复变函数映射 ppt课件
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复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
复变函数论第三版PPT课件
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
复变函数和积分变换第6章共形映射.ppt
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定义6.5两曲线在无穷远点处的夹角，就是指它们在反演变换下的像曲线在
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理6.5（保域性）设w=f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则D的像 G=f(D)也是一个区域. 定义6.2具有伸缩率不变性与保角性的共形映射称为第一类共形映射；如果 映射w=f(z)具有伸缩率不变性，但只保持夹角的大小不变而方向相反，则称 映射为第二类共形映射. 例6.2函数f(z)=z2+2z在z平面处处解析，f′(z)=2z+2，显然当z≠－1时， f′(z)≠0，因此，映射f(z)=z2+2z在z平面上除z=－1外处处是共形的.
图6.2
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复变函数与积分变换
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其次，我们讨论导数的模|f′(z0)|的几何意义.由于|Δz|和|Δw|分别是向
量Δz和Δw的长度，故
这说明像点间的无穷小距离与原
像点间的无穷小距离之比的极限是|f′(z0)|，这可以看成是曲线C经w=f(z)
映射后在z0点的伸缩系数或伸缩率.它仅与z0有关，而与曲线C的形状和方向
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复变函数与积分变换
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定理6.6（黎曼存在与唯一性定理）如果扩充复平面上的单连通区域D，其边 界点不止一点，则存在一个在D内的单叶解析函数w=f(z)，它将D共形映射成 单位圆|w|<1，且当合条件f(a)=0,f′(a)>0，(a∈D)时，f(z)是唯一的. 定理6.7（边界对应定理）设w=f(z)在单连通区域D内解析，在D上连续，且 把区域D的边界C保持相同绕行方向、一一对应地映射为单连通区域G的边界 Γ，则w=f(z)将D共形映射为G.
即在区域
《复变函数映射》课件
4
用
介绍Schwarz-Christoffel映射及其在 实际中的应用。
线性变换和仿射变换
探索线性变换和仿射变换对复变函数 的映射作用。
双全纯映射以及作用
双全纯映射在复变函数的映射中具有 重要作用。
复变函数的应用
线性分式变换及其应用
线性分式变换在复变函数的应用中发挥着重要 的作用。
上对数函数和多重连通域
探索上对数函数和多重连通域的关系。
球面上的全纯函数及其应用
应用于物理的调和函数
了解球面上的全纯函数以及它们在物理中的应用。 将调和函数应用于物理问题的解决。
复变函数的展望
微分形式和调和形式
深入研究微分形式和调和形式的关联及其在 复变函数中的应用。
复植根和三维建模
探索复植根的特性，并了解它在三维建模中 的应用。
复平面及其表示方法
复平面将帮助我们可视化复数，学习不同表 示方法对理解复变函数至关重要。
全纯函数和亚纯函数的定义
全纯函数和亚纯函数是我们研究复变函数映 射时的关键概念。
复变函数的映射
1
保角变换和相应的代数特征
2
保角变换是复变函数映射中的重要概
念，了解它们的代数特征。
3
Schwarz-Christoffel映射及其作
3 复变函数映射在未来的应用展望
展望复变函数映射在未来发展中的可能性和应用。
Bergman空间及其应用
了解Bergman空间的概念以及它在复变函数 领域的重要性。
计算机辅助设计中的应用
介绍复变函数映射在计算机辅助设计中的实 际应用。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ语
1 复变函数映射在数学和物理中的应用
总结复变函数映射在数学和物理领域中的实际应用。
《复变函数》课件-共形映射
方法2 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同. 则 C的内部就映为C的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为C 的外部.
14
分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二
圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区 域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域.
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
15
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w zn(n 2). 映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
(z)
0
0
w zn zn w
(w)
n 0
0
16
在 z平面上任意给定三个相异的点z1, z2, z3,
在 w 平面上也任意给定三 个相异的点w1, w2, w3, 那么就存在唯一的分式线性映射, 将 zk (k 1,2,3) 依次映射成 wk (k 1,2,3).
即w az b (ad bc 0)可由下式给出: cz d
w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
11
4）分式线性映射具有保对称性. 设点 z1, z2 是关于圆周C的一对对称点, 那么
在分式线性映射下, 它们的象点w1, w2也是关于 C的象曲线 的一对对称点. 这一性质称为保对称性.
12
4.唯一决定分式线性映射的条件
14
分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二
圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区 域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域.
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
15
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w zn(n 2). 映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
(z)
0
0
w zn zn w
(w)
n 0
0
16
在 z平面上任意给定三个相异的点z1, z2, z3,
在 w 平面上也任意给定三 个相异的点w1, w2, w3, 那么就存在唯一的分式线性映射, 将 zk (k 1,2,3) 依次映射成 wk (k 1,2,3).
