灵活应用勾股定理是解题的关键．16．如图，矩形ABCD的边AB＝112，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为______．【答案】2.5【分析】过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，由“AAS”可证①GEH①①FEA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点G作GH①AB于H，过点G作MN①AB，①四边形ABCD是矩形，AB＝112，BC＝3，①①B＝90°，CD＝112，AD＝3，①AE＝1，①BE＝92，①①GHE＝①A＝①GEF＝90°，①①GEH+①EGH＝90°，①GEH+①FEA＝90°，①①EGH ＝①FEA ，又①GE ＝EF ，①①GEH ①①EF A （AAS ），①GH ＝AE ＝1，①点G 在平行AB 且到AB 距离为1的直线MN 上运动，①当F 与D 重合时，CG 有最小值，此时AF ＝EH ＝3，①CG 2.5， 故答案为：2.5．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G 的运动轨迹是本题的关键．17．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合）且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．若CG ＝则四边形BCDG 的面积为 _____．【答案】【分析】过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ，先证明①ABD 为等边三角形，AED DFB △≌△求得60BGD ∠=︒，证明①CBM ①①CDN ， 所以S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，CG 是NGB ∠的角平分线，进而求得CGM S △，根据S 四边形BCDG =S 四边形CMGN 即可求得四边形BCDG 的面积．【详解】如图，过点C 作CM ①GB 于M ，CN ①GD 于N ．四边形ABCD 是菱形AB AD DC BC ∴===，A BDC ∠=∠AB BD =AB BD DA ∴==ABC ∴是等边三角形60A ∴∠=︒60BDC A ∴∠=∠=︒BCD ∴△是等边三角形60BCD ∴∠=︒，BC CD =,AE DF AD BD ==∴AED DFB △≌△ADE DBF ∴∠=∠60BGE BDG FBD BDG ADE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒180********BGD BGE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒12060180BGD BCD ∴∠+∠=︒+︒=︒180CBM CDG ∴∠+∠=︒180CDG CDN ∠+∠=︒CDN CBM ∴∠=∠,CN DN CM BM ⊥⊥90CND CMB ∴∠=∠=︒又CD CB =CDN CBM ∴△≌△CN CM ∴=CG ∴是NGB ∠的角平分线1602CGM DGB ∴∠=∠=︒ 12CGM S GM CG ∴=⨯△ ①CBM ①①CDN ，S 四边形CMGN =CGM CDG BMC CGM CDG DNC S S S S S S ++=++=△△△△△△2S ①CMG ，①①CGM =60°，30MCG ∴∠=︒①GM =12CG ，CM ∴===①S 四边形CMGN =2S ①CMG =2×12×12CG 2，2CG =∴ S 四边形CMGN =故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，证明60CGM ∠=︒是解题的关键．18．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），连接AE ，BF 交于点P ，过点P 作PM①CD交BC 于M 点，PN①BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中则下列结论：①①ABE①①BCF ；①AE ＝BF ；①AE①BF ；①线段MN 1．其中正确的结论有___．（填写正确的序号）【答案】①①①①【分析】由正方形的性质及F ，E 以相同的速度运动，利用SAS 证明①ABE ①①BCF ，得到AE =BF ，①BAE =①CBF ，再根据①CBF +①ABP =90°，可得①BAE +①ABP =90°，进而得到AE ①BF ，根据点P 在运动中保持①APB =90°，可得点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，根据勾股定理，求出CH 的长度，再求出PH 的长度，即可求出线段CP 的最小值，根据矩形对角线相等即可得到MN ．【详解】解：①动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动，①DF =CE ，①四边形ABCD 是正方形，①AB =BC =CD =2，①ABC =①BCD =90°，①CF =BE ，①①ABE ①①BCF （SAS ），故①正确；①AE =BF ，①BAE =①CBF ，故①正确；①①CBF +①ABP =90°，①①BAE +①ABP =90°，①①APB =90°，即AE ①BF ，故①正确；①点P 在运动中始终保持①APB =90°，①点P 的路径是一段以AB 为直径的弧，如图，设AB 的中点为H ，连接CH 交弧于点P ，此时CP 的长度最小，在Rt ①BCH 中，CH①PH =12AB =1，①CP =CH -PH 1，①PM ①CD ，PN ①BC ，①四边形PMCN 是平行四边形，①①BCD =90°，①四边形PMCN 是矩形，①MN =CP 1，即线段MN 1，故①正确．故答案为：①①①①．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形、勾股定理等，解题的关键是证明①ABE ①①BCF ．19．如图，A 在正方形CDBG 的边BD 的延长线上，且知AD BD =，E 在CD 上，EF AE ⊥交BC 的延长线于点F ．有以下结论：①AE EF =①45EAB EFB ∠+∠=︒①BC CE CF =+①CF ．其中，正确的结论有______．（填序号）【答案】①①①【分析】根据正方形性质得到①CBD =45°，进而得到①F AB +①AFB =135°，根据三角形性质即可得到①EAB +①EFB =45°，判断①正确；连接BE ，先证明AE =BE ，得到①EAB =①EBA ，根据①EAB+①EFB=45°证明EF=EB，即可判断①正确；作EH①BF，得到BC= FC+2CH，根据①CHE为等腰直角三角形得到CE，即可得到BC=FC，即可判断①错误；证明BC=，根据BC=FC得到FC=，即可得到①正确．【详解】解：①四边形CDBG为正方形，①①CBD=1①DBG=45°，2①①F AB+①AFB=135°，即①EAF+①AFE+①EAB+①EFB=135°，①EF①AE，①①AEF=90°，①①EAF+①AFE=90°，①①EAB+①EFB=45°，故①正确；连接BE，①四边形CDBG为正方形，①DE①AB，①AD=BD，①AE=BE，①①EAB=①EBA，①①EAB+①EFB=45°，①EBD+①EBF=45°，①①EFB=①EBF，①EF=EB，①AE=EF，故①正确；作EH①BF，①BE=FE，①BH=FH，①BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH，①四边形CDBG为正方形，①DCG=45°，①①HCE=12①EH①BF，①CE，即CH =， ①BC = FC +2CH =FC，故①不正确；①①BCD =45°，①CDB =90°，①BC，①BC = FC，①FC)CE CD +，①FC=，故①正确．故答案为：①①①【点睛】本题考查了正方形的性质，线段的垂直平分线性质，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识，综合性较强，熟知正方形性质和等腰直角三角形三边数量关系，添加适当辅助线是解题关键．20．在综合实践课上，小明把边长为2cm 的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，如图l 所示．然后固定纸片①ABC ，把纸片①ADC 沿AC 的方向平移得到①A′D′C′，连A′B ，D′B ，D′C ，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B 的最小值为 __．【答案】平行四边形【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．求出BC ″，证明A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，可得结论．【详解】解：（1）如图2中，①A ′D ′=BC ，A ′D ′①BC ，①四边形A ′BCD ′是平行四边形，故答案为：平行四边形．（2）如图2中，作直线DD ′，作点C 关于直线DD ′的对称点C ″，连接D ′C ″，BC ″，过点B 作BH ①CC ″于H ．①四边形ABCD 是正方形，①AB =BC =2，①ABC =90°，①AC AB①BJ ①AC ，①AJ =JC ，①BJ =12AC ①①BJC =①JCH =①H =90°，①四边形BHCJ 是矩形，①BJ =CJ ，①四边形BHCJ 是正方形，①BH =CH在Rt ①BHC ″中，BH HC ，①BC ''==①四边形A ′BCD ′是平行四边形，①A ′B =CD ′，①A ′B +BD ′=BD ′+CD ′=BD ′+D ′C ″≥BC ″，①A ′B +BD①A ′B +D ′B 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题21．ACB △和CDE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，将CDE △绕点D 旋转．（1）如图1，当点B 落在直线DE 上时，若26AC =，CE =BE 的长；（2）如图2，直线BD 、AE 交于点F ，再连接CF EF DF =+；（3）如图3，8AC =，4CD =，G 为ED 中点，连接AG ，BG ，以AG 直角边构造等腰Rt AHG ，过H 作HI AB ⊥交AB 于点I ，连接GI ，当HI 最小时，直接写出GI 的长度．【答案】（1）34，（2）证明见教师，（3）【分析】（1）作CF ①DB 于F ，根据勾股定理求出CF 和BF 即可；（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，可证点M 在BD 上，再证①FCM 是等腰直角三角形即可；（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，得出①GAC ①①HAF ，当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）作CF ①DB 于F ，①90DCE ∠=︒，CE =CDE △都是等腰直角三角形，①20DE ，10DF CF EF ===，①点B 落在直线DE 上，26AC BC ==①24BF =，①34BE EF FB =+=；BE 的长为34．（2）将①CEF 绕点C 逆时针旋转90°，得到①CDM ，由（1）得，①CDB =①CEA ，①点M 在BD 上，CF =CM ，①FCM =90°，EF =DM ，FM =，①FM DM DF EF DF =+=+；EF DF =+．（3）作CN ①AB 于N ，作AF ①AC 交AN 延长线于F ，①ACB △是等腰直角三角形，①①ACF =45°，①AC =AF ，①①GAH =①CAF =90°，①①GAC =①HAF ，①AG =AH ，①①GAC ①①HAF ，①CG =FH ，①当点H 落在CF 上时，HI 最小，此时点I 与点N 重合，如图所示，①①GCA =①AFC =45°，①①GCI =90°，①8AC =，4CD =， ①IC =CG =IG =【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构造全等三角形进行推理证明．22．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形全等（填“一定”或“不一定”）．（2）[探究证明]阅读并补全证明已知：如图2，在ABC和DEF中，①B＝①E，AC＝DF，①C+①F＝180°（①C＜①F）．求证：AB＝DE．证明：在BC上取一点G，使AG＝AC．①AG＝AC，①①C＝．又①①C+①F＝180°，而①AGC+①AGB＝180°，①①AGB＝．①AC＝DF，①AG＝又①①ABC①DEF（AAS）．①AB＝DE．（3）[拓展应用]在ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连结DE，DE与BC边所在的直线交于点F．①当点D在线段BA上时，如图3所示，求证：DF＝EF．①过点D 作DH①BC 交直线BC 于点H ，若BC ＝4，CF ＝1，则BH ＝ （直接写出答案）．【答案】（1）不一定；（2）①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①见详解；①1或3【分析】（1）根据SSA 可知两个三角形不一定全等；（2）在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ，根据AAS 证明ABG ①DEF ，即可得到结论； （3）①过点D 作DG ①AC ，证明DGF ECF ≌，即可得到结论；①分两种情况：当点D 在线段AB 上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ；当点D 在BA 的延长线上时，过点E 作EO ①BC 交BC 的延长线于点O ，分别证明DHB EOC ≌，DHF EOF ≌，进而即可求解．【详解】解：（1）通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等，故答案是：不一定；（2）证明：在BC 上取一点G ，使AG ＝AC ．①AG ＝AC ，①①C ＝ ①AGC ．又①①C +①F ＝180°，而①AGC +①AGB ＝180°，①①AGB ＝ ①F ．①AC ＝DF ，①AG ＝ DF又①①B ＝①E ①ABG ①DEF （AAS ）．①AB ＝DE ．故答案是：①AGC ，①F ，DF ， ①B ＝①E ；（3）①过点D 作DG ①AC ，。

2020上海初三一模-压轴汇编

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（宝山）如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．24．（本题共12分，每小题各4分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数)1(2-+=x x a y 的图像交于点A （1，a ）和点B （﹣1，﹣a ）．（1）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y 随着x 的增大而增大，求a 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图像的顶点为Q ，当Q 在以AB 为直径的圆上时，求a 的值．25．（本题共14分，其中第（1）、（3）小题各4分，第（2）小题6分）如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，∠ABC=36°，点D 为OC 上一点，如果OD ＝k ·OC ，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点．将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（其中︒︒1800ππα）后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．（崇明）如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，10AB =，8AC =，点D 是AC 的中点，点E在边AB 上，将ADE △沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，那么A A '的长为 ▲ ．24、如图，抛物线与x 轴相交于点(3,0)A -、点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，点D 是抛物线上一动点，联结OD 交线段AC 于点E ． （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）求ACB ∠的正切值；（3）当AOE △与ABC △相似时，求点D 的坐标．25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，在ABC △中，10AB AC ==，16BC =，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作ADE B =∠∠，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF AD ⊥交射线DE 于点F ．（1）求证：AB CE BD CD ⋅=⋅；（2）当DF 平分ADC ∠时，求AE 的长；（3）当AEF △是等腰三角形时，求BD 的长．DBAFEC(第25题图)（奉贤） 如图，已知矩形ABCD ()AB CD >，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么BEG ∠的正切值是24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点(2,3)A -和点(5,0)B ， 顶点为C .（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结OD 、BD ，求∠ODB 的正切值； （3）将抛物线2y x bx c =++向上平移t （0t >）个单位，使顶点C 落在点E 处，点B，求t的值. 落在点F处，如果BE BF25. 如图，已知平行四边形ABCD 中，5AD =，5AB =，tan 2A =，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE m =. （1）当点E 在边AD 上时，① 求CEF V 的面积；（用含m 的代数式表示） ② 当4DCE BFG S S =V V 时，求:AE ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果AEF V 与CFG V 相似，求m 的值.（虹口）、如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，sin 5C 4=，9AB =，6AD =，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将BEF V 沿着EF 所在直线翻折，使BF 的对应线段'B F 经过顶点A ，'B F 交对角线BD 于点P ，当'B F AB ⊥时，AP = .24、在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为 （1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”， ①当D 在射线AP 上，如果DAB ∠为ABD V 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE EF ⊥，如果CEF ∠为ECF V 的特征角，求点E 的坐标.25、在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，4BC =，3sin 5ABC ∠=，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE AD ⊥分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ，过点A 作//AG BD ，交直线BE 于点G .（1）当点D 在BC 的延长线上时，如果2CD =，求tan FBC ∠；（2）当点D 在BC 的延长线上时，设AG x =，ADF S y =V ，求y 关于x 的函数关系式（不需要写函数的定义域）； （3）如果8AG =，求DE 的长.（黄浦）．如图8，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且32AD AE=，那么DE BC的值是 ▲ ．24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”． （1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．图8ECBAD xOy25．（本题满分14分）如图12，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD =AC , 联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E . （1）当∠CAD =90°时，求线段AE 的长.（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD <120°时，设AE x =，BCEAEFS y S =V V （其中BCE S V 表示△BCE 的面积，AEF S V 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当7BCEAEFS S =V V 时，请直接写出线段AE 的长.B图12备用图（嘉定）在ABC V 中，∠ACB =90°，AB =10，3cos 5A（如图4），把ABC V 绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点','A B ，如果''A B 恰好经过点A ，那么点A 与点'A 的距离为____________24. 在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,P a b a -定义为点(),P a b 的“关联点”.已知：点(),A x y 在函数2y x =的图像上（如图9所示），将点A 的“关联点”记为点1A .（1）请在图9的基础上画出函数22y x =-的图像，简要说明画图方法；（2）如果点1A 在函数22y x =-的图像上，求点1A 的坐标；（3）将点()2,P a b na -称为点(),P a b 的“待定关联点”（其中，0n ≠），如果点(),A x y 的“待定关联点”2A 在函数2y x n =-的图像上，试用含n 的代数式表示点2A 的坐标.25. 已知：点P在ABCV内，且满足∠APB=∠APC（如图10），∠APB+∠BAC=180°.（1）求证：PAB PCA:V；（2）如果∠APB=120°，∠ABC=90°，求PCPB的值；（3）当∠BAC=45°，ABCV为等腰三角形时，求tan∠PBC的值.（静安）、如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=o，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 .24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图像经过点()0,3A -、()1,0B 、()3,0C ，联结AB 、AC . （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S =V V ，求tan DBC ∠的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标.25、已知，如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =⋅，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G .（1）找出图中与ACD V 相似的三角形，并说明理由；（2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图，当90BAC ∠=o ，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值.（闵行）. 如图，在等腰△ABC 中，4AB AC ==，6BC =，点D 在底边BC 上，且DAC ACD ∠=∠，将△ACD 沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为24. 已知，在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线2x =-的抛物线经过点(0,2)C ，与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（点A 在点B 的左侧）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC ，求BCO ∠的余切值；（3）如果过点C 的直线，交x 轴于点E ，交抛物线于点P ，且CEO BCO ∠=∠，求点P 的坐标.25. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，90ADC ∠=︒，2CD=（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△=，CE yABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD x=.∠=∠；（1）求证：DAB DCF（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.。

