弧、弦、圆心角 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
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人教版九年级数学上册：《弧、弦、圆心角》ppt教学课件
圆 4.已知：如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平
行，M、N分别是AB、CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN 与∠CNM的大小关系是什么？为什么？
解： ∠AMN＝∠CNM. ∵AB＝CD，M、N为AB、CD中点. ∴OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD. ∴∠OMA＝∠ONC，∠OMN＝∠ONM， ∴∠OMA－∠OMN＝∠ONC－∠ONM. 即∠AMN＝∠CNM
二、跟踪练习：
圆
1.如图，AB 是⊙O 的直径， BºC ＝ C»D ＝ D»E ，∠COD＝35°，求∠AOE 的度数
解：∠COE=75°
圆 2.如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连结OE、
OF，并且它们的延长线交⊙O于点A、B.
(1)试判断△OEF的形状，并说明理由；
解： (1)△OEF为等腰三角形. 理由：过点O作OG⊥CD于点G. 则CG＝DG.∵CE＝DF， ∴CG－CE＝DG－DF ∴EG＝FG.∵OG⊥CD， ∴OG为线段EF的中垂线. ∴OE＝OF. ∴△OEF为等腰三角形
一、小组合作：
圆
1.⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的 ，
则弦1 AB所对的圆心角为 4
° 90°
2.在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的
圆心角的度数为 120° 。
3.如图，在⊙O 中， AºB AºC ，∠ACB＝75°，求∠BAC 的度数.
解： ∠BAC= 30°
(2)求证： A»C BºD .
证明： 连结AC、BD 由(1)知OE＝OF， 又∵OA＝OB， ∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE. ∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE， ∴∠CEA＝∠DFB. 在△CEA与△DFB中， AE＝BF，∠CEA＝∠BFD，CE＝DF，
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它们所对应的其 余各组量也相
等．
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么__A_B___=___C_D_，_________________．
（2）如果 AB CD ，那么___A_B__=_C_D____，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B___C_D_____，___A_B__=_C_D_．
A′ B
B′
A′
B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与︵B′重合．︵
∴AB A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转 任意一个角度， N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角 度，
由此可以看出，点N'仍落在圆上. N'
N
O
把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合.
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．
N' N
O
如图中所示， ∠NON '就是一个圆心角.
二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？
︵︵
AB A' B '.
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心
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探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
动活11.按大 知下胆识面操的作步探骤究做新一做：
识 ★▲
（′，沿圆周分别将两圆剪下；
（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角
∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心
注意：固定。
在画∠AOB与∠A′O′B′时，要
探究三：圆心角、弧、弦之间关系定 理动活的3 应大 弧用胆度探 相索等，。证明线段相等与
例3.如图，AB，CD是⊙O的弦，M、N 分别为AB、CD的中点且∠AMN=∠CNM， 求证：AB=CD。
【思路点拨】 由中点想到垂径定理，
由等角对等边定理可以得 到线段与角度的相等关系， 可以为证明全等三角形创 造条件。
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等。
探究二：圆心角、弧、弦之间的关系重点、难点知
活 动2
集思广益 证明新 知
识 ★▲
根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是
正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那
么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那
动以前是一个样的。这个现象跟圆的哪个性
质有关？ 说明钟钮左右两端转动180°后完全重合，
两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆
是中心对称图形，对称中心是圆心。
探究一：圆的中心对称性
活 动1
归纳概括
想一想：由以上现象，概括圆的
对称性。
结论： 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 过圆心的直线。 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
练习：如图，AB是⊙O的直径 ， P、Q是AB
上两点， 且AP=BQ ， C、ACD=是BD⊙O上两点，
人教版九年级上册数学精品系列弧、弦、圆心角PPT
人教版九年级上册 数学 课件 24.1.3弧、弦、圆心角(共22张PPT )
探究二：
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B
B′
A′ B
B′
·
O
A
·
O
A
∵ ∠∴AAOB=BA=1∠BA11，O⌒AB1B⌒=A1B1
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圆心角定理
?在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
符号语言： ∵∠AOB=∠A⌒1OB⌒1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 圆心角_相__等__， 所对的弦__相__等____；
圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.在同圆或 等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
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练一练：
2.相等的圆心角所对的弧相等。（× ）
⌒⌒
3.如图，在⊙O中，AB=AC , ∠B＝70°.求∠C度数.
