北师大版数学八年级上册第一章测试题及答案
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北师大版八年级数学上册第一章章节测试题及答案一、选择题（共11小题）1. 一个直角三角形的三边长分别为，，，则为A. B. C. D. 或2. 如图，一个工人拿一个米长的梯子，底端放在距离墙根点米处，另一头点靠墙，如果梯子的顶部下滑米，梯子的底部向外滑多少米?A. B. C. D.3. 如图所示，正方体的棱长为，一只蜘蛛从正方体的一个顶点爬行到另一个顶点，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是A. B. C. D.4. 【例】下列结论中，错误的有①在中，已知两边长分别为和，则第三边的长为；②的三边长分别为，，，若，则；③在中，若，则是直角三角形；④若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形．A. 个B. 个C. 个D. 个5. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于A. B. C. D.6. 如图，有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7. 如图所示，有一个高，底面周长为的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是A. B. C. D.8. 硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是A. 正面向上B. 正面不向上C. 正面或反面向上D. 正面和反面都不向上9. 张瑞同学制作了四块全等的直角三角形纸板，准备复习功课用，六岁的弟弟看到纸板随手做拼图游戏，结果七拼八凑地拼出了如图所示的图形．张瑞热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长为A. B. C. D.10. 如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿EF对折，使得点与点重合，则的长为A. B. C. D.11. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题（共10小题）12. 如图所示，，，，，则．13. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则长为．14. 如图，在一个长为米，宽为米的纸板上有一长方体木块，它的长和纸板宽平行且大于，木块的正面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从处爬行到处需要走的最短路程是米．15. 已知三角形的三边长分别为，，，则此三角形面积是．16. 如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动米．（假设绳子是直的）17. 如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的长为 .18. 小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，当他把竹竿的顶端拉向岸边时，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为．19. 如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，面积分别记为，，，若，，则．20. 阅读下列题目的解题过程：已知，，为的三边，且满足，试判断的形状．解：，（A），（B），（C）是直角三角形．问：（）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号：；（）错误的原因为；（）本题正确的结论为 .21. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少?示意图如下图所示，设绳索的长为尺，木柱的长用含的代数式表示为尺，根据题意，可列方程为．三、解答题（共7小题）22. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．23. 如图，有一只小鸟在一棵高的小树的树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树，高的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，该小鸟立刻以的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少经过几秒才能到达大树和伙伴在一起?24. 列方程解下列应用题．如图，，厘米，点从点开始沿边向点移动，的速度为厘米/秒．点同时从点开始沿边向移动，的速度为厘米/秒．几秒后，两点相距厘米?25. 如图所示，若，，，，，，则的度数是多少?26. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，以格点为线段的端点，按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）．（1）在图中画一条线段，使，并标出的中点；（2）在图中画一条线段，使，并标出的中点．27. 如图，在长方形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，求的最小值.28. 如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为，到公交站（点）的距离为，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离．答案1. D2. D【解析】米，米，（米），梯子的顶部下滑米，米，米，米．梯子的底部向外滑出（米）．3. D【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上，连接，如图所示，爬行的最短路径为线段．由勾股定理得，，故选D．4. C【解析】①在中，已知两边长分别为和，则第三边的长为或，错误；②的三边长分别为，，，若，则，错误；③在中，若，则是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．5. A【解析】在中，由勾股定理可知：，由折叠的性质可知：，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，．6. D【解析】设芦苇长尺，则水深尺，因为边长为尺的正方形，所以尺．在中，，解之得，即水深尺，芦苇长尺．故选：D．7. C【解析】如图展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过作于，则，，在中，由勾股定理得：，答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是．8. C【解析】A．正面向上的可能性为；B．正面不向上的可能性为；C．正面或反面向上的可能性为；D．正面和反面都不向上的可能性为．9. C【解析】设，则，，，，，，．10. B【解析】设，则 .矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，．在中，，.解得 .11. A【解析】如图，在中．，米，米，，．在中，，米，，．．，米，米．即小巷的宽度为米，故答案选A．12.【解析】，，，，；；．13.14.【解析】如图，将木块看成是由纸片折成的，将其拉平成一个长方形，连接，米，米，，米，妈蚁从处爬行到处需要走的最短路程为米．15.16.【解析】在中：，米，米，（米），此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，（米），（米），（米），答：船向岸边移动了米．17.18. 米【解析】若假设竹竿长米，则水深米，由题意得，，解之得，．所以水深米．19.【解析】中，，，．，，，．20. C，没有考虑的情况，是等腰三角形或直角三角形21. ，【解析】；由题意可知，由勾股定理可得．22. 由题意得；设，则，，在中，根据勾股定理得：，即，解得；即．23. 这只小鸟至少经过才能到达大树和伙伴在一起．24. 秒或秒25. 在中，，，，所以，所以是直角三角形，且，在中，，，，所以，所以是直角三角形，且，所以．26. （1）如图，，点为线段的中点．（2）如图，，点为线段的中点．27. 如图，当，点在上时，的值最小.根据折叠的性质，得，所以， .因为是边的中点，，所以 .因为，所以，所以 .28. 过点作于点，，，，设，则，在中，，，．北师大版八年级数学上册第一章章节测试题及答案一、选择题（共11小题）1. 一个直角三角形的三边长分别为，，，则为A. B. C. D. 或2. 如图，一个工人拿一个米长的梯子，底端放在距离墙根点米处，另一头点靠墙，如果梯子的顶部下滑米，梯子的底部向外滑多少米?A. B. C. D.3. 如图所示，正方体的棱长为，一只蜘蛛从正方体的一个顶点爬行到另一个顶点，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是A. B. C. D.4. 【例】下列结论中，错误的有①在中，已知两边长分别为和，则第三边的长为；②的三边长分别为，，，若，则；③在中，若，则是直角三角形；④若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形．A. 个B. 个C. 个D. 个5. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于A. B. C. D.6. 如图，有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7. 如图所示，有一个高，底面周长为的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是A. B. C. D.8. 硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是A. 正面向上B. 正面不向上C. 正面或反面向上D. 正面和反面都不向上9. 张瑞同学制作了四块全等的直角三角形纸板，准备复习功课用，六岁的弟弟看到纸板随手做拼图游戏，结果七拼八凑地拼出了如图所示的图形．张瑞热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长为A. B. C. D.10. 如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿EF对折，使得点与点重合，则的长为A. B. C. D.11. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题（共10小题）12. 