第四版复变函数第二章.
复变函数(第四版)课件--章节2.3
ch( x + iy) = ch x cos y + i sh x sin y, 及 sh( x + iy) = sh x cos y + i ch x sin y.
5 、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义 设 z = cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数 ,
记作 w = Arc cos z .
i 2 1 1 1 = − ln + + k π − arctan . 4 5 2 3 2
其中 k = 0, ± 1, ± 2, L.
6 、 小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围 内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2.指数函数具有周期性 3. 负数无对数的结论不再成立 作业： 作业：第68页15,18,20题
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都 是它在除去原点及负实轴的平面内的某 一单值分支.
3 、乘幂与幂函数
1.定义
乘幂 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复 数, 定义乘幂ab为ebLna, 即ab = ebLna 由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kiπ)是多值的, 因而ab也 是多值的. 说明: 说明: (1) 当b为整数时, 由于 ab =ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kπ)] =ea(ln|a|+iarg a)+2kbπi=eblna, 所以这时ab具有单一的值.
e +e cos iy = = ch y 2 −y y e −e sin iy = = i sh y 2i
第四版复变函数第二章市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
例6：反函数的求法：z cos w 1 (e iw e iw ) 2
得到关于e iw的二次方程：e i2w 2ze iw 1 0 (e iw z)2 z 2 1 e iw z z 2 1 w iLn(z z 2 1)
反双曲函数定义：z shw
则：w Arshz
Arshz Ln( z z2 1 )
三角函数性质：(5条)
周期为2的周期函数；
在复平面内处处解析；
sin z cos z, cos z sin z
欧拉公式仍然成立； e iz cos z i sin z 一些三角公式仍然成立 ； cos(z1 z2 ),sin(z1 z2 ) sin 2 z cos2 z 1, 但 sin z 1 & cos z 1不成立
- u y v
x y
定理一：f (z) u( x, y) v( x, y)i
在一点z x iy可导的充分必要条件为 ：
u( x, y), v( x, y)在点z( x, y)可导；
满足柯西 黎曼方程：u v , u v x y y x
定理二：f (z) u( x, y) v( x, y)i
则：曲线组u(
x,
y)
c1和v( x,
y)
c
互相正交。
2
证明：f
( z )
1 i uy
vy
0
u y , v y不全为0
u y , v y 都不为0，u( x, y) c1
任一条曲线斜率为：dy dx
k1
ux uy
v(x, y) c2
任一条曲线斜率为：dy dx
k2
vx vy
利用C R方程得：k1k2
模：ez e x 辐角：Arg ez y 2k
复变函数第2章
By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。
.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。
)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。
工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
《复变函数》第2章
u v , x y
u v y x
《复变函数》(第四版) 第21页
—— 柯西-黎曼 (Cauchy-Riemann)方程
2014-10-20
Th1 : f (z) = u(x, y) + i v(x, y) 定义在区域内 u(x, y), v(x, y) 在点(x, y) f (z)在 z = x+iy 可导 可微, 且 u v u v , x y y x (必要性已证, 下面证充分性) 证: (充分性) f f ( z z ) f ( z ) u vi ∵ u(x, y) 和 v(x, y) 在点(x, y)可微, ( 书 P.41 ) u u( x x, y y ) u( x, y ) u u x y 1x 2 y x y v v( x x, y y ) v( x, y ) v v x y 3 x 4 y x y 《复变函数》 2014-10-20 第22页
f (z)在zo解析. 2°f (z)在zo点可导 (在zo点可导与在zo点解析不等价) 3°f (z)在区域D内解析
2
f (z)在D内可导.
2
例3: 研究函数 f ( z ) z , g ( z ) x 2 yi 和 h( z ) | z |
的解析性.
解: 由例1、例2， f (z) = z2 在复平面内解析.
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第13页
由求导法则, 可得 Th : 1) 解析函数的和、差、积、商 (除分母
为0的点) 仍解析. 2) 解析函数的复合函数仍解析. 结论: 1) 所有多项式在复平面内处处解析. P( z ) 2) 有理分式函数 在不含分母为零 Q( z) 的点的区域内解析.
