第二章-复变函数

u v i z x x u v
z iy i iy
u v i z 0 z x x lim
v u i z 0 z y y lim
可导，要求二者相等
柯西—黎曼方程
u v x y
v u x y
则 的主
(iii).单值分支、支点、支割线 对数函数只有两个支点 ，从0点到 点作支割线，即可得到在这割破的z平面上的 无穷多单值分支 (iv).无穷多个单值函数都是解析函数，且：
但 不成立.
(v).运算法则
但 不成立。 3.一般幂函数 定义：一般幂函数 （ 为复常 数）对 都有意义，由于 的多值， 一般是多值函数(除α为整数)。 4、反三角函数 由 定义反正弦函数 由 定义反余弦函数
(*)
(*)
解析函数
f ( z ) 在点 z0 解析，即在这点可导。
为在区域 B 中解析函数，即在区域的点点解析。 称函数f在某点解析，指其在该点的某领域解析； 称函数f在某闭域 B 上解析，指其在包含该闭 域的某区域上解析。 解析函数又称全纯函数或正则函数
奇点： F 在点 z0 不解析，但是该点的领域里总 有f的解析点，则称 z0 为奇点。 解析函数的实部和虚部通过C--R方程相互联系， 并不独立，只要知道解析函数的虚部(或实部)， 就可求出相应的实部(或虚部).
在区域D上解析，则C--R ， .
下一章将证明，某个区域上的解析函数在该 区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏 导数 ,
同理可得
即 , 都满足拉普拉斯方程， 是调和函数。 注意：反过来定理不一定成立，如果 是调和函数， 不一定解析，因为解析 函数必须满足C--R条件. 由C--R条件联系着的调和函数 u 与 v 称为 共轭调和函数 定理：任何一个在区域D上的解析函数，其实部 与虚部在该区域上互为共轭调和函数。
例如：i）.当沿正实轴割开的z平面时, 的三个单值分支为：定义域： 值域为：
ii）.当沿负实轴割开的z 平面时，三个单值分 支为：定义域：
例：设 并且
确定在沿正实轴割破的z 平面上， 求
例：设 确定在沿正实轴割破的z 平面上， 并且 求 解：由于是沿正实轴割破的z 平面上，所以定义 域为： 由于 ， ，故应取第三支
v u 2 y ' ( x) 2 y x y
( x) C v 2 xy C
f ( z) ( x 2 y 2 ) 2xyi Ci ( x iy)2 Ci z 2 Ci
初等解析函数
一、初等单值函数
1、幂函数 1)当 处 处解析，且 . 时，
都是多值函数
5、一般指数函数 定义:
a—复常数. 它与一般幂函数类似，也是多值函数.
作业
P89.1-8 思考题：P58 定理2.6及思考题
当
沿射线
趋于零时，
与k 有关，沿不同的射线，k 值不同，所以该极限不存在， 从而函数在z = 0点不可微.
复函数f可微的充分必要条件
定理： 微 ， 微，并满足C--R条件.
在 可 在点（x , y）处可
该定理对闭域 B 也成立。 由上述定理可得：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别， 复变函数可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还 要求其实部与虚部通过C--R条件联系起来。 上述条件满足时f(z)在点z=x+iy的导数可以表示为：
不能分解成三个
(iv).支割线 在z平面上从支点z = 0到支点 任意 引一条射线，称为支割线，将z 平面割开，并 规定当z 连续变化时，不得跨越支割线，即规 定 argz ，这就使得在割开的z 平面上 的任意闭曲线不含支点 在内，这样 相应的函数值也只能在w平面上的一个单值分 支上取值，而不会由一支变到另一支，这样 就将多值函数变成了独立的单值函数。 注意：把一个多值函数划分为单值分支是 与支割线密切相关的，对不同的支割线，多 值函数各单值分支的定义域和值域也就不同。
共轭调和函数的几何意义
设 析函数，则
，
是区域D上的解
两式相乘得
即
就是说，梯度
跟梯度
正交. 我们知道， 和 分别是曲线族 “ ”和“ ” 的法向矢量，因而上式表示“ ” 与“ ”两族曲线相互正交. 这就解析函数实部与虚部的几何意义.
已知 u 求 v
当它们是某解析函数的实部和虚部
v( x, y ) dv
由此可得
(ii).单值分支
v
对于
( argz )
arg w1 3 3
II
O
I