上海九年级中考一模压轴题收集

上海九年级中考一模压轴题收集

2012上海九年级中考一模压轴题收集(2012黄浦、卢湾一模24题)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 bx c(a>0)与x轴相交于A(-1,0) ，B(3,0)两点，对称轴MN与x轴相交于点C,顶点为点D,且/1ADC勺正切值为—。

2(1) 求顶点D的坐标；(2) 求抛物线的表达式；⑶F点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF,若/ FAC=Z ADC求F点的坐标.3-2-1-1 1 1 〜1* -；4X-：-1 Q-1--3--(2012黄浦、卢湾一模25题)在矩形ABCD中, AB=4, BC=3 E是AB边上一点，EF丄CE交AD于点F,过点E作/ AEH=/ BEC交射线FD于点H,交射线CD于点N.(1)如图a,当点H与点F重合时，求BE的长；⑵如图b,当点H在线段FD上时，设BE=x, DN=y求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；⑶联结AC当厶卩日丘与厶AEC相似时，求线段DN的长.（2012徐汇一模24题）如图，△ AOB 的顶点A 、B 在二次函数y又点A B 分别在y 轴和x 轴上，tan / ABO=1.⑴求此二次函数的解析式；（4分） ⑵过点A 作AC// BO 交上述函数图象于点 C,点P 在上述函数图象上，当△ 时，求点P 得坐标.（8 分）A BC图bbx 3的图像上,2POC W^ ABC 相似（2012徐汇一模25题）如图a,在Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , CE 是斜边AB 上的中线，AB=10,4tanA=，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQL CB,交CB 延长线于点Q,设EP=x3BQ=y.⑴求y 关于x 的函数关系式及定义域；（4分） ⑵联结PB 当PB 平分/ CPC 时，求PE 的长；（4 分）⑶过点B 作BF 丄AB 交PQ 于卩，当厶BEF 和厶QBF 相似时，求 x 的值.（6分）（2012普陀一模24题）如图，梯形 OABC BC// OA 边OA 在x 轴正半轴上，边 OC 在y 轴正半轴上，点 B （3, 4）, AB=5. （1） 求/ BAO 的正切值；4 2（2） 如果二次函数y x 2 bx c 的图像经过 OA 两点，求这个二次函数的解析式并求图9像顶点M 的坐标；⑶点 Q 在 x 轴 上， 以 点 Q 、 点 0AB Q CBCB图a备用图1备用图2及（2）中的点M位顶点的三角形与△ ABO相似，求点Q的坐标.CBP\.0 A x（2012普陀一模25题）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图a放置，使三角板DEF 的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B,射线DE与射线AB相交于点M 接着把三角形版ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为a .其中0°VaV 90°,射线DF与线段BC相交于点N （如图b所示）•（1）当0 °VaV 60°时，求AM- CN 的值•⑵当0°<a< 60°时，设AM=X两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域•（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积•'B图R2012浦东新区一模 24题)如图，已知点 A (1,0 )、B ( 3, 0)、C (0,1 ).1(1)若二次函数图像经过点 A C 和点D( 2, -)三点，求这个二次函数的解析式3⑵求/ ACB 的正切值⑶ 若点E 在线段BC 上，且△ ABE 与厶ABC 相似，求出点 E 的坐标.(2012浦东新区一模 25题)已知：如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90，点P 是边 一个动点，联结 CP 过点B 作BD 丄CP 垂足为点 D.(1)如图1,当CP 经过△ ABC 的重心时，求证：△ BC3A ABC.⑵ 如图2,若BC=2厘米，cotA=2，点P 从点A 向点B 运动(不与 A 、B 重合)，点度是.5厘米/秒.设点P 运动的时间为t 秒，△ BCD 的面积为S 平方厘米，求出 t 的函数解析式，并写出它的定义域•⑶在第⑵小题的条件下，如果△ PBC 是以CP 为腰的等腰三角形，求△ BCD 的面积.AB 上的P 的速 S 关于p B(2012嘉定一模24题)已知一个二次函数的图像经过 A (0,3 )、B (4,3 )、C( 1,0 )三点(如图).(1)求这个二次函数的解析式；⑵求tan / BAC的值；⑶若点D在x轴上，点E在⑴ 中所求出的二次函数的图像上，切以点A、C D E为顶点的四边形是平行四边形，求点 D E的坐标.643°-1Illi 1 ■1 1 1 1 1 1-6 」一3 -2 -10 1 2 3 4 5 6-1-—2_3--4一-6一(2012嘉定一模25题)如图1，已知等边△ ABC的边长为6,点D是边BC上的一个动点,折叠△ ABC使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF (点E、F分别在边AB AC上)1. 当AE AF=5:4时，求BD的长;EB2. 当EDL BC时，求的值；EF3. 当以B E、D为顶点的三角形与△ DEF相似时，求BE的长.A（2012长宁一模24题）如图，在矩形ABCD 中, AB=4, AD=6点P 是射线DA 上的一个动点, 将三角板的直角顶点重合于点 P,三角板两直角边中的一边始终经过点 C ,另一直角边交射 线BA 于点E.1、 判断△ EAP 与厶PDC 一定相似吗？请证明你的结论；2、 设PD=x AE=y,求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；3、 是否存在这样的点 卩,使厶EAP 周长等于△ PDC 的周长的2倍？若存在，请求出PD 的长; 若不存在，请简要说明理由。

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴题精选30道-圆与正多边形综合问题(解析版)

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 压轴题精选30道-圆与正多边形综合问题(解析版)