E D BOC=COD=DOE=35
C
AOE 180 335
A
·
O
B
75
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六、练习
︵如图︵，A︵B是⊙O 的直径，
BC＝CD DE,∠COD=35°︵，求∠︵AOE︵的度数．
E
D
解： BC CD DE
C BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B AOE 180 335
75
七、思考
如图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦，
︵︵
C
AD BC.求证:AB＝CD.
︵︵
B′
·
O
A
·
O
A
︵
根据旋转的性质，将线段AB连同AB绕圆心O旋转，使点A与点 A ′重合，∵AB= A ′B′ ，∴线段 AB与A ′B′重合．∴点B与点B ′重
合
︵︵
AB A' B ',
∠AOB＝∠A′OB′
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
1、 在︵⊙o中︵，AOB AOB， AB A' B ', AB AB。 ︵︵
2、 在⊙o中，AB A' B ',
AOB AOB, AB AB。
3、
在⊙o中，AB AB,
︵
︵
AOB AOB, AB A' B。'
A′ B
·
O A
四、练习
︵ ︵ 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． ︵ ︵ （1）如果AB=CD，那么___A_B___C_D___，_____A_O_B_____C_O_D___． ︵ ︵ （2）如果 AB CD ，那么___A_B__=_C_D____，_____A_O_B_____C_O．D
O
A DB
圆心角有：
人教版九年级上册数学课件弧、弦、圆心角
例题精讲：
例1.如图,在⊙O中,⌒AB=A⌒C ,∠ACB=60°
A
(3)若⊙O的半径为r,则等边
ABC三角形的边长为____3_r__
O
B
C
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例题精讲：
例1.如图,在⊙O中,⌒AB=A⌒C ,∠ACB=60°
(4)延长AO，分别交BC于点P
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圆心角定理
?在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
符号语言： ∵∠AOB=∠A⌒1OB⌒1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 圆心角_相__等__， 所对的弦__相__等____；
A
E
B
O·
D
F C
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(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与 OF相等吗？为什么？相 等
理由是：∵AB=CD ， ∴∠AOB=∠COD. 又∵AO=CO，BO=DO， ∴△AOB ≌ △COD. 又∵OE、OF是AB与CD对应边上的高，∴ OE = OF.
O
A
B
AB
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4.如图,AB是⊙O的直径，⌒BC=C⌒D=D⌒E ,∠COD=35°, 求∠AOE的度数．
⌒ ⌒⌒ 解： ∵ BC=CD=DE ，且∠COD=35°
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⑵在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它
们 所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
当AB=CD时
在同圆或等圆中，如果两条弦相 等，那么它所对的圆心角相等， 所对的优弧和劣弧分别相等。
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C（A）
O1
D（B）
在同圆或等圆 中，如果两个圆 心角、两条弧、 两条弦中有一组 量相等，那么它 们所对应的其余 各组量也相等。
圆是不是中心对称图形 ？如果是，对称中心在哪里？ 把圆绕圆心旋转任意一个角度，和原来的圆会出现什 么结果? （重合）
因此：圆具有旋转不变性，即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度， 都能与原来的图形_重合.
下列图形中，哪一个图形无论绕中心旋转多少度，都能与自
身重合？( ④ )
①
②
③
④
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
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1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。 3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
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课本P89 习题24.1 第2、3题
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课本P85练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么__A_B____=___C_D，____A_O__B_____C__O_D__．
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A
,AB
·
O
A
解 把∠AOB连同AB绕圆心O旋转 使射线OA与OA’重合
因为∠AOB =∠A’OB’
所以射线OB与OB’重合
又因为OA=OA’ OB=OB’ 所以点A与点A’重合 点B与点B’重合
︵
︵
所以 AB A ' B '. A B A ' B ' .
