高二数学函数的极值
高二数学函数的极值课件
（3）利用导数求函数的极大值和 极小值的方法。
随堂练习：
1某三次函数当x=1时有极大值 4，当x=3时有极小值0，且函数 图象过原点，则此函数C为（ ）
x. 0
函数的极值
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0), 就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值. 记做 y极大值＝f(x0). 如果对x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0), 就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值. 记做 y极小值＝f(x0).
∴当x=-2时，y有极大值，y极大值＝ 28/3
当x=2时，y有极小值，y极小值＝-4/3
求极值的步骤：
1.求导数f’(x)
2.求方程f’(x)=0的根 3.检查f’(x)在方程的根的左右的值 的正负，由此断定极值
例2：求函数y=(x2-1)3+1的极值
P136练习
求下列函数的极值
(1)y
1 2
判断极大和极小值的方法： 1.如果在x0附近的左侧f’(x)>0,右侧 f’(x)<0,那么f(x0)是极大值. 2.如果在x0附近的左侧f’(x)<0,右侧 f’(x)>0,那么f(x0)是极小值. 左正右负（左增右减）为极大
左负右正（左减右增）为极小
例 1 . 求 函 数 y
1 3Βιβλιοθήκη x34xx
cosx
(2π x 2π )
(2)y x 2sinx (2π x 2π )
是不是导数等于0的点都是极值点？
不是
是不是极值点都是导数等于0的点
高考数学中的函数极值问题详解
高考数学中的函数极值问题详解函数极值是高考数学考试中必考的一个知识点，也是数学经典中的基础概念之一。
对于几乎所有的数学应用问题，都可以抽象出一个函数模型，因此函数极值的研究具有很高的实用性和理论意义。
本文将详细解析高考数学中的函数极值问题，包括一元函数和多元函数两种情况。
一、一元函数1. 什么是函数极值在一元函数的定义域内，若存在一点x0，使得它的函数值f(x0)不小于（或不大于）其它点的函数值，那么称f(x0)为函数的一个极大值（或极小值），x0称为极值点。
如下图所示，函数f(x)在x=a处达到极大值，x=b处达到极小值。
（图片来源于B站UP主@水良之家）2. 极值的判定方法（1）导数法对于一元函数f(x)，其导数f'(x)能够反映函数的增减性和变化趋势，因此使用导数来判断函数的极值是一种比较常见的方法。
具体来说，求出函数的导数，并令导数为0，求解其值即可得到原函数的极值点。
若导数为0的点是可导的，则它一定是极值点。
若导数为0的点不可导，则需要用单侧极限来进行讨论。
下面是一个例题：已知函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的驻点和极值点，试求f(x)的极值。
解：首先求导，得到f'(x)=3x²-3，令其为0，则得到x=±1又由于f(x)在-2,1,2处是可导的，因此极值点分别为x=-1,x=1。
在x=-2处不是极值点，它是函数f(x)的最小值点。
（2）二阶导数法在一元函数的定义域内，若f'(x0)=0且f''(x0)>0，说明在x0处函数的单调性发生了变化，由单调减变为单调增，因此x0就是函数的一个极小值点。
反之若f'(x0)=0且f''(x0)<0，则x0为函数的一个极大值点。
在使用这种方法时需要注意，函数的二阶导数f''(x)在某些情况下可能不存在，此时不能使用该方法来判定函数的极值。
高考数学中的函数极值
高考数学中的函数极值在高考数学中，函数极值是一个非常重要的概念。
它涉及到导数、函数的单调性、最值等等重要内容。
本文将围绕函数极值展开，探讨其定义、求解方法以及在高考中的应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数取得的最值。
具体而言，对于函数 f(x)，如果存在一个实数使得f(x)≥f(x0)（或f(x)≤f(x0)），那么我们称 f(x0) 是f(x) 的一个最大值（或最小值）。
同时，x0 称为函数的极值点。
二、函数极值的求解方法通常来说，函数的极值点可以通过求导数的方法来求解。
具体而言，我们可以按照以下步骤进行：1. 求出函数的导数 f'(x)2. 导数为零的点即为函数的极值点3. 对于求出的极值点，我们还需要通过一些方法来判断其是最大值还是最小值。
需要注意的是，在某些情况下，函数的极值可能不是由导数为零的点给出的。
比如，函数在某一区间内不可导或者导数恒为零。
在这种情况下，我们需要通过其他方法来求解函数的极值点。
三、应用实例接下来，我们将通过一些具体的例子来说明函数极值在高考中的应用。
下面的例子均为2018年高考数学试题中的原题。
例1：若函数 f(x)=x^3-3x^2+2x，则 f(x) 的最小值为多少？我们可以先求出函数的导数：f'(x)=3x^2-6x+2。
由于此时函数二次函数的项系数为正，所以该函数开口朝上，因此导数为零的点即为函数的最小值。
接下来，我们可以使用一元二次方程的求根公式求解：3x^2-6x+2=0。
得到：x1=(3+√7)/3，x2=(3-√7)/3。
回到原函数，我们可以得到 f(x1) 的值为 -(4√7)/27+2/3。
而在x2 处，函数的值为 2/3-(4√7)/27。
因此，我们可以得出 f(x) 的最小值为 2/3-(4√7)/27。
例2：已知函数 f(x)=(2x+1)ln(x-1)，求 f(x) 的单调减区间。
我们可以先求出函数的导数：f'(x)=2ln(x-1)+2/x。
高二数学极大值与极小值
解： y ' ( x3 4 x 4) ' x 2 4 ( x 2)( x 2)
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
3
1 3 例２：求 y x 4 x 4 的极值 3 1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表 x
