第四版复变函数第二章精品PPT课件
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复变函数(第四版)课件--章节2.3
ch( x + iy) = ch x cos y + i sh x sin y, 及 sh( x + iy) = sh x cos y + i ch x sin y.
5 、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义 设 z = cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数 ,
记作 w = Arc cos z .
i 2 1 1 1 = − ln + + k π − arctan . 4 5 2 3 2
其中 k = 0, ± 1, ± 2, L.
6 、 小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围 内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2.指数函数具有周期性 3. 负数无对数的结论不再成立 作业： 作业：第68页15,18,20题
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都 是它在除去原点及负实轴的平面内的某 一单值分支.
3 、乘幂与幂函数
1.定义
乘幂 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复 数, 定义乘幂ab为ebLna, 即ab = ebLna 由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kiπ)是多值的, 因而ab也 是多值的. 说明: 说明: (1) 当b为整数时, 由于 ab =ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kπ)] =ea(ln|a|+iarg a)+2kbπi=eblna, 所以这时ab具有单一的值.
e +e cos iy = = ch y 2 −y y e −e sin iy = = i sh y 2i
第四版复变函数第二章市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
例6：反函数的求法：z cos w 1 (e iw e iw ) 2
得到关于e iw的二次方程：e i2w 2ze iw 1 0 (e iw z)2 z 2 1 e iw z z 2 1 w iLn(z z 2 1)
反双曲函数定义：z shw
则：w Arshz
Arshz Ln( z z2 1 )
三角函数性质：(5条)
周期为2的周期函数；
在复平面内处处解析；
sin z cos z, cos z sin z
欧拉公式仍然成立； e iz cos z i sin z 一些三角公式仍然成立 ； cos(z1 z2 ),sin(z1 z2 ) sin 2 z cos2 z 1, 但 sin z 1 & cos z 1不成立
- u y v
x y
定理一：f (z) u( x, y) v( x, y)i
在一点z x iy可导的充分必要条件为 ：
u( x, y), v( x, y)在点z( x, y)可导；
满足柯西 黎曼方程：u v , u v x y y x
定理二：f (z) u( x, y) v( x, y)i
则：曲线组u(
x,
y)
c1和v( x,
y)
c
互相正交。
2
证明：f
( z )
1 i uy
vy
0
u y , v y不全为0
u y , v y 都不为0，u( x, y) c1
任一条曲线斜率为：dy dx
k1
ux uy
v(x, y) c2
任一条曲线斜率为：dy dx
k2
vx vy
利用C R方程得：k1k2
模：ez e x 辐角：Arg ez y 2k
工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐
z1 z2 z2 z1
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
复变函数第二章
z → z0
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
汇报人：
目录
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01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
复变函数第四版-第二章_2.5 几种重要的矢量场
u y Q ( x, y, z )
u z R ( x, y, z)
第二章 场论
9
此性质表明： （1） A d l P d x Q d y R d z
u x dx u y dy u z dz du
即表达式A⋅dl = Pdx + Qdy+ Rdz 为函数u 的全微分； （2）函数u 满足A = grad u，所以，矢量场A 为有势场。 一般称旋度恒为零的场为无旋场；具有曲线积分 M
第二章 场论
19
也就是满足
W W P y z W U Q x z W W R x y
(5 .1 2 )
满足（5.11）式的矢量B，称为矢量场A 的矢势量，其存在是 肯定的，例如以
于是
A d l x yz
l
B ( 2 ,3 ,1) A (1, 4 ,1)
12 4 8
第二章 场论
16
2. 管形场