复变函数论第四版答案钟玉泉
复变函数论第四版答案钟玉泉第二章 解析函数（一）1.证明:0>∃δ,使{}0001/),(t t t t δδ+-∈∀,有)()(01t z t z ≠,即C 在)(0t z 的对应去心邻域内无重点,即能够联结割线)()(10t z t z ,是否就存在数列{}01t t n →,使)()(01t z t z n =,于是有0)()(lim )(0101001=--='→t t t z t z t z n n t t n此与假设矛盾.01001),(t t t t t >⇒+∈δ因为 [])()(a r g )()(a r g 010101t z t z t t t z t z -=-- 所以 []])()(lim arg[)()(arglim )()(arg lim 0101010101010101t t t z t z t t t z t z t z t z t t t t t t --=--=-→→→因此,割线确实有其极限位置,即曲线C 在点)(0t z 的切线存在,其倾角为)(arg 0t z '.2.证明:因)(),(z g z f 在0z 点解析,则)(),(00z g z f ''均存在.所以 )()()()()()(lim )()()()(lim )()(lim 00000000000z g z f z z z g z g z z z f z f z g z g z f z f z g z f z z z z z z ''=----=--=→→→ 3.证明:()()()()()3322,0,0,,0,00x y x y u x y x y x y ≠⎧-⎪=+⎨⎪=⎩()()()()()3322,0,0,,0,00x y x y v x y x y x y ≠⎧+⎪=+⎨⎪=⎩于是()()()00,00,00,0limlim 1x x x u x u xu xx →→-===,从而在原点()f z 满足C R -条件,但在原点，()()()()()'0,00,0x x u iv u iv f f z z z+-+-= ()()()()()()333311i x y i zx y z ⎡⎤+--+⎣⎦=⎡⎤+⎣⎦当z 沿0y x =→时,有()()()'212f f z i z x --+= 故()f z 在原点不可微.4.证明:(1)当0≠z 时,即y x ,至少有一个不等于0时,或有y x u u ≠,,或有y x u u ≠-,故z 至多在原点可微.(2)在C 上处处不满足C R -条件. (3)在C 上处处不满足C R -条件. (4)221yx yix z z z z ++==,除原点外, 在C 上处处不满足C R -条件. 5.解:(1) y x y x v xy y x u 22),(,),(==,此时仅当0==y x 时有 xy v xy u x v y u x y y x 22,22-=-===== 且这四个偏导数在原点连续,故)(z f 只在原点可微. (2) 22),(,),(y y x v x y x u ==,此时仅当y x =这条直线上时有 00,22=-=====x y y x v u y v x u且在y x =这四个偏导数连续,故)(z f 只在y x =可微但不解析. (3) 333),(,2),(y y x v x y x u ==,且00,9622=-=====x y y x v u y v x u 故只在曲线0212312=-x y 上可微但不解析.(4) 32233),(,3),(y y x y x v xy x y x u -=-=在全平面上有 xy v xy u y x v y x u x y y x 66,33332222-=-=-=-==-= 且在全平面上这四个偏导数连续,故可微且解析. 6.证明:(1)y y x x iu v iv u z f D yi x z -=+='=∈+=∀)(0,(2)设().f z u iv =+则()f z u iv =-，由()f z 与()f z 均在D 内解析知,,x y y x u v u v ==-,,x y y x u v u v =-=结合此两式得0x y x y u u v v ====，故,u v 均为常数,故)(z f 亦为常数. (3)若0)(=≡C z f ,则显然0)(≡z f ,若0)(≠≡C z f ,则此时有0)(≠z f ,且2)()(C z f z f ≡,即)()(2z f C z f ≡也时解析函数,由(2)知)(z f 为常数.(4)设().f z u iv =+,若C y x u ≡),(,则0,0≡≡y x u u ,由C R -条件得 0,0≡=≡-=x y y x u v u v 因此v u ,为常数, 则)(z f 亦为常数.7.证明：设,f u iv g i f p iQ =+==+则,,f u iv g v iu =-=-由 ()f z 在D 内解析知,x y y x u v u v ==-从而 ,x x y v y y x p v u Q p v u Q x ==-====- 因而()g z 亦D 内解析.8.