压轴题精选30道-圆与正多边形综合问题（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题⊥于点E，点F为圆上一点，若1．如图，AB是O的直径，CD为O的弦，且CD AB=，AD CFAE BFOE=，则BC的长为（）=，1B．C．4D．5A．【答案】A【分析】如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH AB⊥于H．利用全等三角形的性质证明AE CJ BF BH=，再利用勾股定理求出EC，BC即可．=．EH BH===，CT BH【详解】解：如图，连接OC交AF于J，设BC交AF于T，过点T作TH AB⊥于H．⊥，AB CD∴AD AC=，=，AD CF∴AC CF=，∴⊥，OC AF∴∠=∠=︒，90AJO CEO=，∠=∠，OA OCAOJ COE∴∆≅∆，AJO CEO AAS()∴=，OJ OE∴=，AE CJAB 是直径，90F CJT ∴∠=∠=︒，AE BF =，BF CJ ∴=，CTJ BTF ∠=∠，()CTJ BTF AAS ∴∆≅∆，CT BT ∴=，TH AB ⊥，CD AB ⊥，//TH CE ∴，EH BH ∴=，CF AC =，TBF TBH ∴∠=∠，90F THB ∠=∠=︒，BT BT =，()BTF BTH AAS ∴∆≅∆，BF BH ∴=，AE BF =，AE BH ∴=，OA OB =，1OE OH ∴==，2EH BH ∴==，2AE BH ∴==，6AB ∴=，3OC OB ==，EC ∴BC ∴故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点M 的横坐标为3，以M 为圆心，5为半径作M ，与y 轴交于点A 和点B ，点P 是AC 上的一动点，Q 是弦AB 上的一个动点，延长PQ 交M于点E ，运动过程中，始终保持AQP APB ∠=∠，当AP QB +的结果最大时，PE 长为（ ）A B ．C D 【答案】D【分析】根据△AQP △△APB ，确定2AP AQ AB =•，过点M 作MG △AB ，垂足为G ，根据垂径定理计算AB =8，用AQ 的代数式表示AP +QB ，运用二次函数的思想确定最值，确定AQ =2，AP =4，证明AE =AP =4，连接MA ，交PE 于点N ，根据垂径定理的推论，确定AM △PE ，设AN =x ，则MN =5-x ，用勾股定理同时表示EN 求得x ，从而求得EN ，根据PE =2EN 计算即可【详解】如图，△AQP APB ∠=∠，PAQ PAB ∠=∠，△△AQP △△APB ，△AP ：AB =AQ ：AP ，△2AP AQ AB =•，过点M 作MG △AB ，垂足为G ，连接MA ，则AG =GB ，△点M 的横坐标为3，圆的半径为5，△MG =3，MA =5，根据勾股定理，得AG =，△AB =2AG =8，△28AP AQ =，△AP =或AP =-，△AQ =AB -QB ，△AP +QB =-AQ =28-+=210-+△AP +QB 10，△AQ =2，AP =，连接AE ，设MA 与PE 的交点为N ，△△AQP △△APB ，△△APQ =△ABP ，△△AEP =△ABP ，△△APQ =△AEP ，△AP =AE =4，AE AP =，根据垂径定理的推论，得AM △PE ，设AN =x ，则MN =5-x ，在Rt △AEN 中，222224EN AE AN x =-=-，在Rt △MEN 中，222225(5)EN ME MN x =-=--，△224x -=225(5)x --,解得x =85， △22284()5EN =-，△EN =5，△PE =2EN 故选D ．【点睛】本题考查了圆的对称性，三角形的相似，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握圆的对称性，活用三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．3．如图，矩形ABCD 中，6,9AB BC ==，以D 为圆心，3为半径作D ，E 为D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt AEF ，使90EAF ∠=︒，1tan 3AEF ∠=，则点F 与点C 的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．1D 【答案】A【分析】 如图，取AB 的中点G ，连接FG ，FC ，GC ，DE 由FAG EAD △△，推出::1:3FG DE AF AE ==，因为3DE =，可得1FG =，推出点F 的运动轨迹是以G 为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．【详解】如图，取AB 的中点G ，连接FG ，FC ，GC ，DE ．△90EAF ∠=︒，1tan 3AEF ∠=， △13AF AE =， △6AB =，AG GB =，△3AG GB ==，△9AD =， △3193AG AD ==， △DAF AE AG A =，△四边形ABCD 是矩形，△90BAD B EAF ∠=∠=∠=︒，△FAG EAD ∠=∠，△FAG EAD △△，△::1:3FG DE AF AE ==，△3DE =，△1FG =，△点F 的运动轨迹是以G 为圆心1为半径的圆，△GC△FC GC FG ≥-，△1FC ≥，△CF 的最小值为1．故选：A ．【点睛】本题是一个动点问题，考查了矩形、圆、三角形相似的判定和性质、两点间线段最短等知识，本题的难点是点G 的运动轨迹的探索，关键是构造两个相似的三角形．4．如图，已知O 的半径为3，弦4CD =，A 为O 上一动点（点A 与点C 、D 不重合），连接AO 并延长交CD 于点E ，交O 于点B ，P 为CD 上一点，当120APB ∠=︒时，则AP BP ⋅的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【分析】如图（见教师），先利用解直角三角形可得12FP AP =，再根据圆周角定理可得C PBD ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质可得CP FP BP DP=，从而可得FP BP CP DP ⋅=⋅，设CP x =，从而可得4DP x =-，最后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：如图，延长BP 交O 于点F ，连接,,AF CF BD ，AB 为O 的半径，90AFB ∴∠=︒，120APB ∠=︒，18060APF APB ∴∠=︒-∠=︒，在Rt AFP △中，1cos 2FP AP APF AP =⋅∠=，即2AP FP =， 2AP BP FP BP ∴⋅=⋅，由圆周角定理得：C PBD ∠=∠，在CFP 和BDP △中，C PBD CPF BPD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， CFP BDP ∴~，CP FP BP DP∴=，即FP BP CP DP ⋅=⋅， 设,FP BP y CP x ⋅==，则4DP x =-，且04x <<，2(4)(2)4y x x x ∴=-=--+，由二次函数的性质可知，在04x <<内，当2x =时，y 取最大值，最大值为4， 即FP BP ⋅的最大值为4，则AP BP ⋅的最大值为248⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是O上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则CDE △面积的最小值为（ ）．A ．3.5B ．2.5C ．2D ．1.2【答案】C【分析】 连接OC ，由垂径定理得OC AB ⊥，再由圆周角定理得点C 在以OA 为直径的圆上（点A 除外），以OA 为直角作P ，过P 点作直线PH DE ⊥于H ，交P 于M 、N ，利用一次函数教师式确定(0,3)-E ，(4,0)D ，则5DE =，然后证DPH DEO ∆∆∽，利用相似比求出PH 的长，得MP 、NH 的长，当C 点与M 点重合时，S 最大；C 点与N 点重合时，S 最小，然后计算出NED S ∆和MED S ∆得到S 的范围，即可求解．【详解】解：连接OC ，如图，点C 为弦AB 的中点，OC AB ∴⊥，90ACO ∴∠=︒，∴点C 在以OA 为直径的圆上（点A 除外），以OA 为直径作P ，过P 点作直线PH DE ⊥于H ，交P 于M 、N ，当0x =时，3334y x =-=-，则(0,3)-E ，当0y =时，3x 304-=，解得4x =，则(4,0)D ，4OD ∴=，5DE ∴，(2,0)A ，(1,0)P ∴，1OP ∴=，3PD OD OP ∴=-=，PDH EDO ∠=∠，PHD EOD ∠=∠，DPH DEO ∴∆∆∽，::PH OE DP DE ∴=，即:33:5PH =， 解得95PH =，1415MH PH ∴=+=，415NH PH =-=， 145225NED S ∆∴=⨯⨯=，1145725MED S ∆=⨯⨯=， 设CDE ∆面积为S ，当C 点与M 点重合时，S 最大；C 点与N 点重合时，S 最小，S ∴的范围为27S ≤≤，CDE ∴∆面积的最小值为2．故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质，解题的关键是正确寻找点C 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．6．如图，等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是ABC 外一点，分别以BD ，CD 为斜边作两个等腰直角BDE 和CDF ，并使点F 落在BC 上，点E 落在ABC 的内部，连结EF ．若5tan 2FDB ∠=，则ABE △与DEF 的面积之比为（ ）A ．74B ．73C ．52D ．3【答案】B【分析】 如图，取BD 中点O ，以O 为圆心，以OB 为半径作圆，连接OE ，OF ，作直线EF 分别交AB 、CD 与M 、N ．证明四边形AMNC 为矩形，△BEM △△EDN ，得到BM =EN ，ME =DN ，设DF =2x ，得到BF =5x ，进而求出BM x =，DN ，ME FN DN ===，EN BM ==，2EF EN FN x =-=，从而求出232DEF S x =△，272ABE S x =△，问题得解．【详解】解：如图，取BD 中点O ，以O 为圆心，以OB 为半径作圆，连接OE ，OF ，作直线EF 分别交AB 、CD 与M 、N ．△BDE 和CDF 都是等腰直角三角形，△△BED =△BFD =90°，BE =DE ，△DCF =△CDF =△DBE =△BDE =45°，△O 为BD 中点，△OB =OD =OE =OF =12BD ，△点E 、F 都在圆O 上，△△EFB =△EDB =45°，△△ABC 为等腰三角形，90BAC ∠=︒，△△ACB =45°，△△ACB =△EFB ，△ACD =△ACB +△BCD =90°，△MN △AC ，△△BME =△DNE =90°=△AME =90°，△△MBE +△MEB =90°，四边形AMNC 为矩形，△△BED =90°，△△DEN +△MEB =90°，△△MBE =△DEN ，△BE =DE ，△△BEM △△EDN ，△BM =EN ，ME =DN ，设DF =2x ，△Rt△BDF 中，5tan 2FDB ∠=， △BF =5x ，△在Rt△BMF 中，252cos 522BM BF FBM xx =∠==， 在Rt△DFN 中，2cos 222DN DF FDN xx =∠==，△ME FN DN ==，EN BM x ==，△2EF EN FN x =-=，△2113222DEF S EF DN x x ==⨯=△， △CDF 是等腰直角三角形，△FND =90°， △DN CN =，△四边形AMNC 为矩形，△AM CN =，△2AB AM BM x =+=，△2117222ABE S AB ME x x ==⨯=△， △ABE △与DEF 的面积之比2273:7:322x x =． 故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形等知识，综合性较强，根据题意添加辅助线，证明点E 、F 都在圆O 上，△BEM △△EDN 是解题关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，点()12,0A -，点()0,4B ，点()4,0D -，以点A 为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C 是△A 上的一个动点，则12BC CD +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】取E （-10，0），证明△AEC △△ACD ，得到CE =12CD ，则可将BC +12CD 的最小值转化为BE 的长，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：△A （-12，0），B （0，4），D （-4，0），△OA =12，OD =4，则AD =8，AC =4，取E （-10，0），则AE =2，DE =6，在△AEC 和△ACD 中，△CAE =△DAC ，12AE AC AC AD ==，△△AEC△△ACD，△12CECD=，即CE=12CD，则BC+12CD=BC+CE≥BE，即BC+12CD的最小值为BE的长，故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短原理，值得强调的是，本题是一类典型几何最值问题，构造“子母型相似”是解答此问题的关键．8．如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当△A与直线5 :12 l y x=只有一个公共点时，点A的坐标为（）A ．(12,0)-B ．(13,0)-C ．(12,0)±D ．(13,0)± 【答案】D【分析】当△A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，则此时△A 与直线5:12l y x =相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为B ，此时B 点同时在△A 与直线5:12l y x =上，故可以表示出B 点坐标，过B 点作//BC OA ，则此时AOB OBC △∽△，利用相似三角形的性质算出OA 长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接AB ，过B 点作//BC OA ，此时B 点坐标可表示为512x,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， △512OC x =，BC x =， 在Rt OBC中，1312OB x =， 又△A 半径为5，△5AB =，△//BC OA ，△AOB OBC △∽△， 则OA AB OB BO OC BC==， △51351212OA =x x ， △13OA =，△左右两侧都有相切的可能，△A点坐标为(13,0)±，故选：D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．9．如图，在Rt△AOB中，△ABO＝90°，△AOB＝30°，AB＝AOC的圆心角为60°，点D为AC上一动点，P为线段BD上的一点，且PB＝2PD，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（）A B C．D．【答案】A【分析】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，则可证明△DBO△△PBE，从而求得PE的长为定值，这样可确定点P的运动路径为一段弧，且弧的两端为点F和点G，因此只要求出OA的长及圆心角△FEG的大小，即可求得圆弧的长，从而求得结果．【详解】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分别连接EF、PE、GE、OD，如图△BP=2PD，BE=2OE△23 BP BE BD OB==△△DBE=△PBE △△DBO△△PBE△23 PE OD=即23 PE OD=△△ABO＝90°，△AOB＝30°，AB＝△2OA AB==△OD OA OC===23PE =⨯=同理：EF =23OA =23EG OC == △PE =EF =EG△当点D 与点A 重合时，点P 与点F 重合；当点D 与点C 重合时，点P 与点G 重合△点P 在以点E 为圆心，FG 上运动△△AOC =60°△△COB =△AOC +△AOB =90°△△FBE △△ABO ，△BEG △△BOC△△FEB =△AOB =30°，△GEB =△COB =90°△△FEG =90°－△FEB =60°FG = 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，弧长公式等知识，难点和关键在于点P 的运动路径的探寻，有一定的难度．10．如图，在等边三角形ABC 的AC ，BC 边上分别任取一点P ，Q ，且AP ＝CQ ，AQ 、BP相交于点O ．下列四个结论：△若PC ＝2AP ，则BO ＝6OP ；△若BC ＝8，BP ＝7，则PC ＝5；△AP 2＝OP•AQ ；△若AB ＝3，则OC ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B【分析】 △根据等边三角形的性质得到AC =BC ，根据线段的和差得到CP =BQ ，过P 作PD △BC 交AQ于D，根据相似三角形的性质得到△正确；△过B作BE△AC于E，解直角三角形得到△错误；△根据全等三角形的性质得到△ABP=△CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到△正确；△以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，证明点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点O′，CO'即为CO的最小值，根据30度角的直角三角形的性质即可求出结果．【详解】解：△△△ABC是等边三角形，△AC=BC，△AP=CQ，△CP=BQ，△PC=2AP，△BQ=2CQ，如图，过P作PD△BC交AQ于D，△△ADP△△AQC，△POD△△BOQ，△13PD APCQ AC==，PD OPBQ BO=，△CQ=3PD，△BQ=6PD，△BO=6OP；故△正确；△过B作BE△AC于E，则142CE AC==，△△C=60°，△BE=△1PE==，△PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故△错误；△在等边△ABC中，AB=AC，△BAC=△C=60°，在△ABP与△CAQ中，△AB＝AC，△BAP＝△C，AP＝CQ △△ABP△△ACQ（SAS），△△ABP=△CAQ，PB=AQ，△△APO=△BP A，△△APD△△BP A，△AP OP PB AP=，△2AP OP PB=，△2AP OP AQ=，故△正确；△以AB为边作等边三角形NAB，连接CN，△△NAB=△NBA=60°，NA=NB，△△PBA=△QAC，△△NAO+△NBO=△NAB+△BAQ+△NBA+△PBA=60°+△BAQ+60°+△QAC=120°+△BAC=180°，△点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M，设CM与圆M交点O′，CO′即为CO的最小值，△NA=NB，CA=CB，△CN垂直平分AB，△△MAD=△ACM=30°，△△MAC=△MAD+△BAC=90°，在Rt△MAC中，AC=3，△tan2MA AC ACM CM AM=∠===△'MO MA==即CO△正确．综上：正确的有△△△．故选：B．【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题11．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA ＝DE ，则AD 的取值范围是___．【答案】15582AD ≤< 【分析】首先由Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，可求得AB 的长，然后根据题意画出图形，分别从当D 与BC 相切时与当D 与BC 相交时，去分析求解即可求得答案．【详解】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB ∴==，以D 为圆心，AD 的长为半径画D ，△如图1，当D 与BC 相切时，DE BC ⊥时，设AD x =，则==DE AD x ，5BDAB AD x ，90BED C ∠=∠=︒，B 是公共角， BDE BAC ∴∆∆∽， ∴BD DE AB AC=， 即553x x -=，解得：158x=；△如图2，当D与BC相交时，若交点为B或C，则1522 AD AB==，AD∴的取值范围是155 82AD≤<．故答案为：155 82AD≤<．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．12．如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，D是弧AB的中点，CD交AB于点E，△BAC的平分线交CD于点F，过点D的切线交CA的延长线于点P，连接AD，则有下列结论：△点F是△ABC的内心；△PD△AB；△AF＝AE；△DF2＝DE•CD，其中正确结论的序号是______．【答案】△△△【分析】根据圆周角定理得到△ACD＝△BCD，则可根据三角形内心的定义对△进行判断；连接OD，如图，利用切线的性质得到OD△PD，利用垂径定理得到OD△AB，则可对△进行判断；利用三角形外角性质得到△AFE＝△1+△3，△AEF＝△2+△B，由于只有当△BAC＝2△B时AF＝AE，于是可对△进行判断；先证明△DAF＝△DF A得到DF＝DA，再证明△DAE△△CAD，利用相似比可对△进行判断．【详解】解：△D是弧AB的中点，即AD BD=，△△ACD＝△BCD，△CE平分△CAB，△AF平分△BAC，△点F是△ABC的内心，所以△正确；连接OD，如图，△PD为△O的切线，△OD△PD，△D是弧AB的中点，△OD△AB，△PD△AB，所以△正确；△△AFE＝△1+△3，△AEF＝△2+△B，△BAC，而△1＝△2，△3＝12△只有当△BAC＝2△B时，△AFE＝△AEF，此时AF＝AE，所以△不一定正确；△△DAF＝△DAB+△BAF＝△2+△3＝△1+△3＝△DF A，△DF＝DA，△△DAB＝△1，△ADE＝△CDA，△△DAE△△DCA，△DA：DC＝DE：DA，△DA2＝DE•DC，△DF2＝DE•DC，所以△正确．故答案为：△△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形的内心和切线的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限通近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP则CG 的长为________．