海南大学复变函数课件
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复变函数第4讲PPT课件
§2.1 解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数第二章(第三讲)PPT课件
解 (2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y u v
y v
e x cos y
x v
y u
在R
2成立，
y
x y
且u, v在R2上偏导数连续
故 f (z) e x (cos y i sin y)在复平面C上可导，解析; 且f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z)。
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微 ,
z0处可导 (2)
u x
v ,
y
u y
v x
在(
x0
,
y0
)成立.
定义 方程
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
1.导数的概念
定义2.1.1 设函数f (z)在z0的某邻域N( z0 ,δ)内有定
义, 且极限 lim f (z0 z) f (z0 )存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数
记作
dw f '(z0 ) dz zz0
lim z0
f (z0 z) z
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;
海南大学课件复变函数3-3
方法一：偏积分法：
vx = 3 x − 3 y ,
2 2
对x不定积分v = x − 3 y x + c1 ( y )
3 2
v y = −6 xy + c1 '( y )
又因为v y = −6 xy c1 '( y ) = 0，c1 ( y ) = C 所以v = x − 3 y x + C
3 2
方法二：复变函数不定积分Байду номын сангаас：
§7 调和函数与解析函数
一 调和函数 二 解析函数与调和函数 三 解析函数与共轭调和函数
一 调和函数
定义 如果二元实函数 ( x, y ) 在区域 D 内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯(Laplace)方程:
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称 ( x, y ) 为区域D内的调和函数。 例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是调和函数 f(x,y)=excosy 是一个调和函数
二 解析函数与调和函数
定理
解析函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )的实部 u ( x, y )与 虚部v( x, y )都是调和函数。
证明：设 f(z)=u+iv 在区域D内解析,满足C.-R.方程
ux = vy,u
得
y
= −vx,
yy
u xx = v yx , u
例1 验证 u(x,y)=y3-3x2y 是z平面上的调和函数，并 求 v(x,y), 使 f(z)=u+iv 是解析函数。 解：
u x = −6 xy, u xx = −6 y, u y = 3 y − 3 x , u yy = 6 y,
高等数学《复变函数》课件 1
n r, n 2k (k Z )
n
z
n
i 2k
re n
(k 0,1,2,, n 1)
即：
n
z
z
1 arg z 2k
arg z 2k
n [cos(
) i sin(
)]
n
n
(k 0 , 1 , 2 , , n 1)
10
例1 若 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z), 和zz i 1i
3i
则 | z | 2，
arg z 5
6
z
2[cos(
5
)
i
s in(
5
)]
2e
5 6
i
6
6
7
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设 复 数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
(1) z1 z2 x1 x2 i( y1 y2 )
(2) z1 z2 x1 x2 y1 y2 i( x2 y1 x1 y2 )
如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的
点w，那么w称为z的象(映象)，而z 称为w的
原象。
19
一般地，映射w=f(z)
(1)将z 平面上的点映射成w 平面上的点；
例如 映射 w z 将z平面上的点z a ib 映射成w平面上的点w a ib。
z 平面 y
w平面 wz
v
• a ib
复变函数
• 复变函数与解析函数 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与留数定理
1
第11章 复变函数与解析函数
11.1 复数及其运算 11.2 复变函数 11.3 解析函数 11.4 初等函数
南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点
重点与难点：重点在于理解复数和复变函数的基本概念，掌握复变函数的微积分和积 分变换的方法；难点在于理解孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
《复变函数与积分变换》PPT课件
z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy
海南大学课件复变函数3-2
2
∫
z−i =
1 1 dz − 2 1z+i
2
∫
z−i =
1 dz 1z−i
2
1 =− 2
∫
z−i =
=0 1 1 dz = − ⋅ 2πi = − πi . 2 1z−i
2
9
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铃
§3 复合闭路变形原理
复周线情形的Cauchy-Goursat定理 1 闭路变形原理 2 复合闭路变形原理
C
C1
中经过了奇点
−3
0
1
3
x
13
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铃
1 闭路变形原理
1：设函数 f ( z )在多连通域 D内解析 , 灰色为奇点，
2：C （深蓝色）及 C1 （紫色） 为 D 内的任意两条简单闭 曲线( 逆时针方向为正 ),
C1
C
3： 以C 及 C1 为边界的区域 D1（浅蓝色）全含于 D.
曲线 C不属于区域 B
(2) 如果函数 f ( z )单连通域B内处处解析 ⇒ f ( z ) 在 B内的积分与路径无关,即对任给的z1 , z2积分
∫z1
z2
f ( z )dz
的值,不依赖于B内连接起点z1与终点z2的曲线的形状
5
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铃
例1 计算积分
∫ z =1
1 dz . 2z − 3
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∫c
( z − α )n dz = 0.
