量子力学第七章剖析
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量子力学 第7章-2(第20讲)
H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2． 力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力 学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象 （任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个 表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2
【武汉大学】量子力学第七章
和二级修正等；
而
(0) n
,
(1) n
,
分2别n( 2) ,是波函数的零级近似，
一级修正和二级修正等。
将(2)(3)式代回(1)式中得到
(Hˆ (0)
Hˆ (1)
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
(4)
(
E(0) n
E (1) n
E2 (2) n
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
展开得：
0
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到
0
:
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
1
:
Hˆ
(0)
(1) n
Hˆ
(1)
(0) n
E(0) (1) nn
E(1) (0) nn
2
:
Hˆ
(
0)
(2) n
Hˆ
(1)
(1) n
E(0) (2) nn
E(1) (1) nn
E(2) (0) nn
第七章 原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论 §7.2 变分法 §7.3 氢原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论
思想
设能量本征值方程为 Hˆ E
若不能给出严格解
假定 Hˆ Hˆ (0) Hˆ Hˆ (0) Hˆ (1) 其中， 是一个小量 | | 1 Hˆ 称为微扰项
Hˆ (0) 的本征值和本征函数较容易计算出来,在此基础上， 可以把 Hˆ的 影响逐级考虑进去，得到接近精确解的近似解
, E (1) (1)
n
n
量子力学讲义第7章
第七章 定态问题的近似解（本部分内容尽可能采用精讲多练的方法教学，减少课堂推导，增加例题训练）7.1 非简并态微扰论微扰论的基本精神 -- 对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件①n n n E H t H ψψ==∂∂,0；②H H H H ''+= ,0要远小于00,H H为分立谱；③)0()0()0()0()0(0,,nn n n n E E H ψψψ= 已知或易求； ① 所研究的那个能级无简并。
二 、零级近似方程和各级修正方程为表征微扰程度，引入参数H H '→'≤λλ:1，按λ的幂次展开。
方程： n n n E H H ψψλ='+)(0设 ......)2(2)1()0(+++=n n n n E E E E λλ ......)2(2)1()0(+++=n n n n ψλλψψψ代入方程： ...)...)((...))(()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0++++++=+++'+n n n n n n n n n E E E H H ψλλψψλλψλλψψλ 比较各级得：)0()0()0(00:n n n E H ψψλ=)0()1()1()0(01)()(:n n n n E H E H ψψλ-'-=-)0()2()1()1()2()0(02)()(:n n n n n n E E H E H ψψψλ+-'-=-……最后令λ=1，求得各级 )()(,m nm n E ψ。
三、n n E ψ, 的各级近似 1、一级近似用}{)0(n ψ展开∑=ll l n na )0()1()1()1(:ψψψ。
代入一级近似方程：)0()1()0()1()0(0)()(n n l ll n E H a E H ψψ-'-=-∑用)*0(k ψ左乘上式，利用kl l k d δτψψ=⎰)0()*0( 得,)1()1()0()1()0(kn n knk n k k E H a E a E δ+'-=-其中⎰''='H d H H n k kn~)0()*0(τψψ在0H 表象的矩阵元。
周世勋量子力学课件第七章
得：b = c* (或c = b*)
I
x
2
0 c * 0 c * | c |2 0 c 0 2 c 0 0 |c|
令：c = exp[iα] (α为实），则
| c |2 1
0 e i x i e 0
写成列矩阵
1 ( r , t ) ( r , t ) 2
若已知电子处于Sz = /2 规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 或Sz = -/2的自旋态，则 第二行对应于Sz = -/2。 波函数可分别写为：
1 (r , t ) 1 2 0
1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1
a 0 d 0
a b ˆ x c d
a 0 d 0
§1 电子的自旋
返回
（一）电子自旋的引入 (二）Stern-Gerlach 实验 （三）回转磁比率
（一）电子自旋的引入
乌伦贝克(Uhlenbeck) 和 哥德斯密脱(Goudsmit) 于 1925年提出了电子自旋假设. 当时主要的实验根据是:
1 碱金属原子光谱的精细结构.例如纳原子光谱中 一条很亮的黄线(D线,λ~5893Å), 其实是由两条很 靠近的谱线组成, D1 (λ~5896Å), D2(λ~5890Å). 2 反常塞曼效应. 1912年发现,原子光谱线在弱磁场 中的复杂分裂现象(分裂成偶数条).