【答案】【分析】设正六边形外接圆的圆心为O ，连接OG ，于是得到3603012COG ︒∠==︒，由题意得，75FAG ∠=︒，60CFA ∠=︒，过A 作AH CF ⊥于H ，推出AHP ∆是等腰直角三角形，得到AH ==求得4sin 60AH AF ==︒，得到圆的半径，过点G 作GQ △OC ，垂足为Q ，解直角三角形OCG 即可得到CG ．【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O ，连接OG ，则3603012COG ︒∠==︒， 由题意得，75FAG ∠=︒，60CFA ∠=︒，过A 作AH CF ⊥于H ，90AHF ∴∠=︒，30FAH ∴∠=︒，45HAP ∴∠=︒，AHP ∴∆是等腰直角三角形，AH AP ∴==4sin 60AH AF ∴==︒， 4OC AF ∴==，过点G 作GQ △OC ，垂足为Q ，△GQ =12OG =2，△OQ△QC =OC -OQ=4-△CG ，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．14．如图，矩形ABCD 中，点E 在AD 上，过点E 作EF BE ⊥交CD 于F ，且10BC BE ==，FC FE =5=，点M 是线段CF 上的动点，连接BM ，过点E 作BM 的垂线交BC 于点N ，垂足为H ．以下结论：△FED EBA ∠=∠；△6AE =；△··AE ED CD DF =；△连接CH ，则CH 的5；其中正确的结论是_________．（所有正确结论的序号都填上）．【答案】△△△△【分析】根据△FED +△AEB =90°、△EBA +△AEB =90°可判断△；连接BF ，CE 交于点O ，由BE =BC ，EF =FC 可得BF 垂直平分EC ，在Rt △BEF 中，利用相似三角形的性质，EO ，FO ，BF 均可求解，设DF 为x ，DC =5+x ，DE Rt △EGC 中，利用勾股定理可以建立关于x 的方程，求出x ，图形中的定线段长均可求解，可判断△；利用三角形相似可判断△；由EN △BM ，BE =10可判断点H 的运动轨迹为以BE 中点I 为圆心，5为半径的OHG 上运动，在△IHC 中，CH ≥CI -IH ，即可求出CH 的最小值．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△△A =△D =90°△△EBA +△AEB =90°△EF BE ⊥，即，△BEF =90°△△FED +△AEB =90°△FED EBA ∠=∠，故△正确；连接BF ，CE 交于点O ，由BE =BC ，EF =FC 可得BF 垂直平分EC ，在Rt △BEF 中，BF ==△△BEF =90°，即△FEO +△BEO =90°又90FBE BEO ∠+∠=︒△△FBE =△FEO又△EFO =△BFE△BFE EFO ∆∆△FE BFFO FE=，即：2EF FO BF ===△BO ==△EO 2EC EO ==设DF 为x ，DC =5+x ，DE过E 作EG △BC ，则四边形EGCD 是矩形，△EG =DC =DF +FC =5+x ，GC =DE =在Rt △EGC 中，EG 2+GC 2=EC 2，即222(5)x ++=，解得x =3，经检验：x =3是原方程的根，△DF =3△DC =5+3=8，4DE =，△AE =10-4=6，故△正确； △35AE DF AB ED ==， △△ABE △△DEF ，△AB =CD ，△AE DF CD ED=，即AE •ED =CD •DF ，△正确； △EN △BM ，BE =10，△点H 的运动轨迹为以BE 中点I 为圆心，5为半径的OHG 上运动，过I 作IT △DC 于T ，CI =在△IHC 中，5CH CI IH ≥-=，△正确．故答案为：△△△△．【点睛】本题考查全等三角形的判定好性质以及三角形相似，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，明确点H 的运动轨迹是解题的关键．15．如图，点O 是三角形ABC 内的一点，4,45OA OB OC BAC ===∠=︒，已知2AOC AOB S S -=，则BOC ∠=___________，ABC S =___________．【答案】90︒ 8【分析】（1）由已知，三角形ABC 的外接圆的圆心为O ，根据圆周角定理可求△BOC 度数；（2）三角形OBC 的面积可求，只需求出三角形OAB 和三角形OAC 的面积即可求出三角形ABC 的面积；为此，延长AO 交三角形ABC 的外接圆于点P ，分别过点B 、C 作BM △AP 于点M ，CN △AP 于点N ，求出BM +CN 的长即可．【详解】解：（1）△OA =OB =OC =4，△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，如图所示．BC BC =∵，224590BOC BAC ==⨯=∴∠∠．故答案为：90（2）延长AO 交O 于点P ，分别过点B 、C 作BM △AP 于点M ，CN △AP 于点N ，如图所示．2AOC AOB S S -=△△∵，11222OA CN OA BM -=∴． ()122OA CN BM -=∴． 4OA =∵，1CN BM -=∴．+90+90BOM CON CON OCN ==∵∠∠，∠∠， =BOM OCN ∴∠∠．在BOM 和OCN 中，==90BOM OCN BMO ONC OB CO ∠∠⎧⎪∠∠=⎨⎪=⎩()BOM OCN AAS ≅∴△△．OM CN =∴．在Rt OBM 中，2222416BM OM OB +===∵，2216BM CN +=∴．△CN -BM =1，△设BM =x ，则CN =x +1．()22116x x ++=∴．整理得，222150x x +-=．解得，12x x ==（不合题意，舍去）x =∴2121BM CN x +=+==∴ ABC AOC AOB BOC S S S S =++△△△△∴111222OA CN OA BM OB OC =++ ()1122OA CN BM OB OC =++ 114422=⨯⨯⨯8=．故答案为：8【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识点，熟知上述知识点、根据题目特征，构造三角形的外接圆是解决第（1）问的基础；构造AOC △和AOB 底边OA 上的高是解决第（2）问的关键．16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，8BE =，O 为BCE 的外接圆，过点E 作O 的切线EF 交AB 于点F ，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）△AE BC =；△AED CBD ∠=∠；△若40DBE ∠=︒，则DE 的长为89π；△DF EF EF BF =；△若6EF =，则 2.24CE =．【答案】△△△【分析】△根据线段垂直平分线定理，BE 为O 的直径，BC 为O 的弦，即可得出结论； △根据段垂直平分线得出△A +△AED =90°，再证△A +△ABC =90°，等量代换即可； △根据已知条件先得出△EBC 的度数，再利用圆周角定理得△EOC =2△EBC ，根据弧长公式计算即可；△根据角角相似证明△EFD △△BFE 即可得出结论；△先根据勾股定理得出BF 的长，再根据等面积法得出ED ，根据角角相似证明Rt △ADE △Rt △ACB ，得出AD AE AC AB =，即可计算出结果． 【详解】解:△△DE 是AB 的垂直平分线△AE BE =BE 为O 的直径，BC 为O 的弦BE BC ∴>AE BC ∴>．故△不正确．△△DE 是AB 的垂直平分线△DE △AB△△A +△AED =90°△90C ∠=︒△△A +△ABC =90°△AED CBD ∠=∠故△正确．△连接OD40DBE ∠=︒280EOD EBD ∴∠=∠=︒8BE =142OE OB BE ∴=== DE ∴的长为801641809ππ⋅=． 故△错误．△△DE △AB ，E F 是O 的切线△△FEB =△EDF =90°又△EFD =△EFD△△EFD △△BFE △DF EF EF BF=． 故△正确．△△6EF =，8BE =△BF10== △1122EF BE BF ED ⋅=⋅ △68 4.810ED ⨯== 在Rt △EDB 中，6.4BD ==，△DE 是AB 的垂直平分线，△ 6.4AD DB ==，AE =BE =8，△在Rt △ADE 和Rt △ACB 中，△A =△A ，△ADE =△ACB =90°△Rt △ADE △Rt △ACB △AD AE AC AB = △6.4812.8AC = △AC =10.24又AE =BE =8△CE =AC -AE =10.24-8=2.24．故△正确．综上所述：正确的有△△△．故答案为：△△△．【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键17．如图，Rt ABC 中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，延长BC 到点D ，使BD BA =，点O 是BC 边上一动点．点P 在射线BA 上，且OP OB =，以点O 为圆心，OD 长为半径作O ，连接OP ．（1）当OC 长为________时，AB 与O 相切；（2）当O 恰好经过点B 时，点Q 在O 上运动，连接PQ ，点M 为PQ 的中点，连接AM ，则AM 长的取值范围是________．【答案】74AM ≤≤ 【分析】 （1）设AB 与O 相切于点E ，连接OE ，先根据圆的切线的性质可得OE AB ⊥，再利用勾股定理可得10BD AB ==，从而可得2CD =，然后设(0)OC x x =>，从而可得8,2OB x OE x =-=+，最后在Rt BOE △中，解直角三角形即可得；（2）过点O 作OG AB ⊥于点G ，先利用圆的性质、解直角三角形求出,,OB OP OG 的长，再设OP 的中点为点N ，过点N 作NE AB ⊥于点E ，连接,OQ MN ，根据三角形中位线定理可得1522MN OQ ==，从而可得点M 是在以点N 为圆心，ON 长为半径的圆上，然后利用点与圆的位置关系即可得．【详解】解：（1）如图，设AB 与O 相切于点E ，连接OE ，则OE AB ⊥，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，10AB ∴=，BD AB =，10BD ∴=，2CD BD BC =-=，设(0)OC x x =>，则8,2OB x OE OD x =-==+，在Rt ABC 中，63sin 105AC B AB ===， 在Rt BOE △中，sin OE B OB =，即2385x x +=-， 解得74x =， 经检验：74x =是原方程的根，且符合题意， 即74OC =， 故答案为：74； （2）如图，过点O 作OG AB ⊥于点G ， O 恰好经过点B ，BD ∴为O 的直径，152OQ OB OP BD ∴====， 在Rt BOG △中，sin 3355OG OB B =⋅==⨯，4BG ∴，,O OG AB B OP ⊥=，4PG BG ∴==，2AP AB BG PG ∴=--=，设OP 的中点为点N ，过点N 作NE AB ⊥于点E ，连接,OQ MN ，点M 为PQ 的中点，1522MN OQ ∴==， ∴点M 是在以点N 为圆心，ON 长为半径的圆上，如图，连接AN ，交N 于点F ，延长AN 交N 于点M ，则AM 即为所求的最大值，AF 即为所求的最小值，,NE AB OG AB ⊥⊥，//NE OG ∴， 又点N 为OP 的中点，131,2222EN OG EP PG ∴====， 224AE AP EP ∴=+=+=，在Rt AEN △中，AN = 52FN MN ==，AM AN MN ∴=+=AF AN FN =-=则AM AM ≤≤AM ≤≤【点睛】本题考查了圆的切线的性质、点与圆的位置关系、解直角三角形等知识点，较难的是题（2），正确找出点M 的运动轨迹是解题关键．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边BC 上一点，且3BE =，以点A 为圆心，3为半径的圆分别交AB 、AD 于点F 、G ，DF 与AE 交于点H ．并与A 交于点K ，连结HG 、CH ．给出下列四个结论．（1）H 是FK 的中点；（2）HGD HEC ≌；（3）916AHG DHC S S =△△：∶；（4）75DK =，其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．【答案】（1）（3）（4）．【分析】由正方形的性质可证明DAF ABE △≌△，则可推出90AHF ∠=︒，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H 作//MN AB 交BC 于N ，交AD 于M ，由三角形面积计算公式求出125AH =，再利用矩形的判定与性质证得MG NE =，并根据相似三角形的判定与性质分别求出4825MH =，5225NH =，则最后利用锐角三角函数证明MGH HEN ∠≠∠，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得3625AM =，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论2DK DF FH =-并由勾股定理求出FH ，再求得DK ，即可证明结论（4）正确．【详解】解：（1）△四边形ABCD 是正方形，△4AD AB ==，90DAF ABE ∠=∠=︒．又△3AF BE ==，△DAF ABE △≌△．△AFD BEA ∠=∠．△90BEA BAE ∠+∠=︒，△90AFD BAE ∠+∠=︒，△90AHF ∠=︒，△AH FK ⊥，△FH KH =，即H 是FK 的中点；故结论（1）正确；（2）过点H 作//MN AB 交BC 于N ，交AD 于M ，由（1）得AH FK ⊥，则1122AD AF DF AH ⋅=⋅．△5DF ==， △125AH =． △四边形ABCD 是正方形，//MN AB ，△90DAB ABC AMN ∠=∠=∠=︒．△四边形ABNM 是矩形．△4MN AB ==，AM BN =．△AG BE =，△AG AM BE BN -=-．即MG NE =．△//AD BC ，△MAH AEB ∠=∠．△90ABE AMN ∠=∠=︒，△MAH BEA ． △AH MH AE AB=． 即12554MH =． 解得4825MH =． 则52425NH MH =-=． △tan MH MGH MG ∠=，tan NH HEN NE∠=．△MG NE =，MH NH ≠， △MG NE MH NH≠． △MGH HEN ∠≠∠．△DGH CEH ∠≠∠．△HGD △与HEC △不全等，故结论（2）错误；（3）△MAH BEA ， △AH AM AE BE =． 即12553AM =． 解得3625AM =． 由（2）得12AHG S MH AG =⋅，()12DHC S DC AD AM =⋅-． △()48392536164425AHG DHC S MH AG S DC AD AM ⨯⋅===⋅-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；故结论（3）正确；（4）由（1）得，H 是FK 的中点，△2DK DF FH =-． 由勾股定理得95FH ===． △975255DK =-⨯=；故结论（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．19．如图，在四边形ABCD 中，6AD =，60C ∠=°，连接,BD BD AB ⊥且BD CD =，求四边形ABCD 面积的最大值．小明过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，连接DH ，则AHD ∠的正弦值为______，据此可得四边形ABCD 面积的最大值为______．【分析】答题空1：先证BCD △是等边三角形，再求9030HBC CBD ∠=∠=︒°-，那么在Rt BDH 中，tan BD BC AHD BH BH ∠==，在Rt BCH 中，cos cos30BH HBC BC ∠=︒=，即可得到tan AHD ∠值，则可求得sin AHD ∠的 值；答题空2:通过//HC BD ，得到BCD BHD S S =△△，进而求得()1++=2ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S S S S S S AD AD ===⋅四边形边上的高，即：求ABCD S 四边形最大值，则是求ADH S △面积最大，AD 为定值，则当AD 边上高最长时即为所求．可作ADH 的外接圆O ，过点O 作OE AD ⊥,连接AO,DO ，连接OE 并延长OE 并交O 于点'H ，设半径为R ，求得OE 与R 的长，''H E OH OE R OE =+=+，当'H 与H 重合时，AD 边上高最长，ADH S △最大，即可求得答案．【详解】解：答题空1：△CH AB ⊥，BD AB ⊥△//HC BD△60BCD ∠=︒，BD CD =△BCD △是等边三角形△60CBD ∠=︒ △BD AB ⊥△9030HBC CBD ∠=∠=︒°-在Rt BDH 中，tan BD BC AHD BH BH∠==在Rt BCH 中，cos cos30BH HBC BC ∠=︒=△tanBD BC AHD BH BH ∠==△sin AHD ∠= 答题空2:△//HC BD△BCD BHD S S =△△ △()1++=2ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S SS S S S AD AD ===⋅四边形边上的高求ABCD S 四边形最大值，即求ADH S △面积最大，AD 为定值，则当AD 边上高最长时即为所求．△tan AHD ∠=，6AD = △可作ADH 的外接圆O ，过点O 作OE AD ⊥,连接AO,DO ，设半径为R△AOD ∠与AHD ∠分别为同弧所对圆心角、圆周角△AOD ∠=2AHD ∠△OE AD ⊥,6AD =△AOE ∠=12AOD ∠=AHD ∠，132AE AD ==△3tan tan =AE AOE AHD OE OE ∠=∠=即得OE =△R OA ===连接OE 并延长OE 并交O 于点'H ，则''H E OH OE R OE =+=+=当'H 与H 重合时，ADH S △最大 △11++='=622ABD BCD ABD BHD ADH ABCD S S S S S S AD H E ===⋅⨯⨯⎝⎭△△△△△四边形【点睛】本题考查利用三角函数解直角三角形和三角形外接圆的应用，解题的关键是学会通过添加常用辅助线，构造直角三角形和圆解决问题，属于中考压轴题型．20．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：△AP PF =；△DE BF EF +=；△PB PD -=；△AEF S为定值；△APG PEFG S S =四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．【答案】△△△△【分析】由题意易得△APF =△ABC =△ADE =△C =90°，AD =AB ，△ABD =45°，对于△：易知点A 、B 、F 、P 四点共圆，然后可得△AFP =△ABD =45°，则问题可判定；对于△：把△AED 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则有DE =BH ，△DAE =△BAH ，然后易得△AEF △△AHF ，则有HF =EF ，则可判定；对于△：连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，易得OB =OD ，OP =OM ，然后易证△AOP △△ABF ，进而问题可求解；对于△：过点A 作AN △EF 于点N ，则由题意可得AN =AB ，若△AEF 的面积为定值，则EF 为定值，进而问题可求解；对于△由△可得AP AF =进而可得△APG △△AFE ，然后可得相似比为AP AF =似比的关系可求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，PF AP ⊥，△△APF =△ABC =△ADE =△C =90°，AD =AB ，△ABD =45°，△△180ABC APF ∠+∠=︒，△由四边形内角和可得180BAP BFP ∠+∠=︒，△点A、B、F、P四点共圆，△△AFP=△ABD=45°，△△APF是等腰直角三角形，△AP PF=，故△正确；△把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：△DE=BH，△DAE=△BAH，△HAE=90°，AH=AE，△45∠=∠=︒，HAF EAF△AF=AF，△△AEF△△AHF（SAS），△HF=EF，△HF BH BF=+，△DE BF EF+=，故△正确；△连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：△点O是对角线BD的中点，⊥，△OB=OD，BD AC△OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，△AB，由△可得点A、B、F、P四点共圆，△APO AFB∠=∠，△90ABF AOP ∠=∠=︒，△△AOP △△ABF ，△OP OA AP BF AB AF ===，△OP =， △2BP DP BP BM PM OP -=-==，△PB PD -=，故△正确； △过点A 作AN △EF 于点N ，如图所示：由△可得△AFB =△AFN ，△△ABF =△ANF =90°，AF =AF ， △△ABF △△ANF （AAS ），△AN =AB ，若△AEF 的面积为定值，则EF 为定值， △点P 在线段OD 上，△EF 的长不可能为定值，故△错误； △由△可得AP AF = △△AFB =△AFN =△APG ，△F AE =△P AG ， △△APG △△AFE ，△GP AP EF AF ==△212AGP AEF S S ==⎝⎭， △12AGP AEF S S =，△APG PEFG S S =四边形，故△正确；综上所述：以上结论正确的有△△△△； 故答案为△△△△． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．三、解答题21．在ABC 中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ．（1）如图△，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧交AB 于点M ，连结CM ，若66ABC ∠=︒，求ACM ∠；（2）如图△，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，求证：AE EC =； （3）如图△，在（1）（2）的条件下，若3tan 4A =，求:ADE ACM S S △△的值． 【答案】（1）见教师；（2）见教师；（3）45【分析】（1）由三角形内角和角的计算问题；（2）证明()EDO ECO SAS ∆≅∆，则DE CE =，得到A ADE ∠=∠，即可求解；（3）设3BC x =，4AC x =，5AB x =，则122ED EC AC AE x ====，由AMH ABC ∆∆∽，得到21161242255ACM S AC MH x x x ∆=⨯⨯=⨯=，同理可得：21148482222525ADE S AE DI x x x ∆=⋅=⨯⨯=，即可求解． 【详解】解：（1）由题意知，BC BM =，。

