复变函数第四版

证明：
z1
Cz1d
zC
zz 1 1dzC
z1 dz
2
C
z12 dz
2
dz 8 .
2
C
}
§ 3.2 柯西-古萨基本定理
定理1（Cauchy-Goursat） 如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它
在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:
cf(z)dz0.
注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线.
i(ee1).
}
例题2 计算
sinz
z
2
z2
dz. 1
解：方法1 因为f(z)=sinz在复平面上解析,又
-1,1均在 z 2内,所以
sz in 1sz in sz in
z 2 z 2 1 d z z 2 2 (z 1 z 1 ) d z
1 sizn 1 sizn
d z
dz
2z 2z 1 2z 2z 1
si zn
c 1z s 2 i z 1 d n z c 1z z 1 1 d z zi• s z i 1 zn z 1 is1 i.n
si zn
c 2z s 2 i z 1 d n z c 2z z 1 1 d z 2i• s z i 1 zn z 1 is1 i.n
z2z s2 izn 1d z2isi1 n .
C
A B
C 1
B A
0
C
C1
C
C 1 C 1
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因 闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。
------闭路变形原理
}
推论（复合闭路定理）：
设 C1,C2, ,Cn为简单(闭 互不曲 包含线 且互不相交)，
C为包 C1,C 含 2, ,Cn的简单闭曲线
f (z) d z f (z) d z
C z z0
K z z0
f(z0 )d zf(z) f(z0 )d z
Kz z0 K z z0
R C z z0
K
D
2 π if(z0) Kf(zz ) z f0 (z0)dz
}
Czf zz0 dz2ifz0K
f (z)f (z0)dz zz0
此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。
}
注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上 解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有
推论：
cf(z)dz0.
如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，
定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析,
C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完
全含于D, z0为C内的任一点, 则
f(z0)21 πiCzf (zz)0dz.
f(z) d czz0
z2if(z0)
.
orfz2 1iCf zd
---解析函数可用复积分表示。
}
[证] 由于f (z)在 z0连续, 任给e >0, 存在 (e) >0, 当 |zz0|< 时, | f (z)f (z0)| <e. 设以 z0为中心, R 为半径 的圆周K : |zz0|=R全部在C的内部, 且R <.
zr11n21(20zide1iz)n31d0.
0, n
2i,
1, n 1.
例如
dz 2i,
z 1 z
}
例题3
计算
C
z2dz, Ci如图所示：
C2
解：C 1 :z x ,y 0 ,x :1 1
z2dz1x2dx2;
C1
1
3
C1
1
1
C 2:z ei,
:0 z2dz e2iieid C2
ie3id1e3i 2.
0
30 3
0
可见，积分仅与起点和终点有关,而与路径无关。
}
z 2 d z x 2 y 2 d x 2 x y d y i 2 x y d x x 2 y 2 d y
CC
C
M
N
M
N
M y N xu y ( v )x
M yN xvyu x
例题4 证明 Czz 1 1dz8, C: z12.
一个复积分的实质是两个实二型线积分
}
3 复积分的性质 ： 1 线性性：
C a ( z ) f b ( z ) d g a C z f ( z ) d b C z g ( z ) d (a、z b为常数) 2 设 C 为 C 的 逆 向 曲 线 ， 则 C f(z)d z Cf(z)dz
}
1
练习：计算积分
d.z z3(z1)(z2)
解：现分别以z=1,2为圆心,在C内作两个互不包含也
互不相交的正向圆周C1与C2.由复合闭路定理知：
1
1
1
z 3 ( z 1 ) z 2 ( ) d c 1 ( z z 1 ) z 2 ( ) d c 2 ( z z 1 ) z 2 ( ) d I 1 z I 2
I 1 c 1 ( z 1 ) 1 z ( 2 ) d c 1 z z 1 2 d c 1 z z 1 1 d z 2 i
1
11
I 2 c 2 ( z 1 )z ( 2 )d c z 2z 2 d c 2 z z 1 d 2 z i
z 3 (z 1 ) 1 z (2 )d I 1 z I2 2 i 2 i 0 .
则c f zdz与路径无关仅与起点和终点有关。
}
柯西-古萨基本定理还可推广到多连通域:
定理2 (复合闭路定理)
假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内
部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析,
在边界上连续，则
A
C
f(z)d z f(z)d.z
c
c1
D
B
C1
}
证明：取 C A B C 1 B A
在每个弧段上 点任 k,并 意作 取和 一式
n
n
Sn f(k)(zkzk1) f(k)zk.
k1
k1
这 zk里 zk zk 1 .
}
记 s k z k 1 z k 的 , m 1 长 k n s k . a 度 x
当n无限增加,且趋于零时,如果不论对C的分法
及k的取法如何, Sn有唯一极限,那么称该极限值
}
§ 3.3 柯西积分公式
在上节的基础上,我们来进一步探讨如下积分:
f (z) dz
c z z0
z0
D
C
分析：设z0D, 若 f (z) 在D内解析，则
f(z)d z 闭 路 变 形 原 理 f(z)d z
Cz z0
z z0 z z0
} fz fz 0 0 f(z0)zz0z 1z0dz2πif(z0).
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向
的单位半圆周。
解（1）线 段 的 参 数 方 程 为 z i t t : 1 1
dzidt,zitt
z d z 1 ti d t i [0 t d t 1 t d t i ( 1 1 ) i
C
1
1
0
2 2
}
（2）参数方程为
i2ie2i
3e 3
}
§ 3.4 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各 高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通 过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一 个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这 区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶 导数存在了.
}
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它 的n阶导数为:
zei,3
22
d zieid ,zei1
3
C
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
zdz
ieidei
3
2
2
2i
2
可见积分与路径有关。
i i
}
例题2 计算 IC 积 (z d z0)z 分 n(n Z )C ,:zz0r0
解： C :z z 0 r e i ( 0 2) ,dzireid
I
2 ireid
0 (rei )n
第3章 复变函数的积分
§3.1 复积分的概念 §3.2 柯西-古萨基本定理 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数
}
§3.1 复积分的概念
1 复变函数的积分定义 定义：设函数 w=f(z) 定义在区域D内，C为区域 D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把
曲线C任A 意 分z 成0 , nz 个1 , 弧段, z ，k 1 设, z 分k , 点 为, z :n B
D 为由 边 C C 界 1 C 2 曲 C 线 n
所围成的多连通区域，
C
f (z)在D内解析，
D
在 DD 上连 ,则续
f(z)dz0
n
f(z)dz f(z)d.z
c
i1 ci
Ci
}
例题1
求
C
1 z2
dz
,
C 如图所示：
解：存在 f (z)的解析单连通域D包含曲 i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点
和终点有关。
i
现设z=it，t从-3变化到1，
3i
cz12d 131 t2i
dit1 4i. t3 3
或
Cz1 2dz0 ,0 ,i3 id 1 z 1 z0 0,,i 3i
1i
1 3i
4i 3
}
例题2
求
c
1 z2