定义：设有矢量场A，若其散度div A ≡ 0，则称此矢量场为管 形场。换言之，管形场就是无源场。 定理2.设管形场A 所在的空间区域为一面单连域，在场中任取一 个矢量管，假定S1与S2是它的任意两个横断面，其法矢n1与n2都 朝向矢量A 所指的一侧。如图（2 − 24）。则有
g ra d v 1 g ra d v 2
或 于是 即
g ra d v 1 v 2） 0 （
v 1 v 2 C (C 为 任 意 常 数 ）
v 1 v 2 C
所以，在有势场中任何两个势函数之间，只相差一个常数。
第二章 场论
5
由此，若已知有势场A (M) 的一个势函数v (M) ，则场的所有势 函数的全体可表示为
u z R ( x, y, z)
第二章 场论
9
此性质表明： （1） A d l P d x Q d y R d z
u x dx u y dy u z dz du
即表达式A⋅dl = Pdx + Qdy+ Rdz 为函数u 的全微分； （2）函数u 满足A = grad u，所以，矢量场A 为有势场。 一般称旋度恒为零的场为无旋场；具有曲线积分 M
第二章 场论
19
也就是满足
W W P y z W U Q x z W W R x y
(5 .1 2 )
满足（5.11）式的矢量B，称为矢量场A 的矢势量，其存在是 肯定的，例如以
于是
A d l x yz
l
B ( 2 ,3 ,1) A (1, 4 ,1)
12 4 8
第二章 场论
16
2. 管形场
定义：设有矢量场A，若其散度div A ≡ 0，则称此矢量场为管 形场。换言之，管形场就是无源场。 定理2.设管形场A 所在的空间区域为一面单连域，在场中任取一 个矢量管，假定S1与S2是它的任意两个横断面，其法矢n1与n2都 朝向矢量A 所指的一侧。如图（2 − 24）。则有
g ra d v 1 g ra d v 2
或 于是 即
g ra d v 1 v 2） 0 （
v 1 v 2 C (C 为 任 意 常 数 ）
v 1 v 2 C
所以，在有势场中任何两个势函数之间，只相差一个常数。
第二章 场论
5
由此，若已知有势场A (M) 的一个势函数v (M) ，则场的所有势 函数的全体可表示为
复变函数(第四版余家荣)ppt课件
h '( z ) [ g ( f ( z ) g ) '( f ( ] z ) f '' ( z ) )
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17
反函数求导法则
设w 函 f(z) 数 在D 区 内域 解 f'(析 z) 0 ， ， 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
在 D 内 ? 解析 完整编辑ppt 吗
19
设
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
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20
令
得
由
得
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Cauchy-Riemann方程
21
定设 理函 f(z) u 数 (x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
要求复 z变 xiy的 量函 f(z数 )满足下列条
(1) x R , f(x)ex;
(2) f (z)在C上解析；
( 3 ) z 1 ,z 2 C ,f( z 1 z 2 ) f( z 1 ) f( z 2 );
首先
f(z)f(xi)yexf(i)y,
设
f(i)yA (y)iB (y),
则
则得到一个单值函此数函，数称作幅角函一数个单的值分支.
如果此单值函数连则续称，其为幅角函数个的 连续一单值分支.
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53
设
则主值幅角函数 argz是
D上的一个连续单值分支 . 对每一个整数 k,
也是D上的一个连续单值分支 .
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17
反函数求导法则
设w 函 f(z) 数 在D 区 内域 解 f'(析 z) 0 ， ， 又 且 反
zf1(w)(w)
存在且为连续， 则有：
'(w) 1
1
f'(z)z(w) f'((w))
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19
设
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得
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20
令
得
由
得
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Cauchy-Riemann方程
21
定设 理函 f(z) u 数 (x ,y ) i(v x ,y )在D 区 内域 有 定义 z ， x i yD 在 可点 导，则
要求复 z变 xiy的 量函 f(z数 )满足下列条
(1) x R , f(x)ex;
(2) f (z)在C上解析；
( 3 ) z 1 ,z 2 C ,f( z 1 z 2 ) f( z 1 ) f( z 2 );
首先
f(z)f(xi)yexf(i)y,
设
f(i)yA (y)iB (y),
则
则得到一个单值函此数函，数称作幅角函一数个单的值分支.
如果此单值函数连则续称，其为幅角函数个的 连续一单值分支.
