第二章 复变函数的导数
复变函数的导数
复变函数的导数定义：复变函数是通过一块二维的空间的某个点的坐标，映射为该点的唯一的实数值，而复变函数的导数则是用来描述函数变化的快慢程度的量度。
要了解复变函数的导数，首先要理解复变函数本身。
复变函数是一种将实数和复数之间的单射映射即每一点映射只有一个实数或复数，而每一个实数或复数只被映射到一个点的映射函数，通过它可以将实数和复数，即实部和虚部之间变化联系起来，也就是用函数的方式描述复数和实数之间的变化。
复变函数的导数表示函数中任意一点变化率的大小，它可以帮助我们确定函数中任意一点的斜率。
它是一个定义在实空间上任意部分位置处的一阶导数，可以用来表示曲线变化率的大小，反映了曲线变化的快慢程度。
具体来说，复变函数的某一点的导数指的是这个点上曲线的斜率，也就是这个点的斜率的大小，或者是在这个点曲线发生变化的速度大小。
求复变函数的导数有两种方法，一种是按复数的方式，另一种是按实数的方式。
按实数来求导，首先需要把函数用实变量表示，然后用常规的微积分方法来计算复变函数的导数。
按复数的方式来求导，就是用极坐标来表示复变量，然后用光滑曲线的性质，用公式计算复变函数的导数，其公式为：复变函数的导数即：f′(z)=fz(z)cosθ+fθ(z)sinθ其中，z=x+iy其中，fz表示对z的实部求导的结果，fθ表示对z的虚部求导的结果，θ表示z的极角。
下面我们看看复变函数的导数在求解实际问题中的实际应用。
在微分方程中，复变函数的导数可以用来求解复变数方程，因为它描述了复变量中点的变化率，而微分方程则可以描述复变量的变化状态，所以在求解复变函数的微分方程的时候，复变函数的导数就显得尤为重要。
在几何函数中，复变函数的导数也有一定的作用，可以用来求解几何函数图形的斜率，斜率表明该图形在某一点的曲率，从而可以更直观地描述几何函数图形，帮助我们更清楚地判断几何函数图形的变化状态。
此外，复变函数的导数还可以被用来判断极值点。
极值点是复变函数变化的拐点，复变函数的导数可以用来判断这些拐点，从而可以更加精确的确定极值点的位置。
复变函数的导数
函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导（在一点）解析→可导→连续→极限存在反之均不一定成立。
7我们还可以定义其他三角函数如下：(2)根据定义有：()1212122cosh z z z z z z +--+1212z z z z eee e e e --=+=+121212121212z z z z z z z z z z z z e ee e e e e ee e e e------=+++--()1212124cosh cosh z z z z z z e e e e--=-+121211122122124cosh cosh z z z z z z z z z z z z z z e e e ee e e e ee ee ------=--+-++()124cosh cosh 4s z z =+()1212inh sinh 2cosh z z z z -+18()121212cosh cosh cosh sinh sinh z z z z z z ⇒+=+The End The End19作业(2)P385, 7, 8, 17, 18, 57817182020。
复函数的导数
复函数的导数
复函数的导数，又称复变函数的导数，是复变函数基本概念之一，是在实践工程和微积分数学中经常用到的解决学习和应用问题的重要
工具。
一、什么是复函数
复函数是一种在复平面中定义的函数。
它也可以分解为实函数和虚函
数的和，即z=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v分别代表实部和虚部函数。
该函数由两个独立变量x、y来决定其值，其结果通常用复数f(x,y)来表示。
二、复函数的导数
复函数的导数是对复函数求偏导的结果。
它既可以对复平面中的实函
数求偏导，也可以对虚函数求偏导。
其计算方法如下：
1、实函数求偏导：∂u/∂x=∂u/∂x +∂u/∂y*i
2、虚函数求偏导：∂v/∂x=∂v/∂x +∂v/∂y*i
使用这两个公式，可以得出复函数的导数，常简写如下形式：
∂f/∂x=∂u/∂x +∂v/∂x*i
三、复函数在实际中的应用
复函数的导数也可以应用在实际当中，比如复函数的梯度可以用来分析某一物质物理变化的方向。
此外，由于复函数可以表示较复杂的函数形态，所以它也可以用来表示三维曲面及其上一切连续物体，例如等压面和等温面；因而可以在涉及到这类物体的许多科学领域中运用复函数的导数来进行求解。
总之，复函数的导数是一种比较常见而且重要的物理概念，它在实际应用中发挥着重要作用，可以被用在涉及到多种科学和工程领域的问题求解中，也为复函数的研究开辟新的层面。
复变函数第2章
By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。
.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。
)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。
复变函数复变函数2
z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
复变函数第二章1导数
f
(z)
A.