解:(1)由32233),(,3),(y y x y x v xy x y x u -=-=,则有 222233,6,6,33y x v xy v xy u y x u y x y x -==-=-=故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且 22236)33()(z xyi y x i v u z f x x =+-=+='(2) ()()()(),cos sin ,cos sin x x u x y e x y y y v x y e y y x y =-⋅=- ()cos sin cos x x y u e x y y y y v =-+=()s i n s i n c o sx y x u e x y y y y v =--+=- 故()f z 在z 平面上解析，且()()()'cos 1sin sin 1cos x xf z e y x y y ie y x y y =⋅+-+⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(3)由xshy y x v xchy y x u cos ),(,sin ),(==,则有x c h y v x s h y v x s h y u x c h y u y x y x c o s ,s i n ,s i n ,c o s =-===故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且z x s h y i x c h y i v u z f x x c o s s i n c o s)(=-=+=' (4)由xshy y x v xchy y x u sin ),(,cos ),(-==,则有x c h y v x s h y v x s h y u x c h yu y x y x s i n ,c o s ,c o s ,s i n -=-==-= 故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且z x s h y i x c h yi v u z f x x s i n c o s s i n )(-=--=+=' 9.证明:设,i z x yi re θ=+=则cos ,sin ,x r y r θθ== 从而cos sin ,sin cos r x y x y u u u u u r u r θθθθθ=+=-+cos sin ,sin cos ,r x y x y v u v v v r v r θθθθθ=+=-+再由11,r r u v v u r rθθ==-，可得,x y y x u v u v ==-，因此可得()f z 在点z 可微且()()()'11cos sin sin cos x y r r f z u iu r u u i r u u r r θθθθθθ=-=--+()()1c o s s i n s i n c o s r i u i u r θθθθθ=--+()()c o s s i n s i n c o s r r i u iv θθθθ=-++()()c o s s i n r r i u iv θθ=-+ ()()1c o s s i n r r r r ru i v u i v i zθθ=+=++10.解:(1)x y i x z i e e e 2)21(22--+--== (2)222222y zxyiy zz e e e -+-==(3) 22222211x yi xy ix iyx yx yx y ze eeee--++++===⋅所以22221Re cos x yx y x y z e e ++⎛⎫= ⎪⎝⎭11.证明:(1)因为)sin (cos y i y e e e e e x yi x yi z z +=⋅==+ 因此 )sin (cos y i y e e x z -=而)sin (cos y i y e e e e e x yi x yi z z -=⋅==--,得证.(2)因为 ie e z iziz 2sin --=所以 z ie e i e e z iziz z i z i sin 22sin =+=-=--- (3)因为2cos iziz e e z -+=所以z e e e e z iziz z i z i cos 22cos =+=+=-- 12.证明:分别就m 为正整数,零,负整数的情形证明,仅以正整数为例 当1=m 时,等式自然成立. 假设当1-=k m 时,等式成立.那么当k m =时,kz z k z k z e e e e =⋅=-1)()(,等式任成立. 故结论正确.13.解:(1) )1sin 1(cos 333i e e e e i i +=⋅=+(2) ()()()11cos 12i i i i e e i ---+-=()112i i i e e -+++=c o s 11s i n 1122e i e e e ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14.证明:(1)由于z z g z z f ==)(,sin )(在点0=z 解析 且01)0(,0)0()0(≠='==g g f 因此 11cos sin lim0===→z z zz z(2)由于0)(,1)(=-=z g e z f z 在点0=z 解析,且01)0(,0)0()0(≠='==g g f因此 11lim0==-=→z z z z e ze(3)由于z z z g z z z z f sin )(,cos )(-=-=在点0=z 解析, 且1)0(,0)0()0(,0)0()0(,0)0()0(='''=''=''='='==g g f g f g f 因此 3cos 1sin cos 1lim sin cos lim00=-+-=--→→zzz z z z z z z z z 15.证明：2cos iziz e e z -+=)c o s ()c o s (c o s nb a b a a +++-+=222)()()()(nb a i nb a i b a i b a i ia ia e e e e e e +-++-+-++++++ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅+--⋅+-+ib bn i ia ib b n i ia e e e e e e 111121)1()1(=)2cos(2sin 21sinnb a b bn ++=右边同理证明(2).16.