河南省周口市扶沟县包屯高中2016届高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省扶沟县高级中学高三数学上学期开学考试试题 文
河南省扶沟县高级中学2016届高三数学上学期开学考试试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是 A ．1≤a B ．1<a C ．2≥a D ．2>a 2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ）A ．i 54 B ．54C ．i 4D ．43.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是 （ ）A.模型1（相关指数2R 为0.97） B.模型2（相关指数2R 为0.89） C.模型3（相关指数2R 为0.56 ） D.模型4（相关指数2R 为0.45） 4.ABC ∆的三个内角为A,B,C,若65tan sin 3cos cos 3sin π=-+AA A A ,则sinBsin C 的最大值为( ) A43 B 1 C 21D 2 5. 设z x y =+，其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大为6，则z 的最小值为( )A.3-B.2-C.1-D.0 6．设()00,M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是 ( )A.(2,)+∞B.(4,)+∞C.(0,2)D.(0,4) 7. 执行如图的程序框图，则输出S 的值为 ( ) A. 2016 B. 2 C.12D.8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+, 则53a a 的值为（ ） A.16 B. 13 C. 35 D. 569. 将奇函数()()sin 0,0,22f x A x A x ππωφω⎛⎫=+≠>-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( ) A.6 B.3 C.4 D.210.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （2）=0，当x ＞0时，有xf ′（x ）﹣f （x ）＞0恒成立，则不等式x 2•f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣2，2）B ． （﹣2，0）∪（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）11．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B. D. [3，+∞)12．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ∞（-，0）B. 12（0，）C. （0，1）D.+∞（0，）第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上)13．右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ____________14.已知向量a r 与b r 的夹角为6π，且3a b ⋅=r r ，则||a b -r r 的最小值为_________15.在ABC ∆中，AB=AC=2,BC=32,D 在BC 边上，,75︒=∠ADC 求AD 的长为____________16.在数列{}n a 中，已知111,(1)cos(1)nn n a a a n π+=+-=+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2015S = .三：解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17.（本小题满分12分）在ΔABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4－2cos 42BA -22-=. （1）求角C 的大小； （2）已知4sin sin =ABa ，ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.18. （本小题满分12分） 某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下． 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天）频数 频率[100,200) 10 0.05[200,300) 30 a[300,400) 700.35 [400,500) b0.15[500,600)60 c 合计2001（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值．19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA = PD ，60BAD ∠=︒，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ;（Ⅲ）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求CPCQ的值． 20．（本小题满分12分）已知A （-2，0），B （2，0）为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，△APB 面积的最大值为23. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线AP 的倾斜角为34π，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的 圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=ax+xlnx （a 为常数，e 为自然对数的底数），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=3x ﹣e ． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若k ∈Z ，且k ＜对任意x ＞1都成立，求k 的最大值．请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作 答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲． 如图，已知圆O 和圆M 相交于,A B 两点，AD 为圆M 的直径，直线BD 交圆O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别交圆O 、BD 于点,E F 连结CE ． （1）求证： GD CE EF AG •=•（2）求证：22GF EFAG CE =.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线:λt t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. (I)设λ与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；· · A BCDGE F O M(II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线λ的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba ah 2,,2max 22,求证：2≥h ．2015年高三数学试卷参考答案一、选择题CBACA, ABDAB, CB 二、填空题13，316π141- 15，26- 16，-1006 三、解答题17. 解析：（１）由条件得B A sin sin 4=2（212cos 2--BA ）2+ 即B A sin sin 4=)cos(2B A -2+=)sin sin cos (cos 2B A B A +2+ ……2分化简得 =+)cos(B A 22-, …4分 ∵π<+<B A 0 ∴ 43π=+B A 又π=++C B A ∴ C ＝4π…6分 （２）由已知及正弦定理得4=b ………8分 又 S ΔABC =8，C=4π∴ 128sin =C ab ， 得24=a ………10分由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得 4=c . …12分18．（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c ． ………… 4分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A ． 由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个， 所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A ． …………… 8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=． 所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为10． ……………… 12分 19. （Ⅰ） 证明：由E 是AD 的中点， PA =PD ，所以AD ⊥PE ； ………2分又底面ABCD 是菱形，∠BAD =60o所以AB =BD ，又因为E 是AD 的中点 ， 所以AD ⊥BE ，又PE ∩BE =E 所以AD ⊥平面PBE . ……………… 4分 （Ⅱ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连OQ ；因为O 是AC 的中点，Q 是PC 的中点，所以OQ //PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，所以PA //平面BDQ . ……………… 8分 （Ⅲ）解：设四棱锥P -BCDE ，Q -A BCD 的高分别为21,h h .所以113P BCDE BCDE V S h -=⋅， 213Q ABCD ABCD V S h -=⋅, 又因为ABCD Q BCDE P V V --=2，且底面积ABCD BCDE S S 43=，所以3821==h h CQ CP . ……… 12分 20. 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知1223,22a b a ⎧⋅⋅=⎪⎨⎪=⎩解得3b =. ………2分 故椭圆C 的方程为22143x y +=. ………4分（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可知，1c =，F (1, 0)，直线AP 的方程为2y x =--.则点D 坐标为(2, -4)，BD 中点E 的坐标为(2, -2)，圆的半径2r = ………6分由222143y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩得271640x x ++=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则0027127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩………8分因为点F 坐标为(1, 0)，直线PF 的斜率为43，直线PF 的方程为：4340x y --= 点E 到直线PF 的距离86425d +-==． ………10分所以d r =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ………12分 21．解：（1）求导数可得f ′（x ）=a+lnx+1，∵函数f （x ）=ax+xlnx 的图象在点x=e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3， ∴f ′（e ）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1， ∴f （x ）=x+xlnx ，f ′（x ）=lnx+2， 由f ′（x ）＞0得x ＞，由f ′（x ）＜0得0＜x ＜．∴f （x ）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（2）当x ＞1时，令g （x ）==，则g ′（x ）=，设h （x ）=x ﹣2﹣lnx ，则h ′（x ）=1﹣=＞0，h （x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵h （3）=1﹣ln3＜0，h （4）=2﹣ln4＞0， ∴∃x 0∈（3，4），且h （x 0）=0，当x ∈（1，x 0）时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，g （x ）在（1，x 0）上单调递减； 当x ∈（x 0，+∞）时，h （x ）＞0，g ′（x ）＞0，g （x ）在（x 0，+∞）上单调递增． ∴g （x ）min =g （x 0）=，∵h （x 0）=x 0﹣2﹣lnx 0=0， ∴x 0﹣1=1+lnx 0，g （x 0）=x 0，∴k ＜x 0∈（3，4），∴k 的最大值为3．22证明：（1）连结AB ，AC ，22.证明：（1）连结AB ，AC ，∵AD 为圆M 的直径，∴090ABD ∠=， ∴AC 为圆O 的直径, ∴CEF AGD ∠=∠,∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠,∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠，∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠, ∴CEF ∆∽AGD ∆，∴CE AGEF GD=，GD CE EF AG ⋅=⋅∴ （2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠,∴D G F ∆∽AGD ∆,∴2DG AG GF =g , 由（1）知2222EF GD CE AG=，∴ 22GF EF AG CE =． 23.解.（I ）λ的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y 解得λ与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B , 则1||=AB . ………………5分（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线λ的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.…………10分24.解：由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得所以{|01}.M x x =<<（I ）由M b a ∈,，得10,10<<<<b a ，所以(1)()(1)(1)0.ab a b a b +-+=-->故1.ab a b +>+………………5分（II ）由}2,,2max 22⎩⎨⎧+=b ab b a ah ，得,2a h ≥ab b a h 22+≥，b h 2≥， 所以8)(42222223≥+=⋅+⋅≥ab b a bab b a ah 故2≥h .………………10分。
2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
19． （12 分）某中学共有 1000 名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学 成绩如下表所示： 数学成绩分组 人数 [0，30） 60 [30，60） 90 [60，90） 300 [90，120） x [120，150] 160
（Ⅰ）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样 的方法抽取 100 名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分，求他被抽 中的概率； （Ⅱ） 已知本次数学成绩的优秀线为 110 分， 试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人 数； （Ⅲ）作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分． （同一组中的数据用该 组区间的中点值作代表）
2
2
）都在以原点为圆心，定值 r 为半径的圆上？若存在，求出 m、n、r 的值；若不存 在，说明理由． 21． （12 分）设函数 f（x）＝x +ax +bx（x＞0）的图象与 x 轴相切于 M（3，0） ． （1）求 f（x）的解析式； （2）是否存在两个不等正数 s，t（s＜t） ，当 x∈[s，t]时，函数 f（x）＝x +ax +bx 的值域也 是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数 s，t，若不存在，请说明理由． 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-1： 几何证明选讲]（共 1 小题，满分 10 分） 22． （10 分）如图，P 为圆外一点，PD 为圆的切线，切点为 D，AB 为圆的一条直径，过点 P 作 AB 的垂线交圆于 C、E 两点（C、D 两点在 AB 的同侧） ，垂足为 F，连接 AD 交 PE 于点 G． （1）证明：PC＝PD； （2）若 AC＝BD，求证：线段 AB 与 DE 互相平分．