如图所示，，，，，则．13. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则长为．14. 如图，在一个长为米，宽为米的纸板上有一长方体木块，它的长和纸板宽平行且大于，木块的正面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从处爬行到处需要走的最短路程是米．15. 已知三角形的三边长分别为，，，则此三角形面积是．16. 如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动米．（假设绳子是直的）17. 如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的长为 .18. 小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，当他把竹竿的顶端拉向岸边时，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为．19. 如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，面积分别记为，，，若，，则．20. 阅读下列题目的解题过程：已知，，为的三边，且满足，试判断的形状．解：，（A），（B），（C）是直角三角形．问：（）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号：；（）错误的原因为；（）本题正确的结论为 .21. 我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少?示意图如下图所示，设绳索的长为尺，木柱的长用含的代数式表示为尺，根据题意，可列方程为．三、解答题（共7小题）22. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．23. 如图，有一只小鸟在一棵高的小树的树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树，高的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，该小鸟立刻以的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少经过几秒才能到达大树和伙伴在一起?24. 列方程解下列应用题．如图，，厘米，点从点开始沿边向点移动，的速度为厘米/秒．点同时从点开始沿边向移动，的速度为厘米/秒．几秒后，两点相距厘米?25. 如图所示，若，，，，，，则的度数是多少?26. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，以格点为线段的端点，按下列要求仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）．（1）在图中画一条线段，使，并标出的中点；（2）在图中画一条线段，使，并标出的中点．27. 如图，在长方形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，求的最小值.28. 如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为，到公交站（点）的距离为，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离．答案1. D2. D【解析】米，米，（米），梯子的顶部下滑米，米，米，米．梯子的底部向外滑出（米）．3. D【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上，连接，如图所示，爬行的最短路径为线段．由勾股定理得，，故选D．4. C【解析】①在中，已知两边长分别为和，则第三边的长为或，错误；②的三边长分别为，，，若，则，错误；③在中，若，则是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．5. A【解析】在中，由勾股定理可知：，由折叠的性质可知：，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，．6. D【解析】设芦苇长尺，则水深尺，因为边长为尺的正方形，所以尺．在中，，解之得，即水深尺，芦苇长尺．故选：D．7. C【解析】如图展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过作于，则，，在中，由勾股定理得：，答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是．8. C【解析】A．正面向上的可能性为；B．正面不向上的可能性为；C．正面或反面向上的可能性为；D．正面和反面都不向上的可能性为．9. C【解析】设，则，，，，，，．10. B【解析】设，则 .矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，．在中，，.解得 .11. A【解析】如图，在中．，米，米，，．在中，，米，，．．，米，米．即小巷的宽度为米，故答案选A．12.【解析】，，，，；；．13.14.【解析】如图，将木块看成是由纸片折成的，将其拉平成一个长方形，连接，米，米，，米，妈蚁从处爬行到处需要走的最短路程为米．15.16.【解析】在中：，米，米，（米），此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，（米），（米），（米），答：船向岸边移动了米．17.18. 米【解析】若假设竹竿长米，则水深米，由题意得，，解之得，．所以水深米．19.【解析】中，，，．，，，．20. C，没有考虑的情况，是等腰三角形或直角三角形21. ，【解析】；由题意可知，由勾股定理可得．22. 由题意得；设，则，，在中，根据勾股定理得：，即，解得；即．23. 这只小鸟至少经过才能到达大树和伙伴在一起．24. 秒或秒25. 在中，，，，所以，所以是直角三角形，且，在中，，，，所以，所以是直角三角形，且，所以．26. （1）如图，，点为线段的中点．（2）如图，，点为线段的中点．27. 如图，当，点在上时，的值最小.根据折叠的性质，得，所以， .因为是边的中点，，所以 .因为，所以，所以 .28. 过点作于点，，，，设，则，在中，，，．。
北师大版八年级数学上册第一章单元测试卷含答案
第一章单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1. 已知△ABC的三边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，则△ABC的面积是(A)A．6 cm2B．7.5 cm2C．10 cm2D．12 cm22. 如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A．12B．13C．144D．1943. 三角形的三条边长分别为a，b，c，且(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是(C)A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形4. 已知一直角三角形木板，三边的平方和为1800，则斜边长为(B)A．80 B．30 C．90 D．1205. 下列结论中不正确的是(C)A．三个内角之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形B．三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C．三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形D．三个内角之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形6. 如图，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸(AE>DE)剪去了一角，量得AB＝3 cm，CD＝4 cm，则剪去的直角三角形的斜边BC长为(D)A．5 cm B．12 cm C．16 cm D．20 cm错误!错误!,第7题图) 错误!,第8题图),第9题图)7. 如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25 m，高7 m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3 m，则共需购买红地毯(C)A．21 m2B．75 m2C．93 m2D．96 m28. 如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD ＝8，AB＝4，则DE的长为(C)A．3 B．4 C．5 D．69. 如图，在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC＝5，AD＝6，BD＝10，CD＝5，那么三角形ABC的面积是(B)A．30 B．36 C．72 D．12510. 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是(C)A ．42B ．32C ．42或32D ．30或35二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.若b ＝8，c ＝17，则S △ABC ＝60. 12. 在△ABC 中，AB ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，BC 边上的中线AD ＝4 cm ，则∠ADC 的度数是90°. 13. 如图，每个小正方形边长为1，则△ABC 边AC 上的高BD 的长为85.,第13题图) ,第14题图) ,第16题图)14. 如图，已知长方形ABCD ，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE 的长为78cm .15. 李明从家出发向正北方走了1200 m ，接着向正东方向走到离家2000 m 的地方，则李明向正东方向走了1600m .16. 如图，一块砖的宽AN ＝5 cm ，长ND ＝10 cm ，CD 上的点B 距地面的高BD ＝8 cm .地面上A 处的一只蚂蚁要到B 处吃食，需要爬行的最短路径是17cm .三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)17. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，求AB 的长和△ABC 的周长．解：由勾股定理得AB 2＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝52，所以AB ＝5，△ABC 的周长是AC ＋BC ＋AB ＝3＋4＋5＝1218. 