几何意义:
y
z
z0
v f(z)
A
O
xO
u
A lim f (z) 意味着： z z0
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意
方式趋近于z0时，f (z)均以A为极限。
1
例1：证明函数f (z) e z 在z 0时极限不存在。
证明 当z沿实轴从0的右方趋于0时，即z x 0, x 0
解： u(x, y) x3 3xy2 v(x, y) 3x2 y y3
u 3x2 3 y2 x v 6xy
x
u
6xy
v
y 3x2
3y2
y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
u
针对柯西
黎曼方程
x u
v y 在复平面内处处成立 v
u
[2]
在区域D内处处满足柯西
黎曼方程
x u
v y v
y x
(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。
若u(x, y), v(x, y)在区域D内具有一阶连续偏导数，
则在区域D内可微。
计算：判定f (z)在哪些点处可导？ a. 确定u(x, y), v(x, y);
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
lim u(x, y) lim x
x0 ( ykx)
x0 ( ykx)
x2 y2
lim
x
1 .
x0 (1 k 2 )x2
1 k2
故极限不存在.
2.2 复变函数的连续性
定义: 若若f (zlzim)z在0 f区(z域) D内f 处(z0处)则连称续函，数 则f称(z函)在数fz(0处 z)在连续。
复变函数第2章(钟玉泉)
容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当 x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函 数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常 数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析? [解] 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 要使ux=vy, uy=-vx, 只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by. 因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复 平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2) =(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2
定理二 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内 解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并满足柯西-黎曼方程。
例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1)w z ; 2) f ( z ) e (cos y i sin y); 3)w z Re( z )
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) f ( z0 ) e Δz
应当注意, 定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式 是任意的, 定义中极限值存在的要求与 z0+Dzz0的方式无关, 也就是说, 当z0+Dz在区 域D内以任何方式趋于z0时, 比值
f ( z0 Δ z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数. Δz
复变函数的导数
复变函数的导数
什么是复变函数？
复变函数是一种表示实现复数曲线的数学函数，复变函数将实数空间变换为复空间，这既
包括由实数 x 和实数 y 构成的笛卡尔坐标系，也包括由复数构成的复平面。
复数可以
表示为z=x+iy。
贝尔金斯定理称，每一个复变函数都能用它的实部函数和虚部函数来确定，复变函数的实部函数和虚部函数的导数就组成了复变函数的导数。
那么，什么是复变函数的导数？
复变函数的导数是指复变函数的实部函数以及虚部函数的导数的和，它可以用三个符号表示，即f″z= f′x+if′y。
如何计算复变函数的导数？
计算复变函数的导数，需要先解决实部函数和虚部函数导数的问题，并将它们相加。
1. 首先，计算实部函数的导数，也就是计算x的一阶导数。
一般情况下，可以用f′x= limΔx→0(f(x+Δx)-f(x)/Δx)来求解x的一阶导数；
2. 再计算虚部函数的导数，也就是计算y的一阶导数，可用同样的方法来求解，即
f′y= limΔy→0(f(y+Δy)-f(y)/Δy)；
3. 最后，将两个导数相加，得到一个复变函数的导数：f″z= f′x+if′y。
以上就是复变函数的导数的概念及求解方法，仿佛将复数的曲线画出来，它们也可以用复
变函数的导数来表示，这种表示将复数曲线的形状和特性清晰展示出来。
这代表我们可以
利用复变函数的导数来描述复数的曲线的许多性质，比如求复数曲线的局部最大值、最小值，以及曲线的单调性等。
从以上介绍，我们可以看出复变函数的导数扮演着重要的角色，可用来描述复数曲线的特
性和性质，深刻地影响着我们进行复数分析和复变函数研究的工作。
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由于z0是复平面上的任一定点，故 sinz在整个复平面上连续
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2.2.2. 复变函数 连续的定理 定理： 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g( z ) 的和、差、 积、商
(分母在z0 不为零 ) 在 z0 处仍连续 .
