考研数学 D讲义8考研基础班
数学分析考研辅导班讲义1
n
2n p
p
11 2n1 2n2
1 2n
p
1 2n1
1
1 2p
1
1 2
1 2n
1 n
，
故 0 ， N 1 0 ，当 n N 时， 自然数 p ，由以上不等式知
an p an
1 n
，
故an 收敛. 定理 1.2.2 数列an 收敛 an 的任意两个子数列都收敛，且都收敛于同一
1
2 n2 n
n
1 n2 1
2 n2
2
n n2
n
1
2 n2 1
n
nn 1
2 n2 1
而
lim n n 1
n 2 n2 1
1 2
，故原极限
1 2
.
例 1.2.8 设 0 x1 1, xn1 xn 1 xn , n 1, 2, ， 证 明 xn 收 敛 ， 并 求
第 3 步 写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间；
第 4 步 将第 3 步中所得结果代入 y f (u) 中，便得 y f (g(x)) 的
表达式及相应 x 的变化区间 .
练习题
1
设
f
(x)
1, 0,
x 1 x 1
，
g(x)
2 x2,
2,
x 2 x 2
ab
b 0 不存在 b 0 不定 a 0 不存在 a 0 不定
不确定
lim an b n n
考研数学基础班讲义-微积分第18讲_函数项级数(优选.)
∞
∞
∑ ∑ an 相应于 an (x − 1)n 在 x = 2 处的数项级数，
n=1
n=1
而 x = 2 ∈ (−1, 3) ，所以绝对收敛。
例 18.3 求幂级数 n∑∞=191n x 2n−1 的收敛域。
【解】此时不能套用收敛半径的计算公式，而应直接用比率法求其收敛半径。
lim
k →∞
1 9k +1
的全体。 (2)一般来说，收敛域可能是较为复杂的集合。
18．2 幂级数的概念 幂级数是一类简单的函数项级数。只有真正理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数
在其收敛区间内的性质，才能掌握好收敛半径的求法，并能处理将函数展开为指定点的幂级
数和求简单级数的和的问题。 18．2．1 幂级数的定义与收敛域
∞
∑ 定义 18.4 设 {an }(n = 0,1,2,3,L) 是一实数列，则称形如 an (x − x0 )n 的函数项级数为 n=0
x 2k +1
1 9k
x 2k −1
= lim x2 k→∞ 9
=
x2 9
,
所以
当 x2 9
< 1,
即 | x |< 3 时，级数 n∑∞=191n
x 2n−1 绝对收敛；
∑ 当 x 2 > 1, 即 | x |> 3 时， lim 1 x 2n−1 = +∞ ，所以级数 ∞ 1 x 2n−1 发散。
n=0
的收敛半径为 R
，并不能保证
lim an+1 a n→∞
n
=1 R
或
lim n
n→∞
an
= 1 成立。 R
∑∞
（2）对于级数 an x n
2012武忠祥数学基础班讲义
2012年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章 函数 极限 连续一、函数1 函数的概念：2 函数的性态：单调性 奇偶性 周期性 有界性 有界性 ：定义：;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃ 3 复合函数与反函数 (函数的复合,求反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。
了解它们定义域,性质,图形. 2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：1。
函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。
复合函数；例1 是)(e |sin |)(cos +∞<<−∞=x x x x f x （A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数 （D）偶函数. 例2 已知[],1)(,sin )(2x x f x x f −==ϕ则______)(=x ϕ的定义域为._______解：； )1arcsin(2x −].2,2[−例3 设则⎩⎨⎧≥−<=⎩⎨⎧>+≤−=0,,0,)(,0,2,0,2)(2x x x x x f x x x x x g [].________)(=x f g解=)]([x f g ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x 二、极限 1 极限概念1) 数列极限: A a n n =∞→lim ：0 ,0>∃>∀N ε,当时，恒有N n >ε<−||A a n .2）函数极限: ： A x f x =∞→)(lim 0 ,0>∃>∀X ε,当时，恒有X x >||ε<−|)(|A x f .类似的定义 A x f x =+∞→)(lim ，A x f x =−∞→)(lim 。
A x f x =∞→)(lim ⇔ =+∞→)(lim x f x A x f x =−∞→)(limA x f x x =→)(lim 0：0 ,0>∃>∀δε,当δ<−<||00x x 时，恒有ε<−|)(|A x f 。
考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义02