证明:(1) z i e e i i e e i e e iz zz z z iz i iz i sinh 222)sin()()(=-⋅=-=-=--- (2) z e e e e iz z z iz i iz i cosh 22)cos()()(=+=+=-- (3) z i ie e i e e iz iziz iz iz sin 22)sinh(=-⋅=-=--(4) z z iz i iz cos )cos()cos()cosh(=-=⋅= (5) z i zzi iz iz iz tanh cosh sinh )cos()sin()tan(===(6) z i zzi iz iz iz tan cos sin )cosh()sinh()tanh(===17.证明:(1) 1)(sin )(cos )(222222=+=+=-iz iz ishz z ch z sh z ch(2) 111sec 2222222=+=+=+zch zsh z ch z sh z ch z th z h (3) )sin()sin()cos()cos()cos()(21212121iz iz iz iz iz iz z z ch -=+=+2121s h z s h z c h z c h z +=18.证明:(1) xshy i xchy iy x yi x yi x z cos sin )sin(cos )cos(sin )sin(sin +=+=+= (2) xshy i xchy iy x yi x yi x z sin cos )sin(sin )cos(cos )cos(cos +=-=+= (3) y x y xsh y xch xshy i xchy z 22222222sinh sin cos sin cos sin sin +=+=+= (4) y x y xsh y xch xshy i xchy z 22222222sinh cos sin cos sin cos cos +=+=-=19.证明: chz e e e e shz zz z z =+='-='--2)2()( s h z e e e e c h z zz z z =-='+='--2)2()(20.解:(1) )31arg(31ln )31ln(i i i i z +++=+= )23(2ln ππk i ++= ),1,0( ±=k(2)由于2ln iz π=,则有i i e z i=+==2sin2cos2πππ(3)由于)2(1ππk e e i z +=-=,故)2(ππk i z += (4)z z sin cos -=,即1tan -=z ,所以 ππk i i i z +-=+-=411ln 21(5) 设,z x iy =+由12tgz i =+得()()sin 122cos iz iz iz iz zi e e i e e z--=+→-=-+ 2255izi e →=-+22cos 25y e x -→=-，1sin 25x =41ln 5,54y e y -→==且1112,222tg x x arctg π⎡⎤⎛⎫=-=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11ln 5224z arctg i π⎡⎤⎛⎫→=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 21.证明:因)1arg(1ln )1ln()1ln(-+-=-=-θθθi i i re i re re z ,所以)cos 21ln(21)sin ()1(ln 1ln )]1Re[ln(222θθθθr r r re re z i i -+=+-=-=- 22.解: 32)(3)()(πθk z ik ez r z w +=,)2,1,0;2)(0;(=<<∈k z G z πθ利用i i w -=)(定2,=k k ,再计算)(2i w -23.解: 2,22ππii e i e ==-,由32)2(-=-w 定1,=k k ,再计算i e i w π451)(=24.解: )24(2ln )]2)1(arg(1[ln )1ln()1(πππk i k i i i i i i ieeei +-+++++===+)24(2ln ππk i ee+-⋅= ),2,1,0( ±±=kππk i k i i i i e e e e 23ln )]23(arg 3[ln 3ln 3-++⋅=== ),2,1,0( ±±=k25.解:z 在z 平面上沿0=z 为圆心,1>R 为半径的圆周C 从A 走到B ,经过变换4z w =,其象点w 在w 平面上沿以0=w 为心,14>R 为半径的象圆周从A '走到B ',刚好绕1+=w w 的支点-1转一整周,故它在B '的值为B w '+1.因此1)()(4+-=-=R z f z f AB.26.证明：()f z =可能的支点为0，1，∞由于 3|12+，故()f z 的支点为0,1z =，因此在将z 平面沿实轴从0到期割开后，就可保证变点z 不会单绕0或者说转一周，于是在这样割开后的z 平面上()f z 就可以分出三个单值解析分支. 另由已知 ()a r g f z π=得()()arg c i f zi f i e π∆=()2a r g 1a r g3c c i z z e⎡⎤∆-+∆⎣⎦=32342i ππ⎡⎤+⋅⎢⎥⎣⎦=712i eπ=.(二)1.