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x
量子力学 散射理论
相比，知
对高能入射粒子，相应条件为：
（比较容易满足）
二、高阶波恩近似
定义算符T为： 有
据 可见 其中：
(=- 1
4
2m
2
(2
)3
k ' |V | ()
)
二阶波恩近似
作业：
一、6.2(a)
二、求一阶波恩近似下，方势阱(V(r)=V0θ(a-r))产生的 微分散射截面。
对坐标基（也可以采用其他表象）：
该积分方程对|Φ>=|p>，有：
计算
= =
（记
(E 2k 2 / 2m)
于是形式解为： 对局域势： 得：
考虑观察点远离势中心
可以得到： 其中出射球面波振幅为：
微分散射截面（单位立体角内的跃迁速率除以流量）
平面波~尺度远大于 势作用范围的波包
§7.2 波恩近似
一、将 得一阶波恩近似： 记 则对球心势有
代入散射振幅公式
二、应用举例
对Yakawa势
即一阶波恩近似下 对库仑势（µ0,V0/µZZ’e2）
与经典卢瑟夫散射截面公式相同：
一阶球心势散射特点
1）
f（（1） ）
-
2m 2q
0
rV
(r
)
sin
qrdr
仅依赖于q，且为实数
2）dd f ( ) 2 F(q2) 2 F(k2(1 cos )) 2 与V的符号无关
第七章 散射理论
散射是探测物质结构如质量、电荷和势场分布的主 要实验途径。因此，散射理论具有众多重要的应用。
散射问题常可用含时微扰的方法，也可以用定态微扰 的方法处理。
§7.1 Lippmann-Schwinger 方程
量子力学第七章习题解答
即
h h 2 2 2 λ − cos γ − (cos α + cos β ) = 0 4 4
2
h λ − = 0 (利用 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1) 4
2
2
⇒
a h 设对应于 S n = 的本征函数的矩阵表示为 χ 1 ( S n ) = ， b 2 2
由归一化条件，得
a 2 2 1 = χ 1 χ 1 = (a , b ) = a + b b 2 2 2 cos α + i cos β 2 2 a + a =1 1 + cos γ
+ * *
2 2 a =1 1 + cos γ
取
1 + cos γ a= 2
，得
b=
cos α + i cos β 2(1 + cos γ )
ˆ 在这些本征态中， 测量 S z 有哪些可能值？这些可 ˆ 能值各以多大的几率出现？ S z 的平均值是多少？
ˆ ˆ 解：在 S z 表象， S n 的矩阵元为
ˆ = h 0 1 cos α + h 0 − i cos β + h 1 0 cos γ Sn 1 0 i 0 0 − 1 2 2 2
⇒
b1 a1 = ⇒ a b 1 1
b1 = a1
χ 1+/ 2 χ 1 / 2 = 1 ，得 由归一化条件 a * * 1 (a1 , a1 ) = 1 a 1
即
2 a1 = 1
2
∴
a1 =
1 2
b1 =
量子力学__07量子力学的矩阵形式与表象变换
x
')
k
则任一态函数 在F表象中的具体形式： ak k
k
a1
a
2
或者
ak
其中 ak ( k , )
在 F 表象中 F 的基矢集 { , 1, 2,...} 满足
( , )
正交归一性
*(x ') (x) (x x ')
完备性
则任一态函数 在 F 表象中的具体形式： a
具有分立本征值的情况
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn , ...。 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函 数展开：
证：
( x, t) an(t)un( x)
n
an(t) un *(x)(x.t)dx
证明：变换矩阵 S 为一幺正矩阵。即 S S I , SS I
描述基矢之间的关系。
因此，当R矩阵给定后，任何矢量在两个坐标系中的表示 之间的关系，也随之确定。
4. 变换矩阵R的性质 由于变换矩阵具有如下性质：
R( )R( ) R( )R( ) 1 det R( ) 1
这种矩阵称为真正交矩阵。
又由于 R*( )=R( ) 所以 R ( )R( )=R( )R ( )=1
an(t)
aq (t )
a1(t)* a2(t)* an(t)* aq(t)*
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
量子态在不同表象中具体形式的变换
在F表象中 F的基矢集 { k , k 1, 2,...} 满足
( k , j ) kj