一元函数积分学 考纲要求：（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念（2）掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定 理，掌握换元积分法与分部积分法（3）会求有理函数 三角函数有理式和简单的无理函数的积分（数一数二要求 数三参考）（4）理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式 （5）了解反函数的概念，会计算反常积分（6）掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积，平面曲 线的弧长， 旋转体的体积及侧面积，平行截面面积为已知的立体体积，功， 引力，压力，质心，形心等）及函数的平均值（数一，数二），会利用定积 分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值。
会利用定积分求 解简单的经济应用问题。
（数三）知识结构框架：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧反常积分变限积分定积分原函数与不定积分概念⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧华里士公式周期性化简计算几何意义计算；分部积分积分表：凑；第二换元定积分的计算简单无理式积分数有理式积分有理函数积分；三角函部积分法第二类换元积分法；分基本积分表：凑微分法不定积分的计算计算⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧经济应用（数三）物理应用（数一数二）二）弧长，侧面积（数一数体体积平面图形的面积和旋转几何应用应用一元函数积分学的概念1.原函数：如果在区间I 上，可导函数函数为的)(导x F ()x f ，即I x ∈∀，都有)()(x f x F ='成立，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个 原函数.注：原函数必须指明是函数在哪个区间上的原函数。
定理：若()()()必有无穷多个原函数则上有一个原函数x f x F x f ,在区间 定理：()()的全体原函数函数族包括了x f C x F +对任意常数C，形如 2.不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，即C x F dx x f +=⎰)()(.例1：设函数()x f 在()∞+∞，-上连续，则()=⎰dx x f d ()()x f A :()dx x f B ）（ ()()C x f C + ()()dx x f D '答案：B例2：若()()有一个原函数是（）则的导函数是x f x x f ,sec 2 ()x A cos ln 1- ()x B sin ln 1- ()x C sin 1+ ()x D cos 1-答案：A2：定积分定义：设函数()x f 在区间[]b a ,上有界，将[]b a ,任意分成n 个子区间[]i i x x ,1-， 分点为11210,---=∆=<<<=i i i n n x x x b x x x x x a 为该小区间的长度， 在每个小区间[]i i x x ,1-上任意取一点i ξ，对()()()i ni i i i x f n i x f ∆=∆∑=13,2,1ξξ求和 ，记{}i ni x ∆=≤≤1max λ，若对[]b a ,的 任意分法，()i ni i x f ∆∑=→1lim ξλ极限存在，则称此极限为()x f 在区间[]b a ,上的定积分，记为()dx x f b a⎰，即定积分()()i ni i bax f dx x f ∆=∑⎰=→1lim ξλ可积的条件：例3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2224211lim答案：dx x x⎰++10211例4：∑∑==∞→ni nj n n ij 114lim答案：41例5：()()=++∑∑==∞→ni nj n j n i n n1122lim答案：()()dy y dx x ⎰⎰++102101111定积分的几何意义若0)(≥x f ，则dx x f ba ⎰)(表示以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积. 若0)(≤x f ，则dx x f ba ⎰)(表示以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 所围成的曲边梯形的面积的负值 若)(x f 在[]b a ,上有正有负，则dx x f ba ⎰)(表示曲边梯形的面积的代数和，在0)(≥x f 部分，取“+”，在0)(≤x f 部分，取“-”定积分的性质：当()()()0.