证明:由()21z f z z =-得()()2'2211z f z z +=-，从而于是()f z 在D 必常数()()()()()()22'2222111111z zf z zz f z z z z+-+⋅==---()4242121Re m z I z i z z -+=+- 所以 ()()4'421Re 12Re zf z z f z z z ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪+-⎝⎭由于1z <，因此410,z ->且()24422212Re 1210z z z z z+-≥+-=->故()()'Re 0f z z f z ⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭.2.证明:同第一题221Im 2111)()(1zzi z z z z f z f z -+-=-+='''+. 3.证明:题目等价域以下命题:设1,E E 为关于实轴对称的区域,则函数在E 内解析)(z f ⇒在1E 内解析.设)(z f 在E 内解析,对任意的10E z ∈,当1E z ∈时,有E z E z ∈∈,0,所以 )()()(lim )()(lim0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→ 这是因为)(z f 在E 内解析,从而有)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→,由0z 的任意性可知, )(z f 在1E 内解析. 4.证明:(1)由于)(21),(21z z iy z z x -=+=,根据复合函数求偏导数的法则,即可得证. (2))(21)(21x vy u i y v x u z v i z u z f ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=∂∂所以x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,,得 0=∂∂zf5.证明: x y sh y sh x y xch yi x z 222222sin )sin 1(sin )sin(sin +=-+=+= 所以 z x y sh shy sin sin 22=+≤ 而 z y s h y Im =≥ ,故左边成立.右边证明可应用z sin 的定义及三角不等式来证明. 6.证明:有 R ch y ch y sh y sh x z 2222221sin sin ≤=+≤+= 即 c h Rt ≤s i n 又有 R ch y ch y sh y x z 2222221sinh cos cos ≤=+≤+= 7.证明:据定义,任两相异点21,z z 为单位圆1<z ,有212221212121)32()32()()(z z z z z z z z z f z f -++-++=--0112222121=-->--≥++=z z z z 故函数)(z f 在1<z 内是单叶的.8.证明:因为)(z f 有支点-1,1,取其割线[-1,1],有(1) 10182)(,8)(arg ie c e i f z f ππ-=-=∆(2) i c c e i f z f i z f 852)(,85)(arg ,811)(arg 32πππ=--=∆-=∆9.解: 因为)(z f 有支点∞±,,1i ,此时支割线可取为:沿虚轴割开],[i i -,沿实轴割开],1[+∞,线路未穿过支割线,记线路为C ,)]arg())(arg()1arg([21)(arg i z i z z z f c c c c ⋅∆+--∆+-∆=∆ 2]0[21ππ-=-= 故 i z f 5)(-=.10.证明：因为()f z =的可能支点为0,1,z =∞,由题知()f z 的支点为0,1,z =于是在割去线段0Re 1≤≤的平面上变点就不可能性单绕0或1转一周，故此时可出两二个单值解析分支,由于当z 从支割线上岸一点出发，连续变动到1z =-时，只z 的幅角共增加2π，由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分支在上岸之幅角为0，因而此分支在1z =-的幅角为2π，故()21i f e π-==,i f 162)1(-=-''.。
第四版复变函数第二章精品PPT课件
定 理一 ： f (z) u(x, y) v(x, y)i
x
y
在 一点z x iy可 导的 充 分必 要 条：件 为
u(x, y),v(x, y)在 点z(x, y)可 导；
满 足柯 西 黎 曼方 程u： v , u v x y y x
定理二f(： z)u(x, y)v(x, y)i 在 区D域内 解 析 的 充 分 必为要：条 件 u(x, y),v(x, y)在D内可导； 在D内 （ CR方 程 ）： u v, u v x y y x
g ( z )2
6、 f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ) w g ( z )
2、解析函数
w f (z)在点z0解析： f (z)在z0及z0的邻域内处处可导
在区D 域 内解析f(： z)在D内每一点解析。
f(z)在z0不解 析 z0为奇点。
定理： 1） 如果f (z)，g(z)在区域D内解析，有 :
a,b,c,d?可f使 (z)处 处 解 析 。
例 3 、 f'(z)0 在 D 内 f(z)常数
例 4、如f果 (z)： uiv为解析函 f(z)数 0 ， 则曲 ：线 u(x组 ,y)c1和 v(x,y)c2互 相 正
证明：
f (z)
1 i uy
vy
0
u y ,v y不全为
0
uy,v
都不为
f (z) g(z), f (z) g(z), f (z) , 在D内都解析。 g(z)