2015-2016学年河南省周口市扶沟县包屯高中高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年河南省周口市扶沟县包屯高中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={0, a, a2}，且1∈A，则a=()A.−1B.1C.±1D.02. 直线x+√3y−a=0的倾斜角为（）A.60∘B.30∘C.150∘D.120∘3. 直线在平面外是指（）A.直线与平面相交B.直线与平面没有公共点C.直线与平面最多只有一个公共点D.直线与平面平行4. 下列函数中，既是奇函数，又在(−∞, 0)上单调递增的是（）A.y=x2B.y=x−1C.y=x3D.y=x−1 25. 若直线ax+2y+a−1=0与直线2x+3y−4=0垂直，则a的值为（）A.−3B.3C.43D.−436. 一个直角三角形绕斜边旋转360∘形成的空间几何体为()A.一个圆锥和一个圆柱B.一个圆锥C.一个圆锥和一个圆台D.两个圆锥7. 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.6πa2B.3πa2C.12πa2D.24πa28. 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A.若l⊥α，l // m，则m⊥αB.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC.若l // α，m⊂α，则l // mD.若l // α，m // α，则l // m 9. 已知直线l在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为−2，则l的方程为（）A.2x−3y+6=0B.3x−2y−6=0C.3x−2y+6=0D.2x−3y−6=010. 函数f(x)={ln x−x2+2x(x>0)2x+1(x≤0)的零点个数为（）A.1B.0C.3D.211. 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A.√155B.2√155C.2D.112. 已知f(x)=a x，g(x)=log a|x|(a>0，且a≠1)，若f(2014)⋅g(−2014)<0，则y=f(x)与y=g(x)在同一坐标系内的大致图形是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分函数y=log a(x+1)+2(a>0且a≠1)恒过定点A，则A的坐标为________．设g(x)={e x, x≤0,ln x, x>0,则g（g(12)）________．方程x2+y2−x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是________．已知长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的体对角线的长为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（1）计算：0.008−13+8112+log√2√116；（2）解方程：lg x⋅lg x100=3．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积和体积．现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系依次是：其中P与x平方根成正比，且当x为4（万元）时P为1（万元），又Q与x成正比，当x为4（万元）时Q也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资．(1)分别求出P，Q与x的函数关系式；(2)请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB=1，AD=2，AA1=√2．（1）证明：DE⊥平面A1AE；（2）求点A到平面A1ED的距离．二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x，且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[t, t+2]上，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的范围．已知圆C过点M(0, −2)，N(3, 1)，且圆心C在直线x+2y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2015-2016学年河南省周口市扶沟县包屯高中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函较绕肠由的判断与证明函数奇三性的判刺【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】直线的较般式划程皮直校的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】旋转验（圆柱立圆锥碳藏台）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】两条直根平行的惯定空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】各体线白程五本间的转化直线的三般式方疫直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】根的验河性及洗的个会判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】旋转验（圆柱立圆锥碳藏台）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数表图层变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二元使碳笔程群示圆的条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱柱三实构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】由三视于求表械积由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义函数于析式偏速站及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】点于虫、练板的距离计算直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题函数于析式偏速站及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷理科
2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R ，集合A={x |﹣1≤x ≤1}，B={x |x 2﹣2x ≤0}，则（∁U A ）∩B=（ ） A ．[﹣1，0] B ．[﹣1，2] C ．（1，2] D ．（﹣∞，1]∪[2，+∞） 2．设复数z=1+i （i 是虚数单位），则|+z |=（ ） A ．2 B ． C ．3 D ．23．不等式|2x ﹣1|＞x +2的解集是（ ） A ．（﹣，3） B ．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞） D ．（﹣3，+∞）4．若函数f （x ）=2sin （ωx +θ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （）=（ ）A ．2或0B ．﹣2或2C ．0D ．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x 的值可能为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．56．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 2﹣=1B ．﹣y 2=1C ．﹣y 2=1D ．x 2﹣=17．用a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ②若a ∥b ，a ∥c ，则b ∥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ． 其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④8．设点M （x ，y ）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O 为坐标原点，则|OM |≤2的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17=170，则a 7+a 9+a 11的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．25 D ．3010．已知△ABC 三边长构成公差为d （d ≠0）的等差数列，则△ABC 最大内角α的取值范围为（ ） A ．＜α≤B ．＜α＜πC ．≤α＜πD ．＜α≤11．已知f （x ）=在x=0处取得最小值，则a 的最大值是（ ）A ．4B ．1C ．3D ．2 12．若对∀x ，y ∈[0，+∞），不等式4ax ≤e x+y ﹣2+e x ﹣y ﹣2+2恒成立，则实数a 的最大值是（ ） A ．B ．1C ．2D ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13．命题“对任意x ≤0，都有x 2＜0”的否定为_______．14．若（ax 2+）6的展开式中x 3项的系数为20，则ab 的值为_______．15．设函数f （x ）=lnx 的定义域为（M ，+∞），且M ＞0，对于任意a ，b ，c ∈（M ，+∞），若a ，b ，c 是直角三角形的三条边长，且f （a ），f （b ），f （c ）也能成为三角形的三条边长，那么M 的最小值为_______． 16．已知||=1，||=， =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设=m +n（m 、n ∈R ），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n }的公差为d （d ＜0），a i ∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n }中，b 1=1，点B n （n ，b n ）在函数g （x ）=a •2x （a 是常数）的图象上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）若c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高Eξ．．已知动点到直线的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P 为圆外一点，PD 为圆的切线，切点为D ，AB 为圆的一条直径，过点P 作AB 的垂线交圆于C 、E 两点（C 、D 两点在AB 的同侧），垂足为F ，连接AD 交PE 于点G ． （1）证明：PC=PD ；（2）若AC=BD ，求证：线段AB 与DE 互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy 的原点和极坐标系Ox 的极点重合，x 轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为，（φ为参数）． （1）在极坐标系下，若曲线C 与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A ，B 两点，求△AOB的面积；（2）给出直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ=2，求曲线C 与直线l 在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f （x ）=|1﹣3x |+3+ax ． （1）若a=﹣1，解不等式f （x ）≤5；（2）若函数f （x ）有最小值，求实数a 的取值范围．2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R ，集合A={x |﹣1≤x ≤1}，B={x |x 2﹣2x ≤0}，则（∁U A ）∩B=（ ） A ．[﹣1，0] B ．[﹣1，2] C ．（1，2] D ．（﹣∞，1]∪[2，+∞） 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B ，求出A 的补集，再计算（∁U A ）∩B ． 【解答】解：全集U=R ，集合A={x |﹣1≤x ≤1}， B={x |x 2﹣2x ≤0}={x |0≤x ≤2}， ∴∁U A={x |x ＜﹣1或x ＞1}，∴（∁U A ）∩B={x |1＜x ≤2}=（1，2]． 故选：C ．2．设复数z=1+i （i 是虚数单位），则|+z |=（ ） A ．2B ．C ．3D ．2【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】先求出+z ，再求出其模即可． 【解答】解：∵z=1+i ， ∴+z=+1+i===1﹣i +1+i=2，故|+z |=2，故选：A ．3．不等式|2x ﹣1|＞x +2的解集是（ ） A ．（﹣，3） B ．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞） D ．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x +2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x |＞a 等价于x ＞a 或x ＜﹣a ，最后求并集即可． 【解答】解：当x +2＞0时，不等式可化为2x ﹣1＞x +2或2x ﹣1＜﹣（x +2）， ∴x ＞3或2x ﹣1＜﹣x ﹣2，∴x ＞3或﹣2＜x ＜﹣，当x +2≤0时，即x ≤﹣2，显然成立， 故x 的范围为x ＞3或x ＜﹣ 故选：B ．4．若函数f （x ）=2sin （ωx +θ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （）=（ ）A ．2或0B ．﹣2或2C ．0D ．﹣2或0【考点】正弦函数的图象． 【分析】由f （+x ）=f （﹣x ），可得x=是函数f （x ）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f （x ）=2sin （ωx +θ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），∴x=是函数f （x ）的对称轴，即此时函数f （x ）取得最值，即f （）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x 的值可能为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=， ∴sin （）=∴=2k π+，k ∈Z ，即可解得x=12k +1，k ∈Z ．∴当k=0时，有x=1． 故选：C ．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 2﹣=1B ．﹣y 2=1C ．﹣y 2=1D ．x 2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c ﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a ，b ，c 的关系，可得a ，进而得到所求双曲线的方程． 【解答】解：双曲线的一个顶点（a ，0）到较近焦点（c ，0）的距离为1， 可得c ﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x ，则焦点（c ，0）到渐近线的距离为d==b=，又c 2﹣a 2=b 2=3， 解得a=1，c=2， 即有双曲线的方程为x 2﹣=1．故选：A ．7．用a ，b ，c 表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ②若a ∥b ，a ∥c ，则b ∥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ．其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析． 【解答】解：因为空间中，用a ，b ，c 表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a ⊥c ，所以①错误； ②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误； ④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确； 故选：D ．8．设点M （x ，y ）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O 为坐标原点，则|OM |≤2的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】若x ，y ∈R ，则区域W 的面积是2×2=4．满足|OM |≤2的点M 构成的区域为{（x ，y ）|﹣1≤x ≤1，0≤y ≤2，x 2+y 2≤4}，求出面积，即可求出概率． 