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 第23题精选30道-相似三角形综合问题(解析版)

2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 第23题精选30道-相似三角形综合问题(解析版)

压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（二）（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段AB为边作矩形ABCD，且AB＝2BC，点C在反比例函数y＝kx（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣10B．﹣12C．﹣14D．﹣16【答案】D【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明⊥AOB⊥⊥BEC，可得点C坐标，代入求解即可．【详解】解：⊥当x=0时，y=2x+8=8，⊥A（0，8），⊥OA=8；⊥当y=0时，y=2x+8=0，⊥x=-4，⊥B（-4，0），⊥OB=4；过点C作CE⊥x轴于E，⊥四边形ABCD矩形，⊥⊥ABC=90°，⊥⊥CBE+⊥ABO=90°，⊥BAO+⊥ABO=90°，⊥⊥CBE=⊥BAO．⊥⊥BEC=⊥AOB=90°，⊥⊥AOB⊥⊥BEC，⊥CE BE BC OB OA AB==，⊥AB=2BC，⊥1482CE BE ==， ⊥OE =2，BE =4，⊥C 点坐标为（-8，2），⊥点C 在反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象上， ⊥k =-8×2=-16．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数教师式、矩形的性质，以及三角形相似的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．2．如图，在等腰AOB 中，AO AB =，点A 为反比例函数k y x=（其中0x >）图象上的一点，点B 在x 轴正半轴上，过点B 作BC OB ⊥，交反比例函数k y x=的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，若BCD △的面积为2，则k 的值为（ ）A ．20B ．503C ．16D ．403【答案】A【分析】 过点A 作AF OB ⊥交x 轴于F ，交OC 于点E ，利用等腰三角形性质可得12OF FB OB ==，再由//AF BC ，可得ADE BDC ∆∆∽，2BC EF =，设OF a =，则2=OB a ，可得24AF BC EF ==，3AE EF =，应用相似三角形性质及三角形面积可由BCD ∆的面积为2，求得AOF ∆的面积，应用||k 的几何意义求k ．【详解】解：如图，过点A 作AF OB ⊥交x 轴于F ，交OC 于点E ，OA AB =，AF OB ⊥，12OF FB OB ∴==， BC OB ⊥，//AF BC ∴，ADE BDC ∴∆∆∽，12OE EF OF OC BC OB ===， 2BC EF ∴=， 设OF a =，则2=OB a ，(,)k A a a∴，(2,)2k C a a ， k AF a ∴=，2k BC a=， 24AF BC EF ∴==，3AE AF EF EF =-=，ADE BDC ∆∆∽， ∴3322DE AE EF DC BC EF ===， ∴29()4ADE BDC S AE S BC ∆∆==， BCD ∆的面积为2，92ADE S ∆∴=， ∴35DE EC =， 12OE OC =， EC OE ∴=， ∴35DE OE =， ∴35ADE AOE S S ∆∆=， 152AOE S ∆∴=， 4433AF EF AE EF ==， ∴43AOF AOE S AF S AE ∆∆==，441510332AOF AOE S S ∆∆∴==⨯=， ∴1102k =， 0k >，20k ∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、三角形面积以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和相似三角形的性质． 3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝10，在BC 边上取一点E ，连接AE 、DE ，使得DE ＝AD ，H 为AE 中点，连接DH ，在DE 上取一点F ，连接AF ，将⊥AEF 沿着AF 翻折得到⊥AGF ，且GF⊥AD 于M ，连接GD ，若AE ＝F 到直线DG 的距离为（ ）A ．BCD 【答案】B【分析】 根据三线合一得出DH AE ⊥，根据矩形的性质及同角的余角相等易证ABE DHA △△，然后根据相似三角形的性质即可求得BE 的值，根据勾股定理可求得AB 的值；过点E 作EP AD ⊥于点P ，则四边形ABEP 为矩形，易证DMF DPE △△，再根据相似三角形的性质可设MF =4x ，DM =3x ，DF =5x ，根据折叠的性质可得105GF EF x ==-，AG AE ==103AM AD DM x =-=-，109GM GF MF EF MF x =-=-=-，然后根据勾股定理即可求得x 的值，最后根据面积公式即可得出答案．【详解】解：AD DE =，H 是AE 的中点DH AE ∴⊥四边形ABCD 为矩形90BAE EAD ∴∠+∠=︒，90EAD ADH ∠+∠=︒BAE HDA ∴∠=∠90B AHD ∠=∠=︒ABE DHA ∴△△BE AE HA AD∴= 111022AD AH AE ===⨯=，AE =4BE ∴=8AB ∴==，1046EC BC BE =-=-=过点E 作EP AD ⊥于点P ，则四边形ABEP 为矩形8PE AB ∴==，6PD EC ==GF AD ⊥90DMF DPE ∴∠=∠=︒MDF PDE ∠=∠DMF DPE ∴△△6384DM PD MF PE ∴=== 设MF =4x ，DM =3x ，DF =5x⊥AEF 沿着AF 翻折得到⊥AGF ，105GF EF x ∴==-，AG AE ==103AM AD DM x =-=-，109GM GF MF EF MF x =-=-=-在Rt AMG 中，222AM MG AG +=即()()(222103109x x -+-=解得：2x =（舍去）或23x = 32MD x ∴==，201053GF x =-=，1094MG x =-=GD ∴=设F 到GD 的距离是h ，根据面积公式得S ⊥GFD =1122GF MD GD h ⋅=⋅ 12012232∴⨯⨯=⨯h ∴=故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、矩形的判定及性质，熟练掌握性质定理及添加合适的辅助线是解题的关键．4．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，0），D 为AO 上一点，连接BD ，CD ，OB ，CD 与OB 相交于点E ，取EC 的三等分点F （EF ＞FC ），连接OF 并延长，交BC 于点G ，已知S ⊥BOD ：S ⊥BOC ＝2：3，反比例函数y ＝k x（k ＞0）经过D ，G 两点，则k 的值为（ ）A ．25BCD 【答案】A【分析】过点D 、G 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，设CN =a ，GN =b ，根据相似三角形的性质表示出D 点坐标，根据反比例性质列方程，求出a 、b 值即可．【详解】解：过点D 、G 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，⊥S ⊥BOD ：S ⊥BOC ＝2：3，⊥OD :BC =2:3，⊥OA ⊥BC ，⊥⊥ODE ⊥⊥BCE ，⊥AOC =⊥GCN ， ⊥23DE OD EC BC ==， ⊥OC =BC =3，⊥OD =2，⊥EC 的三等分点为点F （EF ＞FC ）， ⊥14FC DF =， 同理，14GC OD =，CG =12 ⊥⊥AOC =⊥GCN ，⊥DMO =⊥GNC =90°，⊥⊥ODM ⊥⊥CGN ， ⊥14GN GC CN DM OD OM ===， 设CN =a ，GN =b ，则OM =4a ，DM =4b ，⊥反比例函数y ＝k x（k ＞0）经过D ，G 两点， ⊥4a ×4b =(a +3)b ，解得，15a =，GN =则k 的值为：1(3)5+， 故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是通过设参数，根据相似三角形性质表示点的坐标，依据反比例函数性质列方程．5．如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且12AF FB =，CE⊥DF ，垂足为点M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG ＝12BC ，连接CM ．有如下结论：⊥AE＝BF ；⊥AN；⊥⊥ADF ＝⊥GMF ；⊥S ⊥ANF ＝19S ⊥ABC ，上述结论中，正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥⊥【答案】C【分析】 ⊥正确．证明⊥ADF ⊥⊥DCE （ASA ），即可判断．⊥正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．⊥正确．作GH ⊥CE 于H ，设AF ＝DE ＝a ，BF ＝2a ，则AB ＝CD ＝BC ＝3a ，ECa ，通过计算证明MH ＝CH 即可解决问题．⊥错误．设⊥ANF的面积为m ，由AF ⊥CD ，推出13AF FN CD DN ==，⊥AFN ⊥⊥CDN ，推出⊥ADN 的面积为3m ，⊥DCN 的面积为9m ，推出⊥ADC 的面积＝⊥ABC 的面积＝12m ，由此即可判断．【详解】⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝AB ＝CD ＝BC ，⊥CDE ＝⊥DAF ＝90°，⊥CE ⊥DF ，⊥⊥DCE +⊥CDF ＝⊥ADF +⊥CDF ＝90°，⊥⊥ADF ＝⊥DCE ，在⊥ADF 与⊥DCE 中，DAF CDE AD CDADF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ⊥⊥ADF ⊥⊥DCE （ASA ），⊥DE ＝AF ，⊥AD ﹣DE ＝BC ﹣AF ，即AE ＝BF ，故⊥正确；⊥AB ⊥CD ，⊥AF AN CD CN=，⊥AF：FB＝1：2，⊥AF：AB＝AF：CD＝1：3，⊥13 ANCN=，⊥14 ANAC=，⊥AC，⊥AN＝4AD；故⊥正确；作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC a，由⊥CMD⊥⊥CDE，可得CM，由⊥GHC⊥⊥CDE，可得CH，⊥CH＝MH＝12CM，⊥GH⊥CM，⊥GM＝GC，⊥⊥GMH＝⊥GCH，⊥⊥FMG+⊥GMH＝90°，⊥DCE+⊥GCM＝90°，⊥⊥FMG＝⊥DCE，⊥⊥ADF＝⊥DCE，⊥⊥ADF＝⊥GMF；故⊥正确，设⊥ANF的面积为m，⊥AF⊥CD，⊥13AF FNCD DN==，⊥AFN⊥⊥CDN，⊥⊥ADN的面积为3m，⊥DCN的面积为9m，⊥⊥ADC的面积＝⊥ABC的面积＝12m，⊥S⊥ANF：S⊥ABC＝1：12，故⊥错误，故选：C．【点睛】本题是一个综合性的题目，综合考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识．6．勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图⊥所示的图形验证了勾股定理，把图⊥放入矩形内得到图⊥，⊥ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则MNMP的值为（）A．911B．910C．45D．34【答案】A【分析】如图所示，延长BA交PM于,J过I作IK AB⊥于,K设BC＝2AC＝2a，由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，由勾股定理可得，AB，可得AB＝BG＝FG＝AF，再利用相似三角形的性质分别用含a的代数式表示,MN MP，即可得到答案．【详解】解：如图所示，延长BA交PM于,J过I作IK AB⊥于,K设BC ＝2AC ＝2a ，由题意可知，AC ＝CD ＝DE ＝AE ＝a ，BH ＝HI ＝CI ＝BC ＝2a ， 由勾股定理可得，AB， ⊥AB ＝BG ＝FG ＝AF，⊥⊥AKI ＝⊥ACB ＝90°，⊥CAB ＝⊥IAK ， ⊥⊥AKI ⊥⊥ACB ， ⊥AI IK AK AB BC AC==， ⊥IK＝2AI AC CI BC BC a AB AB +⨯=⨯=， ⊥MP ＝MJ +JP ＝IK +AF,= ⊥AK＝AI AC CI AC AC a AB AB +⨯=⨯=， 同理可得：⊥AEJ ⊥⊥BAC ， ⊥AJ AE BC BA=， ⊥AJ＝AE CB BA ⨯=， 同理可得：⊥ABC ⊥⊥HIN ， ⊥BC IN AB IH=，⊥2BC IN IH a AB =⨯==， ⊥MN ＝MI +IN ＝AJ +AK +IN=，⊥911MN MP =，故选：A ． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握利用相似三角形的性质寻求边与边之间的关系是解题的关键．7．如图，点M 是正方形ABCD 内一点，MBC △是等边三角形，连接AM 、MD 对角线BD 交CM 于点N ，现有以下结论：⊥150AMD ∠=︒；⊥2MA MN MC =⋅；⊥ADM BMC S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】⊥根据等边三角形得⊥CMB ＝60°，再根据等腰三角形的性质得⊥AMB ＝⊥CMD ＝75°，最后根据周角的定义即可得出结论；⊥证明⊥MND ⊥⊥MDC ，列比例式即可得出结论；⊥过点M 作MG ⊥AB 于G ，设MG ＝x ，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC 、AG 、BG 的长，根据面积公式计算即可得出结论． 【详解】解：⊥⊥MBC 是等边三角形，⊥⊥MBC ＝⊥MCB ＝⊥CMB ＝60°，BM ＝BC ， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥ABC ＝⊥BCD ＝⊥BAD ＝⊥ADC ＝90°，AB ＝BC ， ⊥⊥ABM ＝⊥DCM ＝30°， ⊥AB ＝BM ，⊥⊥AMB ＝⊥BAM ＝12×（180°−30°）＝75°， 同理：⊥CMD ＝⊥CDM ＝75°， ⊥⊥AMD ＝360°−75°−75°−60°＝150°； 故⊥正确；⊥四边形ABCD 是正方形， ⊥⊥BDC ＝45°，⊥⊥MDN ＝⊥CDM −⊥BDC ＝75°−45°＝30°， ⊥⊥CMD ＝⊥CMD ，⊥MDN ＝⊥DCM ＝30°， ⊥⊥MND ⊥⊥MDC ， ⊥MN DMDM MC=， ⊥DM 2＝MN •MC ，⊥⊥BAD ＝⊥ADC ，⊥BAM ＝⊥CDM ， ⊥⊥MAD ＝⊥MDA ， ⊥MA ＝DM ， ⊥MA 2＝MN •MC ， 故⊥正确；过点M 作MG ⊥AB 于G ，设MG ＝x ，Rt ⊥BGM 中，⊥GBM ＝30°， ⊥BM ＝BC ＝AB ＝2x ，BG， ⊥AG ＝2x，⊥1212ADM BMCAD AGAG BG BC BG S S⋅===⋅故⊥错误． 故选C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识；设出未知数，表示出各边长是解题的关键． 8．如图，在Rt⊥ABC 中，∠BAC=90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连结KN 交AG 于点M ，若S 1-S 2=2，AC=4，则AB 的长为 （）A ．2 BC．D ．73【答案】A 【分析】先证ABC ⊥FCN △，根据全等三角形的性质可得AB =FN ；再证⊥BCK ⊥⊥ACB ，根据相似三角形的性质可得214KC BC =；设五边形ACFNM 的面积为S ，可得S 1+S 2=S 正方形ACFG =AC 2=16， S 2+S = S 梯形CFNK ==()2CK NF =+，设AB =x ，BC =y ，可得方程组22216116224x y y x ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩ ，解方程组即可求解． 【详解】⊥⊥ACB +⊥CAN =90°，⊥FCN +⊥CAN =90°， ⊥⊥ACB =⊥FCN ， 在⊥ABC 和⊥FCN 中，90BAC NFC AC CFBCA NCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ⊥ABC ⊥FCN △， ⊥AB =FN ；⊥⊥BAC =⊥KBC =90°， ⊥⊥BCK ⊥⊥ACB ， ⊥AC BCBC KC=， ⊥214KC BC =； 设五边形ACFNM 的面积为S ，⊥（S 1+S ）-（S 2+S ）=2， 设AB =x ，BC =y ，由勾股定理可得，2216x y +=，⊥S 1+S 2=S 正方形ACFG =AC 2=16， S 2+S = S 梯形CFNK =()()()114222CK NF CF CK NF CK NF +⋅=+⨯=+，S 1-S 2=2， ⊥（S 1+S ）-（S 2+S ）=16-()2CK NF +=16-2124y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2，⊥22216116224x y y x ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得，2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩6x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩6x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩⊥x 、y 都为正数，⊥2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即AB =2，BC= 故选A ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．