即w az b (ad bc 0)可由下式给出: cz d
w w1 : w3 w1 z z1 : z3 z1 . w w2 w3 w2 z z2 z3 z2
穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
11
4）分式线性映射具有保对称性. 设点 z1, z2 是关于圆周C的一对对称点, 那么
在分式线性映射下, 它们的象点w1, w2也是关于 C的象曲线 的一对对称点. 这一性质称为保对称性.
12
4.唯一决定分式线性映射的条件
复变函数解析函数ppt课件
第二章 解析函数
1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
GO
2
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
27
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2) f (z) ex (cos y i sin y)；(3)w z 2
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x
u 0
y v
1
u x
v y
y
故 w z在全 平面 不可导 ，不解析 。
z0
z
设 (z) f (z z) f (z) f '(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim (z) 0
z0
22
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
证明
对于复平面上任意一点z0，有 lim lim zn z0n
zz0 z zz0 z z0
lim (z z0 )(zn1 zn2z0
1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
GO
2
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
27
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2) f (z) ex (cos y i sin y)；(3)w z 2
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x
u 0
y v
1
u x
v y
y
故 w z在全 平面 不可导 ，不解析 。
z0
z
设 (z) f (z z) f (z) f '(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim (z) 0
z0
22
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
证明
对于复平面上任意一点z0，有 lim lim zn z0n
zz0 z zz0 z z0
lim (z z0 )(zn1 zn2z0
复变函数映射 ppt课件
图1-2
o 图2
x、u
11
例5 研究w z2 所构成的映. 射
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
2020/12/12
12
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z为z=w2的反函数或逆映射
2k
w z ze 2 (k0,1)∴为多值函数,2支.
第三讲 复变函数与解析函数
2020/12/12
1
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
2020/12/12
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 z数 xiy的 非 空 集 ,存合在 法 f ,使 得zG,就 有 一 个 或w几u个 iv与 之 对, 应 则 称 复 变 w是数复 变z的 数函 数 （ 简 称 复 ）变 记 作w f(z).
u(x,y)iv(x,y)
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f ( z ) u i v u u ( x , y )v v ( x , y )
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o 图2
x、u
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例5 研究w z2 所构成的映. 射
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
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12
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z为z=w2的反函数或逆映射
2k
w z ze 2 (k0,1)∴为多值函数,2支.
第三讲 复变函数与解析函数
2020/12/12
1
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
2020/12/12
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 z数 xiy的 非 空 集 ,存合在 法 f ,使 得zG,就 有 一 个 或w几u个 iv与 之 对, 应 则 称 复 变 w是数复 变z的 数函 数 （ 简 称 复 ）变 记 作w f(z).
u(x,y)iv(x,y)
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f ( z ) u i v u u ( x , y )v v ( x , y )
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若z 一个w值，称f (z)是单值函数; z 多个w值，称f (z)是多值函数.
今后无特别声明，所讨论的函数均为单值函数。
G — f (z)的定义集合，常常是平面区域（定义域）
G* {w w f (z) , z G} —函数值集合
z x iy ( x, y); w u iv (u, v) w f (z) f ( x iy)
z z0
lim
f
(z)
lim
z z0
f
(z)
(lim
g(z)
0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明w x2 y i( x y2 )在平面上处处有极限.
x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求f (z)
z z
z 在z 0时的极限. z
第三讲 复变函数与解析函数
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 数z x iy的 非 空 集 合, 存 在 法 则
f , 使 得 z G, 就 有 一 个 或 几 个w u iv与 之 对 应, 则 称 复 变 数w是 复 变 数z的 函 数 （ 简 称 复 变 函 数） 记作 w f (z).
u( x, y) iv( x, y)
故 u u( x, y) v v( x, y)
w f (z) u iv u u( x, y) v v( x, y)
例1 w z2 令z x iy w u iv 则 w (u iv) ( x iy)2 x2 y2 2xyi
( x cos y sin ) i( x sin y sin ) 即，
u x cos y sin
v
x
sin
y sin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映射 .
z (w)都是 单值的 ，则称 函数(映射)w f (z)
是一 一的。也称 集合G与集 合G是一 一对应 的。
例 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象。
3 例 已知映射 w 1 ,判断: z平面上的曲线x2 y2 1被
z 映射成 w平面上怎样的曲线?
§4 复变函数的极限与连续性
z G ( z平面) w f(z) w G*(w平面）的映射(变换).
定义域
函数值集合
称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象。
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
G w=f(z)
z
G* w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
z G w f(z) w G*
一个(或几个)z G z(w) w G*
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）. 显然有 w f [ (w)] w G*
当反函数单值时z [ f (z)] z G (一般z [ f (z)])
当函 数(映射)w f (z)和其 反函数(逆映 射)
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
A
一个预先给定的
u ε邻域中
(1) 意义中 z 的方z0式是任意的.
与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
(3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质
以下不再区分函数与映射（变换）。
例3 研究w z 所构成的映射. 解 设z r(cos i sin ) rei
z rei —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2
例4 研究w ei z (实常数）所构成的映射.