3
u
arg w2
III
arg w3 3
(iii).支点


当z 沿支点转一周时， 变成 由
，即由前一个分支变成后
一个分支，再转一周，变成
所以，复变多值函数 独立的单值函数。
第 二 章 解析函数
导数 定义
df f f ( z z ) f ( z ) lim lim z 0 z z 0 z dz
设函数
在区域D上有定义，且 ，如果极限
，
存在，则称此极限为函数在z 点的导数，记为： 或 ，这时称函数 在z 点可微 (或可导）. 显然，函数 必须在点z 连续，才 有可能在 z 点可导.
(v)三个单值分支在割破的z 平面上都是解析的， 且： 对于一般的根式 讨论，此时支点为 可进行类似的
和
2、对数函数 (i).定义：若复数 z 0 ，且满足 数w 称为z 的对数函数，并记为 注意： 时, 没有意义
，复
(ii).对数函数为多值函数
若限定 取 z的对数只有一个，称它为 值支 ，记为
例：已知解析函数的实部 求该解析函数. 解：先计算 的偏导数
，
由哥西-黎曼条件得
求v 的另一种求法：由
得
即
解析函数和调和函数的关系
调和函数的定义
定义：如果实变函数 在某区域D上 有二阶连续偏导数，并且满足方程
则称 为区域D上的调和函数，方程称为 拉普拉斯方程.
解析函数恶实部虚部是Leabharlann 和函数设 条件成立解:
u 是调和函数;
全微分的积分与路径无关
(1)
u u v( x, y) dx dy 2 ydx 2 xdy C y x
( 0, y )
v( x, y)
( 0, 0 ) ( x, y )

( x, y )
2 ydx 2 xdy
( 0, y )

2 ydx 2 xdy C
当y 充分大时， 就可以大于任何指 定的数. 通过 可以仿照通常的三角关 系定义正切函数、余切函数、正割函数、余割 函数，它们的性质可以由 的性 质推出.例如： ， 它在 解析，且以 的各点 为周期.
二、 初等多值函数
1、根式函数 , 定义：如果 则称w 为z 的根式函数， 记为 . 下面以 为例，来阐明有关多值函 数的基本概念。 (i). 是多值函数 由 得 ， 令 z rei , w ei ，则有
v v u u dx dy dx dy x y y x
可由 (1) 曲线积分 (2) 凑全微分显式
(3) 不定积分求出
例
u( x, y) x2 y 2
2u 2u 2, 2 2 2 x y
求
v( x, y), f ( z )
二元函数的线积分，将来在热力学中出现。
f '( z )z df ( z ) f '( z )dz
称为f在 z 点的微分
运算规则
df df d ( f1 f 2 ) 1 2 , dz dz dz df df d (f1 f 2 ) 1 f 2 f1 2 , dz dz dz f 'f f f ' d f1 ( ) 1 2 2 1 2 , dz f 2 f2 df 1 , dz dz df d dF d F ( ) ; dz dz dz
( 0, y )

2 ydx C 2 xy C
(2)
dv( x, y) 2 ydx 2 xdy d (2 xy)
v 2 xy C
(3)
视 x 为参量，对 y 积分
v( x, y ) 2 xdy ( x) 2 xy ( x)
求 ( x) 满足的方程
分别趋于 和0. （ 为实数），
3、正弦函数、余弦函数 1)定义：将欧拉公式中的实数 换为复数 z ， 就得到正弦函数和余弦函数的定义：
2)性质： i).
在复平面上解析，且：
ii). 是奇函数， 角公式，如：
是偶函数，遵从三
N ( 0 , 1)
iii). iv).零点
以
为周期.
v).在复数范围内，不能断定 例如，取 ，
在复平面上
2)多项式函 数: 在复平面上解析. 3)有理函数
.
(其中 的点外解析. 2、指数函数 1)定义： 2)性质： i). ii).当 数函数 iii). iv).
)在复平面上除
，因. 时，与通常的实变指
一致. 在复平面上解析， .
v).以
为周期：
vi).
不存在. 因为z 沿实轴的正负
方向趋于 时， 3)欧拉公式：若令 则
必要条件
1) C--R条件不满足，函数一定不可微
例如
由于
，所以：
由于偏导数虽然存在，但不满足C--R条件，因 而 在复平面上处处不可微. 2) C--R条件不是复变函数可微的充分条件. 例如：函数 条件，但不可微。由于 v( x, y) 0 ，于是 在z = 0点满足C--R ，
显然满足C--R条件，但在z=0点并不可微，因为