正交归一性 完备性
* k
(
x
量子力学讲义第七章讲义
(8)
是|>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表
述形式。
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 6、单位矩阵
除对角元外其余为零 即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可
对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转
置矩阵。
m列n行n列m行 共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标
系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展
开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的 抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。 给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征 方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程 求本征函数。
4、 举例： 例1、已知体系的哈密顿算符Ĥ与某一力学量算符在能量表象中的矩阵 形式为：
， 其中和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵； (2)、H和B是否对易； (3)、求算符的本征值及相应的本征函数； (4)、算符的本征函数是否也是Ĥ的本征函数。
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。 设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表
示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成函数形式。 例如动量本征态，，坐标本征态，等。
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Sˆ ˆ
2
Sˆx 2 ˆx Sˆy 2 ˆ y
Sˆz 2 ˆz
10
对易关系
ˆ ˆ 2iˆ
泡利算符的平方算符
[ˆ
2 ,
ˆ ] 0
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
2iˆ z
ˆ yˆz ˆzˆ y 2iˆx
ˆzˆx ˆxˆz 2iˆ y
ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2
x
y
z
[ˆ
2 ,
ˆ x ] 0
z 1 z 2
1z 2
15
该两个函数满足正交归一化条件
1
2
1 (1 2
0)
0 1
0
1
2
1 (1
2
1
0)
0
1
1
1
(0
22
0
1)
1
1
16
现在来求 Sˆ x
Sˆ y
ˆ x
ˆ y
的矩阵形式
设ˆ x的矩阵形式为
ˆ x
a c
b d
由
ˆ
x
ˆ x
a* b*
c* d*
a c
2 4
2
即
S
2 x
S
2 y
S
2 z
4
它们相当于一个数值算符
Sˆ 2 的本征值
S2
S
2 x
S
2 y
Sz2
3 2 4
将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的一般表
示式:
9
S 2 s(s 1) 2 s为自旋量子数 (s 1 )
2
Sz ms
3泡利算符
ms 为“磁”量子
(ms
1) 2
数
为了讨论问题方便，引入泡利算符 ˆ
5
自旋回转磁比率（磁矩与角动量的比值）：
M sz e
Sz
（SI）
M sz e
Sz
c
轨道磁矩与轨道角动量的关系：
（CGS）
Ml
e
2
L
（SI）
Ml
e
2c
L
（CGS）
M l z e （SI）
Lz
2
M lz e
Lz
2c
（CGS）
自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的两倍
6
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
力作用否则只能受外力矩作用，外力矩只能 使它转动而不产生平动，具有自旋的氢原子 也是如此
U M.B MB cos
Fz
U z
M
Bz z
cos
3