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1.在圆O中，如果 AB=2BC，那么 下列说法中正确的是（ ） A. AB=BC B. AB=2BC C. AB>2BC D. AB<2BC
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弧、弦与圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等． 2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角__相__等_， 所对的
弦___相_等____；
3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角__相__等__，所对 的优弧和 劣弧 也分别 相等
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试一试
1、判别下列各图中的角是不上册.. 弧 、弦 、圆心 角课件 优质P PT
广东省怀集县凤岗镇初级中学
x
黄柳燕
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试一试2：找出图中的圆心角。
圆心角有： ∠AOD,∠BOD,∠AOB
圆心角 相等
知
人教版九年级数学上册《 圆心角、弦、弧、弦心距、圆周角》课件
OD于F.求证：AE=CD=BF
O·
A C
B D
3. ⊙O1与⊙O2为等圆，M是O1O2 的中点，过M作一直线交⊙O1于A、 B ，交⊙O2于C、D 。
求证：A⌒B=C⌒D
B
·O1
E
C AM
D F
·O2
4. 如图，∠BAC=50°，则
∠D+∠E=____2_3__0_°__
5.在Rt△ ABC中，AB=6， BC=8，则这个三角形的外
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
E • 什么时候圆周角是直角？
D
反过来呢？
O
• 直角三角形斜边中线有什
A
B 么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
O·
A C
B D
3. ⊙O1与⊙O2为等圆，M是O1O2 的中点，过M作一直线交⊙O1于A、 B ，交⊙O2于C、D 。
求证：A⌒B=C⌒D
B
·O1
E
C AM
D F
·O2
4. 如图，∠BAC=50°，则
∠D+∠E=____2_3__0_°__
5.在Rt△ ABC中，AB=6， BC=8，则这个三角形的外
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
E • 什么时候圆周角是直角？
D
反过来呢？
O
• 直角三角形斜边中线有什
A
B 么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
谢谢观赏
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我们，还在路上……
初中数学人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角课件(27张PPT)
解：∵ = ,∴ 一
即 =,
∴∠2=∠1=45°.
2.如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点，CD⊥OA于点D,
CE⊥OB于点E,CD=CE, 则 与 的大小关系是 相等
3 . 已知⊙0中， = , 且 与
∠AOC=144°.
的度数之比为3:4,则
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
.
=
AB=BC=CD=DA (圆心角定理) .
小结
圆的旋转不变性； 圆心角的定义；
圆心角定理； 圆心角定理的应用； 弧的度数.
谢心的角叫做圆心角.
∠AOB为圆心角.
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
答：根据圆心角定义，①是圆心角，②③④不是圆心角.
二、探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能 发现哪些等量关系?为什么?
∠AOB=∠A'OB'
4.在⊙0中， 的长是 的两倍，则(C )
A.AB>2CD C.AB<2CD
B.AB=2CD
D.AB 与 2CD 大小不能确定
知识延伸 如 图 ，AC 与 BD 为⊙O 的两条互相垂直的直径.
求证：
二
AB=BC=CD=DA.
证明：∵AC 与 BD 为⊙0的两条互相垂直的直径，Bk
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
三、例题 如 图 在 ⊙ 0 中 ， =,∠ 证明：连接AB 、AC 、BC,
ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
=
∴AB=AC, △ABC 等腰三角形， 又∠ACB=60°,
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA,
即 =,
∴∠2=∠1=45°.
2.如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点，CD⊥OA于点D,
CE⊥OB于点E,CD=CE, 则 与 的大小关系是 相等
3 . 已知⊙0中， = , 且 与
∠AOC=144°.