【解答】解：这是一个几何概率模型． 若x ，y ∈R ，则区域W 的面积是2×2=4．满足|OM |≤2的点M 构成的区域为{（x ，y ）|﹣1≤x ≤1，0≤y ≤2， x 2+y 2≤4}， 面积为2[﹣（﹣）]=+，故|OM |≤2的概率为．故选：D ．9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17=170，则a 7+a 9+a 11的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．25 D ．30 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质可得a 7+a 9+a 11=3a 9，而s 17=17a 9，故本题可解． 【解答】解：∵a 1+a 17=2a 9， ∴s 17==17a 9=170，∴a 9=10，∴a 7+a 9+a 11=3a 9=30； 故选D ．10．已知△ABC 三边长构成公差为d （d ≠0）的等差数列，则△ABC 最大内角α的取值范围为（ ） A ．＜α≤B ．＜α＜πC ．≤α＜πD ．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d ，a ，a +d ，（a ＞0，d ＞0），利用余弦定理可得cos α=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的范围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC 最大内角， ∴3α＞π， 即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a ﹣d ，a ，a +d ，（a ＞0，d ＞0）， 则由余弦定理可得，cos α===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a ﹣d +a ＞a +d ，可得a ＞2d ，即，∴cos α=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π）， 可得：α∈（，π）．故选：B ．11．已知f （x ）=在x=0处取得最小值，则a 的最大值是（ ）A ．4B ．1C ．3D ．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据分段函数，分别讨论x 的范围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a 2＜a +2，求解即可．【解答】解：∵f （x ）=，当x ≤0时，f （x ）的最小值为a 2， 当x ＞0时，f （x ）的最小值为2+a ， ∵在x=0处取得最小值， ∴a 2＜a +2， ∴﹣1≤a ≤2， 故选D ． 12．若对∀x ，y ∈[0，+∞），不等式4ax ≤e x+y ﹣2+e x ﹣y ﹣2+2恒成立，则实数a 的最大值是（ ） A ．B ．1C ．2D ．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式和参数分离可得a ≤在x ＞0时恒成立，构造函数g （x ）=，通过求导判断单调性求得g （x ）的最小值即可得到a 的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y ﹣2+e ﹣y ﹣2+2，显然成立； 当x ＞0时，设f （x ）=e x+y ﹣2+e x ﹣y ﹣2+2， 不等式4ax ≤e x+y ﹣2+e x ﹣y ﹣2+2恒成立， 即为不等式4ax ≤f （x ）恒成立． 即有f （x ）=e x ﹣2（e y +e ﹣y ）+2≥e x ﹣2•2+2=2+2e x ﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax ≤2+2e x ﹣2， 即有a ≤在x ＞0时恒成立，令g （x ）=，g ′（x ）=，令g ′（x ）=0，即有（x ﹣1）e x ﹣2=1，令h （x ）=（x ﹣1）e x ﹣2，h ′（x ）=xe x ﹣2， 当x ＞0时h （x ）递增，由于h （2）=1，即有（x ﹣1）e x ﹣2=1的根为2，当x ＞2时，g （x ）递增，0＜x ＜2时，g （x ）递减， 即有x=2时，g （x ）取得最小值，为，则有a ≤．当x=2，y=0时，a 取得最大值．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13．命题“对任意x ≤0，都有x 2＜0”的否定为 存在x 0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x ≤0，都有x 2＜0”的否定为：存在x 0≤0，都有； 故答案为：存在x 0≤0，都有；14．若（ax 2+）6的展开式中x 3项的系数为20，则ab 的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x 3项的系数为20，得到ab 的值． 【解答】解：（ax 2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a 6﹣r •b r •x 12﹣3r ，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax 2+）6的展开式中x 3项的系数为•a 3•b 3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f （x ）=lnx 的定义域为（M ，+∞），且M ＞0，对于任意a ，b ，c ∈（M ，+∞），若a ，b ，c 是直角三角形的三条边长，且f （a ），f （b ），f （c ）也能成为三角形的三条边长，那么M 的最小值为 ．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c 为斜边，则M ＜a ＜c ，M ＜b ＜c ，则可得ab ＞M 2，结合题意可得，结合a 2+b 2≥2ab 可求c 的范围，进而可求M 的范围，即可求解【解答】解：不妨设c 为斜边，则M ＜a ＜c ，M ＜b ＜c ∴ab ＞M 2 由题意可得，∴∵a 2+b 2≥2ab ＞2c ∴c 2＞2c 即c ＞2 ∴ab ＞2 ∴M 2≥2∴故答案为：16．已知||=1，||=，=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设=m+n（m 、n ∈R ），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点． 【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC |×1×cos30°==1×，所以可得：在x 轴方向上的分量为在y 轴方向上的分量为，又根据=m +n =n +m ，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥== =|OC |×1×cos30°==1×∴在x 轴方向上的分量为在y 轴方向上的分量为∵=m +n =n +m∴，两式相比可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n }的公差为d （d ＜0），a i ∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n }中，b 1=1，点B n （n ，b n ）在函数g （x ）=a •2x （a 是常数）的图象上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）若c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（I ）等差数列{a n }的公差为d （d ＜0），a i ∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a 1=5，a 2=3，a 3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n （n ，b n ）在函数g （x ）=a •2x （a 是常数）的图象上，可得b n =a •2n ．利用b 1=1，解得a ，即可得出．（II ）c n =a n •b n =（7﹣2n ）•2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（I ）等差数列{a n }的公差为d （d ＜0），a i ∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a 1=5，a 2=3，a 3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n =5﹣2（n ﹣1）=7﹣2n ．∵点B n （n ，b n ）在函数g （x ）=a •2x （a 是常数）的图象上，∴b n =a •2n ． ∵b 1=1，∴1=a ×21，解得a=．∴b n =2n ﹣1．（II ）c n =a n •b n =（7﹣2n ）•2n ﹣1．∴数列{c n }的前n 项和S n =5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n ）•2n ﹣1． ∴2S n =5×2+3×22+…+（9﹣2n ）•2n ﹣1+（7﹣2n ）•2n ， ∴﹣S n =5﹣2（2+22+…+2n ﹣1）﹣（7﹣2n ）•2n =5﹣﹣（7﹣2n ）•2n =9﹣（9﹣2n ）•2n ，∴S n =（9﹣2n ）•2n ﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱BB 1、CC 1上，且BE=BB 1，C 1F=CC 1． （1）求平面AEF 与平面ABC 所成角α的余弦值； （2）若G 为BC 的中点，A 1G 与平面AEF 交于H ，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征． 【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可． （2）利用四点共面， =x +y ，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱BB 1、CC 1上，且BE=BB 1，C 1F=CC 1．∴建立以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： 则A （0，0，0），A 1（0，0，6），B （2，0，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4）， 设平面AEF 的法向量为=（x ，y ，z ） 则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2， 即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC 的法向量为=（0，0，1）， 则cos ＜，＞===即平面AEF 与平面ABC 所成角α的余弦值是；（2）若G 为BC 的中点，A 1G 与平面AEF 交于H ， 则G （1，1，0）， ∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ）， =+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A ，E ，F ，H 四点共面， ∴设=x +y ，即（λ，λ，6﹣6λ）=x （2，0，2）+y （0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分． （1）求x ；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高80ξξE ξ．极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得； （2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A ，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B （3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A ，则， 随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B （3，），，其k=0、1、2、3．20．已知动点P 到直线x=2的距离等于P 到圆x 2﹣7x +y 2+4=0的切线长，设点P 的轨迹为曲线E ；（1）求曲线E 的方程；（2）是否存在一点Q （m ，n ），过点Q 任作一直线与轨迹E 交于M 、N 两点，点 （，）都在以原点为圆心，定值r 为半径的圆上？若存在，求出m 、n 、r 的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设P （x ，y ），由题意可得，整理可得切线E的方程（2）过点Q 任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E 的方程y 2=3x ，得（n +tsin α）2=3（m +tcos α），sin 2αt 2+（2nsin α﹣3cos α）t +n 2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P （x ，y ），圆方程x 2﹣7x +y 2+4=0化为标准式：则有∴（x ﹣2）2=x 2﹣7x +y 2+4，整理可得y 2=3x ∴曲线E 的方程为y 2=3x ．（2）过点Q 任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E 的方程y 2=3x ，得（n +tsin α）2=3（m +tcos α），sin 2αt 2+（2nsin α﹣3cos α）t +n 2﹣3m=0 由韦达定理得，，==═令﹣12n 与2n 2+6m ﹣9同时为0 得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a ，b ∈R ），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f （x ）是奇函数，求f （x ）的极值点；（Ⅱ）若a ≠0，求函数f （x ）的单调递增区间； （Ⅲ）当时，求函数g （x ）在[0，a ]上的最小值h （a ），并探索：是否存在满足条件的实数a ，使得对任意的x ∈R ，f （x ）＞h （a ）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（I ）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b 的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II ）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a 值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g （x ）在[0，a ]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h （a ），再利用奇函数性质及基本不等式求出f （x ）的最小值，对任意的x ∈R ，f （x ）＞h （a ）恒成立， 等价于f （x ）min ＞h （a ），在上只要找到一a 值满足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f （x ）是奇函数，∴对x ∈R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）成立， 得，∴，∴，得，令f'（x ）=0，得x 2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f （x ）的极值点． （Ⅱ）因为，∴，令f'（x ）＞0⇒﹣ax 2﹣2bx +a ＞0，得ax 2+2bx ﹣a ＜0，①当a ＞0时，方程ax 2+2bx ﹣a=0的判别式△=4b 2+4a 2＞0，两根，单调递增区间为，②当a ＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ） 因为，当x ∈[0，a ]时，令g'（x ）=0，得，其中．x g'x g x又g （0）=0，，∴h （a ）=g （a ），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x ＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f （0）=0；当x ＜0时，，∴函数f （x ）的最小值为，要使对任意x ∈R ，f （x ）＞h （a ）恒成立，则f （x ）最小＞h （a ）， ∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x ∈R ，f （x ）＞h （a ）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P 为圆外一点，PD 为圆的切线，切点为D ，AB 为圆的一条直径，过点P 作AB 的垂线交圆于C 、E 两点（C 、D 两点在AB 的同侧），垂足为F ，连接AD 交PE 于点G ． （1）证明：PC=PD ；（2）若AC=BD ，求证：线段AB 与DE 互相平分．