2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析， 如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则 复合函数w=f[g(z)]在D内解析
有 理 函 数 （ 多 项整式个）复在平 面 上 解 析 。 wP(z)a0 a1zanzn 有理分w式 P(z)（两个多项式的分商母）不除 0的 为
复变函数第二章(第四讲)
对数的表达式
Lnz ln z iArgz ln z i(argz 2k ), k Z。
证明
令w u iv z re i e
u iv i
那么
re u ln r , v 2k , k Z。
w Lnz ln r i ( 2k )， k Z。
zi 例1 求 Im(e );
Im(e iz ) Im(e y ix ) e y sinx。
例2
求e
1 (1 i ) 4
1 1 i 4
;
e
24 e (cos i sin ) e 1 i 。 4 4 2
4
例3 解方程e 1。
z
z 2k i
幂函数的性质
单值性和多值性 ① 当 n(n为整数 时 )
w=zn 在整个复平面上或去掉原点的复平 面是单值解析函数. 1 ② 当 ( n为 正 整 数时 ) n
e
1 Lnz n
e
1 (ln n
z i arg z 2 ki )
e
1 ln n
z
e
i
a rgz 2 k n
正弦与余弦函数的性质
(1) sinz及 cos z是单值函数；
( 2) sinz及 cos z在复平面 上处处解析，且 C (sinz )' cos z , (cosz )' sinz; iz iz e e (sin z ) 2i
证明 :
1 iz e iz e iz ( ie ie iz ) cos z。 2i 2 (3) 三角恒等式 : sin(z z 2 ) sinz cos z2 sinz2 cos z1 , 1 1 cos(z z 2 ) cosz1 cos z2 sinz1 sinz2 ; 1
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bLna
e
b lna b2 k i
e
多值函数
n
(1)b为整数
a 为单值 特殊：a
b
m ( 2)b 为分数 n
n a b为n个值 特殊： a
(3)b为一般复数
a b为无穷多个值
幂函数： z
b
f ( z ) z b e bLnz e b ln z e b2k i 所以：z b的多值性取决于e b2k i的多值性。
有理函数（多项式）在 整个复平面上解析。 w P ( z ) a 0 a1 z a n z n P(z) 有理分式w （两个多项式的商）除 分母不为0的 Q( z ) 点外，处处解析。
目标1：由定义或定理判断函 数的解析点。
例3、 (1) f ( z ) z 2 (2) f ( z ) x 2 yi 1 2 (3) f ( z ) z (4) f ( z ) 的解析性？ z
提供了判断函数是否可 导的方法； 给出了求导公式。 u v v u f ( z ) i i x x y y
u x v x u y v y
目标2：由柯西 黎曼方程判断函数的解 析性。
例 1：f ( z ) z , z , z Re(z )的解析性
定义f ( z )满足3个条件为e z ： f ( z )在复平面内处处解析； f ( z ) f ( z ) Im (z ) 0时有e z e x ;
z
f(z) e e
z
x iy
e (cos y i sin y )
x
模： ez ex
辐角：Arg e z y 2k
f ( z0 ) dw dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
注意：z 0的方式是任意的,比实变严格。
例1：f z 2
连续、处处导数存在
例2：函数：w f ( z ) x 2 yi 连续、处处不可导
求导法则： 导数定义形式与实变相 同，求导法则与实变相 同。
第二章 解析函数
• 基本要求：
• 1、掌握复变函数求导数； • 2、掌握解析函数的判断及柯西.黎曼方程。 • 3、初等函数的定义及性质。
§1 解 析 函 数
1、导数：
定义： w f ( z )定义在区域D内, z0 D
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 如果 lim 存在，则：称f ( z )在z 0可导。 z 0 z
1 u y v y 0 u y , v y 不全为0 i u y , v y 都不为0，u( x , y ) c1 证明：f ( z ) ux dy 任一条曲线斜率为： k 1 dx uy v( x, y ) c 2 vx dy 任一条曲线斜率为： k 2 dx vy ux v x 利用C R方程得：k 1 k 2 1 两曲线正交。 uy v y u y 0 v x , v y 0 u x ux ux vx 0 k1 平行与y轴，k 2 0平行与x轴 uy 0 vy vy
b为整数，为单值，处处解析， z nz n 1； m b为有理数b , 有n个分支多值函数， n 1 1 n n 1 n 除原点和负实轴外处处解析， z n z ；
n
b为一般数，z b 有无穷多个分支， b 除原点和负实轴外处处 解析， z bz b 1
§2 函数解析的条件
u 复变可导不但实部和虚部必须可导， x 而且它们之间还要有特殊的关系。 v x
定理一：f ( z ) u( x , y ) v ( x , y )i 在一点z x iy可导的充分必要条件为： u( x , y ), v ( x , y )在点z ( x , y )可导； u v u v 满足柯西 黎曼方程： , x y y x