如图，∠C ＝90°，AM ＝CM ，MP ⊥AB 于点P ，求证：BM 2＝AP 2＋BC 2＋PM 2.证明：因为BM 2＝BC 2＋CM 2，CM ＝AM ，所以BM 2＝BC 2＋AM 2.又AM 2＝AP 2＋PM 2，所以BM 2＝BC 2＋AP 2＋PM 219. 如图，在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝15，AD 为BC 边上的高，且AD ＝12，求△ABC 的周长．解：因为AD 为BC 边上的高，所以∠ADB ＝∠ADC ＝90°，在Rt △ABD 中，AB ＝20，AD ＝12，所以BD 2＝AB 2－AD 2，即BD ＝16，在Rt △ADC 中，AC ＝15，AD ＝12，所以DC 2＝AC 2－AD 2，即DC ＝9，所以BC ＝25，所以△ABC 的周长是60四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)20. 如图，已知∠ADC ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，AB ＝26，BC ＝24. (1)证明：△ABC 是直角三角形． (2)请求图中阴影部分的面积．解：(1)因为在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，所以AC 2＝AD 2＋CD 2＝82＋62＝100，所以AC ＝10.在△ABC 中，因为AC 2＋BC 2＝102＋242＝676，AB 2＝262＝676，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以△ABC 为直角三角形 (2)S 阴影＝S △ABC －S △ACD ＝12×10×24－12×8×6＝9621. 如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN 的东侧A 处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m 到达河边B 处取水，然后沿另一方向走80 m 到达菜地C 处浇水，最后沿第三方向走100 m 回到家A 处．问小明到河边B 处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．解：因为AB ＝60，BC ＝80，AC ＝100，所以AB 2＋BC 2＝AC 2，∠ABC ＝90°.因为AD ∥NM ，所以∠NBA ＝∠BAD ＝30°，所以∠MBC ＝180°－90°－30°＝60°，所以小明在河边B 处取水后是沿南偏东60°方向行走的22. 学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝20米，BC ＝15米，CD ＝7米，土地价格为1000元/平方米，请你计算学校征收这块地需要多少元？解：连接AC ，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝20，BC ＝15.由勾股定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2＝202＋152＝625.在△ADC 中，∠D ＝90°，CD ＝7，由勾股定理得：AD 2＝AC 2－CD 2＝625－72＝576，AD ＝24，所以四边形的面积为12AB ·BC ＋12CD ·AD ＝234(平方米)，234×1000＝234000(元)，所以学校征收这块地需要234000元五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)23. 如图，△ABC 的面积为84，BC ＝21，现将△ABC 沿直线BC 向右平移a(0＜a ＜21)个单位到△DEF 的位置．(1)求BC 边上的高； (2)若AB ＝10，①求线段DF 的长；②连接AE ，当△ABE 时等腰三角形时，求a 的值．解：(1)作AM ⊥BC 于M ，因为△ABC 的面积为84，所以12BC ·AM ＝84，解得AM ＝8，即BC 边上的高为8(2)①在Rt △ABM 中，BM 2＝AB 2－AM 2，所以BM ＝6，所以CM ＝BC －BM ＝15，在Rt △ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2，所以AC ＝17，由平移的性质可知，DF ＝AC ＝17；②当AB ＝BE ＝10时，a ＝BE ＝10；当AB ＝AE ＝10时，BE ＝2BM ＝12，则a ＝BE ＝12；当EA ＝EB ＝a 时，ME ＝a －6，在Rt △AME 中，AM 2＋ME 2＝AE 2，即82＋(a －6)2＝a 2，解得a ＝253，则当△ABE 时等腰三角形时，a 的值为10或12或25324. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是12(9－1)，12(9＋1)；勾是五时，股和弦的算式分别是12(25－1)，12(25＋1)．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；(2)根据(1)的规律，请用含n(n 为奇数，且n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系(请写出两种)，并对其中一种猜想加以证明；(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m(m 为偶数，且m ＞4)的代数式来表示股和弦．解：(1)12(72－1)，12(72＋1) (2)当n ≥3，且n 为奇数时，勾、股、弦分别为：n ，12(n 2－1)，12(n 2＋1)，它们之间的关系为：①弦－股＝1，②勾2＋股2＝弦2，如证明①，弦－股＝12(n 2＋1)－12(n 2－1)＝12n 2＋12－12n 2＋12＝1 (3)当m>4，且m 为偶数时，股、弦分别为：(m 2)2－1，(m2)2＋125. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D ，E 是直线AB 上两点．∠DCE ＝45°. (1)当CE ⊥AB 时，点D 与点A 重合，求证：DE 2＝AD 2＋BE 2； (2)当点D 不与点A 重合时，求证：DE 2＝AD 2＋BE 2；(3)当点D 在BA 的延长线上时，(2)中的结论是否成立？画出图形，说明理由．解：(1)因为CE ⊥AB ，所以AE ＝BE ，因为点D 与点A 重合，所以AD ＝0，所以DE 2＝AD 2＋BE 2 (2)如图①，过点A 作AF ⊥AB ，使AF ＝BE ，连接DF ，CF ，因为在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠CAB ＝∠B ＝45°，所以∠FAC ＝45°，所以△CAF ≌△CBE(SAS )，所以CF ＝CE ，∠ACF ＝∠BCE ，因为∠ACB ＝90°，∠DCE ＝45°，所以∠ACD ＋∠BCE ＝∠ACB －∠DCE ＝90°－45°＝45°，因为∠ACF ＝∠BCE ，所以∠ACD ＋∠ACF ＝45°，即∠DCF ＝45°，所以∠DCF ＝∠DCE ，又因为CD ＝CD ，所以△CDF ≌△CDE(SAS )，所以DF ＝DE ，因为AD 2＋AF 2＝DF 2，所以AD 2＋BE 2＝DE 2(3)结论仍然成立．理由：如图②，过点A 作AF ⊥AB ，使AF ＝BE ，连接DF ，CF ，因为在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠CAB ＝∠B ＝45°，所以∠FAC ＝45°，所以△CAF ≌△CBE(SAS )，所以CF ＝CE ，∠ACF ＝∠BCE ，因为∠BCE ＋∠ACE ＝90°，所以∠ACF ＋∠ACE ＝90°，即∠FCE ＝90°，因为∠DCE ＝45°，所以∠DCF ＝45°，所以∠DCF ＝∠DCE ，又因为CD ＝CD ，所以△CDF ≌△CDE(SAS )，所以DF ＝DE ，因为AD 2＋AF 2＝DF 2，所以AD 2＋BE 2＝DE 2。
第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转度（< ≤）得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A. B.0.5 C.1 D.2、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）A.40B.44C.84D.883、“用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形”这一事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不是4、菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A.100cmB.80cmC.60cmD.50cm5、三角形三边长分别是3，4，5，则它的最短边上的高为（）A.3B.2.4C.4D.4.86、一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（）A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺7、如图，正方形ABCD的对角线交于点O ，以AD为边向外作Rt△ADE ，∠AED＝90°，连接OE ， DE＝6，OE＝，则另一直角边AE的长为（）.A. B.2 C.8 D.108、如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米9、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13.则小正方形的面积为（）A.3B.4C.5D.610、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的半径为（）A.8B.10C.16D.2011、下列命题不成立的是A.三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B.三个角的度数比为1：：2的三角形是直角三角形C.三边长度比为1：：的三角形是直角三角形D.