矩阵对策论

局中人II的赢得矩阵是 局中人II的赢得矩阵是 -A 把一个对策记为G 把一个对策记为G： G= S1，S2；A
北线 β1 南线β2 （盟军）北线 α1 盟军） 南线α2 2 1 2 3 =A
在矩阵中，盟军的最大赢得是3 在矩阵中，盟军的最大赢得是3， 而要得到3 必须选择策略α 而要得到3，必须选择策略α 2，而 日军的目的是使盟军的赢得尽量的 必须选择策略β 小，必须选择策略β1 ，使盟军的赢 得只有1 得只有1。 在局中人I 在局中人I设法使自己的赢得 尽可能大的同时，局中人II也设法 尽可能大的同时，局中人II也设法 使局中人I的赢得尽可能小。 使局中人I的赢得尽可能小。
有解的充分必要条件是在A 有解的充分必要条件是在A中存在元 素 ai*j*是其所在行中最小的同时又 是其所在列中最大的。这时ai*j*即 是其所在列中最大的。 是对策值，因此ai*j*也称为“鞍 也称为“ 对策值， ），为对策 点”，而（ α*i*， β*j *），为对策 的解。 的解。
Z
鞍点
Y
X
经测算，双方均可得到如下估计： 经测算，双方均可得到如下估计： 局势1 盟军的侦察机重点搜索北线， 局势1： 盟军的侦察机重点搜索北线， 日本舰队也恰好走北线。 日本舰队也恰好走北线。由于气候恶 能见度差， 劣，能见度差，盟军只能实施两天的 轰炸。 轰炸。 局势2 盟军的侦察机重点搜索北线， 局势2：盟军的侦察机重点搜索北线， 日本舰队走南线。由于发现晚， 日本舰队走南线。由于发现晚，尽管 盟军的轰炸机群在南线， 盟军的轰炸机群在南线，但有效轰炸 也只有两天。 也只有两天。
马鞍面z=f(x,y) 马鞍面z=f(x,y)
Z
Y
在X=0的平面上 X=0的平面上
z=f(0,y)
鞍点是 鞍点是z=f(0,y)
的极大值点
Z
z=f(x,0)
X
在Y=0的平面上 Y=0的平面上
鞍点是 鞍点是z=f(x,0)
的极小值点
例14-3：对给定的矩阵对策 G = S1,S2;A 14S1= α1,α2 ,α3 6 A= 1 8 显然 S2= β1 , β2 , β3 5 4 5 6 2 7 ai2 ≤ a32 ≤ a3j
β1 α1 α2 α3 由 -1000 -1500 -2000
β2 -1750 -1500 -2000
β3 -3000 -2500 -2000
max min aij= min max aij = a33 = -2000
I j j i
该最优策略为（ ），即秋季购煤 即秋季购煤20 该最优策略为（α3， β3），即秋季购煤20 吨。
（日军） 日军） 北线 （盟军）北线 盟军） 南线 2 1 （日军） 日军） 北线 （盟军）北线 盟军） 南线 -2 -1 南线 -2 -3 =B 南线 2 3 =A
在本例中的每一个对局，双方的 在本例中的每一个对局， 赢得的代数之和为零， 赢得的代数之和为零，这样的对 策称为“有限零和二人对策” 策称为“有限零和二人对策” 设两个局中人为I II，局中人I 设两个局中人为I，II，局中人I有 m 个策略：α1、 α2… α m ；用S1表 个策略： 示这些策略的集合： 示这些策略的集合： S1= α1、 α2……α m ……α
赢得矩阵（支付）： ）：当每个局中人 赢得矩阵（支付）：当每个局中人 在确定了所采取的策略后， 在确定了所采取的策略后，他们就 会获得相应的收益或损失， 会获得相应的收益或损失，此收益 或损失的值称为赢得（支付）。 ）。赢 或损失的值称为赢得（支付）。赢 得与策略之间的对应关系称为赢得 支付）函数。 （支付）函数。 案例中， 案例中，肯尼将军与山本五十六大 将的赢得（支付） 将的赢得（支付）函数都可以用矩 表示。 阵A、B表示。
当盟军获悉此情报后，盟军统帅 当盟军获悉此情报后， 麦克阿梭命令太平洋战区空军司令肯 尼将军组织空中打击。 尼将军组织空中打击。 日本统帅山本五十六大将心里很 明白： 明白： 在日本舰队穿过俾斯麦海的三 天航行中， 天航行中，不可能躲开盟军的空中打 他要策划的是尽可能减少损失。 击，他要策划的是尽可能减少损失。 日美双方的指挥官及参谋人员都 进行了冷静的思考与全面的谋划。
j i
案例中局中人I 盟军） 案例中局中人I（盟军）应当选 择（北线）策略α1，这样能保证赢 北线）策略α 这样能保证赢 局中人II（日军） 得2。局中人II（日军）应当选择 北线）策略β 盟军赢得不超过2 （北线）策略β1使盟军赢得不超过2。 实际上， 局势下， 实际上，在（ α1， β1）局势下，有 max min aij= min max aij
这场海空遭遇与对抗一定会发生， 这场海空遭遇与对抗一定会发生， 双方的统帅如何决策呢？ 双方的统帅如何决策呢？历史的实际 情况是：局势1成为现实。 情况是：局势1成为现实。肯尼将军命 令盟军的侦察机重点搜索北线； 令盟军的侦察机重点搜索北线；而山 本五十六大将命令日本舰队取道北线 航行。由于气候恶劣，能见度差， 航行。由于气候恶劣，能见度差，盟 军飞机在一天后发现了日本舰队， 军飞机在一天后发现了日本舰队，基 地在南线的盟军轰炸机群远程航行， 地在南线的盟军轰炸机群远程航行， 实施了两天的有效轰炸， 实施了两天的有效轰炸，重创了日本 舰队，但未能全歼。 舰队，但未能全歼。