2、解析函数
w f ( z )在点z 0 解析： f ( z )在z 0 及z 0的邻域内处处可导
在区域D内解析：f ( z )在D内每一点解析。
f ( z )在z0不解析 z0为奇点。
定理： 1） 如果f ( z )，g ( z )在区域D内解析，有 : f ( z) f ( z ) g ( z ), f ( z ) g ( z ), , 在D内都解析。 g ( z) 2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析， 如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则 复合函数w=f[g(z)]在D内解析
目标4：求a , z
b
b
的值。 z
b
bz
2
b 1
例3：求(1 i ) ; (1 i ) ; 1
2
2 3
;i
i
例4：分析 : z 4 , 4 z , z i 1的解析性
目标3：求e , Lnz的值。 e
z
z
e
b
z
1 Lnz z
目标4：求a , z
b
b
U ln z ln x iy
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); u=log(sqrt(x.^2+y.^2)); surf(x,y,u)
y V arg z arctg( ) x
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); v=atan(y./x); surf(x,y,v)
Re (cosz ) cos xchy
Re (sin z ) sinxchy
Im(cosz ) sinxshy
Im(sinz ) cos xshy
三角函数性质： (5条)
周期为2的周期函数； 在复平面内处处解析； sinz cos z , cos z sinz 欧拉公式仍然成立； e iz cos z i sinz 一些三角公式仍然成立； cos(z1 z 2 ), sin( z1 z 2 ) sin2 z cos2 z 1, 但 sinz 1 & cos z 1不成立
高 层 中 层 低 层
f ( z )在D内解析
f ( z )在D内可导
f ( z )在z0解析
f ( z )在z0可导
f ( z )在z0连续
连续、点解析、区域解 析关系图
目标1：由定义或定理判断函 数的解析点。 目标2：由柯西 黎曼方程判断函数的解 析性。
作业1： 第二章习题( p66) 2,3
2
u x v x
-
u y v y
例2：f ( z ) x 2 axy by2 i (cx2 dxy y 2 ) a, b, c, d ? 可使f ( z )处处解析。
例3、f ( z ) 0在D内 f ( z ) 常数
'
例4、如果：f ( z ) u iv为解析函数，且f ( z ) 0 则： 曲线组u( x, y ) c1和v( x, y ) c 2互相正交。
定义：使e z成立的函数w Ln z
w
Ln z ln z iArg z ln z i arg z i 2k
主值对数函数： ln z ln z i arg z 多值对数函数： Ln z ln z 2k i arg z k 1 ,2
e i ( iy ) e i ( iy ) e y e y 解释当：z iy cos z 2 2 limcos z sin x与sinz有相同的基本性质，但 有本质的差异
y
双曲函数性质： (3条)
周期为2 i的周期函数； 在复平面内处处解析； shz chz , chz shz 和三角函数关系： chz chx cos y ishx sin y shz shx cos y ichx sin y
目标5：解含有sinz, cos z, shz , chz的方程。
例5：解方程： sinz 0 shz 0
e iz e iz sinz 0 e iz e iz 0 2i e iz e iz z z 2k z 0 e z e z 0 2 e z e z e z 2 k i z k i 0点在虚轴上
5、反三角函数和双曲函 数： (多值)
反三角函数定义：z cos w 则：w Arc cos z
Arc sin z iLn( iz 1 z 2 ) Arc cos z iLn( z z 2 1 ) i 1 iz Arc tgz Ln 2 1 iz
Lnz的性质： ( 3条 )
多值性： 有无穷多个对数，任意两个相差2 i整数倍； 解析性：
Lnz 除原点和负实轴外处处解析，
2
1 ； z
1 Lnz 2 Lnz Ln z Lnz 前一个 不等式正确，后一个错误 2 Ln( z 1 z 2 ) Lnz1 Lnz2 z1 可能值全体相等 Ln( ) Lnz1 Lnz2 z2
目标3：求e , Lnz的值。 e
z
z
e
z
1 Lnz z
例 1：求e z 1 0的全部解。
例2：求Ln2和Ln(1)及其主值
正实数的对数也有无穷 多个分支 复数的对数是实数对数 的拓广
3、乘幂与幂函数：a b、z b
（单值、有限个值、无 穷多值）
乘幂：a
b
a e
1、 ( c ) 0 2、 ( z n ) nz n 1 n正整数 3、f ( z ) g( z ) f ( z ) g ( z ) 4、f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g ( z ) f (z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) 5、 2 g ( z ) g ( z ) f [ g( z )] f ( w ) g ( z ) w g( z ) 6、