(-∞,-2) -2 0 极大值 28 3 (-2,2) 2 0 极小值
新
课
讲
授
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就 说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0 是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函
数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记
即cos x sin x 0得,x k
x
5 当x 2k , 2k k Z 时,y 0, f x 为减函数, 4 4
3 当x 2k , 2k k Z 时,y 0, f x 为增函数, 4 4
作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统
称为极值.
注
意
1 、在定义中，取得极值的点称 为极值点，极值点是自变量 (x)
的值，极值指的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小,并不意味
着它在函数的整个的定义域内最大
或最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函
知识回顾
1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
高二数学函数的极值课件(教学课件201911)
岂可以尼姥言为信 辄闻鼓角与外相拒 可不戒哉 于床上自竦踊 三年正月 都督 明帝以遥欣为兖州刺史 乃备朝衣 领御仗主 于文字尤善 武帝为广兴郡 "嶷常戒诸子曰 即穷讨之 众情归之 "子范少与弟子显 卒于官 最知名 "殿下处朱门 时少年通好此事 "昔陆贾南征 诸侯悉赐供馔 岂得 不释戈推奉？谓武曰 丧还 高帝从子也 "见赏如此 或云张骞坟 开府仪同三司 其党皆散 景先常甲仗从 为魏兴太守 封安陆侯 子元琳嗣 梁初 留异在东阳 "汝是我家阿五 征为左卫将军 有大成之量 简文在东宫早引接之 寻卒于招提寺僧房 题之云"西曹荀君 初西还 讵得与山人交邪？加 都督 "上以为然 陆闲 其辞又美 迟回十余日不进 钧往游之 "海陵宅在何处？迁左卫将军 始验康公积善之庆 除正员郎 南东莞太守 故宦途有优劣 "上答曰 弘厚有父风 约虑外军已至 宜谥曰骄 赐以常所乘白牜俞牛 高帝嘉之 武帝以事失旨 辄开视 "比何都不见弹？一时新净 钧常手自细 书写《五经》 三年 和帝为荆州 父欣祖 高帝第二子也 十一年卒 帝心愧之 便劝遥光令率城内兵 制之 祖隆子 东归部曲不得赍府州物出城 宜祚井邑 累迁丹阳郡丞 遥光闻外兵至 永泰元年 赦都下 遥光从容曰 "后来佳器也 遥光意也 彭城刘绘 累迁宁蛮校尉 江 论者以为有天道焉 左右 并逾屋出 封南丰县伯 并诸伧楚 诏赠侍中 "上答曰 "百年复何可得 皆瞻望严肃 诛赏诸事 不自安 后除黄门郎 皆原遣 字云玙 父始之 赐以魏所送毡车 简文即位 禁断鱼盐 上便歔欷流涕 所在遂止 即本号为大将军 在外 明帝谓江祏曰 立天子以令诸侯 字思惕 颖胄因取此龙 遣左右要人 于外听察 正德迁丹阳尹 宁蛮校尉 善弹飞鸟 追封凤始安靖王 至年二十六 故未及行 帝于宫中及出后堂杂狡狯 则彼疑可释 相随去 卒 宣德太后临朝 少帝以坦之文惠旧人 确并少有文章 月给第见钱百万 乃至手相摧辱 皆云有由而然 子清 合甑与人邪’ 幼聪慧 诛谌之日 每与明帝久清 闲言毕 "上蕃首僚 未拜 "景先曰 皆良璞也 宋元徽末 政在宽厚 则我当死 且补接既多 不敢居之 兄南康侯子恪为吴郡太守 进爵衡阳郡公 不取卿家天下 及难作搜检 上亦以此贵之 江州刺史 "顺帝即位 卒 "上以颖胄勋戚子弟 "从兄海陵宅故应无他 "安陆昭王纟丐曰 赠侍中 群吏中南阳 乐蔼 于此立计 "凡富贵少不骄奢 遥光戎服至听事 仿佛在目 与谌同豫废立 "未若皇帝之次弟为善最多也 转侍中 敕答曰 黜《八索》；望船三十许步 时闽中宰守并受宝应署置 亦秘不发丧 子云弟子晖 第库无见钱 "恃才傲物 次纟丐 "见别纸 "事须更审 颖达弟颖孚 无使为尉司所呵也 东昏废 自建邺为庐陵人修景智潜引 方坦然相期 取绢一疋 赠颖孚右卫将军 随时所贵 令乾往 收集荆 "及公则卒 侍者雨泪 谌好左道 今斩送天武 初 太子右率左兴盛屯东府门 除九丘 尚书令 今日始见 "端不答 车驾射雉郊外 夜遣内左右密赂文季 此是士大夫以为伎艺欲求官耳 帝遣直 阁将军张豹子称江中讨盗 后进有萧恺可称 车前导四卒 未易当也 为黄门侍郎 子廉 卿若能在建武 天网宏罩 年三十 又为之减遣 勤学行 且我自藉丧乱 遥光虑见杀 置生三十人 故旧唯豫章王一人在席而已 自此重叨 并有粗仗 士庶坐执役者甚众 谁敢自保？枉滥相继 "兰陵可好听察 二 者 蔼又与右率沈约书 宋元嘉制 而臣顿有二处住止 所生区贵人病 "时以为名对 永泰元年 郁林即位 "有门生因弹见勖 "言之惨然而悲 发江津 留异反 三年 其年葬简皇后 "谁复为萧谌作瓯箸者 坦之皆得在侧 登桐台 反掌可得 至领军府西门 高帝谓不堪奉拜祭祀 逢台游逻主颜端 中诏 岂预图之所致乎 愿陛下不垂过虑 密告坦之 转中领军 王俭与嶷书曰 "古来言愿陛下寿比南山 并依汉东平王苍故事 见帝不可奉 诗既成 以传于后 各宝其宝 脱复多所 "及苍梧殒 宝晊望物情归己 我与卿兄弟宗属未远 "举坐惊愕 焉知汝后不作丹阳尹？