【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）利用PD 为圆的切线，切点为D ，AB 为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG ，即可证明PC=PD ；（2）若AC=BD ，证明DE 为圆的一条直径，即可证明线段AB 与DE 互相平分． 【解答】证明：（1）∵PD 为圆的切线，切点为D ，AB 为圆的一条直径， ∴∠PDA=∠DBA ，∠BDA=90°， ∴∠DBA +∠DAB=90°， ∵PE ⊥AB∴在Rt △AFG 中，∠FGA +∠GAF=90°， ∴∠FGA +∠DAB=90°， ∴∠FGA=∠DBA ． ∵∠FGA=∠DGP ， ∴∠DGP=∠PDA ， ∴∠DGP=∠PDG ， ∴PG=PD ；（2）连接AE ，则∵CE ⊥AB ，AB 为圆的一条直径， ∴AE=AC=BD ， ∴∠EDA=∠DAB ， ∵∠DEA=∠DBA ， ∴△BDA ≌△EAD ， ∴DE=AB ，∴DE 为圆的一条直径，∴线段AB 与DE 互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy 的原点和极坐标系Ox 的极点重合，x 轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为，（φ为参数）． （1）在极坐标系下，若曲线C 与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A ，B 两点，求△AOB的面积；（2）给出直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ=2，求曲线C 与直线l 在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）曲线C 的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA |，|OB |，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB 的面积．（2）将l 的极坐标方程化为直角坐标方程得x ﹣y ﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为， 分别代入和，得， ∵，故△AOB 的面积．（2）将l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得x ﹣y ﹣2=0，高考帮——帮你实现大学梦想！21 / 21联立方程，解得x=2，y=0，或， ∴曲线C 与直线l 的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f （x ）=|1﹣3x |+3+ax ．（1）若a=﹣1，解不等式f （x ）≤5；（2）若函数f （x ）有最小值，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f （x ）≤5，即为|3x ﹣1|≤x +2，去掉绝对值解不等式f （x ）≤5；（2）分析知函数f （x ）有最小值的充要条件为，即可求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f （x ）=|3x ﹣1|+3﹣x ，所以不等式f （x ）≤5，即为|3x ﹣1|≤x +2，讨论：当时，3x ﹣1﹣x +3≤5，解之得； 当时，﹣3x +1﹣x +3≤5，解之得， 综上，原不等式的解集为… （2），分析知函数f （x ）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a ≤3…。
河南省扶沟县包屯高级中学高三数学上学期第二次段考(期中)试题 理(扫描版)
参考答案1.A2.D3.B4.D5.C6.D 7A 8.D 9A 10.A 11.D 12.D13.1 14. 24 15. 16.(1,2 -∞-)17.(Ⅰ)（3分）由题意知,,.（4分）由,解得:, 的单调增区间为.（6分）(Ⅱ)由题意,若的图像向左平移个单位,得到,再纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到,（8分）,,函数的值域为.（10分）18.解:(Ⅰ)由已知得2cos B＝－，(2分）由于△ABC为斜三角形，∴cos B≠0，∴sin2A＝1.（4分）∵A∈(0，π)，∴2A＝，∴A＝.（6分）(Ⅱ)∵A＝，由(1)知，即,（9分）∴tan C>1，∵0<C<，∴<C<. （12分）19解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{}n a的首项为1a，公差为d，0na>，则2111124(2)772163a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⎪+=⎩………………2分 得132a d =⎧⎨=⎩………………………4分 3(1)221n a n n ∴=+-⨯=+. …………………6分法二：{}n a Q 是等差数列且215327a a a +=，233227a a ∴=，又30,7.n a a >∴=Q …………………2分17747()7632a a S a +===Q ，49a ∴=， ………………3分 432d a a ∴=-=, …………………………4分 3(3)21n a a n d n ∴=+-=+. ……………………6分（Ⅱ）11n n n b b a ++-=Q ，且21n a n =+，123n n b b n +∴-=+.当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L(21)(21)53(2)n n n n =++-+++=+L ，………8分当1n =时，13b =满足上式，(2)n b n n =+. ……………9分11111()(2)22n b n n n n ∴==-++. …………………10分 1211111n n nT b b b b -∴=++++L 1111111111[(1)()()()()]232435112n n n n =-+-+-+-+--++L 11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++.……………12分 20..(1)当时,.即（2分）∴=又∵0∴∴数列为等差数列（5分）(2)由(1)可求得. （7分）进而求得（9分）再裂项求和得（12分）21.（1）ax ax ax x f cos sin cos 3)(2-==)32sin(23π--ax ………………3分 由题意，函数)(x f 的周期为π，且最大（或最小）值为m ，而0>m ,0123<- 所以，,1=a 123+=m ………… ……………………6分 （2）∵（)232，A 是函数)(x f 图象的一个对称中心 ∴0)3sin(=-πA 又因为A 为⊿ABC 的内角，所以3π=A ………… ……………………9分⊿ABC 中， 则由正弦定理得：3383sin4sin sin sin ====πAc c B b a， []4)6sin(84)3sin(sin 3384sin sin 3384++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=++=++∴ππB B B C B c b a c b320π<<B Θ ∴b+c+a ]12,8(∈ ………… ……………………12分22.解：(1)，，切线过点，（2分）（3分)① 当时，单调递增，单调递减;② 当时，单调递减，单调递增.（5分）(2)等价方程在只有一个根,即在只有一个根,(6分）令，等价于在与轴只有唯一的交点,；（7分）①当时，在递减，递增,当时，，要函数在与轴只有唯一的交点,或，或;（9分）②当时，在递增，递减，递增，当时，，, 在与轴只有唯一的交点;（11分）③当，在递增, ,,在与轴只有唯一的交点.故的取值范围是或或.(12分）。
2015-2016学年河南省周口市扶沟高中高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省周口市扶沟高中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合A＝{x|x＞3}，集合，则A∩B＝（）A．∅B．（3，4）C．（﹣2，1）D．[4，+∞）2．（5分）若z（1+i）＝i（其中i为虚数单位），则|z|等于（）A．B．C．1D．3．（5分）若命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＜x，则下列说法正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧（￢q）是真命题C．命题p∧q是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题4．（5分）已知x、y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x+1，则m的值（精确到0.1）为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.85．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，则公比q＝（）A．3B．4C．5D．66．（5分）P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝（）A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A．30B．12C．24D．48．（5分）设函数y＝x sin x+cos x的图象上的点（x，y）处的切线的斜率为k＝g（x），则函数k＝g（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14B．15C．16D．1710．（5分）△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2] 11．（5分）如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为．14．（5分）在的展开式中的x3的系数为．15．（5分）已知a＝（e x+2x）dx（e为自然对数的底数），函数f（x）＝，则f（a）+f（log2）＝．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c是其三个内角A，B，C的对边，且a≥b，sin2A+cos2A＝2sin2B（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）设c＝，求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）第117届中国进出口商品交易会（简称2015年春季交广会）将于2015年4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm 以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝CD＝2，点M在线段EC上．（Ⅰ）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．20．（12分）椭圆+＝1（b＞0）的焦点在x轴上，其右顶点（a，0）关于直线x﹣y+4＝0的对称点在直线x＝﹣上（c为半焦距长）．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线x＝﹣于点C．设O为坐标原点，且+＝2，求△OAB的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝x•lnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数a＞，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）若k为正整数，且f（x）＞（k﹣1）x﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD＝AC，AE＝AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b∈R，a+b＝1，x1•x2∈R．（1）求++的最小值；（2）求证：（ax1+bx2）（ax2+bx1）＞x1x2．2015-2016学年河南省周口市扶沟高中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由集合B中的不等式变形得：＜0，即（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，即B＝（1，4），又A＝（3，+∞），则A∩B＝（3，4）．故选：B．2．【解答】解：∵z（1+i）＝i，∴z＝＝＝﹣，∴|z|＝＝，故选：A．3．【解答】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；故选：B．4．【解答】解：将代入回归方程为可得，则4m＝6.7，解得m＝1.675，即精确到0.1后m的值为1.7．故选：C．5．【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，两式相减得3a3＝a4﹣a3，a4＝4a3，∴公比q＝4．故选：B．6．【解答】解：双曲线的a＝4，b＝2，c＝6，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝9，可得|PF2|＝1或17，若|PF2|＝1，则P在右支上，应有|PF2|≥c﹣a＝2，不成立；若|PF2|＝17，则P在左支上，应有|PF2|≥c+a＝10，成立．故选：B．7．【解答】解：由三视图知，几何体是某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体，几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为6的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为：＝30．故选：A．8．【解答】解：∵y＝x sin x+cos x∴y′＝（x sin x）′+（cos x）′＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x∵g（x）为该函数在点P处切线的斜率∴g（x）＝x cos x∵g（﹣x）＝﹣x cos（﹣x）＝﹣x cos x＝﹣g（x）∴函数y＝g（x）是奇函数，图象关于原点对称再根据当0＜x＜时，x与cos x均为正值可得：0＜x＜时，f（x）＞0，因此符合题意的图象只有A故选：A．9．【解答】解：第一次循环：，n＝2；第二次循环：，n＝3；第三次循环：，n＝4；…第n次循环：＝，n＝n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1＝16故选：C．10．【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设＝+（0≤λ≤1）．∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，∴＝2×1×cos120°＝﹣1．∴•＝[+]•＝﹣+＝﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ＝﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．11．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴＝求得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x．故选：D．12．【解答】解：根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y＝x2+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝（x≥0）交点个数即可．如图所示：当x＝1时，0＜＜1观察图象可得：它们有2个交点．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．【解答】由约束条件作出可行域如图，化z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3×2+0＝6．故答案为：6．14．【解答】解：在的7个因式（1﹣x2+）的乘积，在这7个因式中，有2个取﹣x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取﹣x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为••2•﹣••23＝210﹣1120＝﹣910，展开式中的x3的系数为﹣910．故答案为：910．15．【解答】解：∵（e x+x2）′＝e x+2x，∴a＝（e x+2x）dx＝（e x+x2）＝﹣e1+1﹣e0＝e，又由函数f（x）＝，则f（e）＝lne＝1，，故f（a）+f（log2）＝7．故答案为：7．16．【解答】解：当n＝1时，，得a1＝4；当n≥2时，，两式相减得，得，∴．又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．∵a n＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，等价于5﹣λ．记，n≥2时，．∴n≥3时，，．∴5﹣λ，即，∴整数λ的最大值为4．