定理： 如果函数h g( z )在 z0 连续, 函数 w f (h)在h0 g( z0 ) 连续, 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 z0 处 连续.
函数 f(z) 的导数定义为
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导 , 我们就称 f ( z ) 在区域内D 可导.
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例1:
求f ( z ) z 2的导数 .
( z z )2 z 2 f ( z z ) f ( z ) lim ( 2 z z ) 2 z . lim lim 解 : f ( z ) z 0 z 0 z 0 z z
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 .
11
例3: 证明 函数 f (z)在z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. , 证：根据在z0 可导的定义 使得当0 | z | 时, 0, 0,
f ( z0 z ) f ( z0 ) 有 f ( z0 ) , z
z0
5
在扩充复平面上，可以定义以下广义极限
lim f(z) A,
z
lim f(z) ,
z z0
lim f(z) ,
z
f(z) A 的定义为 例如 lim z
如果对任意给定的 ε 0， 总存在正数 ( ) ,当 满 足 |z|
| f ( z ) A | 成立
1 例如：设 f ( z ) ，则由定义可以证明 z
lim f ( z ) , lim f ( z ) 0,
z 0 z
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2.2 函数的连续性
定义： 如 果 lim f ( z ) f ( z0 ), 那 末 我 们 就 说f ( z ) 在 z0 处 连 续 .如果
z z0
故 f ( z) 在 z0 连续.
复平面上有界闭区域R 上连续的函数w=f(z) ,它的模| f(z)|在R 上 一定有界
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2.3 导数
定义: 设函数w f ( z ) 在包含 z0 的某区域 D 内有定义 , 如果
极 限 lim
z z0
2.3.1 导数的概念
f ( z ) f ( z0 ) 存 在, z z0
2.2.1. 复变函数 连续的概念
f ( z ) 在 区 域D 内 处 处 连 续 , 我 们 说 f (z) 在 D 内 连 续 .
函数 f ( z ) 在曲线 C 上 z0 处连续的意义是 lim f ( z ) f ( z0 ), z C . z z0 lim cos z cos z0 .
那 末 lim f ( z ) A 的 充 要 条 件 是 lim u( x , y ) u0 ,
z z0 x x0 y y0
该定理将求复变函数 f ( z ) u( x, y ) iv( x, y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x, y ) 和 v( x, y ) 的极限问题 .
那末称A 为 z 时f ( z )的广义极限 .
1 时, 就 有 不 等 式 δ(ε)
lim f(z) 的定义为
如果对任意给定的 M 0， 总存在正数 ,当满足 |z z0| 时, 就有不等式
z z0
| f ( z ) | M 成立
那末称 f(z) 在 z z0 时趋于 .
x
x
lim u( x , y ) lim
x0 y kx
x 0
x 1 , 2 2 2 x (1 k ) 1 k
lim v ( x , y ) 0,
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u( x , y ) 不存在,
x x0 y y0
x x0 y y0
根据定理一可知,
lim
sinxchy sinx0chy0 ,
( x , y )( x 0 , y0 )
lim
cos xshy cos x0 shy0 ,
所以 lim sin z sin x0 chy 0 i cos x0 shy0 sin( x0 iy0 ) sin z0 .
z z0
与实变函数的极限运算法则类似.