由此，氢原子运动情况与磁场和电子自旋磁矩的夹 角有关，由于只有两个轨迹，所以电子的自旋磁矩只有 两个方向，计算表明
cos 1
即自旋磁矩平行或反平行于外加磁场
施特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach）实验 基本思想是通过讨论基态氢原子在非均匀磁场中 运动情况，得知电子具有自旋的信息
2
基态氢原子，总电量为0，轨道角动 量也为0，即核外电子无轨道磁矩，表 面上其运动应该不受磁场的影响，实际 情况是氢原子在磁场中轨迹分裂成两条， 这说明氢原子有自旋磁矩。
通电线圈只有在非均匀磁场中才可能受外
[ˆ
2 ,
ˆ y ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ z ] 0
11
本征值
ˆ x ˆ y ˆ z 的本征值都是 1
ˆx 2 Sˆx
Sx 2
x 1
2 x
2 y
2 z
1
ˆ 2 的本征值
2
2 x
2 y
2 z
3
12
反对易关系
{ˆ , ˆ } 0
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
0
ˆ yˆz ˆzˆ y 0
ˆzˆx ˆxˆ y 0
述方法，通常选 Sˆ2 Sˆ 作为力学量完全集，即以它们 的共同本征态描述体系z 的状态，称为 S 2 S 表象，通
常也简称 Sz 表象，该本征态只有两个， 两z 个态相应 于S2的取值总为3/4ħ2，而Sz 取+1/2 ħ或者- 1/2 ħ ， 在该表象中，自旋算符矩阵应该是两行两列矩阵，波 函数为两分量的列矩阵：
乌仑贝克. 哥德斯米脱假设
（1）每个电子具有自旋角动量
S
，它在空间任
意方向的取值只能有两个
Sz
2
4
（2）每个电子具有自旋磁矩M S ,它与自旋角动量的 关系是
MS
e
S
（SI）
MS
e
c
S
（CGS）
在任意方面 上的投影
M sz
e
2
M B
（SI）
M sz
e
2c
M B
（CGS）
（ M B ——玻尔磁子）
b d
故有 a* a
d* d （a, d 必为实数）
b* c
ˆ x
a b*
b d
17
再由 ˆzˆx ˆxˆz 0 得到
1 0 a b a b 1 0
0
1
b*
d
b*
d
0
1
a b a b 2a 0
b*
d
b*
d
Prove
ˆ ˆ ˆ ˆ 1 (ˆ ˆ ˆ ˆ )ˆ 1 ˆ (ˆ ˆ ˆ ˆ )
xy
2i y x
yz
2i z y y
y yz
zy
1 2i
ˆ yˆzˆ y
ˆ
zˆ
2 y
ˆ y2ˆ z
ˆ yˆzˆ y
0
Prove
ˆ ˆ ˆ i xyz
13
4．自旋算符的矩阵表示
描述电子自旋角动量状态，类似于一般角动量的描
7
Sˆ Sˆ i Sˆ
Sˆ Sˆ
x y
Sˆ Sˆ
y z
Sˆ y Sˆ x Sˆ z Sˆ y
iSˆ z iSˆ x
Sˆ
z
Sˆ
x
Sˆ x Sˆ z
iSˆ y
自旋角动量平方算符
Sˆ2 Sˆx2 Sˆy2 Sˆz2
Sˆ2与 S各ˆx2 分 Sˆ量y2 间Sˆ的z2 对易关系为 [Sˆ, Sˆ2 ] 0 ( x, y, z)
很显然
Sˆz
2
1 0
01
Sˆ2 3 4
2 1
0
0
1
14
ˆ z
1 0
01
ˆ 2
1
3
0
0
1
两个本征矢
相应于Sz取
2
的本征态可表示为
1
1 2
(
S
z
)
0
相应于Sz取
2
的本征态可表示为
0
1 2
(S
z
)
1
Sˆ2 (S ) 3 2 (S )
1 z 2
4
1z 2
Sˆ (S ) 1 (S )
Sˆ Sˆ
2 2
Sˆ Sˆ
x y
Sˆx Sˆ 2 Sˆy Sˆ 2
0 0
Sˆ
2
Sˆ
z
Sˆz Sˆ 2
0
8
1.自旋算符的本征值
由于在空间任意方向上的投影只有两个取值 ，
2
所以 Sˆx 、Sˆy 、Sˆz 的本征值是
Sx 2
Sy 2
Sz 2
Sˆ
2 x
、
Sˆ
2 y
、
Sˆz2 的本征值都是
1自旋算符
一为个了厄描米述算电符子Sˆ的来自表旋征角电动子量的S自的旋特角性动，量需要引入
注意：自旋角动量是电子内部的一种固有特性，它是 由电子的自身结构决定的，在经典理论中没有对应量， 它不能表示为空间坐标和动量的函数。
但是 S 作为自旋角动量，它与轨道角动量应该具
有相同的量子性质，应满足角动量算符的普遍对易关 系
第六章
自旋与全同粒子
1
前言
尽管单粒子体系的薛定谔方程取得了很大的成功。 但是该理论有很大的局限性。首先，绝大部分微观粒子 都存在自旋，而前面讨论的问题都未涉及到粒子的自旋 特征。另外，实际粒子体系一般多为多粒子体系，所以 研究多粒子体系的问题更有实际意义。
6.1 电子自旋(Electron spin)