三、解答题：（本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）∵sin2A+cos2A＝2sin2B，∴2（sin2A+cos2A）＝2sin2B，∴2sin（2A+）＝2sin2B，∴sin（2A+）＝sin2B，∴2A+＝2B或2A+＝π﹣2B，由a≥b，知A≥B，所以2A+＝2B不可能成立，所以2A+＝π﹣2B，即A+B＝，所以C＝＝…6分（Ⅱ）由（Ⅰ），C＝，所以sin C＝，S＝，cos C＝⇒﹣⇒﹣ab＝a2+b2﹣3⇒3﹣ab＝a2+b2≥2ab⇒ab≤1，即△ABC的面积S的最大值为…12分18．【解答】解：（1）根据茎叶图，得：男志愿者的平均身高为：≈176.1（cm），女志愿都身高的中位数为：＝168.5（cm）．（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝＝．19．【解答】（I）证明：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又是平面ADEF的一个法向量．∵，∴∴BM∥平面ADEF﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）解：设M（x，y，z），则，又，设，则x＝0，y＝4λ，z＝2﹣2λ，即M（0，4λ，2﹣2λ）．（6分）设是平面BDM的一个法向量，则取x1＝1得即又由题设，是平面ABF的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴|cos＜，|＝＝，∴λ＝﹣﹣（10分）即点M为EC中点，此时，S△DEM＝2，AD为三棱锥B﹣DEM的高，∴V M﹣BDE＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．【解答】解：（1）椭圆的右顶点为（2，0），设（2，0）关于直线x﹣y+4＝的对称点为（x0，y0），则…（4分）解得x0＝﹣4，∴＝，∴c＝1，∴b＝＝，∴所求椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣4，y3）椭圆的左焦点F的直线l的方程为y＝k（x+1），代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0∴x1+x2＝﹣①，x1x2＝②．∵+＝2，∴（x1，y1）+（﹣4，y3）＝2（x2，y2）∴2x2﹣x1＝﹣4③．由①③得：x2＝﹣，x1＝，代入②整理得：4k4﹣k2﹣5＝0．∴k2＝，∴x2＝﹣，x1＝．由于对称性，只需求k＝时，△OAB的面积，此时，y1＝，y2＝﹣，∴△OAB的面积为|OF||y1﹣y2|＝…（12分）21．【解答】解：（1）∵f（x）＝x•lnx，∴x＞0，f′（x）＝lnx+1，∵f（e）＝e，f′（e）＝2，∴y＝f（x）在（e，f（e））处的切线方程为：y＝2（x﹣e）+e，即y＝2x﹣e．（2）∵f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＝0，得x＝，当x∈（0，）时，F′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（）时，F′（x）＞0，f（x）单调递增，当a≥时，f（x）在[a，2a]单调递增，[f（x）]min＝f（a）＝alna，当时，a＜，[f（x）]min＝f（）＝﹣．（3）记h（x）＝f（x）﹣（k﹣1）x+k＝xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1，则h′（x）＝lnx+2﹣k，x＞1，当k≤2且k∈Z时，h（x）在x∈（1，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（1）＝1＞0，符合．当k＝3时，由f（x）＞（k﹣1）x﹣k，得x•lnx﹣2x+3＞0对任意x＞1恒成立，设F（x）＝x•lnx﹣2x+3，则F′（x）＝lnx﹣1，由F′（x）＝0，得x＝e，当x∈（0，e）时，F′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0，∴F（x）＞F（e）＞0，符合．当k≥4且k∈Z时，h（x）在x∈（1，e k﹣2）上为减函数，在x∈[e k﹣2，+∞）上为增函数，∵k≥4，∴k﹣2≥2，∴2∈（1，e k﹣2]，∴h（2）＝2ln2+2﹣k＜2+2﹣k≤0，不符合．综上，k≤3且k∈Z，∴k的最大值是3．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE＝AB，∴BE＝AB，∵在正△ABC中，AD＝AC，∴AD＝BE，又∵AB＝BC，∠BAD＝∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADF+∠AEF＝π，所以A，E，F，D四点共圆．…（5分）（Ⅱ）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG＝GE＝AE，∵AE＝AB，∴AG＝GE＝AB＝，∵AD＝AC＝，∠DAE＝60°，∴△AGD为正三角形，∴GD＝AG＝AD＝，即GA＝GE＝GD＝，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…（10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】23．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2＝2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2＝2ax得到：，所以：，t 1t2＝32+8a，①则：|PM|＝t1，|PN|＝t2，|MN|＝|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a＝1．【选修4-5：不等式选讲】24．【解答】（1）解：∵a，b∈R，a+b＝1，x1，x2∈R，∴++≥3＝3≥3＝6，当且仅当a＝b＝0.5，x1＝x2＝1时，++的最小值为6；（2）证明：（ax1+bx2）（ax2+bx1）＝（a2+b2）x1x2+ab（x12+x22）≥（a2+b2）x1x2+2abx1x2＝（a+b）2x1x2≥x1x2．。
河南省扶沟县包屯高级中学高三数学上学期第一次段考试
包屯高中2015-2016学年上期第一次段考高三数学（理科）一、选择题1、已知全集U R =，集合22{|0log 2},{|2}A x x B y y x =<<==+，则U A C B =IA ．()1,2B ．(1,4)C ．[2,4)D ．()0,22、已知0.40.420.4, 1.2,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b << 3、121x dx -=⎰A ．13 B ．12 C ．23 D ．344、命题200:,1p x N x ∃∈<，则p ⌝是A ．200,1x N x ∃∈≥B ．200,1x N x ∃∈>C ．2,1x N x ∀∈> D ．2,1x N x ∀∈≥5、函数()27log f x x x=-的零点包含于区间 A ．()1,2 B ．(2,3) C ．(3,4) D ．()4,+∞6、曲线()212x f x e x +=+在点11(,())22f --处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A ．1B ．12 C ．2 D ．147、函数()210210x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩，若矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，B 、C 在函数()y f x =的图象上，且(1,0)A ，则点D 的坐标为A ．()2,0- B．(1-- C ．(1,0)- D ．1(,0)2- 8、已知二次函数()2f x ax bx c =++，若()()()067f f f =<，则()f x 在A ．(),0-∞上是增函数B ．()0,+∞上是增函数C ．(),3-∞上是增函数 D ．()3,+∞上是增函数9、已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，若()f x 的极大值为()1f ，极小值为(1)f -，则函数()(1)y x f x '=-的图象有可能是10、已知,x y R ∈，命题:p 若x y >，则22x y >；命题:q 若0x y +>，则22x y >，在命题（1）p q ∨；（2）()()p q ⌝∧⌝；（ 3）()p q ∧⌝；（4）p q ∧中，真命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．411、函数(0,1)x y a a a a =->≠的定义域和值域都是[]0,1,则 548log log 65aa += A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．（1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．（5分）设复数z＝1+i（i是虚数单位），则|+z|＝（）A．2B．C．3D．23．（5分）不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．（5分）若函数f（x）＝2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）＝f（﹣x），则f（）＝（）A．2或0B．﹣2或2C．0D．﹣2或05．（5分）一算法的程序框图如图，若输出的y＝，则输入的x的值可能为（）A．﹣1B．0C．1D．56．（5分）已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．x2﹣＝17．（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④8．（5分）设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝170，则a7+a9+a11的值为（）A．10B．20C．25D．3010．（5分）已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．（5分）已知f（x）＝在x＝0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4B．1C．3D．212．（5分）若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1C．2D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为．14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为．15．（5分）设函数f（x）＝lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．16．（5分）已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i＝1，2，3），则数列{b n}中，b1＝1，点B n（n，b n）在函数g（x）＝a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝BB1，C1F＝CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设＝，求λ的值．19．（12分）甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20．（12分）已知动点P到直线x＝2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4＝0的切线长，设点P 的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a＝1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE 于点G．（1）证明：PC＝PD；（2）若AC＝BD，求证：线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ＝和射线θ＝﹣分别交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）＝|1﹣3x|+3+ax．（1）若a＝﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．（1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．故选：C．2．（5分）设复数z＝1+i（i是虚数单位），则|+z|＝（）A．2B．C．3D．2【解答】解：∵z＝1+i，∴+z＝+1+i＝＝＝1﹣i+1+i＝2，故|+z|＝2，故选：A．3．（5分）不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的范围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．（5分）若函数f（x）＝2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）＝f（﹣x），则f（）＝（）A．2或0B．﹣2或2C．0D．﹣2或0【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）＝f（﹣x），∴x＝是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）＝±2，故选：B．5．（5分）一算法的程序框图如图，若输出的y＝，则输入的x的值可能为（）A．﹣1B．0C．1D．5【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y＝的值，∵y＝，∴sin（）＝∴＝2kπ+，k∈Z，即可解得x＝12k+1，k∈Z．∴当k＝0时，有x＝1．故选：C．6．（5分）已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣＝1B．﹣y2＝1C．﹣y2＝1D．x2﹣＝1【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得c﹣a＝1，由双曲线的渐近线方程为y＝x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d＝＝b＝，又c2﹣a2＝b2＝3，解得a＝1，c＝2，即有双曲线的方程为x2﹣＝1．故选：A．7．（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．（5分）设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2＝4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]＝+，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝170，则a7+a9+a11的值为（）A．10B．20C．25D．30【解答】解：∵a1+a17＝2a9，∴s17＝＝17a9＝170，∴a9＝10，∴a7+a9+a11＝3a9＝30；故选：D．10．（5分）已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα＝＝＝2﹣＝2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα＝2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．（5分）已知f（x）＝在x＝0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4B．1C．3D．2【解答】解：∵f（x）＝，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x＝0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选：D．12．（5分）若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1C．2D．【解答】解：当x＝0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）＝e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2＝2+2e x﹣2（当且仅当y＝0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）＝，g′（x）＝，令g′（x）＝0，即有（x﹣1）e x﹣2＝1，令h（x）＝（x﹣1）e x﹣2，h′（x）＝xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）＝1，即有（x﹣1）e x﹣2＝1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x＝2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x＝2，y＝0时，a取得最大值．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为1．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，求得r＝3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3＝20，∴ab＝1．故答案为：1．15．