三边长度之比为：：2的三角形是直角三角形12、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A.a:b:c =13∶5∶12B.a 2-b 2=c 2C.a 2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=8∶16∶1713、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.14、如图，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，AC=3，BC=4，则CD的长为（）A.1.6B.2.4C.2D.2.115、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.2，3，4B.4，6，8C.6，8，10D.5，11，12二、填空题(共10题，共计30分)16、将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为________．17、一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明________危险.（填有或无）18、如图，正方形ABCD的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC=6，BD=5，则点D的坐标是________．19、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，则的长度是________.20、菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为________.21、已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为________22、如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为________m223、已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为________24、如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需________元．25、如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m和8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.28、小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度。
北师大版初中八年级数学上册第一章同步练习题(含答案解析)
第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．30，40，50B ．7，12，13C ．5，9，12D ．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（ ）A ．169B ．119C ．13D ．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（ ）A ．3 cm 2B ．4 cm 2C ．5 cm 2D ．6 cm 2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的为（ ）A ．∠A =∠B －∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠C =1∶1∶2C ．b 2=a 2－c 2D ．a ∶b ∶c =2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口1.5 h 后，两轮船相距（ ）A ．30 n mileB ．35 n mileC ．40 n mileD ．45 n mile7．如图，在△ABC 中，AB =A C =13，BC =10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A.1013 B.1513 C.6013D.7513 8．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的高，若AB =5 cm ，BC =6 cm ，则AD =__________．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．c－b=0，则△ABC的形状14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||为__________________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=________．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是______．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____．18．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为____．三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD=BC=12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE..21．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点E在CD上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF，试利用此图说明勾股定理．22．如图，∠AOB=90°，OA=9 cm，OB=3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？23．如图，在长方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求△ADE的面积．24．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD=8 cm，高AB=6 cm，水深为AE=4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．参考答案第一章测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的（B）A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（A）A．30，40，50B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是（A）A．169 B．119 C．13 D．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（C）A．3 cm2B．4 cm2C．5 cm2D．6 cm2（第4题）（第7题）（第9题）（第10题）5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（D）A．∠A=∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2C．b2=a2－c2D．a∶b∶c=2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5 h后，两轮船相距（D）A．30 n mile B．35 n mile C．40 n mile D．45 n mile7．如图，在△ABC中，AB=A C=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（C）A.1013B.1513C.6013D.75138．若△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（D）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【解析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．10．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（D）A．9 B．6 C．4 D．3【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．二、填空题（每题3分，共24分）11．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD=_____11.4 cm_____．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为____400 m____．13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3 cm，AC=5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于___7 cm_____．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式（a2－c2－b2）2＋||c－b=0，则△ABC的形状为_________等腰直角三角形_________．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=____4____．16．如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是__130cm____．第15题图第16题图第17题图17．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为__3cm≤h≤4cm__．【解析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16-12=4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．解答：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm，由勾股定理可得杯里面管长为数学公式=13cm，则露在杯口外的长度最长为16-13=3cm；则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．18．在△ABC 中，若AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，则△ABC 的周长为__32或42__．【解析】∵AC =15，BC =13，AB 边上的高CD =12，∴AD 2=AC 2－CD 2，即AD =9，BD 2=BC 2－CD 2，即BD =5.如图①，CD 在△ABC 内部时，AB =AD ＋BD =9＋5=14，此时，△ABC 的周长为14＋13＋15=42；如图②，CD 在△ABC 外部时，AB =AD －BD =9－5=4，此时，△ABC 的周长为4＋13＋15=32.