高考数学数列复习

2 a 2．等比中项：对于数列{an} ，若n a n + 2 a n +1 ，则数列 {an}是等比数列
n
[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的等比中项。 G b 也就是，如果G是a,b的等比中项，那么 ， a G 即 G 2 ab 。
1 1 4 x1 + 4 x2 + 4 y1 + y 2 f x1 + f x 2 x1 + x2 x1 x2 4 +2 4 +2 4 +2 4 +2



4 x1 + 4 x2 + 4 4 x1 + 4 x2 + 4 1 x +x x1 x2 x1 x2 1 2 4 +24 +4 +4 24 +4 +4 2
(q 1) na1 S 2、等比数列求和公式：n a1 (1 q n ) a1 a n q (q 1) 1 q 1 q
3、 k 1 n(n + 1) Sn 2 k 1
n
1 S n k 2 n(n + 1)( 2n + 1) 6 k 1
1 1 1 求数列的前n项和：1 + 1, a + 4, a 2 + 7, , a n1 + 3n 2
求数列{(n+1)(2n+1)}的前n项和
五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂 项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然 后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和 的目的
[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：如果 a m 是等比数 a 列的第m项， n 是等比数列的第n项，且m n ， 公比为q，则有 a n a m q nm
2.对于等比数列，若 n + m u + v，则 a n a m au av 3．若数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，那 么 S k ， S 2k S k ，S 3k S 2k 成等比数列
3
4
5。由题设条件求出数列的前几项，然后归纳出一般表达 式，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明，得出正确的 结论
3 已知数列中a1 = 5
an an ，+1 2a + 1 n
a (1) 计算 3 , a4 （2）猜想通项公式，并且数学归纳法证明
2、数列求和的基本方法
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方 法. n(a1 + an ) n(n 1) S na1 + d 1、等差数列求和公式：n 2 2
3．若数列 a n 是等差数列， S n 是其前n项的和， * ，那么 S S S k ， 2 k S k ， 3 k S 2 k 成等差数列 kN
4．若等差数列{an}的前2n-1项的和为 S 2 n 1 ，等差 ' bn 的前2n-1 项的和为 S 2 n 1 ， 数列
a n S 2n1 ' 则 bn S 2n1
六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就 具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时， 可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值. · ·
a1 数列{an}： 1, a2 3, a3 2, an+ 2 an+1 an ，求S2005
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果 a m是等差数列 的第 项，a n 是等差数列的第 项，且 m n， 公差为 d ，则有 a n a m + (n m)d
m
n
2.对于等差数列 a n ，若 n + m p + q ， 则 an + am a p + aq
n
二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用 的方法，这种方法主要用于求数列{bn· cn}的前n 项和，其中{ bn }、{ cn }分别是等差数列和等比数 列
S n b1c1 + b2 c2 + + bn1cn1 + bn cn qSn b1c2 + + bn2cn1 + bn1cn + bn cn+1
1 1 1 an n(n + 1) n n + 1
an 1 n + n +1 n +1 n
1 1 1 1 an ( ) ( An + B)( An + C ) C B An + B An + C
1 1 1 1 an [ ] n(n 1)( n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)( n + 2)
[等比数列的通项公式] 如果等比数列{an}的首项是a1 ，公比是q，则等比数列的通 a n a1 q n 1 项为
[等比数列的前n项和]
a1 (1 q n ) ①S n (q 1) 1 q
② S n a1 a n q (q 1) ③ S n na1 1 q 当 q 1 时
二、基本方法总结
1. 求数列通项的基本方法
(1)求等差，等比数列的通项
a1 , (n 1) (2)求一般数列的通项 S n a n S n S n1 , (n 2)
(3)求递推数列的通项
1。通过适当化归，转换成等比数列或等差数列
an+1 3an + 2an 1 0
例1
若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”. 设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一 定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要 求的组号) ①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q与an.其中n为大于1 的整数, Sn为{an}的前n项和.
（①、④）
例2 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后 一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列， 且 a1 2 ，公和为5，这个数列的前21项和的值为 _____ 这个数列的前n项和的计算公式为_ _
5 当n为偶数时， S n n 2 5 1 当n为奇数时， S n n 2 2
[等差数列的前n项和] 1．
n(a1 + a n ) Sn 2
2.
n(n 1) S n na1 + d 2
[说明]对于公式2整理后an是关于n 的没有常数项的二次函数
[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等
a+b 差中项。即：2A=a+b 或 A 2
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项 （有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与 后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是 与其等距离的前后两项的等差中项
5．设数列 a n 是等差数列，S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项的和，S n 是前n项的和，则有如下性质：

1.前n项的和 S n S 奇 + S 偶
2.当n为偶数时，偶 S奇 S
n d ，其中d为公差 2
n 1 3.当n为奇数时，则 S 奇 S偶 a中， 偶 S a中 ， 2 S奇 n + 1 n +1 S奇 a中 ， ， （其中 a中 是中间一项) 2
例3
例4
例5 已知数列{an}的前n项和Sn满足： Sn=2an +(-1)n, ⑴写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；
⑵求数列{an}的通项公式；
例6
已知数列 {a n }中a1 1 ，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式
S偶 n 1
3、等比数列
[等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个 常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母q表示(q≠0)。
[等比数列的判定方法]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a n +1 1． 定义法：对于数列{an} ，若 q(q 0) ，则数列 an {a }是等比数列。




1 Sm f + m
2 f ++ m
m 2 f + m
m 1 f + m
m f m
n mn 1 f 由（Ⅰ）可知： m + f m 2
恒成立
例9
(Ⅱ) a2k+1= a2k+3k= a2k-1 +(-1)k +3k 所以 a2k+1- a2k-1 =(-1)k +3k 同理 a2k-1- a2k-3 =(-1)k-1 +3k-1 …… a3- a1= 3+(-1)
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)= (3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)]
0 n 1 n 2 n n n n
sin 2 1 + sin 2 2 + sin 2 3 + + sin 2 88 + sin 2 89