（5分）设函数f（x）＝lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：16．（5分）已知||＝1，||＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则等于3．【解答】解：∵||＝1，||＝，＝0，⊥＝＝＝|OC|×1×cos30°＝＝1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵＝m+n＝n+m∴，两式相比可得：＝3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i＝1，2，3），则数列{b n}中，b1＝1，点B n（n，b n）在函数g（x）＝a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i＝1，2，3），∴a1＝5，a2＝3，a3＝1．∴d＝3﹣5＝﹣2，∴a n＝5﹣2（n﹣1）＝7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）＝a•2x（a是常数）的图象上，∴b n＝a•2n．∵b1＝1，∴1＝a×21，解得a＝．∴b n＝2n﹣1．（II）c n＝a n•b n＝（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{c n}的前n项和S n＝5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n＝5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n＝5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n＝5﹣﹣（7﹣2n）•2n＝9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n＝（9﹣2n）•2n﹣9．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝BB1，C1F＝CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设＝，求λ的值．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝BB1，C1F＝CC1．∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则＝（2，0，2），＝（0，2，4）设平面AEF的法向量为＝（x，y，z）则令z＝1．则x＝﹣1，y＝﹣2，即＝（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为＝（0，0，1），则cos＜，＞＝＝＝即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵＝，∴＝＝λ（1，1，﹣6）＝（λ，λ，﹣6λ），＝+＝（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设＝x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）＝x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ＝，x＝y＝，故λ的值为．19．（12分）甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（1）依题意，解x＝4，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），，其k＝0、1、2、3．所以变ξ的分布列为：20．（12分）已知动点P到直线x＝2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4＝0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4＝0化为标准式：则有∴（x﹣2）2＝x2﹣7x+y2+4，整理可得y2＝3x∴曲线E的方程为y2＝3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2＝3x，得（n+t sinα）2＝3（m+t cosα），sin2αt2+（2n sinα﹣3cosα）t+n2﹣3m＝0由韦达定理得，，＝＝═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n＝0，，此时为定值故存在．21．（12分）已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a＝1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）＝0，得x2＝1，∴x＝±1，经检验x＝±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a＝0的判别式△＝4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）＝0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）＝0，，∴h（a）＝g（a），∴，b＝0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x＝1时取得最大值；当x＝0时，f（0）＝0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a＝π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a＝π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE 于点G．（1）证明：PC＝PD；（2）若AC＝BD，求证：线段AB与DE互相平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA＝∠DBA，∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF＝90°，∴∠FGA+∠DAB＝90°，∴∠FGA＝∠DBA．∵∠FGA＝∠DGP，∴∠DGP＝∠PDA，∴∠DGP＝∠PDG，∴PG＝PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE＝AC＝BD，∴∠EDA＝∠DAB，∵∠DEA＝∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE＝AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ＝和射线θ＝﹣分别交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2＝0，联立方程，解得x＝2，y＝0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）＝|1﹣3x|+3+ax．（1）若a＝﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（5分）（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…（10分）。
河南省扶沟县包屯高级中学2015-2016学年高一下学期第一次段考数学试题
包屯高中2015—2016学年下期一年级第一次段考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．处理框的作用是（）A．表示一个算法的开始B．表示一个算法输入C．赋值计算D．判断条件是否成立2．计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A．1 B．2 C．3 D．﹣23．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）A．B．C．D．4．甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．5．在25袋牛奶中，有4袋已过了保质期，从中任取一袋，取到已过保质期的牛奶的概率为（）A．B．C．D．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB．在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣7．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）A．15 B．20 C．25 D．308．在频率分布直方图中，小矩形的面积表示（）A．B．组距×频率C．频率 D．9．如图是2016年我校在红歌比赛上，七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图，这组数据的中位数是（）A．85 B．84 C．82 D．8110．已知sinθ＜0，cosθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．12．若sinα=，则cos（+α）=（）A．B．﹣C． D．﹣二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．50°化为弧度制为．14．已知两个具有线性相关关系的变量x与y的几组数据如下表x 3 4 5 6y m 4根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，则m=．15．如果执行如图程序框图，那么输出的S=．16．某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4，a，28，b，52号学生在样本中，则a+b=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．用秦九韶算法计算函数f（x）=2x4+3x3+5x﹣4在x=2时的函数值．18．甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：甲：79，81，82，78，95，93，84，88乙：95，80，92，83，75，85，90，80（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，；（2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥比较稳定；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差：s=，其中为样本平均数）19．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）所得点数之和是11的概率是多少？（3）所得点数之和是4的倍数的概率是多少？20．若tanα=2．求（1）；（2）2sin2x﹣sinxcosx+cos2x．21．已知角α的终边经过P（3，4），求sinα，cosα，tanα．22．已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．包屯高中2015—2016学年下期高一第一次段考数学答题卷二、填空题（每小题5分共20分）13、_______________ 14、_______________15、______________ 16、_______________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）用秦九韶算法计算函数f（x）=2x4+3x3+5x﹣4在x=2时的函数值．18．（本小题满分12分）甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：甲：79，81，82，78，95，93，84，88乙：95，80，92，83，75，85，90，80（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，；（2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥比较稳定；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差：s=，其中为样本平均数）19．（本小题满分12分）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）所得点数之和是11的概率是多少？（3）所得点数之和是4的倍数的概率是多少？20．（本小题满分12分）已知角α的终边经过P（3，4），求sinα，cosα，tanα．（79﹣85）2+=35.5．乙组同学成绩的平均分=（95+80+92+83+75+85+90+80）=85，乙组同学成绩的方差=（80﹣85）2+（92﹣85）2+（83﹣85）2+（75﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（80﹣85）2。
河南省周口市扶沟县包屯高中2016届高三数学上学期期中试卷理含解析
2015-2016学年河南省周口市扶沟县包屯高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．∅2．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为( )A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣13．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则( )A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞04．直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为( )A．B．C．D．2ln25．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则( )A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）6．在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于( )A．3 B．2 C．﹣2 D．07．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值( )A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l 与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=( )A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．329．已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2+||2=||2+||2，则点O( )A．在与边AB垂直的直线上B．在∠A的平分线所在直线上C．在边AB的中线所在直线上D．以上都不对10．以下判断正确的是( )A．命题“在锐角△ABC中，有sinA＞cosB”为真命题B．命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”C．函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件D．“b=0”是“f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充分不必要条件11．已知等比数列{a n}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则( )A．a5+a7＞a4+a8B．a5+a7＜a4+a8C．a5+a7=a4+a8D．|a5+a7|＞|a4+a8|12．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为( )A．[1，3] B．（1，3）C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=__________．14．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）=__________．15．已知方程sinx+cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是__________．16．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f （x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．18．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．19．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1，求数列的前n项和T n．20．已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，且满足：当n≥2时，a n=+．（1）证明：数列{}为等差数列．（2）若数列{}前n项的和为T n，求T n的表达式．21．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．22．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围．2015-2016学年河南省周口市扶沟县包屯高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．