6
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( 2)当 n 为负整数但不等于 − 1 时, ( z − α ) 在除点 α 的整个 z 平面上解析,
∫
z−i =
1 1 dz − 2 1z+i
2
∫
z−i =
1 dz 1z−i
2
1 =− 2
∫
z−i =
=0 1 1 dz = − ⋅ 2πi = − πi . 2 1z−i
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§3 复合闭路变形原理
复周线情形的Cauchy-Goursat定理 1 闭路变形原理 2 复合闭路变形原理
C
C1
中经过了奇点
−3
0
1
3
x
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1 闭路变形原理
1：设函数 f ( z )在多连通域 D内解析 , 灰色为奇点，
2：C （深蓝色）及 C1 （紫色） 为 D 内的任意两条简单闭 曲线( 逆时针方向为正 ),
C1
C
3： 以C 及 C1 为边界的区域 D1（浅蓝色）全含于 D.
曲线 C不属于区域 B
(2) 如果函数 f ( z )单连通域B内处处解析 ⇒ f ( z ) 在 B内的积分与路径无关,即对任给的z1 , z2积分
∫z1
z2
f ( z )dz
的值,不依赖于B内连接起点z1与终点z2的曲线的形状
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例1 计算积分
∫ z =1
1 dz . 2z − 3
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∫c
( z − α )n dz = 0.
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( 2)当 n 为负整数但不等于 − 1 时, ( z − α ) 在除点 α 的整个 z 平面上解析,
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
课02-第一章复变函数2-PPT精品.ppt
5
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
3i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
6
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
14
5. 复合函数的定义:
设函数 wf(h)的定义域为 D 1，函数 h(z)的 定义域为 D 2 ，值域 GD1 .若对任一 zD2，
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
1
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
y
zz3 1o z 2
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
的 w 点 a i.b
y
A
B z123i
C
o
x
z212i
C A
v
3i
z1w1, z2w2, A B A B C C .
6
如果把z平面和w平面 重叠在一,不 起难看w出z 是关于实轴的一个 映对 射. 称
当反函数为单值函数时, z[f(z)]z ,G .
如果函 (映数射 )wf(z)与它的反函数
(逆映)射 z(w)都是单,值 那的 末称(函 映数
射)wf(z)是一一对 .也 应可 的称G 集与合集 合G*是一一对 . 应的
今后不再区别函数与映射.
14
5. 复合函数的定义:
设函数 wf(h)的定义域为 D 1，函数 h(z)的 定义域为 D 2 ，值域 GD1 .若对任一 zD2，
4 0r 2映射为
w z2
0π,04,
2
仍是扇形域.
18
例2 对于 w z映 1,求 射 圆 z2的 周 . 象 z
解 令 z x i,y w u i,v
映射w z 1 z
1
2.单(多)值函数的定义: 如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的 如果 z的一个值对应两着个两以个上或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
3.定义集合和函数值集合: 集G 合 称f为 (z)的定(义 定集 义 ); 合 域 对应 G中 于所 z的 有一 w值 切所成G* 的 , 集 称为函数 . 值集合
y
zz3 1o z 2
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例1 中心分别在z=1与z=-1，半径为 2 的二圆弧所围成 的区域在映射 w z i 下映射成什么区域？
zi
例2 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆 w 1 的分式 线性映射.
例3 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆 w 1 ,且满足 w(2i)=0,argw′(2i)=0的分式线性映射.
例4 求将单位圆 z 1 映射成单位圆 w 1 的分式线 性映射.
例5 求将单位圆映射成单位圆,且满足w(1/2)=0, argw′(1/2)>0的分式线性映射.
:
w 2 w1 w 3 w2
z z1 z z2
:
z 3 z1 z3 z2
2.分式线性映射的几何表现 （1）将圆周C映射成圆周C′。 （2）若将圆周C内的某点z0映射成圆周C′内的点w0, 则将C的内部映射成C′的内部。 若将圆周C内的某点z0映射成圆周C′外的点w0, 则将C的内部映射成C′的外部。 （3）若二圆周上没有点映射成无穷远点，这二圆周 的弧围成的区域映射成二圆弧围成的区域。 （4）若二圆周上有一个点映射成无穷远点，这二圆周 的弧围成的区域映射成一圆弧与一直线围成的区域。 （5）若二圆周交点中的一个映射成无穷远点，这二圆周 的弧围成的区域映射成角形区域。
1.唯一决定分式线性映射的条件
§3唯一决定分式线性射的条件
定理 在 z平面上任意给定三个相异的点z1,z2,z3，在 w平面上也任意给定三个相异的点w1,w2,w3,那么就存 在唯一的分式线性映射，将zk (k=1,2,3)依次映射成wk (k=1,2,3).并且该映射可以写成：
w w1 w w2