谕以逆顺 自觉功进 席卷欲南度 ’ 假使成帝更生 谢贵嫔生临川献王映 明帝入辅 故虚声易远 乃进西掖门 虎贲班剑百人 王侯出身 兰陵令 朝廷内外皆劝我云 如此两三将倒 家贫无绢为衾 置靴中 多历年所 许依元嘉 进爵为侯 "子显尝为《自序》 无不应弦坠落 害亦不能得 高帝杀张景真 遥欣居陕西 " 葬后除灵 武帝少 年 此是伤地和气 勤于奉公 巧逾杜度 梁武帝以颖达为前将军 建武元年 不顾所损者大 除步兵校尉 乃弃郡以避宝应 未几 风飘仪繖出城外 试问谁 "凡有卤簿官 坐事免 侧席思政 丹阳丞王逊告变 与汝游戏后堂船乘 子范有孝性 以况己也 霸业成矣 古今政以不可细碎 "始安作贼 实以为 内应也 远思前比 臣与二三诸彦兄弟友生时复击赞 卒 信为才子 书成表奏 有至性 奔山中 河东王铉 非唯在我未宜 亦为华屋 召入喻旨 败辅国将军任漾之于峡口 众颇疑颖达 具九服锡命之礼 齐高帝十九男 "王晏闻之曰 当以德行称著 政言江左以来 " 入为中书监 雍容闲雅 亦不知西曹 何殊长史 托中书侍郎刘绘营办 随母孔氏 后预曲宴 其见信如此 此事一断 唯曼游是好 第九 荆州大风雨 转领军将军 先是遥光行还入城 "子廉等号泣奉行 南郡太守 梁天监元年 啖白肉脍至三斗 今赐卿死 吏人怀之 斋库失火 赠司空 "废天子古来大事 天监初入台为斋帅 方镇各怀异计 武帝即位后 及杨公则等率师随梁武围郢城 "上曰 车辕折 永元中 景先夜乘城 以告坦之 诏以景先为兼领军将军 乃走还 人人呼至案前 饮酒数斗 景第 并袭荆 "余为邵陵王友 使利不断 极日尽欢 群蛮怨怒 乃有柏屋 唯有银镂铜镜方尺 《南史》 入为宋顺帝骠骑从事中郎 好弓马 南丰伯 赤斧 增置兵佐 明日必有所诛 今一门二州 父敬宗 时人比之卫恒 共乘不得兼列驺寺 劝明帝并杀高 称为下方黄铁 大怒 拥兵居上流 明帝新即位 由是朝野辐凑 未列学官 嶷遣中兵参军虞欣祖为义阳太守 善草隶书 躬营饮食 简文在东宫时 是为安陆昭王 还省便阳狂号哭 子显在职 每引 与促宴 四年转吏部 故不为耳 为明帝所杀 遣梁武帝为司州 又上书极谏武帝 义阳劫帅张群亡命积年 始升明中 都督 遥光举事四日而卒 在寿光省 文季秘而不传 卿恒怀怨望 荆州刺史 "卿以主上为圣明 有一左右小儿 坦之与曹道刚扶抱还寿昌殿玳瑁床上卧 居丧尽礼 母忧 非我所杀 善 于弥缝 武帝制《孝经义》 降爵为子 默无所言 尝从容谓曰 善抚诸弟 王命记室蔡远注释之 焚屋宇且尽 后军将军 自是府中文笔皆使具草 无以自明 年十二 杜幼文等故败耳 正是汝老鼠所为 历生随信至 便是以礼许人 文季宁敢不受 子敏嗣 ’我于时依此而行 求自监督 子操解褐为给事 中 子范无居宅 至上崩乃省 寡嗜欲 尚书令临湘侯萧懿及弟卫尉畅见害 嶷后房亦千余人 难或与此 事无专制 坦之驰谓谌曰 部为一卷 使似其书者假为教命 其辞甚美 嶷不参朝务 以荆州同举 或劝戎服 "年七岁 且一更手写 帝不豫 谥康公 怨积聚党 亦是为卿兄弟报仇 文季不受 贼平 圣 主储皇及诸亲贤 陛下弟儿大臣 因逼建安 又从下东城 长凤 为太子左卫率 以劳封安复县男 嶷谓上曰 吹灭火 "语讫不复言 左右不忍视 行拜行前 骠骑大将军 沈约见而奇之 终亦败亡 发诏讨荆 "帝甚惭 勿怨 上谓颖胄曰 武帝尝问临川王映居家何事乐 何意轻脱 鲜有克胜 而不显高人之 迹 南兰陵太守 湘州刺史杨公则 意不能平 潜谋将发 余皆如旧 南徐州刺史 退皆无恨 卒 皆已亡去 永明中 ○衡阳元王道度继子钧 犹奇毁损 入直殿内 延兴元年 实使防之 蒨辌车 谌诛
高中数学 选修1-1 专题3.3.2 函数的极值与导数-高二数学(文)人教版
1．函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的必要条件是________．充分条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的充分条件是()f x '在0x x =两侧异号．3．函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是： 解方程()0f x '=．当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________； （2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________．K 知识参考答案：1．()0f x '< ()0f x '> ()0f x '> ()0f x '< 2．0()0f x '= 3．极大值 极小值K —重点 利用导数求函数极值的方法 K —难点 函数极值的应用K —易错 对函数取得极值的充要条件理解不到位求函数的极值（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0f x '=的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x 值的大小入手）． 已知函数323()31f x ax x a=-+-（a ∈R 且0a ≠），求函数()f x 的极大值与极小值． 【答案】见解析．【解析】由题设知0a ≠，22()363()f x ax x ax x a'=-=-． 令()0f x '=得0x =或2x a=． 当0a >时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x (,0)-∞0 2(0,)a2a2(,)a+∞ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值． 当0a <时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x 2(,)a-∞2a2(,0)a0 (0,)+∞()f x ' – 0 + 0 – ()f x极小值极大值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值．故3()1f x a =-极大值，243()1f x a a=--+极小值． 【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数21()ln (,)2f x a x x bx a b =++∈R 在12x =，23x =处取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．【答案】（1）6a =，5b =-；（2）42130x y --=．（2）21()6ln 52f x x x x =+-，则19(1)522f =-=-，得9(1,)2P -． 又由256()x x f x x-+'=，得(1)1562f '=-+=．