ai2 ≤ a12 ≤ a1j
对 I=1,2,3 j=1,2,3 都成立： a12 = a32 =5 都成立： 由定理5 由定理5-1，对策值=5，对策的解：（ α1 , β2 ） 对策值=5，对策的解：（ 和 （ α3 , β 2 ）
例14-4：某单位采购员在秋天时要决定 14冬天取暖用煤的采购量。 冬天取暖用煤的采购量。已知在正常气 温条件下需要用煤15吨 温条件下需要用煤15吨，在较暖和较冷 气温条件下需要用煤10吨和 吨 吨和20 气温条件下需要用煤10吨和20吨。假定 冬季的煤价随着天气寒冷的程度而变化， 冬季的煤价随着天气寒冷的程度而变化， 在较暖、正常、 在较暖、正常、较冷气温条件下每吨煤 价为100元 150元 200元 价为100元、150元、200元。又秋季每吨 煤价为100元 煤价为100元。在没有关于当年冬季气温 情况下，秋季应购多少吨煤， 情况下，秋季应购多少吨煤，能使总支 出最少？ 出最少？
对策的三要素： 对策的三要素： 局中人： 局中人：有权决定自己行为方案的对 局参加者称为局中人。案例中， 局参加者称为局中人。案例中，美日 双方的决策者为局中人。 双方的决策者为局中人。当对局中局 中人只有两人时，称为二人对策。 中人只有两人时，称为二人对策。 策略： 策略：对局中一个实际可行的方案称 为一个策略。案例中， 为一个策略。案例中，美日双方各有 二个策略。
第十四章 对策论
对策论概论
对策论（The Game Theory)也称竞赛 Theory)也称竞赛 对策论（ 论或博弈论，是研究具有竞争、对抗、 论或博弈论，是研究具有竞争、对抗、利益 分配等方面的数量化方法， 分配等方面的数量化方法，并提供寻求最优 策略的途径。 策略的途径。 1944年以来，对策论在投资分析、价格制定、 1944年以来，对策论在投资分析、价格制定、 年以来 费用分摊、财政转移支付、投标与拍卖、 费用分摊、财政转移支付、投标与拍卖、对 抗与追踪、国际冲突、双边贸易谈判、 抗与追踪、国际冲突、双边贸易谈判、劳资 关系以及动物行为进化等领域得到广泛应用。 关系以及动物行为进化等领域得到广泛应用。
同样，局中人II有 个策略： 同样，局中人II有n个策略：β1、 β2。。。 表示这些策略的集合： β n ；用S2表示这些策略的集合： S2= β1、 β2… β n 局中人I的赢得矩阵是： 局中人I的赢得矩阵是： a11 a21 a12 …… a1n a22 …… a2n
A= …… …… …… a m1 a m2 … a mn
1414-1矩阵对策的基本概念
案例： 案例：俾斯麦海的海空对抗 1943年 1943年2月，第二次世界大战中的 日本，在太平洋战区已经处于劣势。 日本，在太平洋战区已经处于劣势。 为扭转局势， 为扭转局势，日本统帅山本五十六大 将统率下的一支舰队策划了一次军事 行动：由集结地——南太平洋的新不 行动：由集结地——南太平洋的新不 列颠群岛的蜡包尔出发， 列颠群岛的蜡包尔出发，穿过俾斯麦 开往新几内亚的莱城， 海，开往新几内亚的莱城，支援困守 在那里的日军。 在那里的日军。
解： 局中人I 采购员）有三个策略： 局中人I（采购员）有三个策略： 策略α 10吨 策略α 15吨 策略α 20吨 策略α1: 10吨,策略α2: 15吨,策略α3 :20吨。 局中人II（环境）： 局中人II（环境）： 策略β 策略β1 较暖 ,策略β2 正常，策略β3较冷 策略β 正常，策略β 现把该单位冬天取暖用煤全部费 用（秋季购煤费用与冬天不够时再补购 煤费用）作为采购员的赢得矩阵。 煤费用）作为采购员的赢得矩阵。
所以局中人I应首先考虑用α 所以局中人I应首先考虑用α 所能赢 得的最小， 得的最小，然后在这些最小赢得中 选择最大。局中人I 选择最大。局中人I可以保证赢得 max min aij
i j
同样，局中人II可以保证局中人 可以保证局中人I 同样，局中人II可以保证局中人I的 赢得不超过 min max aij
i j j i
上式蕴涵的思想是朴素自然的， 上式蕴涵的思想是朴素自然的，可 以概括为： 从最坏处着想， 以概括为：“从最坏处着想，去争 取最好的结果” 取最好的结果”
定义14定义14-1：对给定的矩阵对策 G =
i j
S1，S2；A
j i
若等式
max min aij= min max aij 成立，则称这个公共值为对策G的值， 成立，则称这个公共值为对策G的值， 记为V 而达到的局势（ 记为VG，而达到的局势（ αi， β j ） 称为对策G在纯策略意义下的解， 称为对策G在纯策略意义下的解，记 为（ αI*， β j *）而αI*和β j *分别称 为局中人I和局中人II的最优纯策略 的最优纯策略。 为局中人I和局中人II的最优纯策略。