综上所述，△ABC 的周长为32或42.三、解答题（19～22题每题9分，其余每题10分，共66分）19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m ，如图，即AD =BC =12 m ，此时建筑物中距地面12.8 m 高的P 处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB 是3.8 m ，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？解：因为CD =AB =3.8 m ，所以PD =PC －CD =9 m.在Rt △ADP 中，AP2=AD2＋PD2，得AP=15 m.所以此消防车的云梯至少应伸长15 m.20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB ，AE 分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB ⊥AE ..解：如图，连接BE .因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2.所以△ABE 是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB ⊥AE..21．如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点E 在CD 上，DE =b ，AE =c ，延长CB 至点F ，使BF =b ，连接AF ，试利用此图说明勾股定理．解：在△ADE 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ＝a ，∠D ＝∠ABF ，DE ＝BF ＝b ，所以△ADE ≌△ABF.所以AE=AF=c ，∠DAE=∠BAF ，S △ADE=S △ABF.所以∠EAF=∠EAB ＋∠BAF=∠EAB ＋∠DAE=∠DAB=90°，S 正方形ABCD=S 四边形AECF.连接EF ，易知S 四边形AECF=S △AEF ＋S △ECF=12[c2＋（a －b ）（a ＋b ）]=12（a2＋c2－b2），S 正方形ABCD=a2，所以12（a2＋c2－b2）=a2. 所以a2＋b2=c2.22．如图，∠AOB =90°，OA =9 cm ，OB =3 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿BC 方向匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？ 解：根据题意，BC =AC =OA －OC =9－OC .因为∠AOB=90°，所以在Rt △BOC 中，根据勾股定理，得OB2＋OC2=BC2，所以32＋OC2=（9－OC ）2，解得OC=4 cm.所以BC=5 cm.23．如图，在长方形ABCD 中，DC =5 cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设落点为F ，若△ABF 的面积为30 cm 2，求△ADE 的面积．解：由折叠可知AD=AF ，DE=EF.由S △ABF=12BF ·AB=30 cm2， AB=DC=5 cm ，得BF=12 cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AF=13 cm ，所以BC=AD=AF=13 cm.设DE=x cm ，则EC=（5－x ）cm ，EF=x cm ，FC=13－12=1（cm ）．在Rt △ECF 中，由勾股定理，得EC2＋FC2=EF2，即（5－x ）2＋12=x2，解得x=135. 所以S △ADE=12AD ·DE=12×13×135=16.9 （cm2）． 24．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN 上以18km/h 的速度沿PN 方向行驶，拖拉机行驶时周围100m 以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？解：设拖拉机开到C 处学校刚好开始受到影响，行驶到D 处时，结束了噪声的影响，则有CA=DA=100m.在Rt △ABC 中，CB2=1002－802=602，∴CB=60m ，∴CD=2CB=120m.∵18km/h=5m/s ，∴该校受影响的时间为120÷5=24（s ）．答：该校受影响的时间为24s.25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD =8 cm ，高AB =6 cm ，水深为AE =4 cm ，在水面线EF 上紧贴内壁G 处有一粒食物，且EG =6 cm ，一只小虫想从水缸外的A 处沿水缸壁爬进水缸内的G 处吃掉食物．（1）小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．解：（1）如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G 与BC 交于点Q ，则AQ ＋QG 为最短路线．（2）因为AE =4 cm ，AA ′=12 cm ，所以A ′E =8 cm.在Rt △A ′EG 中，EG =6 cm ，A ′E =8 cm ，A ′G 2=A ′E 2＋EG 2=102，所以A ′G =10 cm ，所以A Q ＋QG =A ′Q ＋QG =A ′G =10 cm.所以最短路线长为10 cm.。
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案(1)
D C B A FE D C B A 新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案（1）一、填空题（1. 如图，在长方形ABCD 中，已知BC=10cm ，AB=5cm ，则对角线BD= cm 。
2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线为22，则正方形边长为 。
3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的 。
4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是 三角形。
5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米。
6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a= ，b= 。
7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为 。
8. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF= 。
9. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是 。
10. 如图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是 。
11. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里。
12. 所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数。
我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m 、n （m ＞n ），取a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，则a 、b 、c 就是一组勾股数。
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7 7第一章《勾股定理》单元测试卷班别：姓名：一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．122.已知a=3，b=4，若a，b，c 能组成直角三角形，则c=（）A.5B.C.5 或D.5 或63.如图中字母A 所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．644.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm6．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（）①a= ，b=，c= ②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个7．在△ABC 中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC 是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形3 8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2 倍，这个三角形有一个锐角是 （ ） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9. 已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2 D.12cm 210. 已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港 口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（ ） A ．25 海里B ．30 海里C ．35 海里D ． 40 海里二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）11. 一个三角形三边长度之比为 1∶2∶ ，则这个三角形的最大角为度．12. 如图，等腰△ABC 的底边 BC 为 16，底边上的高 AD 为 6，则腰长 AB 的长为． 13．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B200m ，结果他在水中实际游了 520m ，求该河流的宽度为m ．14.小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9 米到A 点，小红向东走到B 点时,当两人相距为15 米，则小红向东走了米．15.一个三角形三边满足(a +b)2 -c2 = 2ab ,则这个三角形是三角形．16.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面（填”合格”或”不合格”）．17.