9．如图平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在x 轴负半轴上，边CD 与x 轴交于点E ，连接,//AE AE y 轴，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点A 及AD 边上一点,4F AF FD =，若,2DA DE OB ==，则k 的值为（ ）A ．11B ．12C ．15D ．16【答案】C根据题意得到ADE ∆和ABE ∆是等腰直角三角形，设AE y =，则1122DM AM EM AE y ====，即可得到(2,)A y y -，进而通过三角形相似对得出F 点的坐标为7(25y -，3)5y ，即可得到73(2)(2)55k y y y y =-=-，解方程即可求得k 的值．【详解】解：作DM AE ⊥于M ，FN AE ⊥于N ， 四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90ADE BCD ∠=∠=︒， DA DE =，ADE ∴∆是等腰直角三角形，45DAE AED ∴∠=∠=︒，M 是AE 的中点，12DM AM EM AE ∴===，45BAE ∠=︒， //AE y 轴，90AEB ∴∠=︒，ABE ∴∆是等腰直角三角形， BE AE ∴=，设AE y =，则1122DM AM EM AE y ====， 2OB =，2OE y ∴=-， (2,)A y y ∴-， //FN DM ， ANF AMD ∴∆∆∽，∴AN NF AFAM DM AD==， 4AF FD =，∴411522AN FN y y ==， 25AN NF y ∴==， 2355EN y y y ∴=-=， 7(25F y ∴-，3)5y ，反比例函数(0)ky k x=>的图象经过点A 、F ， 73(2)(2)55k y y y y ∴=-=-，解得5y =或0y =（舍去），(2)15k y y ∴=-=，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A 、F 的坐标是解题的关键．10．如图所示，G 、E 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且AG CE =，AE EF ⊥，AE EF =，现有如下结论：⊥BE DH =；⊥AGE ECF △≌△；⊥45FCD ∠=︒；⊥AGE CHF △∽△．其中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【分析】由⊥BEG ＝45°知⊥BEA ＞45°，结合⊥AEF ＝90°得⊥HEC ＜45°，据此知 HC ＜EC ，即可判断⊥；求出⊥GAE +⊥AEG ＝45°，推出⊥GAE ＝⊥FEC ，根据 SAS 推出⊥GAE ⊥⊥CEF ，即可判断⊥；求出⊥AGE ＝⊥ECF ＝135°，即可判断⊥；求出⊥FEC ＜45°，根据相似三角形的判定得出⊥GBE 和⊥ECH 不相似，即可判断⊥． 【详解】解：⊥四边形 ABCD 是正方形， ⊥AB ＝BC ＝CD ，⊥AG＝GE，⊥BG＝BE，⊥⊥BEG＝45°，⊥⊥BEA＞45°，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥HEC＜45°，⊥HC＜EC，⊥CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故⊥错误；⊥BG＝BE，⊥B＝90°，⊥⊥BGE＝⊥BEG＝45°，⊥⊥AGE＝135°，⊥⊥GAE+⊥AEG＝45°，⊥AE⊥EF，⊥⊥AEF＝90°，⊥⊥BEG＝45°，⊥⊥AEG+⊥FEC＝45°，⊥⊥GAE＝⊥FEC，在⊥GAE 和⊥CEF 中，⊥AG=CE，⊥GAE=⊥CEF,AE=EF,⊥⊥GAE⊥⊥CEF（SAS））,⊥⊥正确；⊥⊥AGE＝⊥ECF＝135°，⊥⊥FCD＝135°﹣90°＝45°，⊥⊥正确；⊥⊥BGE＝⊥BEG＝45°，⊥AEG+⊥FEC＝45°，⊥⊥FEC＜45°，∴∠=︒+∠＜135︒,FHC FEC90∴∠≠∠FHC AGE,△不相似，⊥AGE和FCH⊥⊥错误；故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．二、填空题11．如图，在Rt⊥ABC 中，⊥ACB ＝90°，将⊥ABC 沿AB 翻折得⊥ABC′，过点C′作CA 的垂线，交CA 延长线于点F 点D 为边BC′上一点，过点D 作DE⊥BC ，垂足为点E ，连接CD ，交AB 于点M ，若DC 平分⊥EDC′，CE ＝CF ＝6，C′F ＝4，则AM ＝_____．【分析】延长ED 交FC '的延长线于R ，连接CC '交AB 于J ，过点C 作CT BC ⊥'于T ．首先证明四边形ECFR 是正方形，利用全等三角形的性质证明DE DT =，4FC C T '='=，再想办法求出JC ，AJ ，证明JM JC =，可得结论．【详解】解：延长ED 交FC '的延长线于R ，连接CC '交AB 于J ，过点C 作CT BC ⊥'于T ．90REC CFR ECF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ECFR 是矩形，CE CF =，∴四边形ECFR 是正方形，CD 平分EDC ∠'，CE DE ⊥，CT EC ⊥'，CDE CDT ∴∠=∠，90CED CTD ∠=∠=︒，CD CD =，()CDE CDT AAS ∴∆≅∆，CE CT ∴=．DE DT =，90CTC F ∠'=∠=︒，CF CE CT ==，CC CC '='， Rt ∴⊥CC T Rt '≅⊥()CC F HL '，4FC C T ∴'='=，在Rt CFC '△中，CC ' 由翻折的性质可知，CJ JC ='=ACJ FCC ∠=∠'，90CJA F ∠=∠=︒，CJA CFC ∴∆∆'∽，∴CJ AJCF FC ='，∴4AJ =，AJ ∴=DCE DCT ∠=∠，C CT C CF ∠'=∠'， 45JCM ∴∠=︒，JM CJ ∴=AM JM AJ ∴=+． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是想添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．如图，边长为3的等边三角形ABC 中，点M 在直线BC 上，点N 在直线AC 上，且⊥BAM ＝⊥CBN ，当BM ＝1时，AN =___．【答案】2或4或92或94【分析】先根据等边三角形的性质可得60,3ABC ACB AB BC AC ∠=∠=︒===，再分⊥点M 在边BC 上，点N 在边AC 上，⊥点M 在边BC 上，点N 在边AC 延长线上，⊥点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 上，⊥点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 延长线上四种情况，然后根据三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质即可得．【详解】解：ABC 是边长为3的等边三角形，60,3ABC ACB AB BC AC ∴∠=∠=︒===，由题意，分以下四种情况：⊥如图，当点M 在边BC 上，点N 在边AC 上时，在ABM 和BCN △中，BAM CBN AB CB ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABM BCN ASA ∴≅，1BM CN ∴==，312AN AC CN ∴=-=-=；⊥当点M 在边BC 上，点N 在边AC 延长线上时，如图，过点N 作//ND AB ，交BC 延长线于点D ，60D ABM ∴∠=∠=︒，60DCN ACB ∠=∠=︒，CDN ∴是等边三角形，CN DN CD ∴==，在ABM 和BDN 中，BAM DBN ABM D ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABM BDN ~∴，DN BD BC CD BC DN BM AB AB AB ++∴===，即313DN DN +=， 解得32DN =， 32CN ∴=， 39322AN AC CN ∴=+=+=； ⊥当点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 上时，如图，过点N 作//ND AB ，交BC 于点D ，60CDN ABC ACB ∴∠=∠=︒=∠，CDN ∴是等边三角形，CN DN CD ∴==，60CDN ABC ∠=∠=︒，120BDN ABM ∴∠=∠=︒， 在BDN 和ABM 中，DBN BAM BDN ABM ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， BDN ABM ~∴，DN BD BC CD BC DN BM AB AB AB --∴===，即313DN DN -=， 解得34DN =， 34CN ∴=， 39344AN AC CN ∴=-=-=；⊥如图，当点M 在边CB 延长线上，点N 在边AC 延长线上时，60ABC ACB ∠=∠=︒，120ABM BCN ∴∠=∠=︒，在ABM 和BCN △中，BAM CBN AB CB ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABM BCN ASA ∴≅，1BM CN ∴==，314AN AC CN ∴=+=+=；综上，AN 的值为2或4或92或94， 故答案为：2或4或92或94． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确分四种情况讨论是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且()0,630B OAB ∠=︒,，C 为线段AB 上一点，:1:2BC CA =，若M 为y 轴上一点，且:1:2OM OB =，设直线AM 与直线OC 相交于点N ，则ON 的长为________．或【分析】过点C 作CD ⊥x 轴于D ，证明⊥ACD ⊥⊥ABO ，得到CD AD AC BO AO AB==，求出CD 和AD ，得到点C 坐标，求出直线OC 的教师式，再求出点M 的坐标，分两种情况，联立教师式，求出点N 坐标，利用勾股定理得到ON 的长．【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于D ，则⊥ADC =⊥AOB =90°，又⊥⊥CAD =⊥BAO ，⊥⊥ACD ⊥⊥ABO ， ⊥CD AD AC BO AO AB==， ⊥B （0，6），⊥OB =6，⊥⊥OAB =30°，⊥AB =2OB =12，⊥AO⊥BC ：CA =1：2，⊥AC =2812AB ⨯=+， ⊥BC =AB -AC =4，⊥8612CD =， 解得：CD =4，AD=⊥OD =OA -AD=⊥C（4），设直线OC 的教师式为y =kx ，将C 代入，则4=，解得：k = ⊥直线OC的教师式为y =， ⊥OM ：OB =1：2，OB =6，⊥OM =3，⊥M 的坐标为（3，0）或（-3，0），当M （3，0）时，记为点M ′，设直线AM ′的教师式为y =ax +b ，则03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：3a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩⊥直线AM ′的教师式为3y =+， 联立直线AM ′和直线OC的教师式得3y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ⊥N，125）， ⊥ON当M （-3，0）时，同理求得直线AM的教师式为3y =-，联立得3y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：4x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ⊥N（--4），⊥ON综上：ON或或 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，一次函数与二元一次方程组，勾股定理，有一定难度，解题的关键是根据题意画出图形，分类讨论解决问题．14．如图，在菱形ABCD 中，⊥DAB ＝60°，AB ＝3，点E 在边AD 上，且DE ＝1，点F 为线段AB 上一动点（不与点A 重合），将菱形沿直线EF 折叠，点A的对应点为点A′，当点A′落在菱形的对角线上时，AF 的长为___．【答案】2或5【分析】分两种情况进行讨论：⊥当点A ′在BD 上时，可以证明⊥A ′DE ⊥⊥FBA ′，对应边成比例，可求出AF 的长；⊥当点A ′在AC 上时，可得⊥EAF 是等边三角形，进而可求AF 的长．【详解】解：⊥当点A ′在BD 上时，如图，由折叠可知：⊥EA ′F ＝⊥DAB ＝60°，⊥⊥DA ′E +⊥F A ′B ＝120°，⊥⊥A ＝60°，AB ＝AD ，⊥⊥ADB 是等边三角形，⊥⊥DBA ＝⊥ADB ＝60°，⊥⊥A ′FB +⊥BA ′F ＝120°，⊥⊥DA ′E ＝⊥BF A ′，⊥⊥A ′DE ⊥⊥FBA ′， ⊥DE DA EA A B FB FA ''==''， ⊥AB ＝AD ＝DB ＝3，DE ＝1，⊥EA ′＝EA ＝AD -DE ＝2，设F A ′＝F A ＝x ，DA ′＝y ，则BA ′＝3-y ，BF ＝3-x ， ⊥3123y y x x-==-，解得x ＝5⊥当点A ′在AC 上时，如图：由折叠可知：EF 垂直平分AA ′，⊥⊥AOF ＝90°，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥DAB ＝60°，⊥⊥DAC ＝⊥BAC ＝30°，⊥⊥AFE ＝60°，⊥⊥EAF 是等边三角形，⊥AF ＝AE ＝AD -DE ＝2．综上所述：AF ＝52．故答案为：2或5【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．15．如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连结BE ，以BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ，连结AF ，有以下五个结论：⊥ABF DBE ∠=∠；⊥ABF DBE ∽；⊥AF BD ⊥；⊥22BG BH BD =；⊥若:1:3CE DE =，则:17:16BH DH =，你认为其中正确是_____（填写序号）【答案】⊥⊥⊥⊥【分析】⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，得⊥ABD ＝⊥FBE ＝45°，根据等式的基本性质确定出ABF DBE ∠=∠；⊥倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；⊥根据两角相等的两个三角形相似得到⊥EBH ⊥⊥DBE ，从而得到比例式，根据BE ，代换即可作出判断；⊥由相似三角形对应角相等得到⊥BAF ＝⊥BDE ＝45°，可得出AF 在正方形ABCD 对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．⊥设CE =x ，DE =3x ，则BC =CD =4x ，结合BE 2＝BH •BD ，求出BH ，DH ，即可判断．【详解】解：⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，⊥⊥ABD ＝⊥FBE ＝45°，又⊥⊥ABF ＝45°−⊥DBF ，⊥DBE ＝45°−⊥DBF ，⊥ABF DBE ∠=∠，⊥选项⊥正确；⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，⊥AD ＝AB ，BF ＝BE ，⊥BD，，⊥BD BE AB BF== 又⊥ABF DBE ∠=∠，⊥ABF DBE ∽，⊥选项⊥正确；⊥⊥四边形BGEF 和四边形ABCD 均为正方形，BD ，BE 是对角线，⊥⊥BEH ＝⊥BDE ＝45°，又⊥⊥EBH ＝⊥DBE ，⊥⊥EBH ⊥⊥DBE ， ⊥BD BE BE BH= ，即BE 2＝BH •BD ，又⊥BE ，⊥22BG BH BD =，⊥选项⊥确；⊥由⊥知：ABF DBE ∽，又⊥四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，⊥⊥BAF ＝⊥BDE ＝45°，⊥AF 在正方形另外一条对角线上，⊥AF ⊥BD ，⊥⊥正确，⊥⊥:1:3CE DE =，⊥设CE =x ，DE =3x ，则BC =CD =4x ，⊥BE ==，BD =⊥BE 2＝BH •BD ，⊥228BE BH x BD ===，⊥DH =BD -BH =x x =, ⊥:17:15BH DH =，故⊥错误，综上所述：⊥⊥⊥⊥正确，故答案是：⊥⊥⊥⊥．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．16．如图，已知Rt AOB ，90∠=︒ABO ，点(15,0)A ，反比例函数(0)k y x x =>经过点B ，交AB 于点C ，若:3:2BC OB =，则k 的值是______．【答案】18【分析】过点B 作BD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，CF ⊥x 轴于点F ，易证⊥BOD ⊥⊥CBE ，可得32BE EC BC OD BD OB ===，设BE ＝3a ，EC ＝3b ，则OD ＝2a ，BD ＝2b ．