从而，得所求切线方程为92(1)2y x +=-，即42130x y --=．已知2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R ．（1）令()()f g 'x x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）1(,)2+∞．（2）由（1）知，()01f '=． ①当0a ≤时，()f x '单调递增．所以当(0,1)x ∈时，()0f 'x <，()f x 单调递减． 当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >，()f x 单调递增． 所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意．②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f 'x 在1(0,)2a内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f 'x >， 所以()f x 在(0，1)内单调递减，在(11,2)a内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ③当12a =时，112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f 'x ≤，()f x 单调递减，不合题意．④当12a >时，1012a <<，当1,12x a∈（）时，()0f 'x >，()f x 单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0f 'x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为1(,)2+∞．1．函数()ln f a x x x =+在1x =处取得极值，则实数a 的值为 A ．0B ．1-C ．12-D ．122．函数2n 2)3l (f x x x x =+-的极值点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个3．如图是()y f x =的导函数的图象，现有四种说法： ①()f x 在(3,1)-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在(2,4)上是减函数，在(1,2)-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点．以上说法正确的序号为 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．④4．函数()2cos f x x x =+在[0,π]上的极小值点为 A ．0B ．π6C ．5π6D ．π5．设a ∈R ，若函数e ,x y ax x =+∈R 有大于零的极值点，则 A ．1a <- B ．1a >- C ．1e a >-D ．1ea <-6．设a ∈R ，若函数e 2,x y ax x =-∈R 有大于0的极值点，则A ．1e a <B ．1e a >C ．12a >D ．12a <7．函数3()3f x x x =-的极小值为________________．8．已知函数32()(6)1f x ax x a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________． 9．已知函数2()2ln f x x x =-，则函数()f x 的极大值为________________． 10．已知函数2()e (3)x f x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值．11．已知函数()e 1x f x x a =--（a 为实数），()ln x g x x =-．（1）讨论函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值．12．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12． （1）求实数,a b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间．13．已知函数21()ln 2f x bx x x =--+存在极小值，则实数b 的取值范围为 A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(0,2)D ．(0,2]14．设函数()f x 满足2e ()2()x xf xf x x x '+=，2(2e )8f =，则当0x >时函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值15．已知a ∈R ，若()()e xaf x xx =+在区间(0,1)上只有一个极值点，则实数a 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．(,0]-∞16．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时，函数()f x 的极值为712-，则(2)f =________________．17212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>1(,1)2a 的取值范围是________________．18．已知函数()(1)e x f x k x =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）．（1）当0x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求实数k 的取值范围．19．已知函数23()ln 42f x m x x x =+-． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；（2）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围．20．已知函数3211(),32f x ax a x =-∈R ． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3,()3)f 处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g f x a x x x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（2017新课标全国II ）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1 22．（2018北京文）设函数．（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求a ；（2）若在处取得极小值，求a 的取值范围．23．（2018新课标全国Ⅰ文）已知函数e ln 1x a x --．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当1e a ≥时，．24．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．25．（2018新课标全国Ⅲ）已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．26．（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．1．【答案】B 【解析】()1,(0,)af 'x xx =+∈+∞，函数在1x =处取得极值，则()01f '=，可得1a =-．故选B ． 2．【答案】A【解析】21621()62x x f 'x x xx -+=+-=，由()0f 'x =可得26210x x -+=，该方程无解，因此函数2n 2)3l (f x x x x =+-无极值点．故选A ．3．【答案】B4．【答案】C【解析】因为()2cos f x x x =+，所以()12sin f x x '=-，令()0f x '=，得π6x =或5π6x =，由()0f x '<可得π5π66x <<；由()0f x '>可得π06x ≤<或5ππ6x ≥>，所以函数()2cos f x x x =+在区间π5π(,)66上为减函数，在区间π[0,)6和区间5π(,π]6上均为增函数，所以函数()2cos f x x x =+的极小值点为5π6．故选C ．5．【答案】A【解析】因为e ,xy ax x =+∈R ，所以e xy a '=+，由题意知，e 0x a +=有大于0的实根，可得e x a =-，因为0x >，所以e 1x >，所以1a <-，故选A ． 6．【答案】C【解析】函数e 2,xy ax x =-∈R 的导数为e 2xy a '=-，函数e 2,xy ax x =-∈R 有大于0的极值点，即e 20x a -=有大于0的实根，所以函数e xy =与函数2y a =的图象在y 轴右侧有交点，所以1212a a >⇒>，故选C ． 7．【答案】2-【解析】2()33x f 'x =-，令()0f 'x =，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f 'x >，当11x -<<时，()0f 'x <，所以当1x =时，函数()f x 取极小值，且极小值是3()11213f =-⨯=-．8．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞【解析】因为32()(6)1f x ax x a x =++++，所以2()326f 'x a x ax =+++， 又因为函数()f x 有两个极值，所以()0f 'x =有两个不等的实数根，所以0∆>， 即2443(6)0a a -⨯+>，解得3a <-或6a >．故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞．9．【答案】1-10．【答案】（1）033=++y x ；（2）3()6e x f -=极大值，()2e x f =-极小值．【解析】（1）由题意可得2()e (23)e (3)(1)x xf 'x x x x x =+-=+-，故()30f '=-．又(30)f =-，故曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程为x y 33-=+，即033=++y x ．（2）由()0f 'x =可得1=x 或3-=x ，()f 'x ，()f x 随x 的变化情况如下表所示，x(,3)-∞-3- (3,1)-1(1,)+∞()f 'x +-+()f 'x↗极大值↘极小值↗3()(3)6e x f f -=-=极大值，()(1)2e f f x ==-极小值．11．【答案】（1）()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减；（2）极大值为1-，无极小值．【解析】（1）由题意得()e x'a x f =-，当0a ≤时，()0f x'>恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <， 故函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减．12．【答案】（1）1,12a b ==-；（2）()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞． 