∅【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；集合．【分析】求解函数的值域化简A，求解对数不等式化简B，然后取交集得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x+1}=R，B={x|lnx＜0}=（0，1），∴A∩B=（0，1）．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，考查了函数值域的求法，训练了对数不等式的解法，是基础题．2．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为( )A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先画出满足的平面区域，再把|PQ|的最小值转化为点P到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1即可．【解答】解：由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1，点（0，﹣2）到直线x﹣2y+1=0的距离为=；由图可知：|PQ|min=﹣1，故选A．【点评】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（0，﹣2）之间的距离问题3．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则( )A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．4．直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为( )A．B．C．D．2ln2【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】用定积分表示出图形的面积，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为=lnx=ln2﹣ln=2ln2故选：D．【点评】本题考查定积分知识的运用，考查导数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则( )A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．6．在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于( )A．3 B．2 C．﹣2 D．0【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理表示出=，把BC的长及B=2A代入，其中的sin2A利用二倍角的正弦函数公式化简后，变形可得所求式子的值．【解答】解：由BC=1，B=2A根据正弦定理得=，即==，则=2．故选B【点评】此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．7．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值( )A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负【考点】等差数列的性质；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，知取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f （x1），由函数f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f （0）＜0．由数列{a n}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，知a1+a5＞0，所以f（a1）+f（a5）＞0，f（a3）＞0，由此知f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，∴取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f（x1），∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数，∴当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．∵数列{a n}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，∴a1+a5＞0，则f（a1）+f（a5）＞0，∵f（a3）＞0，∴f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题．8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=( )A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．9．已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2+||2=||2+||2，则点O( )A．在与边AB垂直的直线上B．在∠A的平分线所在直线上C．在边AB的中线所在直线上D．以上都不对【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量的减法分别设=，=，=，表示，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB．【解答】解：设=，=，=，则=，．由||2+||2=||2+||2，∴||2+||2=||2+||2，化简可得，即（））•=0，∴∴AB⊥OC．故选A．【点评】本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．10．以下判断正确的是( )A．命题“在锐角△ABC中，有sinA＞cosB”为真命题B．命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”C．函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件D．“b=0”是“f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】A．在锐角△ABC中，有＞0，可得sinA＞=cosB，即可判断出正误；B．利用命题的否定定义即可判断出正误；C．f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的必要不充分条件，例如函数f（x）=x3，f′（0）=3x2|x=0=0，而函数f（x）在x=0处无极值，即可判断出正误；D．“b=0”⇔“f（x）=ax2+bx+c是偶函数”，即可判断出正误．【解答】解：A．在锐角△ABC中，有，∴＞0，∴sinA＞=cosB，因此为真命题；B．“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；C．函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的必要不充分条件，例如函数f（x）=x3，f′（0）=3x2|x=0=0，而函数f（x）在x=0处无极值，因此不正确；D．“b=0”⇔“f（x）=ax2+bx+c是偶函数”，因此不正确．故选：A．【点评】本题查克拉简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、三角函数单调性、利用导数研究函数的极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知等比数列{a n}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则( )A．a5+a7＞a4+a8B．a5+a7＜a4+a8C．a5+a7=a4+a8D．|a5+a7|＞|a4+a8|【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】等比数列{a n}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，知此等比数列是一个负项数列，各项皆为负，观察四个选项，比较的是a5+a7，a4+a8两组和的大小，可用作差法进行探究，比较大小【解答】解：∵a6＜0，q＞0∴a5，a7，a8，a4都是负数∴a5+a7﹣a4﹣a8=a4（q﹣1）+a7（1﹣q）=（q﹣1）（a4﹣a7）若0＜q＜1，则q﹣1＜0，a4﹣a7＜0，则有a5+a7﹣a4﹣a8＞0若q＞1，则q﹣1＞0，a4﹣a7＞0，则有a5+a7﹣a4﹣a8＞0∴a5+a7＞a4+a8故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．12．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为( )A．[1，3] B．（1，3）C．D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题．【分析】确定两个函数的值域，根据f（a）=g（b），可得g（b）∈（﹣1，1]，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：由题可知f（x）=e x﹣1＞﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤1，若有f（a）=g（b），则g（b）∈（﹣1，1]，即﹣b2+4b﹣3＞﹣1，即 b2﹣4b+2＜0，解得．所以实数b的取值范围为故选D．【点评】本题考查函数的值域，考查解不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）=24．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由中点的向量表示形式可得=（+），再由向量数量积的定义和性质，化简整理即可得到所求值．【解答】解：由P为边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，可得=（+），•=||•||•cosA=4×4×=8，则•（+）=（+）2=（2+2+2•）=×（16+16+16）=24．故答案为：24．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的中点的表示形式，以及运算能力，属于基础题．15．已知方程sinx+cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题；三角函数的最值．【专题】函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的最值，得到表达式，然后求解m的范围．【解答】解：m+1=sinx+cosx=2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，如图：方程sinx+cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，2sin（x+）∈．∴m+1∈，可得m∈．故答案为：．【点评】他考查函数的恒成立，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力．16．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f （x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是a＜﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数的单调区间求出a，b，c的关系，然后利用导数研究三次函数的极值，利用数形结合即可得到a的结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），f极小（﹣1）＜﹣1＜f极大（1），即2a＜1＜﹣2a，且2a＜﹣1＜﹣2a，即，且，解得即a且a，故答案为：a．【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（Ⅱ）由题意根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用定义域和值域，求得函数g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得sin2ωx﹣2cos2ωx+1=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），由题意知，，∴ω=1，∴．由，解得：，∴f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）由题意，把f（x）的图象向左平移个单位，得到，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，∵，∴，∴，函数g（x）的值域为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．18．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）由已知可得2cosB=，求得sin2A=1，可得A的值．（II）由B+C=，且==+tanC＞，求得tanC＞1，从而得到C的范围．【解答】解：（I）由已知=﹣，可得2cosB=．而△ABC为斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A=1．∵A∈（0，π），∴2A=，A=．（II）∵B+C=，且===+tanC ＞，即tanC＞1，∴＜C＜．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、诱导公式，属于基础题．19．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1，求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（Ⅱ）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和．【解答】解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，a n＞0则，得∴a n=2n+1法二：∵{a n}是等差数列且，∴，又∵a n＞0∴a3=7．…∵，∴d=a4﹣a3=2，∴a n=a3+（n﹣3）d=2n+1．（Ⅱ）∵b n+1﹣b n=a n+1且a n=2n+1，∴b n+1﹣b n=2n+3当n≥2时，b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3=n（n+2），当n=1时，b1=3满足上式，b n=n（n+2）∴=．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．20．已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，且满足：当n≥2时，a n=+．（1）证明：数列{}为等差数列．（2）若数列{}前n项的和为T n，求T n的表达式．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）当n≥2时，a n=+，可得S n﹣S n﹣1=+．又数列{a n}的各项为正数，可得=1，即可证明．（2）由（1）可得：可得S n．可得a n．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】（1）证明：∵当n≥2时，a n=+，∴S n﹣S n﹣1=+．又数列{a n}的各项为正数，∴+＞0．∴=1，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差为1．（2）解：由（1）可得：=1+（n﹣1）=n，可得S n=n2．∴当n≥2时，a n==2n﹣1，当n=1时也成立，∴a n=2n﹣1．∴==．数列{}前n项的和T n=+…+==．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，利用三角恒等变换可化简f（x），从而可求结果；（2）由（，）是函数f（x）图象的一个对称中心可求A，利用正弦定理可把周长化为三角函数，进而可求答案；【解答】解：（1）=，由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，，∴a=1，；（2）∵（是函数f（x）图象的一个对称中心，∴，又∵A为△ABC的内角，∴，△ABC中，则由正弦定理得：，∴，∵，∴b+c+a∈（8，12]．【点评】该题考查正弦定理、两角和与差的正弦函数、倍角公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．22．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点．由，对a分类讨论、结合图象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切线过点（3，0），∴b=2a，∴，①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②当a∈（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=﹣1或或0＜a≤2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年河南省周口市扶沟县包屯高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．