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53
设
则主值幅角函数 argz是
D上的一个连续单值分支 . 对每一个整数 k,
也是D上的一个连续单值分支 .
复变函数第二章课件
9
例 判断下列函数的解析性.
1) w z ;2) f ( z ) e x (cos y i sin y );3)w z Re( z )
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ).
问：常数 a, b, c, d 取何值时， ( z ) 在复平面 f 内处处解析？
注
Lnz n nLnz n 1 Ln z n Lnz
不成立！！
18
对数函数的解析性 y z
z e
w
v
i
O
w
O
x
w ln z
u
i
arg z v
ln z 在除去原点和负实轴的平面内解析，且有
d ln z 1 1 w de dz z dw (Lnz )k (k Z) 在除去原点和负实轴的平面内解析.
19
3.3 幂函数
对 z 0, ; C
w z e Lnz e (ln z 2k i ) w0e2k i (k Z), 其中 w0 e ln z 是 z 的一个主值.
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z
iz
（3）遵从通常的三角恒等式；
22
（4）周期为 2 ; （5） sin z 0 z n , n Z; ； 1 ; ; cos z 0 z (n ) , n Z; ； 2 (6) sin z 1 和 cos z 1不成立； (7) cos( z ) cos z , sin( z ) sin z ; (8) e cos z i sin z.
例 判断下列函数的解析性.
1) w z ;2) f ( z ) e x (cos y i sin y );3)w z Re( z )
例 设函数
f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ).
问：常数 a, b, c, d 取何值时， ( z ) 在复平面 f 内处处解析？
注
Lnz n nLnz n 1 Ln z n Lnz
不成立！！
18
对数函数的解析性 y z
z e
w
v
i
O
w
O
x
w ln z
u
i
arg z v
ln z 在除去原点和负实轴的平面内解析，且有
d ln z 1 1 w de dz z dw (Lnz )k (k Z) 在除去原点和负实轴的平面内解析.
19
3.3 幂函数
对 z 0, ; C
w z e Lnz e (ln z 2k i ) w0e2k i (k Z), 其中 w0 e ln z 是 z 的一个主值.
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z
iz
（3）遵从通常的三角恒等式；
22
（4）周期为 2 ; （5） sin z 0 z n , n Z; ； 1 ; ; cos z 0 z (n ) , n Z; ； 2 (6) sin z 1 和 cos z 1不成立； (7) cos( z ) cos z , sin( z ) sin z ; (8) e cos z i sin z.
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定 理一 ： f (z) u(x, y) v(x, y)i
x
y
在 一点z x iy可 导的 充 分必 要 条：件 为
u(x, y),v(x, y)在 点z(x, y)可 导；
满 足柯 西 黎 曼方 程u： v , u v x y y x
定理二f(： z)u(x, y)v(x, y)i 在 区D域内 解 析 的 充 分 必为要：条 件 u(x, y),v(x, y)在D内可导； 在D内 （ CR方 程 ）： u v, u v x y y x
g ( z )2
6、 f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ) w g ( z )
2、解析函数
w f (z)在点z0解析： f (z)在z0及z0的邻域内处处可导
在区D 域 内解析f(： z)在D内每一点解析。
f(z)在z0不解 析 z0为奇点。
定理： 1） 如果f (z)，g(z)在区域D内解析，有 :
a,b,c,d?可f使 (z)处 处 解 析 。
例 3 、 f'(z)0 在 D 内 f(z)常数
例 4、如f果 (z)： uiv为解析函 f(z)数 0 ， 则曲 ：线 u(x组 ,y)c1和 v(x,y)c2互 相 正
证明：
f (z)
1 i uy
vy
0
u y ,v y不全为
0
uy,v
都不为
f (z) g(z), f (z) g(z), f (z) , 在D内都解析。 g(z)