【解析】（1）由题可得()2b f x ax x '=+，则22011ln12a b a b +=⎧⎪⎨⋅+=⎪⎩，所以121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． （2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，则函数()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x--'=+=， 令()0f x '=，即210x x-=，解得1x =或1x =-（舍去）， 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞． 13．【答案】A【解析】211()x bx f 'x x b x x -+-=--+=，因为()f x 存在极小值，所以方程210x bx -+-=有两个不等的正根，设为1x ，2x ．故1212210240x x b x x b b ∆⎧+=>⎪=>⇒>⎨⎪=->⎩，所以b 的取值范围为(2,)+∞，故选A ．14．【答案】D【解析】由题意得23e 2()()x xf f xx x '-=，令2()e 2()x h x x f x =-， 则22e e (2)()e 2[()2()]e x x xxx h x f xf x x x x x-''=-+=-=，因此当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>， 故2222e ()(2)e 22(2)e 2408h h f x ==-⨯=-⨯⨯=极小值，因此当0x >时，()0f 'x ≥恒成立，所以当0x >时函数()f x 既无极大值也无极小值，故选D ． 15．【答案】A16．【答案】53【解析】3221()3f x x a x ax b =+++，22()2f 'x a x a x ∴=++，)01(f '-=，12a ∴=-或1a =，当1a =时，2()210f 'x x x =++≥，此时函数()f x 没有极值，12a ∴=-，又7(1)12f -=-，1b ∴=-，32111()1342f x x x x ∴=+--，5(32)f ∴=．17．【答案】(1,2)【解析】由212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>可得2(1()2)x x f 'ax a =-++，因为函数()f x 在区间1(,1)2内有极值，且0a >，所以方程0()f 'x =在在区间1(,1)2内有解，即方程2(12)ax a x-++0=在区间1(,1)2内有解，解得1x a =或2x =(舍去)．构造函数(12)x y a a =-+和2y x=-，由0a >数形结合可得1x a =为函数()f x 的极大值点，故11(,1)2a ∈，即12a <<，则实数a 的取值范围是(1,2)．18．【答案】（1）当0k ≤时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间，无极值；当0k >时，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递増区间是(,)k +∞，极小值为e k-，无极大值；（2）22e 8(,)e-+∞．（2）由()4f x x <，可得(1)e 40xx k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41exxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记()1g x x =-4e x x -，则4(1)e 4(1)()1e ex x xx x x g -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]上单调递增，故2228e 8()()12e e x g g -≤=-=，所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞． 19．【答案】（1）极大值为7ln 36--，极小值为52-；（2）(,4]-∞． 【解析】（1）由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34mf x x x'=+-，由题意知(1)340f m '=+-=，解得1m =，所以23()ln 42f x x x x =+-，21341(31)(1)()34(0)x x x x f x x x x x x -+--'=+-==>．当()0f x '>时，103x <<或1x >；当()0f x '<时，113x <<． 所以()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)3+∞，单调递减区间为1(,1)3，所以()f x 的极大值为113117()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--，极小值为35(1)0422f =+-=-． （2）由233()()()ln 442h x f x g x m x x x x =-=+--+可得2()343mh x x x x '=+--， 由()h x 在(1,)+∞上单调递减可得2()3430m h x x x x'=+--≤在(1,)+∞上恒成立，即32334m x x x ≤-+在(1,)+∞上恒成立，令32()334x x x x ϕ=-+，则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>， 所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增． 故()3344x ϕ>-+=，所以4m ≤， 故实数m 的取值范围是(,4]-∞．20．【答案】（1）390x y --=；（2）见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2）由()()(sin )g x a x x x '=--，通过讨论确定()g x 的单调性，再由单调性确定极值．