直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为cm2．18.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是．三、解答题（共46 分）19.在RtΔABC 中，∠A CB=90°，AB=5，AC=3，CD⊥AB 于D，求CD 的长．CA BD21．（7 分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC 的值．22．（8 分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河北牧童A东B 小屋23．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域．（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？《勾股定理》单元测试卷答案一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1．C．2．C．3．D．4．C．5．D．6．A．7．D．8．C．9．C．10．D．二、填空题（共8 小题，每小题3 分，满分24 分）11．900 ．12．10 ．13．480 m．14．12 米．15．直角．16．合格．17．30 cm2．18．25 ．三、解答题（共46 分）19．略20．解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC2 = AB2 -AC2=42，∴BC=4，∵CD⊥AB，1 1 12∴AB·CD= AC·BC，∴5CD=12，∴CD=．2 2 5．21.解：∵AD⊥BC 于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．∴AC=22.解：设矩形的长是a，宽是b，根据题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m．23.如图，作出A 点关于MN 的对称点A′，则A′A=8 km,连接A′B 交MN 于点P，则A′B 就是最短路线.在Rt△A′DB 中，A′D=15 km,BD=8 km由勾股定理得A′B2= A′D 2+BD2=289∴A′D =17kmA′M P NAD B24.解：（1）由A 点向BF 作垂线，垂足为C，在Rt△ABC 中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A 城要受台风影响；（2）设BF 上点D，DA=200 千米，则还有一点G，“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理 含答案
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果梯子的底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可以达到建筑物的高度是( )A.10mB.11mC.12mD.13m2、如图，有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树飞到另一棵树的树梢，至少飞了( )米。
A. 米B.5 米C.4米D. 米3、如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. B. C. D.4、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A.a＝，b＝，c＝B.a＝b，∠C＝45°C.∠A：∠B：∠C＝3：4：5D.a＝，b＝，c＝25、在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.13B.12C.4D.106、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A.5B.7C.9D.117、如图，一艘船由A港沿北偏西60°方向航行10海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行10海里至C港．则下列说法正确的是（）A.C港在A港的南偏西30°方向上B.C港在A港的北偏西30°方向上 C.C港在A港的北偏西15°方向上 D.C港在A港的南偏西15°方向上8、以下列各组数据中，能构成直角三角形的是（）A.2，3，4B.3，4，7C.5，12，13D.1，2，39、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）A.10B.8C.5D.310、已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是（）A.5B.C.D. 或511、已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（）.A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形12、已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 213、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A. B. C. D.14、将直角三角形的三条边长同时扩大为原来的2倍，得到的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定15、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四边形EFGH，若AD＝2AB，则下列结论错误的是( )A.四边形EFGH为菱形B.S四边形ABCD ＝2S四边形EFGHC.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一点，记为点F.若，，则________.17、直角三角形两直角边长分别为，，则斜边长为________．18、如图，矩形AOBC的边OA，OB分别在x轴，y轴上，点C的坐标为（﹣2，4），将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为________．19、如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB=________．20、某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要________元．21、如图，在 3×3 的正方形网格中标出了∠1 和∠2，则∠2－∠1=________°22、如图,已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD 的长为________cm.23、菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2014秒时，点P的坐标为________．24、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为4，则弦AB的长为________．25、如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是________ cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°。
(北师大版)初中数学八年级上册 第一章综合测试试卷03及答案
第一章综合测试一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.以下各组数为三角形的三条边长，其中不能构成直角三角形的是（）A .3，4，5B .6，8，10C .1，1，2D .5，12，132.如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M 和N ，它们的面积分别为29cm 和225cm ，则直角三角形的面积为（ ）A .26cmB .212cmC .224cmD .23cm 3.在一个直角三角形中，两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么（）A .222a b c +＞B .222a b c +＜C .222a b c +=D .222a b c +¹4.甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，若A 、B 两点的直线距离为1000m ，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A .南偏东60°B .南偏西60°C .北偏西30°D .南偏西30°5.如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ）A .4米B .6米C .8米D .10米6.如图：一个长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）A .11cmB .12cmC .13cmD .14cm7.如图：在ABC △中，CE 平分ACB Ð，CF 平分ACD Ð，且EF BC ∥交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（ ）A .75B .100C .120D .1258.如图，在ABC △中，AD BC ^于点D ，BF 平分ABC Ð交AD 于点E ，交AC 于点F ，13AC =，12AD =，14BC =，则AE 的长等于（ ）A .5B .6C .7D .1529. ABC △中，17AB =，10AC =，高8AD =，则ABC △的周长是（）A .54B .44C .36或48D .54或3310.如图是一个66´的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt ABC △的顶点都是图中的格点，其中点A 、点B 的位置如图所示，则点C 可能的位置共有（ ）A .9个B .8个C .7个D .6个二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11.已知ABC △的三边的长分别是5AB =、4BC =、3AC =，那么C Ð=________.12.在Rt ABC △中，斜边10BC =，则22AB AC +的值是________.13.如图，每个小正方形的边长都为1，则ABC △的三边长a ，b ，c 的大小关系是________（用“＞”连接）.14.已知一个三角形工件尺寸（单位dm ）如图所示，则高h =________dm .15.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么a b +的值为________.16.