==-=<⎰⎰⎰bababadx x f b a dx x f dx x f a b 时，特别的，时，约定（1）⎰-=baa b dx 1（2）[]⎰⎰⎰±=±b ab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()()(2121（3）⎰⎰⎰∀+=b aabc dx x f dx x f dx x f c c,)()()(（4）在[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤b abadx x g dx x f )()(特别地⎰⎰≤babadx x f dx x f )()(（5）Mm ,是)(x f 在[]b a ,上的最小值与最大值，则⎰-≤≤-b aa b M dx x f a b m )()()(（6）积分中值定理：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，则存在[]b a ,∈ξ，使得()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ3：变限积分：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的一点，考察()x f 在部分区间[]x a ,上的定积分()dx x f xa ⎰首先，由于()x f 在区间[]x a ,上仍旧连续，因此这个定积分存在。
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考研数学讲义 D9考研基础班
考研数学讲义 D9考研基础班哎呀，说起考研数学，那可真是让不少小伙伴们又爱又恨啊！今天咱们就来聊聊这个考研数学讲义 D9 考研基础班。
就拿我之前遇到的一个学生小李来说吧。
他呀，一开始对考研数学那叫一个头疼，看着那些公式定理，就像看天书似的。
后来他参加了这个 D9 考研基础班，仿佛找到了救命稻草。
在这个基础班里，讲义的编排那是相当贴心。
它不是一股脑地把所有知识点堆给你，而是循序渐进，就像爬楼梯一样，一步一步来。
比如说，在讲解函数极限这一块，先从最基本的概念入手，什么是极限，极限的定义是啥，讲得明明白白。
然后通过一些简单易懂的例子，像计算一个简单函数在某一点的极限，让你一下子就明白了其中的门道。
而且啊，这讲义里的例题可不是随便选的。
那都是老师们精心挑选出来的，具有代表性的题目。
就像有一道关于数列极限的例题，从最初的分析题目条件，到一步步的解题思路，再到最后的答案，整个过程清晰明了。
小李跟我说，他以前看到这种题就发懵，但是通过这个例题，他突然就开窍了，知道该从哪里下手了。
还有哦，这个讲义对于一些容易混淆的知识点，也做了特别的处理。
比如说，无穷小和无穷大的关系，很多同学总是搞不清楚。
讲义里就专门用一个板块，对比着讲解它们的区别和联系，还配上了生动的图表，让你一眼就能看明白。
另外，每一章后面还有配套的练习题。
这些练习题的难度也是逐步增加的，刚开始是一些基础的巩固练习，让你把刚学的知识点掌握扎实。
然后就是一些稍微有点难度的提升题，考验你对知识点的灵活运用能力。
小李一开始做这些练习题的时候，错误百出，但是他没有放弃，对照着讲义上的讲解，一道题一道题地琢磨，慢慢地，错误越来越少，解题的速度也越来越快。
再说说这讲义的排版吧，字体大小适中，行间距也很舒服，不会让你看着觉得密密麻麻，心里发慌。
重点的知识点还用不同的颜色标出来，一目了然。
总之啊，这个考研数学讲义 D9 考研基础班，真的是为考研的同学们打下了坚实的基础。
考研陈文灯考研数学讲义【绝密版】
e2
三、补充习题（作业）
1. f (x) ln 1 x ,求y''(0) 3
1 x2
2
2.曲线
x y
et et
sin 2t 在(0,1)处切线为y cos 2t
2x
1
0
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- 8 -1
3. y x ln(e 1 )(x 0)的渐进线方程为y x 1
证： Lagrange : f (b) f (a) f '( ) ba
械考研汇
令 f (x) ln 2 x, ln 2 b ln 2 a 2 ln
ba
：机
号
众 令(t) ln t ,'(t) 1 ln t 0( ) (e2 ) ln 2
公 t
t2
e2
信
微 ln 2 b ln 2 a 4 (b a) （关键：构造函数）
证： f (x) f (0) f '(0)x 1 f ''(0)x2 1 f '''()x3
2!
3!
其中 (0, x), x [1,1]
考研资料——免费提供
微信公众：机械考研汇
- 7 -1
0
将 x=1，x=-1 代入有
f (1)
f (0)
1 2
f ''(0) 1 6
f '''(1 )
lim b
b1 ( 1x
x 1 x2
)dx
4
1 ln 2 2
考 5. f (x) 连续，(x) 1 f (xt)dt ,且 lim f (x) A ，求(x) 并讨论'(x) 在 x 0 的连
2010_考研数学基础班高等数学讲义(全全部)
第一章 函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点 一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。
2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。
这类函数称为分段函数。
例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。
需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。
4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。
有时也用1()y fx -=表示。
二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。