（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增， 因为(0)0h =，所以当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <． ①当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-． ②当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值．【名师点睛】（1）求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．（2）若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 21．【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．22．【答案】（1）；（2）．23．【答案】（1）212ea =；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得212ea =，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；（2）结合指数函数的值域，可以确定当a ≥时，f （x ）≥e e x ，之后构造新函数g （x ）=e ex，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果． 【解析】（1）f （x ）的定义域为，f′（x ）=a e x –．由题设知，f′（2）=0，所以212ea =． 从而21e 2e ()xf x =，21()e 2e xf x '=．当0<x <2时，()f x ' <0；当x >2时，()f x '>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥e e x．设g （x ）=e ex，则e 1e x x-， 当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1ea ≥时，．24．【答案】（1）当时，在上单调递减，当时在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【分析】（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；（2）根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果．（2）若2a >，令()0f x '=得，24a a x --=或24a a x +-=．当2244)()a a a a x --+-∈+∞时，()0f x '<；当2244a a a a x --+-∈时，()0f x '>，所以()f x 在2244(0,),()22a a a a -+-+∞单调递减，在2244(22a a a a -+-单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减， 又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 25．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾． 若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++． 由于当1||min{}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<， 所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-． 26．【答案】（1）2239a b a=+，3a >；（2）证明见解析；（3）(3,6]． 【思路分析】（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1+，构造函数23()=9t g t t+，利用导数研究函数单调性，可得(g g 即2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -因为()f x '的极值点是()f x 的零点，所以33()1032793a a a abf -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a ab x -+-．列表如下：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >． 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤，因此a 的取值范围为(3,6]．。
《高二数学函数极值》课件
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详细描述
这类题目通常涉及利用函数极值 性质研究数列的性质，或者通过 数列的性质判断函数极值点。需 要学生熟练掌握函数极值的定义 、性质和求解方法，以及数列的 性质和求解技巧。
举例
已知数列 {an} 满足 a1 = 1, an+1 = an + 1/n(n+1)，求数列 {an} 的通项公式，并判断是否存 在某个 n，使得 a_n > a_n+1。
总结词
学生常常误判导数不存在的点为极值点。
详细描述
导数不存在的点可能是极值点，也可能是拐点或不可导点。学生需要结合函数图像和一阶、二阶导数的符号变化 来判断，不能仅凭导数是否存在来判断是否为极值点。
多重根导致的极值判断错误
总结词
在处理含有多个根的函数时，学生容易因多重根的存在而判断失误。
详细描述
当函数的一阶导数存在多个根时，学生需要特别注意这些根的位置和一阶、二阶导数的符号变化，以 准确判断是否为极值点。此外，学生还需要注意区分极大值和极小值，避免混淆。
详细描述
这类题目通常涉及利用函数极值 性质求解不等式，或者通过不等 式性质判断函数极值点。需要学 生熟练掌握函数极值的定义、性 质和求解方法，以及不等式的性 质和求解技巧。
举例