如图所示，已知ABC △中，90B Ð=°，16cm BC =，20cm AC =，点P 是ABC △边上的一个动点，点P 从点A 开始沿A B C A ®®®方向运动，且速度为每秒4cm ，设出发的时间为()t s ，当点P 在边CA 上运动时，若ABP △为等腰三角形，则运动时间t =________.三.解答题（共8小题，满分66分）17.（7分）如图，在ABC △中，CD AB ^于点D ，6BC =，8AC =，10AB =.求CD 的长.18.（7分）如图，在四边形ABCD 中，13AB =，3BC =，4CD =，12DA =，90ADB Ð=°，求四边形ABCD 的面积.19.（8分）在ABC △中，已知90C Ð=°，:3:4a b =，20c =，求：（1）a 、b 的值；（2）ABC S △.20.（8分）如图，每个小正方形的边长为1.（1）求BC 与CD 的长；（2）求证：90BCD Ð=°.21.（8分）八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长为15米（注：BD CE ^）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.6米.（1）求风筝的高度CE .（2）过点D 作DH BC ^，垂足为H ，求BH 、DH .22.（8分）已知：整式()()22212A n n -=+，整式0B ＞.尝试化简整式A .发现2A B =.求整式B .联想由上可知，()()222212B n n -=+，当1n ＞时，21n -，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B 的值；直角三角形三边21n -2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3523.（8分）阅读下列内容：设a ，b ，c 是一个三角形的三条边的长，且a 是最长边，我们可以利用a ，b ，c 三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若222a b c =+，则该三角形是直角三角形；②若222a b c +＞，则该三角形是钝角三角形；③若222a b c +＜，则该三角形是锐角三角形.例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，22263645=+＜，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形.（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x ，且这个三角形是直角三角形，求x 的值.24.（12分）观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式________；（2）如图2所示，90B D Ð=Ð=°，且B ，C ，D 在同一直线上.试说明：90ACE Ð=°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程.第一章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：A 、222345+=，能组成直角三角形，故此选项错误；B 、2226810+=，能组成直角三角形，故此选项错误；C 、222112+¹，不能组成直角三角形，故此选项正确；D 、22251213+=，能组成直角三角形，故此选项错误；故选：C.2.【答案】A4=（厘米），可得这个直角三角形的面积为：1462=（平方厘米）.故选：A.3.【答案】C【解析】解：∵在Rt ACB △中，90C Ð=°，AC b =，AB c =，BC a =，∴由勾股定理得：222a b c +=，故选：C.4.【答案】A【解析】解：如图：∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ，∴甲客轮走了()4015600m ´=，乙客轮走了()4020800m ´=，∵A 、B 两点的直线距离为1000m ，2226008001000\+=，90AOB \Ð=°，∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，∴乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，故选：A.5.【答案】C【解析】解：由题意知25AB DE ==米，7BC =米，4AD =米，∵在直角ABC △中，AC 为直角边，24AC \==米，已知4AD =米，则24420CD =-=（米），∵在直角CDE △中，CE 为直角边15CE \==（米），15BE =米7-米8=米.故选：C.6.【答案】C【解析】解：∵侧面对角线2222345BC =+=，5m CB \=，12m AC =Q ，()13m AB \==，∴空木箱能放的最大长度为13m ，故选：C.7.【答案】B【解析】解：CE Q 平分ACB Ð，CF 平分ACD Ð，12ACE ACB \Ð=Ð，12ACF ACD Ð=Ð，即()1902ECF ACB ACD Ð=Ð+Ð=°，EFC \△为直角三角形，又EF BC Q ∥，CE 平分ACB Ð，CF 平分ACD Ð，ECB MEC ECM \Ð=Ð=Ð，DCF CFM MCF Ð=Ð=Ð，5CM EM MF \===，10EF =，由勾股定理可知222100CE CF EF +==.故选：B.8.【答案】D【解析】解：AD BC ^Q ，90ADC ADB \Ð=Ð=°，12AD =Q ，13AC =，5DC \===，14BC =Q ，1459BD \=-=，由勾股定理得：15AB ==，过点E 作EG AB ^于G ，BF Q 平分ABC Ð，AD BC ^，EG ED \=，在Rt BDE △和Rt BGE △中，EG ED BE BE=ìí=îQ ，()Rt Rt BDE BGE HL \△≌△，9BG BD \==，1596AG \=-=，设AE x =，则12ED x =-，12EG x \=-，Rt AGE △中，()222612x x =+-，152x =，152AE \=.故选：D.9.【答案】C【解析】解：分两种情况：①如图1所示：∵AD 是BC 边上的高，90ADB ADC \Ð=Ð=°，15BD \===，6CD ===，15621BC BD CD \=+=+=；此时，ABC △的周长为：17102148AB BC AC ++=++=.②如图2所示：同①得：15BD =，6CD =，1569BC BD CD \=-=-=；此时，ABC △的周长为：1710936AB BC AC ++=++=.综上所述：ABC △的周长为48或36.故选：C.10.【答案】A解：如图所示：，共9个点，故选：A.二、11.【答案】90°【解析】解：ABC ∵△中，5AB =、4BC =、3AC =，222AB BC AC \=+，ABC ∴△是直角三角形，90C \Ð=°.故答案为：90°.12.【答案】100【解析】解：在Rt ABC △中，∵斜边10BC =，222100AB AC BC \+==，故答案是：100.13.【答案】c a b＞＞【解析】解：由勾股定理可得：a ==b ==c ==c a b \＞＞.故答案为：c a b ＞＞.14.【答案】4【解析】解：过点A 作AD BC ^于点D ，则AD h =，5dm AB AC ==Q ，6dm BC =，AD \是BC 的垂直平分线，13dm 2BD BC \==.在Rt ABD △中，4dm AD ===，即()4dm h =.答：h 的长为4dm .故答案为：4.15.【答案】5【解析】解：根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ´=-=，即：212ab =，则()2222131225a b a ab b +=++=+=，则5a b +=.故答案为：5.16.【答案】425或9或192【解析】解：如图，过点B 作BH AC ^于H .90ABC Ð=°Q ，20AC =，16BC =，12AB \===，BH AC ^Q ，1122ABC S AC BH AB BC \=××=××△，121648205BH ´\==，365AH \===，当1BA BP =时，1365AH HP==，17216820161255AB BC AP \++=++-=，此时425t =，当2AB AP =时，22016121236AB BC CP ++=++-=，此时9t =，当33AP BP =时，32016121038AB BC CP ++=++-=，此时192t =，综上所述，满足条件的t 的值为425或9或192.三、17.【答案】解：∵在ABC △中，6BC =，8AC =，10AB =，222BC AC AB \+=，90ACB \Ð=°，∵由三角形的面积公式得：AC BC AB CD ´=´，6810CD \´=´，解得： 4.8CD =.18.【答案】解：在Rt ABD △中，222BD AB AD =-，222131225BD \=-=，又22223425BC CD +=+=Q ，222BC CD BD \+=，90BCD \Ð=°，51234 3622ABD BCD ABCD S S S ´´\=+=+=△△四边形.19.解：（1）如图所示：:3:4a b =Q ，∴设3a x =，4b x =，由勾股定理得：5c x =，20c =Q ，520x \=，解得：4x =，12a \=，16b =；（2）11216962ABC S =´´=△.20.解：（1）由题意可知，BC CD ===；（2）证明：连接BD .BD ==Q ，BC CD ==；222BC CD BD \+=，BCD \△是直角三角形，即90BCD Ð=°.21.【答案】解：（1）在Rt CDB △中，由勾股定理，得20CD ===（米）.所以20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米）；（2）由1122BD DC BC DH ´=´得15201225DH ´==，在Rt BHD △中，9BH ==.22.【答案】解：()()()222242242212214211A n n n n n n n n =-+=-++=++=+，2A B =Q ，0B ＞，21B n \=+，当28n =时，4n =，2214115n \-=-=，2214117n +=+=；当2135n -=时，6n =±（负值舍去），22612n \=´=，2137n +=.直角三角形三边21n -2n B 勾股数组Ⅰ15817勾股数组Ⅱ351237故答案为：15，17；12，37.23.【答案】（1）锐角（2）当最长边是12时，x ==当最长边是x 时，13x ==，即13x =【解析】（1）解：2278113+=Q ，2981=，222978\+＜，∴该三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；（2）当最长边是12时，x ==当最长边是x 时，13x ==，即13x =24.【答案】（1）解：这个公式是完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；理由如下：∵大正方形的边长为a b +，∴大正方形的面积()2a b =+，又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积22222a b ab ab a ab b =+++=++，∴()2222a b a ab b +=++；故答案为：()2222a b a ab b +=++；（2）证明：ABC CDE Q △≌△，BAC DCE \Ð=Ð，90ACB BAC Ð+Ð=°Q ，90ACB DCE \Ð+Ð=°，90ACE \Ð=°；（3）证明：90B D Ð=Ð=°Q ，180B D \Ð+Ð=°，AB DE \∥，即四边形ABDE 是梯形，∴四边形ABDE 的面积21111()()2222a b a b ab c ab =++=++，整理得：222a b c +=.。