3
例2 : 求极限 lim cos z
解： 因为 cos z cos(x yi) cos xchy i sinxshy
z z0
若取 u(x,y) cos xchy, v(x,y) sinxshy, z0 x0 iy0 , 则有
( x , y ) ( x 0 , y0 )
1
例1 : 证明 若 lim f(z) A, 则 lim |f(z)| |A|
z z0 z z0
证 明: 因 为 lim f(z) A, 所 以
z z0
对任意给定的 ε 0， 存在正数 ( ) ,当 满 足0 |z-z0| δ(ε)时 不 等 式
| f ( z ) A | 成立 又因为 |f(z)|-|A| f(z)-A
lim f ( z ) 不存在.
z 0
证 (二) 令 z r (cos i sin ),
则 f (z)
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时 ,
r cos cos , r f ( z )趋于不同的值 .
例如 z 沿正实轴 arg z 0 趋于零时 , f ( z ) 1, π f ( z ) 0, 沿 arg z 趋 于 零 时 , 2 故 lim f ( z ) 不存在.
dw dz f ( z ) f ( z0 ) lim . z z0 z z0
那末就称f ( z ) 在z0可导（或可微） .这个极限值称为 f ( z ) 在 z0 的导数 ,
记作 f ( z 0 )
z z0
. 在定义中应注意: z z0的方式是任意的
若 记 z z0 z , 则 得 到 f ( z0 ) 的 另 一 种 表 达 形 式 f ( z0 z ) f ( z0 ) z f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
x x0 y y0
lim v ( x , y ) v0 .
定 理： 设 li m f ( z ) A, li m g ( z ) B , 那 末
z z0 z z0
(1) li m[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) li m[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) li m ( B 0). z z0 g ( z ) B
故 由 极 限 的 定 力 知 lim|f(z)| |A|
例2.2 证明 f(z) e , 在 z 0 时极限不存在
1 z
z z0
2
2.1.2 极限计算的定理 定 理 : 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), A u0 iv0 , z0 x0 iy0 ,
0
z A) 那 末 称 A 为 f ( z ) 当 z 趋 向 于z0 时 的 极 限 . 记作 lim f ( z ) A. (或 f ( z ) z z z0
. 注意: 定义中z z0 的方式是任意的
y
(z)
w f (z)
v
(w)
A
z0
o
x
o
u
几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中
lim
u( x, y ) cos x0chy0 , lim
( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
vu( x , y ) sinx0 shy0 ,
所以
( x , y ) ( x 0 , y0 )
cos z cos x0chy0 i sinx0 shy0 cos z0 .
( z 2 ) 2 z
例2: 讨论函数 f(z)=Im(z)的可导性 解:
f f ( z z ) f ( z ) Im(z z ) Im z Im z Im z Im z z z z z y Im z Im(x iy ) , x i y x iy z
Re (z ) 当 z 0 时的极限不存在 . 例3: 证明函数f ( z ) z x , 证 (一) 令 z x iy, 则 f ( z ) 2 2 x y
u( x , y )
x
x y
2
2
, v ( x , y ) 0, 当 z 沿直线y kx 趋于零时 ,
x lim 2 limu( x , y ) lim lim 2 2 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x ( 1 k 4) x y x ( kx) y kx y kx
令 ( z )
则
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z
z 0
lim ( z ) 0, 因为 f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z (z )z,
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)对复平面内的所有点z 都是连续的 ;
P( z) , 其 中P ( z ) 和 Q( z ) 都 是多 项 式 , (2) 有理分式函数 w Q( z )