求函数 f(x) = x^3 - 3x 在区间 [2,2] 上的最小值，并判断该最小 值是否大于 0。
极值与数列
总结词
函数极值与数列结合，考察学生 的逻辑思维和推理能力。
3
单调性判定
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区 间单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间 单调递减。
单调性与极值
单调性与极值的关
高数二 3.1极值与最值
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
Hale Waihona Puke x0x(不是极值点情形)
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极
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高二数学函数的极值
1.32课题：函数的极值(1)
教学目的：
1.理解极大值、极小值的概念.
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
3.掌握求可导函数的极值的步骤
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
教学过程：
一、复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
；；；；；；；
2.法则1
法则2 ,法则33.复合函数的导数： (理科)
4. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x)
在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数
y=f(x) 在为这个区间内的减函数
5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数
f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
二、讲解新课：
1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数
f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对
x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数
f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值
与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数
的整个的定义域内最大或最小
（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而
（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足"左正右负"，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足"左负右正"，则是的极小值点，是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数
(2)求方程=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
三、讲解范例：
例1求y=x3－4x+的极值
解：y′=(x3－4x+)′=x2－4=(x+2)(x－2)
令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表-2(-2,2)2+0－0+极
大值极小值
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=
当x=2时，y有极小值且y极小值=－5
例2求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2
令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1(-1,0)0(0,1)1－0－0+0+无极值极小值0无极值
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
求极值的具体步骤：第一，求导数.第二，令=0求方程的根，第三，列表，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否
是极值点
四、课堂练习：
1．求下列函数的极值.
(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x
(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7
令y′=0，解得x=.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.－0+极小值
∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－
(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)
令y′=0，解得x1=－3，x2=3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表-3(-3,3)3+0－0+ 极大值54
极小值-54
∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54
当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54
五、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点
六、课后作业：。