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北师大版数学八年级上册第一章测试题（时间：90分钟 分值：100分）姓名： 班级： 等级：一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．（2018•南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．3，4，5B ．2，3，4C ．4，6，7D ．5，11，122．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，则△ABC 的面积为( )．A ．84B ．24C ．24或84D ．84或243．如图，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ∶BC ＝5∶3，则AC 的长为( )．A ．6B ．8C ．10D ．124．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．35．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝17，BD ＝15，DC ＝6，则AC 的长为( )．A ．11B ．10C ．9D ．86．若三角形三边长为a ，b ，c ，且满足等式(a ＋b )2－c 2＝2ab ，则此三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形7．一直角三角形两直角边分别为5,12，则这个直角三角形斜边上的高为( )． A ．6B ．8.5C ．2013D．60 138．底边上的高为3，且底边长为8的等腰三角形腰长为()．A．3 B．4 C．5 D．69.（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．B．C．D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4.分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于()．A．2π B．3π C．4πD．8π二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则其底边长为________．12．观察图形后填空．图(1)中正方形A的面积为__________；图(2)中斜边x＝________.13．四根小木棒的长分别为5 cm,8 cm,12 cm，13 cm，任选三根组成三角形，其中有________个直角三角形．14．东东想把一根70 cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30 cm,40 cm,50 cm的木箱中，他能放进去吗？答：______.(填“能”或“不能”)三、解答题(本大题共6小题，共54分)15．(8分)如图，已知等边△ABC的边长为6 cm.(1)求AD的长度；(2)求△ABC的面积．16．(8分)如图，在一块由边长为20 cm的方砖铺设的广场上，一只飞来的喜鹊落在A 点处，该喜鹊吃完小朋友洒在B，C处的鸟食，最少需要走多远？17．(9分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4 m的半圆，其边缘AB ＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝2 m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数)18．(9分)图(1)所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图(2)所示．已知展开图中每个正方形的边长为1.(1)求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条．(2)试比较立体图中∠ABC与平面展开图中∠A′B′C′的大小关系．19．(10分)如图，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24 m.(1)这个梯子底端离墙有多少米？(2)如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？20．(10分)有一块直角三角形状的绿地，量得两直角边长分别为6 m,8 m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．参考答案1答案：A 点拨：A 、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A 选项正确； B 、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B 选项错误； C 、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C 选项错误； D 、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D 选项错误； 故选：A ．2答案：C 点拨：△ABC 为锐角三角形时，S △ABC ＝12×14×12＝84；△ABC 为钝角三角形时，S △ABC ＝12×4×12＝24. 3答案：B 点拨：设AB ＝5x ，则BC ＝3x ，由勾股定理可得AC ＝4x ，所以5x ＋3x ＋4x ＝24，解得x ＝2，所以AC ＝8.4答案：D 点拨：由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ， ∵每一个直角三角形的面积为：ab ＝×8＝4， ∴4×ab +（a ﹣b ）2＝25， ∴（a ﹣b ）2＝25﹣16＝9， ∴a ﹣b ＝3， 故选：D ．5答案：B 点拨：因为在Rt △ABD 中，AD ＝221715-＝8，所以在Rt △ACD 中，AC ＝2268+＝10.6答案：D 点拨：由(a ＋b )2－c 2＝2ab ，得a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝2ab ，即a 2＋b 2＝c 2.因此△ABC 为直角三角形．7答案：D 点拨：由勾股定理得斜边长为13，所以5×12＝13h ，得h ＝6013. 8答案：C 点拨：由等腰三角形的“三线合一”及勾股定理可得腰长为5.9答案：C 点拨：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A 、C 的最短距离为线段AC 的长．在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝3，AD 为底面半圆弧长，AD ＝1.5π，所以AC ＝，故选：C ．10答案：A点拨：因为S1＝221228ACACππ⎛⎫⋅⋅=⎪⎝⎭，S2＝8πBC2，所以S1＋S2＝π(AC2＋BC2)＝8π×16＝2π.11答案：6或点拨：当底边上的高为4时，底边的长为6；当腰上的高为4，且三角形为锐角三角形时，底边长为4，且三角形为钝角三角形时，底边的长为12答案：3613点拨：由勾股定理易得．13答案：1点拨：边长为5 cm,12 cm,13 cm时，可组成直角三角形．14答案：能点拨：＝ cm＞70 cm，所以能放进木棒去．15解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴BD＝3(cm)．在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=．(2)S△ABC＝12×BC×AD＝12×6×＝(cm2)．16解：AB是4×3方格的对角线．由勾股定理得：AB＝2020×5＝100(cm)．BC是5×12方格的对角线，由勾股定理得BC＝20＝20×13＝260(cm)．因此最短距离为100＋260＝360(cm)．17解：把半圆柱体展开后，可得下图．由题意可知AD＝πr＝4π(cm)，DE＝20－2＝18(cm)．在Rt△ADE中，AE22(m)．18解：(1)=能画4条，如图所示．(2)∠ABC 与∠A ′B ′C ′相等． ∵在立体图中，易得∠ABC ＝90°，又在平面展开图中，对于△A ′B ′D 和△B ′C ′E 有,,,A D B E A DB B EC DB EC ''=⎧⎪''''∠=∠⎨⎪''=⎩∴△A ′B ′D ≌△B ′C ′E (SAS)． ∴∠DA ′B ′＝∠EB ′C ′.∵∠DA ′B ′＋∠A ′B ′E ＝90°， ∴∠A ′B ′D ＋∠EB ′C ′＝90°， 即∠A ′B ′C ′＝90°.∴∠ABC ＝∠A ′B ′C ′.19解：(1)由题意，设云梯为AB ，墙根为C ，则AB ＝25 m ，AC ＝24 m ，于是BC7 m. 故梯子底端离墙有7 m.(2)设下滑后云梯为A ′B ′，则A ′C ＝24－4＝20(m)． 在Rt △A ′CB ′中，B ′C15(m)． ∵15－7＝8 m ，∴梯子不是向后滑动4 m ，而是向后滑动了8 m. 20解：依题意，设在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， 由勾股定理得AB10(m)． (1)如图①，当AD ＝AB ＝10 m 时，CD6(m)．图①∴C△ABD＝10＋10＋12＝32(m)．(2)当AB＝BD＝10 m时，CD＝10－6＝4(m)，图②∴AD=(m)．∴C△ABD＝10＋10＝(20＋．(3)当AD＝BD时，设AD＝BD＝x m，CD＝(6－x) m，在Rt△ACD中，CD2＋AC2＝AD2，即(6－x)2＋82＝x2，解得x＝25 3.此时C△ABD＝253×2＋10＝803(m)．。