易得四边形EDFC 为矩形，则FD ＝CE ＝3b ，FC ＝ED ＝BD −BE ＝2b −3a ，得到B （2a ，2b ），C （3b ＋2a ，2b −3a ）．由待定系数法可得：k ＝2a ×2b ＝4ab ，k ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ），等量代换可得：4ab ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ），整理得到：b ＝2a ．于是得到BD ＝4a ，EC ＝6a ，FC ＝a ；易证⊥BEC ⊥⊥CF A ，可得12CF BE FA EC ==，求出F A ＝2a ，从而OA ＝OD ＋FD ＋F A ＝10a ，由点A （15，0），可得OA ＝15，a 的值可求，B 点坐标可得，用待定系数法k 值可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥x 轴于D ，过点C 作C E ⊥BD 于E ，CF ⊥x 轴于点F ，如图，⊥⊥ABO ＝90°，⊥⊥OBD ＋⊥EBC ＝90°．⊥BD ⊥OD ，⊥⊥OBD ＋⊥BOD ＝90°．⊥⊥BOD ＝⊥EBC ．⊥⊥ODB ＝⊥BEC ＝90°，⊥⊥BOD ⊥⊥CBE ． ⊥32BE EC BC OD BD OB ===， ⊥设BE ＝3a ，EC ＝3b ，则OD ＝2a ，BD ＝2b ． ⊥BD ⊥DF ，CE ⊥BD ，CF ⊥AD ，⊥四边形EDFC 为矩形．⊥FD ＝CE ＝3b ，FC ＝ED ＝BD −BE ＝2b −3a ． ⊥B （2a ，2b ），C （3b ＋2a ，2b −3a ）． 将B ，C 坐标分别代入教师式(0)k y x x=>中得： k ＝2a ×2b ＝4ab ，k ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ）． ⊥4ab ＝（3b ＋2a ）（2b −3a ）．整理得到：b ＝−12a （不合题意，舍去）或b ＝2a ． ⊥BD ＝4a ，EC ＝6a ，FC ＝a ．⊥EC ⊥AD ，⊥⊥BCE ＝⊥A ．⊥⊥BEC ＝⊥CF A ＝90°，⊥⊥BEC ⊥⊥CF A ． ⊥12CF BE FA EC ==， ⊥F A ＝2CF ＝2a ．⊥点A （15，0），⊥OA ＝15．⊥OD ＋FD ＋F A ＝15．⊥10a ＝15．解得：a ＝32． ⊥OD ＝3，BD ＝6．⊥B （3，6）．⊥k ＝3×6＝18．故答案为：18．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，待定系数法确定函数的教师式．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．17．如图，点A 是边长为2的正方形DEFG 的中心，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，//DG BC ，点P 为正方形边上的一动点，在BP 的右侧作90PBH ∠=°且2BH PB =，则AH 的最大值为______．【答案】【分析】连接BD ，连接BG 并延长到D '，且使GD BG '=，易得DPB D HB '△△，由此可得当点P 在DG 上运动时，点H 在过点D '且垂直于BC 的线段D G '' 上运动，且D G ''=-4，仿此，可得点H 在以点C 为中心的边长为4的正方形上运动，可得当点P 与点F 重合时，AH 取得最大值，在Rt ⊥AEF '' 中，利用勾股定理即可求得AH 的长．【详解】如图，当点P 在线段DG 上时，连接BD ，连接BG 并延长到D '，且使GD BG '=⊥BC ⊥DG ，⊥ABC =90°⊥AB ⊥DG⊥四边形DEFG 是正方形，且A 为正方形的中心，AB =DG =2⊥AB 、DG 相互垂直平分⊥BD =BG ，⊥DBG =90°⊥2BD BD '=⊥BH =2PB ⊥2BD BH BD PB'== ⊥⊥DBG =⊥PBH =90°⊥DBP D BH '∠=∠⊥⊥DBP D BH '△△⊥BDG BD H '∠=∠，2D H DP '=⊥⊥BDG =⊥BGD =45°，⊥DGF =90°⊥⊥45FGD '=︒，45BDG BD H '∠=∠=︒⊥FG ⊥D H '⊥DG ⊥FG⊥DG ⊥D H '故当点P 在边DG 上运动时，点H 则在线段D G ''上运动，且2D G ''=DG =4由此可得，当点P 在四边形DEFG 上运动时，点H 在以C 为中心的正方形D E F G ''''上运动，且其边长为4当点P 与点F 重合，点H 与点 F '重合时，AH 最长，此时连接AD '，则AD '=2⊥6AE AD D E ''''=+=在Rt AE F ''中，由勾股定理得：AH AF '===故答案为：【点睛】本题是动点问题，求线段的最大值，它考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，关键和难点是确定动点H 的运动路径．18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D ，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．已知,, 6.5AB BC MN BC AB ⊥⊥=，4,8BP PD ==．（1）ED 的长为____________．（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC '（如图2），点P 的对应点为P '，BC '与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P '反射后，在MN 上的光点为E '．若5DD '=，则EE '的长为____________．【答案】13232【分析】（1）由题意，证明⊥ABP ⊥⊥EDP ，根据相似三角形的性质，即可求出ED 的长度； （2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x ,E′D′=5+x ,在Rt ⊥BDN 中，由勾股定理D′B 12=，可证⊥ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F ,=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==，从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．⊥AHP′⊥⊥E′FP′，6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5． 【详解】解：（1）由题意，⊥,AB BC MN BC ⊥⊥，⊥90ABP EDP ∠=∠=︒，⊥从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．⊥APB EPD ∠=∠，⊥⊥ABP ⊥⊥EDP ， ⊥AB BP ED DP =， 即6.548ED =， ⊥13ED =；故答案为：13．（2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x ,E′D′=5+x , 在Rt ⊥BDN 中，⊥BD =12，DD′=5，由勾股定理D′B 13=，⊥⊥AHB =⊥ABD =⊥E′FN =⊥BDD′=90°，⊥⊥ABH +⊥DBD′=⊥DBD′+⊥DD′B =FE D ''∠+⊥E′D′F ,⊥⊥ABH =⊥BD′D =⊥E′D′F ,⊥⊥ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F , ⊥AB AH BH BD BD DD ==''，E D E F FD BD BD DD ''''==''， ⊥6.513125AH BH ==,513125x E F FD ''+==， ⊥=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==， ⊥从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．⊥AP H E P F '''∠=∠，⊥⊥AHP′⊥⊥E′FP′，HP′=HB +BP =2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F = P′D′-FD′=9-25513x +，⊥AH P H E F P F '=''即6 6.560+1225591313x x =+-， 解得x =1.5，经检验x =1.5是方程的解，EE′=DE -DE′=13-1.5=11.5=232．故答案为232． 【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P 性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P 性质，利用相似三角形的性质构造方程6 6.560+1225591313x x =+-是解题关键． 19．如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．132n-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n个正方形的边长．【详解】解：点1B在直线1:2l y x=上，点1B的横坐标为2，∴点1B纵坐标为1．1OB∴=分别过1B，14,,C C⋅⋅⋅作x轴的垂线，分别交于14,,,D D D⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DAC DB B OD A B D∠=∠=︒∠=∠,∴111Rt B DO Rt A DB∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n nn nC AB D B AC AOD OB C A C A+====⋅⋅⋅=，不妨设第1个至第n个正方形的边长分别用：12,,,nl l l⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OBl==121123322ll l C A=+==，2232233322ll l C A⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅11113322nnn n n nll l C A----⎛⎫=+= ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n个正方形1n n n nA B B C+132n-⎛⎫⎪⎝⎭，132n-⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第n个正方形边长的方法与技巧．20．如图，在ABC中，点D是AB边上的一点，且3AD BD=，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若45ACD BED∠=∠=︒，且CD=AB的长为__________．【答案】【分析】延长BE交AC于点F，过D点作DG BE G⊥于点，由45ACD BED∠=∠=︒可得此时CEF△为等腰直角三角形，E为CD的中点且CD=CE DE==Rt CEF中，根据勾股定理求得CF，EF长度，由BF DG⊥可得EDG ECF△≌△,即EG EF=，由BF AC⊥，BF DG⊥可得AC DG∥，即BDG BAF△∽△，13BG BDFG AD==∴,求得，4AB BD==∴【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作DG BE G⊥于点，⊥45ACD BED∠=∠=︒，=45BED CEF∠=︒∠，⊥90EFC=∠，BF AC⊥，CEF△为等腰Rt CEF．由题意可得E为CD的中点，且CD=⊥CE DE==在等腰Rt CEF中，32CE，3CF EF ==∴，又⊥BF DG ⊥，在ECF EDG △和△中，90CFE DGE CEF DEG CE DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥EDG ECF △≌△（AAS ）⊥3EF EG ==，⊥BF AC ⊥，BF DG ⊥，⊥//AC DG ， ⊥13BG BD FG AD == 6FG EF EG =+=，⊥2BG =，BD4AB BD ==∴故答案为：【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，直线4y kx k =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且34OB OA =．（1）求直线AB 的教师式；（2）点(),0P t 是x 轴正半轴上一点，连接BP ，将射线PO 沿BP 翻折，与过点B 垂直于BP 的直线交于点C ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，求线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，射线BD 交射线CP 于点Q ，若56BCD DCQ S S =△△，求P 点坐标．【答案】（1）334y x =+；（2）6；（3）P ⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据直线4y kx k =+与x 轴，y 轴的交求得A ，继而求得OA ，OB ，再求得点B ，最后根据待定系数法求教师式；（2）根据翻折性质可得BPC BPE ∠=∠，继而易证⊥PBC ⊥⊥PBE （ASA ），可得BC BE =，继而证得OB 是⊥CDE 的中位线，即可求解；（3）作QN ⊥CD 于点N ，作BM ⊥CD 于点M ，设5OD OE BM m ===，6NQ m =， 求得185DN =，根据tan DP NQ DCP CD CN ∠==，求得154m DP =，继而求得CP ，在Rt CDP △中,由勾股定理得：222CD DP CP +=，解得m ，继而即可求解．【详解】（1）令x ＝0，得4y k =,则（0，4k ），令0y =得40kx k +=，解得：4x =-，则()4,0A -⊥4OA =， ⊥34OB OA = ⊥3OB =，即()0,3B ，⊥043k b b =-+⎧⎨=⎩， 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ⊥直线AB 的教师式334y x =+．（2）由翻折可知BPC BPE ∠=∠，又PB CE ⊥，即⊥PBC ＝⊥PBE ＝90°，又BP ＝BP ，⊥⊥PBC ⊥⊥PBE （ASA ），⊥BC BE =．⊥CD x ⊥轴于点D ，⊥//OB CD ，⊥OB 是⊥CDE 的中位线，⊥26CD OB ==．（3）作QN ⊥CD 于点N ，作BM ⊥CD 于点M ，由56BCD DCQ S S =△△，即151262CD OD CD NQ ⋅=⨯⋅， 5,6OD NQ ∴= ⊥BM ⊥DE ⊥NQ ，12BM DE OD OE ===,DM ＝OB ＝3， ⊥⊥BDM ⊥⊥QDN ， ⊥DM BM DN NQ=, 设5OD OE BM m ===，6NQ m =， 即356m DN m=, 解得：185DN =， tan DP NQ DCP CD CN ∠==， 6,18665DP m ∴=+ 解得：154m DP =， ⊥15551044m CP PE DP DE m m ==+=+=． 在Rt CDP △中,由勾股定理得：222CD DP CP +=，即2221555644m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m =⊥1535355444OP OD DP m m m =+=+===，⊥P ⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查一次函数的综合题，涉及到勾股定理，相似三角形的判定及其性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是综合运用所学在求得关键线段和坐标，综合性较强，需认真审题． 22．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：⊥AE DF=_____；⊥直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______．【答案】（130°；（2 【分析】（1）通过证明FBD EBA ∆∆∽，可得AE BE DF BF =BDF BAE ∠=∠，即可求解；（2）通过证明ABE DBF ∆∆∽，可得AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠，即可求解； 拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE ，DG 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，30ABD ∠=︒，90DAB ∠=︒，EF BA ⊥，cos BE AB ABD BF DB ∴∠===， 如图2，设AB 与DF 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转90︒，90DBF ABE ∴∠=∠=︒，FBD EBA ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠， 又DOB AOF ∠=∠，30DBA AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30，30； （2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE 与BD 交于点O ，AE 与DF 交于点H ，将BEF ∆绕点B 按逆时针方向旋转，ABE DBF ∴∠=∠，又BE AB BF DB == ABE DBF ∴∆∆∽，∴AE BE DF BF =，BDF BAE ∠=∠， 又DOH AOB ∠=∠，30ABD AHD ∴∠=∠=︒，∴直线AE 与DF 所夹锐角的度数为30．拓展延伸：如图4，当点E 在AB 的上方时，过点D 作DG AE ⊥于G ，。