的度数之比为3:4,则
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
.
=
AB=BC=CD=DA (圆心角定理) .
小结
圆的旋转不变性； 圆心角的定义；
圆心角定理； 圆心角定理的应用； 弧的度数.
谢心的角叫做圆心角.
∠AOB为圆心角.
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
答：根据圆心角定义，①是圆心角，②③④不是圆心角.
二、探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能 发现哪些等量关系?为什么?
∠AOB=∠A'OB'
4.在⊙0中， 的长是 的两倍，则(C )
A.AB>2CD C.AB<2CD
B.AB=2CD
D.AB 与 2CD 大小不能确定
知识延伸 如 图 ，AC 与 BD 为⊙O 的两条互相垂直的直径.
求证：
二
AB=BC=CD=DA.
证明：∵AC 与 BD 为⊙0的两条互相垂直的直径，Bk
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
三、例题 如 图 在 ⊙ 0 中 ， =,∠ 证明：连接AB 、AC 、BC,
ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
=
∴AB=AC, △ABC 等腰三角形， 又∠ACB=60°,
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA,
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A
B
A′
B′
O·
·O ′
由∠AOB＝∠A′O ′ B′︵可得到：︵
AB A' B '.
AB A' B '.
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB
根据圆心角、弧、弦、
的关系可知： ⌒⌒
AB AB
AB A'B'.
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等.
（2）如果 AB = CD ，那么___A_B__=_C_D____，_A__O_B_____C_O_D__． （3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B___=___C_D__，___A_B__=_C_D_．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
OE﹦OF
B
∵
α
∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
Oα
A1
A B1
探究二 在同圆中，
︵︵
（1）、如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
AB A' B '. 成立吗 ?
（1）
探究二 在同圆中，
（2）︵、如︵果 AB A' B'. 那么∠AOB＝∠A′OB′，
AB A' B '. 成立吗 ?
（2）
小结 弧、弦与圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等．
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角__相__等_， 所对的
弦___相_等____；
3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角__相__等__，所对 的弧___相__等____．
A
E
B
O·
D
F C
例题
例1 如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
A
证明：
∵ AB = AC
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰三角形
B
又∠ACB=60°，
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
·O 60° C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
练习
1、如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C ，∠C=75°，求∠A的度数。
练习
2、如图，AB是⊙O 的直径， BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
解：
E
D
∵ BC = CD = DE
C
BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B AOE 180 335
75
练习
3、如图，AD=BC, 比较A⌒B与C⌒D的长度，并证明你的结 论。
人教版九年级上册
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
圆心角：我们把 顶点在的圆角心叫做圆
心角.
∠AOB是圆心角吗？ 是
A
圆心角∠AOB所对
O·
的弦为AB，所对的弧
B 为A⌒B。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并 说明理由。
①
②
③
④
对于下图中的三个量： 圆心角 弧 弦
练习
4、如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为A⌒B的 中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC
O
M
N
A
B
C
练习
5、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径， 弦BE∥OA,求证：A⌒C=A⌒E
C
O A
E
B
6、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上
取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于
A O·
B
这三个量之间会有什么关系呢？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到
∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什
么？
A1 B
B1
C
·
O
A
∵ ∠∴AAOB=BA=1∠BA11，O⌒AB1B⌒=A1B1 .
探究一
思考：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′，
你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
在同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它 们所对应的其余各组量 也相等．
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
等对等定理整体理解：
(1) 圆心角 知
(2) 弧
一
得
(3) 弦
二
B
α
A
Oα
A1
B1
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么__A_B___=___C_D_，_____A_O_B_____C_O_D___．
点A、 B.
⌒⌒
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
O
E
F
C
G
D
A
H
B
1、三个元素： 圆心角、弦、弧
2、三个相等关系：
(1) 圆心角相等 知
(2) 弧相等
一
(3) 弦相等
得 二
B
α
A
Oα
A1
B1