2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析， 如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则 复合函数w=f[g(z)]在D内解析
有 理 函 数 （ 多 项整式个）复在平 面 上 解 析 。 wP(z)a0 a1zanzn 有理分w式 P(z)（两个多项式的分商母）不除 0的 为
提 供 了 判 断 函 数 是导否的可方 法 ；
给 出 了 求 导 公 式 。 f ( z ) u i v v i u x x y y
u - u
x
y
v
v
x
y
目标 2：由柯西 黎曼方程判断函 析数 性的 。解
u
u
例 1： f(z)z,z2,zRez)的 ( 解析性 xv -
y v
x
y
例 2： f(z)x2axyb2yi(cx 2dxyy2)
1、( c ) 0
2、( z n ) nz n 1 n 正 整 数
3、 f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
4、 f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
5、
f (z) g(z)
f (z )g(z ) f (z )g (z )
§3 初 等 函 数
实变函数中有五个初基等本函数：
ex,l ogax, xn,si nx, Arcsi nx 用初等函数的四则合和运复算得到一般函数。
推 广 到 复 数 域 ，初 有等 五函 种数 ： 性质、解析性
ez ,Lnz,za ,sinz,Arcsinz
1、指数函数 e（ z ：周期）
定义 f ( z)满足 3个条件为 e z： f (z)在复平面内处处解析； f (z) f (z) Im( z) 0时有 e z e x ;
Q(z) 点外，处处解析。
目标1：由定义或定理判 数断 的函 解析点。
例 3、 (1)f(z)z2 (2)f(z)x2yi (3)f(z)z2 (4)f(z)1的解析性？
z
§2 函数解析的条件
复变可导比实变严多格；的 复变可导不但实部部和必虚须可导， u
x 而且它们之间还要殊有的特关系。 v
- u y v
y
0，
u( x ,
y)
c1
任一条曲线斜率为：
dy dx
k1
ux uy
v(x, y) c2
任一条曲线斜率为：
dy dx
k2
vx vy
利用 C R方程得：
k1k2
ux uy
vx vy
1 两曲线正交。
uy 0 vx,vy 0 ux
k1
ux uy
ux 0
平行与
y轴， k 2
vx vy
f(z 0) d dz w z z 0 lz i0f m (z 0 zz ) f(z 0)
注意 z ： 0的方式是 ,比任 实意 变的 严
例1：f z2 连 续 、 处 处 导 数 存 在 例2： 函 数 ： w f (z) x 2yi
连续、处处不可导
求导法则： 导数定义形式与 同实 ，变 求相 导法则与 同实 。
0
vy
0平行与
x轴
高 层
f ( z )在D内解析
f ( zห้องสมุดไป่ตู้)在D内可导
中 层
f(z)在z0解 析
f(z)在z0可 导
低
层
f(z)在z0连 续
连续、点解析、区域解 析关系图
目标1：由定义或定理判 数断 的函 解析点。 目标 2：由柯西 黎曼方程判断函 析数 性的 。解
作业 1：第二章习 (p6题6) 2, 3
f(z) e z e x iy e x (cy o issiy)n
模 ez ： ex 辐A 角 e rz g ： y2 k
ez的性质(： 4条)
f ( z ) ez 0
ez ez 处处解析
满足加法定理：ez1ez2 ez1z2
周期性：周期为2 i
Rez()excoys Imez()exsiny
第二章 解析函数
• 基本要求：
• 1、掌握复变函数求导数； • 2、掌握解析函数的判断及柯西.黎曼方程。 • 3、初等函数的定义及性质。
1、导数：
§1 解 析 函 数
定义 w： f(z)定义在 D 内 ,区 z0 域 D 如 l果 z i0m f(z0 zz)f(z0)存在， f(z则 )在 z0可 ：导 称
Vargzarc(tyg) x
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); v=atan(y./x); surf(x,y,v)
ez ex
2、对数函L数 nz（ ：多值）
定义 ew： z成 使 立w 的 L函 zn 数
Lznln ziAzrg ln ziarz gi2k
主值对数函数：
lnz lnz iargz argz
多值对数函数：
Lnz lnz2k i k 1,2
Ulnzlnxiy
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); u=log(sqrt(x.^2+y.^2)); surf(x,y,u)