解 设z re i w ei z ei re i re i( ) w u iv (cos i sin )( x iy)
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z 为z=w2的反函数或逆映射
2 k
w z z e 2 (k 0,1) ∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理1
设f (z) u( x, y) iv( x, y) z x iy z0 x0 iy0
则
lim
zz0
f (z)
A
u0
iv0
lim u( x,
( x, y)( x0 , y0 )
lim v( x,
( x, y)( x0 , y0 )
y) y)
f (z)
1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性
1. 函数的极限
定义 设 w f (z), z U (z0 ,),若 存 在 数A， 0,
（）, 当 0 （0)
z z0
时, 有
f (z) A ,
则 称A为f( z )当zz0时的极
限
，
记
作lim z z0
f (z)
A
或 当z z0时 ，f (z) A
w z2 u x2 y2 v 2xy
例2 若已知
f
(z)
x1
x2
1
y2
iy1
x2
1
y2
将 f (z)表示成 z 的函数.
设z x iy,则x 1 (z z), y 1 (z z)
2
2i
f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
u0 v0
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B,则
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z) A B
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z) AB
z z0
z z0
今后无特别声明，所讨论的函数均为单值函数。
G — f (z)的定义集合，常常是平面区域（定义域）
G* {w w f (z) , z G} —函数值集合
z x iy ( x, y); w u iv (u, v) w f (z) f ( x iy)
z z0
lim
f
(z)
lim
z z0
f
(z)
(lim
g(z)
0)
A
zz0 g(z) lim g(z) zz0
B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明w x2 y i( x y2 )在平面上处处有极限.
x2 y, x y2在平面上处处有极限
例2
求f (z)
z z
z 在z 0时的极限. z
第三讲 复变函数与解析函数
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 数z x iy的 非 空 集 合, 存 在 法 则
f , 使 得 z G, 就 有 一 个 或 几 个w u iv与 之 对 应, 则 称 复 变 数w是 复 变 数z的 函 数 （ 简 称 复 变 函 数） 记作 w f (z).
u( x, y) iv( x, y)
故 u u( x, y) v v( x, y)
w f (z) u iv u u( x, y) v v( x, y)
例1 w z2 令z x iy w u iv 则 w (u iv) ( x iy)2 x2 y2 2xyi
( x cos y sin ) i( x sin y sin ) 即，
u x cos y sin
v
x
sin
y sin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映射 .
z (w)都是 单值的 ，则称 函数(映射)w f (z)
是一 一的。也称 集合G与集 合G是一 一对应 的。
例 已知映射w= z3 ，求区域 0<argz< 在平面w上的象。
3 例 已知映射 w 1 ,判断: z平面上的曲线x2 y2 1被
z 映射成 w平面上怎样的曲线?
§4 复变函数的极限与连续性
z G ( z平面) w f(z) w G*(w平面）的映射(变换).
定义域
函数值集合
称w为z的象点(映象)，而z称为w的原象。
y
(z)
v
(w)
w=f(z)
G w=f(z)
z
G* w
o
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.
z G w f(z) w G*
一个(或几个)z G z(w) w G*
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）. 显然有 w f [ (w)] w G*
当反函数单值时z [ f (z)] z G (一般z [ f (z)])
当函 数(映射)w f (z)和其 反函数(逆映 射)
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f (z)
z0
o
xo
心邻域时,它的象
点f(z)就落入A的
A
一个预先给定的
u ε邻域中
(1) 意义中 z 的方z0式是任意的.
与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
(3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.
2. 运算性质
以下不再区分函数与映射（变换）。
例3 研究w z 所构成的映射. 解 设z r(cos i sin ) rei
z rei —关于实轴对称的一个映射 ➢见图1-1~1-2
例4 研究w ei z (实常数）所构成的映射.
解 设z re i w ei z ei re i re i( ) w u iv (cos i sin )( x iy)
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z 为z=w2的反函数或逆映射
2 k
w z z e 2 (k 0,1) ∴为多值函数,2支.
定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：
定理1
设f (z) u( x, y) iv( x, y) z x iy z0 x0 iy0
则
lim
zz0
f (z)
A
u0
iv0
lim u( x,
( x, y)( x0 , y0 )
lim v( x,
( x, y)( x0 , y0 )
y) y)
f (z)
1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性
1. 函数的极限
定义 设 w f (z), z U (z0 ,),若 存 在 数A， 0,
（）, 当 0 （0)
z z0
时, 有
f (z) A ,
则 称A为f( z )当zz0时的极
限
，
记
作lim z z0
f (z)
A
或 当z z0时 ，f (z) A
w z2 u x2 y2 v 2xy
例2 若已知
f
(z)
x1
x2
1
y2
iy1
x2
1
y2
将 f (z)表示成 z 的函数.
设z x iy,则x 1 (z z), y 1 (z z)
2
2i
f (z) z 1 z
2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
u0 v0
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B,则
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z) A B
z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z) AB
z z0
z z0