2023上海各区中考一模数学压轴题

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中考模拟数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对2.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝33.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝34.如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:25.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈二、填空题（共24分）1.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30∘方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60∘方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达（）。

（结果保留根号）|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数2.已知△ABC，若有|sinA−12是。

三、解答题3．如图，在四边形A BCD中，A D∥BC，A B⊥BC，点E在A B上，∠DEC=90°。

求证：△ADE∽△BEC。

1.如图，同心圆O，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦AB，CD分别切小圆于E、F点，当大圆半径为R时，且AB∥CD，求阴影部分面积。

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C，在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2根号3，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称。

上海初三数学各区一模压轴题汇总套全

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上海初三数学各区一模压轴题汇总套全TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2016~2017学年度上海市各区初三一模数学压轴题汇总（18+24+25）共15套整理 廖老师宝山区一模压轴题18（宝山）如图，D 为直角ABC 的斜边AB 上一点，DE AB 交AC 于E ，如果AED 沿着DE 翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果8AC ，1tan 2A ，那么:___________.CF DF24（宝山）如图，二次函数232(0)2y ax x a 的图像与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点,C 已知点(4,0)A .（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E 的坐标.25（宝山）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、同时从点B 出发，点P 以1/cm s 的速度沿着折线BE ED DC 运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。

设P Q 、同时出发t 秒时，BPQ 的面积为2ycm ，已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）.（1）试根据图（2）求05t 时，BPQ 的面积y 关于t 的函数解析式；（2）求出线段BC BE ED 、、的长度；（3）当t 为多少秒时，以B P Q 、、为顶点的三角形和ABE 相似；（4）如图（3）过点E 作EF BC 于F ，BEF 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度，如果BEF 中E F 、的对应点H I 、恰好和射线BE CD 、的交点G 在一条直线，求此时C I 、两点之间的距离.崇明县一模压轴题18（崇明）如图，已知 ABC ∆中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ，点D 在AH 上，且DH CH =，联结BD ，将BHD 绕点H 旋转，得到EHF ∆（点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果4BC =，tan 3C =，那么AE 的长为 ；24（崇明）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD = ，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）联结DF ，求cot EDF ∠的值；（3）点G 在直线l 上，且45EDG ︒∠=，求点G 的坐标．25（崇明）在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，3cot 2A =，AC =，以BC 为斜边向右侧作等腰直角EBC ∆，P 是BE 延长线上一点，联结PC ，以PC 为直角边向下方作等腰直角PCD ∆，CD 交线段BE 于点F ，联结BD ．（1）求证：PC CE CD BC =； （2）若PE x =，BDP ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当BDF ∆为等腰三角形时，求PE 的长．奉贤区一模压轴题18（奉贤）如图3，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，点P 是边AD 上的一点，联结BP ，将△ABP 沿着BP 所在直线翻折得到△EBP ，点A 落在点E 处，边BE 与边CD 相交于点G ，如果CG=2DG ，那么DP 的长是__ ____.24（奉贤）如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC .（1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标。

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（2012黄浦、卢湾一模24题）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2(a ＞0)与x 轴相交于A(-1,0)，B(3,0)两点，对称轴MN 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且∠ADC 的正切值为21。

(1)求顶点D 的坐标； (2)求抛物线的表达式；(3)F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若∠FAC=∠ADC ，求F 点的坐标.（2012黄浦、卢湾一模25题）在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，E 是AB 边上一点，EF ⊥CE 交AD 于点F ，过点E 作∠AEH=∠BEC ，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N. (1)如图a ，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；(2)如图b ，当点H 在线段FD 上时，设BE=x ，DN=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；(3)联结AC ，当△FHE 与△AEC 相似时，求线段DN 的长.图c图b图aFBA CFHNBACFHNBA C DDDEEE（2012徐汇一模24题）如图，△AOB 的顶点A 、B 在二次函数23312++-=bx x y 的图像上，又点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，tan ∠ABO=1. ⑴求此二次函数的解析式；（4分）⑵过点A 作AC ∥BO 交上述函数图象于点C ，点P 在上述函数图象上，当△POC 与△ABO 相似时，求点P 得坐标.（8分）x y BA O（2012徐汇一模25题）如图a ，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CE 是斜边AB 上的中线，AB=10，tanA=34，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQ ⊥CB ，交CB 延长线于点Q ，设EP=x ，BQ=y. ⑴求y 关于x 的函数关系式及定义域；（4分） ⑵联结PB ，当PB 平分∠CPQ 时，求PE 的长；（4分）⑶过点B 作BF ⊥AB 交PQ 于F ，当△BEF 和△QBF 相似时，求x 的值.（6分）备用图2备用图1图aEBAEBAQEBACCCP（2012普陀一模24题）如图，梯形OABC ，BC ∥OA ，边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上，点B （3，4），AB=5. (1)求∠BAO 的正切值； (2)如果二次函数c bx x y ++=294的图像经过O 、A 两点，求这个二次函数的解析式并求图像顶点M 的坐标； (3)点Q 在x 轴上，以点Q、点O及（2）中的点M 位顶点的三角形与△ABO 相似，求点Q 的坐标.（2012普陀一模25题）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图a放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形版ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α.其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图b所示）.(1)当0°＜α＜60°时，求AM·CN的值.(2)当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域.(3)当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积.（2012浦东新区一模24题）如图，已知点A （1,0）、B （3，0）、C （0,1）. (1)若二次函数图像经过点A 、C 和点D （2，31）三点，求这个二次函数的解析式. (2)求∠ACB 的正切值(3)若点E 在线段BC 上，且△ABE 与△ABC 相似，求出点E 的坐标.（2012浦东新区一模25题）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是边AB上的一个动点，联结CP，过点B作BD⊥CP，垂足为点D.(1)如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证：△BCD∽△ABC.(2)如图2，若BC=2厘米，cotA=2，点P从点A向点B运动（不与A、B重合），点P的速度是5厘米/秒.设点P运动的时间为t秒，△BCD的面积为S平方厘米，求出S关于t的函数解析式，并写出它的定义域.(3)在第(2)小题的条件下，如果△PBC是以CP为腰的等腰三角形，求△BCD的面积.（2012嘉定一模24题）已知一个二次函数的图像经过A（0,3）、B（4,3）、C（1,0）三点（如图）.(1)求这个二次函数的解析式;(2)求tan∠BAC的值；(3)若点D在x轴上，点E在(1)中所求出的二次函数的图像上，切以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D、E的坐标.（2012嘉定一模25题）如图1，已知等边△ABC 的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠△ABC ，使得点A 恰好与边BC 上的点D 重合，折痕为EF （点E 、F 分别在边AB 、AC 上）. (1)当AE ：AF=5:4时，求BD 的长；(2)当ED ⊥BC 时，求EFEB的值； (3)当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△DEF 相似时，求BE 的长.（2012长宁一模24题）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E.(1)判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；(2)设PD=x ，AE=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；(3)是否存在这样的点P ，使△EAP 周长等于△PDC 的周长的2倍？若存在，请求出PD 的长；若不存在，请简要说明理由。

E D C A B F（2012长宁一模25题）如图，点A 在x 正半轴上，点B 在y 正半轴上，tan ∠OAB=2，抛物线22++=mx x y 的顶点为D ，且经过A 、B 两点.(1)求抛物线解析式；(2)将△OAB 绕点A 旋转90°后，点B 落在点C 处。

将上述抛物线沿y 轴上下平移后过C 点.写出点C 坐标及平移后的抛物线解析式；(3)设(2)中平移后抛物线交y 轴于1B ，顶点为1D ，点P 在平移后的图像上，且1PBB S △=21PDD S △，求点P 坐标.xyBAO（2012虹口一模24题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线c bx x y ++=2经过A （0,3），B （1，0）两点，顶点为M. (1)求b 、c 的值；(2)将△OAB 绕点B 顺时针旋转90°后，点A 落到点C 的位置，该抛物线沿y 轴上下平移后经过点C ，求平移后所得抛物线的表达式；(3)设(2)中平移后所得的抛物线于y 轴的焦点为1A ，顶点为1M ，若点P 在平移后的抛物线上，且满足1PMM △的面积是1PAA △面积的3倍，求点P 的坐标.xyBAMO（2012虹口一模25题）如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=5，tan ∠DBC=43，E 为射线BD 上一动点，过点E 作EF ∥DC 交射线BC 于点F ，联结EC ，设BE=x ，BDCECFS S △△=y. (1)求BD 的长；(2)当点E 在线段BD 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)联结DF ，若△BDF 与△BDA 相似，试求BF 的长.备用图ADFADBBC EC（2012宝山一模25题）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图9，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实数a、b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标.(1)如图10，已知斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A（-2,2），并求点O、A之间的距离；(2)如图11，在斜坐标系xOy中，已知点B（4,0）、点C（0,3），P（x，y）是线段BC上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式；(3)若问题(2)中的点P在线段BC的延长线上，其他条件都不变，试判断上述x、y之间的灯亮关系是否仍然成立，并说明理由.（2012宝山一模26题）如图，已知线段AB ，P 是线段AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），分别以AP 、BP 为边，在AB 的同侧作等边△APD 和△BPC ，联结BD 与PC 交于点E ，联结CD. (1)当BC ⊥CD 时，试求∠DBC 的正切值；(2)若线段CD 是线段DE 和DB 的比例中项，试求这时PBAP的值； (3)记四边形ABCD 的面积为S ，当P 在线段AB 上运动时，S 与2BD 是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由.备用图ECDECDABBA PP（2012闸北一模24题）已知：如图，直线15-=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，抛物线c bx x y ++-=231经过A 、B 两点.(1)求这个抛物线的解析式；(2)若这抛物线的顶点为点D ，与x 轴的另一个交点为点C ，对称轴与x 轴交于点H ，求△DAC 的面积；(3)若点E 是线段AD 的中点，CE 与DH 交于点G ，点P 于y 轴的正半轴上，△POH 是否能够与△CGH 相似？如果能，请求出点P 的坐标；如果不能请说明理由.x yB A O（2012闸北一模25题）已知：如图1，在Rt △OAC 中，AO ⊥OC ，点B 在OC 边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°.动点M 和N 分别在线段AB 和AC 边上. (1)求证△AOB ∽△COA ，并求cosC 的值；(2)当AM=4时，△AMN 与△ABC 相似，求△AMN 与△ABC 的面积之比；(3)如图2，当MN ∥BC 时，将△AMN 沿MN 折叠，点A 落在四边形BCNM 所在的平面上的点为点E ，设MN=x ，△EMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.图2图1OCCOA B MNAB M N（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ； （2）如果ED AE 3=，求证：BE AC AE AD ⋅=⋅．A（第24题图）BCDE F（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=231的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称 轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：∠ABO =∠CBO ；（3）如果点P 在直线AB 上，且△POB与△BCD 相似，求点P 的坐标．（第25题图）yxO A B11 -1 -1。

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