∅2．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为( )A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣13．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则( )A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞04．直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为( )A．B．C．D．2ln25．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则( )A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）6．在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于( )A．3 B．2 C．﹣2 D．07．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值( )A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=( )A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．329．已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2+||2=||2+||2，则点O( )A．在与边AB垂直的直线上B．在∠A的平分线所在直线上C．在边AB的中线所在直线上D．以上都不对10．以下判断正确的是( )A．命题“在锐角△ABC中，有sinA＞cosB”为真命题B．命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”C．函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件D．“b=0”是“f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充分不必要条件11．已知等比数列{a n}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则( )A．a5+a7＞a4+a8B．a5+a7＜a4+a8C．a5+a7=a4+a8D．|a5+a7|＞|a4+a8|12．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为( )A．[1，3]B．（1，3）C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=__________．14．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）=__________．15．已知方程sinx+cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是__________．16．定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f （x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．18．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．19．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a1+a5==63．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=a1且b n+1﹣b n=a n+1，求数列的前n项和T n．20．已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，且满足：当n≥2时，a n=+．（1）证明：数列{}为等差数列．（2）若数列{}前n项的和为T n，求T n的表达式．21．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．22．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围．2015-2016学年河南省周口市扶沟县包屯高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．∅【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；集合．【分析】求解函数的值域化简A，求解对数不等式化简B，然后取交集得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x+1}=R，B={x|lnx＜0}=（0，1），∴A∩B=（0，1）．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，考查了函数值域的求法，训练了对数不等式的解法，是基础题．2．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为( )A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先画出满足的平面区域，再把|PQ|的最小值转化为点P到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1即可．【解答】解：由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1，点（0，﹣2）到直线x﹣2y+1=0的距离为=；由图可知：|PQ|min=﹣1，故选A．【点评】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（0，﹣2）之间的距离问题3．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则( )A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．4．直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为( )A．B．C．D．2ln2【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】用定积分表示出图形的面积，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，直线x=，x=2，y=0，及曲线y=所围图形的面积为=lnx=ln2﹣ln=2ln2故选：D．【点评】本题考查定积分知识的运用，考查导数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则( )A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．6．在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于( )A．3 B．2 C．﹣2 D．0【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理表示出=，把BC的长及B=2A代入，其中的sin2A利用二倍角的正弦函数公式化简后，变形可得所求式子的值．【解答】解：由BC=1，B=2A根据正弦定理得=，即==，则=2．故选B【点评】此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．7．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值( )A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负【考点】等差数列的性质；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，知取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f （x1），由函数f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f （0）＜0．由数列{a n}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，知a1+a5＞0，所以f（a1）+f（a5）＞0，f（a3）＞0，由此知f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，∴取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f（x1），∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数，∴当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．∵数列{a n}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，∴a1+a5＞0，则f（a1）+f（a5）＞0，∵f（a3）＞0，∴f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题．8．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=( )A．﹣32 B．﹣16 C．16 D．32【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．9．已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2+||2=||2+||2，则点O( )A．在与边AB垂直的直线上B．在∠A的平分线所在直线上C．在边AB的中线所在直线上D．以上都不对【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量的减法分别设=，=，=，表示，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB．【解答】解：设=，=，=，则=，．由||2+||2=||2+||2，∴||2+||2=||2+||2，化简可得，即（））•=0，∴∴AB⊥OC．故选A．【点评】本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．10．以下判断正确的是( )A．命题“在锐角△ABC中，有sinA＞cosB”为真命题B．命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”C．函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件D．“b=0”是“f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】A．在锐角△ABC中，有＞0，可得sinA＞=cosB，即可判断出正误；B．利用命题的否定定义即可判断出正误；C．f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的必要不充分条件，例如函数f（x）=x3，f′（0）=3x2|x=0=0，而函数f（x）在x=0处无极值，即可判断出正误；D．“b=0”⇔“f（x）=ax2+bx+c是偶函数”，即可判断出正误．【解答】解：A．在锐角△ABC中，有，∴＞0，∴sinA＞=cosB，因此为真命题；B．“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；C．函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的必要不充分条件，例如函数f（x）=x3，f′（0）=3x2|x=0=0，而函数f（x）在x=0处无极值，因此不正确；D．“b=0”⇔“f（x）=ax2+bx+c是偶函数”，因此不正确．故选：A．【点评】本题查克拉简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、三角函数单调性、利用导数研究函数的极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知等比数列{a n}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则( )A．a5+a7＞a4+a8B．a5+a7＜a4+a8C．a5+a7=a4+a8D．|a5+a7|＞|a4+a8|【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】等比数列{a n}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，知此等比数列是一个负项数列，各项皆为负，观察四个选项，比较的是a5+a7，a4+a8两组和的大小，可用作差法进行探究，比较大小【解答】解：∵a6＜0，q＞0∴a5，a7，a8，a4都是负数∴a5+a7﹣a4﹣a8=a4（q﹣1）+a7（1﹣q）=（q﹣1）（a4﹣a7）若0＜q＜1，则q﹣1＜0，a4﹣a7＜0，则有a5+a7﹣a4﹣a8＞0若q＞1，则q﹣1＞0，a4﹣a7＞0，则有a5+a7﹣a4﹣a8＞0∴a5+a7＞a4+a8故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．12．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为( )A．[1，3]B．（1，3）C．D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题．【分析】确定两个函数的值域，根据f（a）=g（b），可得g（b）∈（﹣1，1]，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：由题可知f（x）=e x﹣1＞﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤1，若有f（a）=g（b），则g（b）∈（﹣1，1]，即﹣b2+4b﹣3＞﹣1，即b2﹣4b+2＜0，解得．所以实数b的取值范围为故选D．【点评】本题考查函数的值域，考查解不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则•（+）=24．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由中点的向量表示形式可得=（+），再由向量数量积的定义和性质，化简整理即可得到所求值．【解答】解：由P为边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，可得=（+），•=||•||•cosA=4×4×=8，则•（+）=（+）2=（2+2+2•）=×（16+16+16）=24．故答案为：24．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的中点的表示形式，以及运算能力，属于基础题．15．已知方程sinx+cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题；三角函数的最值．【专题】函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的最值，得到表达式，然后求解m的范围．【解答】解：m+1=sinx+cosx=2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，如图：方程sinx+cosx=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，2sin（x+）∈．∴m+1∈，可得m∈．故答案为：．【点评】他考查函数的恒成立，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力．16．定义在R 上的函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx （a ≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a （f （x ））2+2bf （x ）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是a ＜﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断． 【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数的单调区间求出a ，b ，c 的关系，然后利用导数研究三次函数的极值，利用数形结合即可得到a 的结论．【解答】解：∵函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx （a ≠0）的单调增区间为（﹣1，1）， ∴f'（x ）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x ）=3ax 2+2bx+c ＞0的解集为（﹣1，1），∴a ＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x ）=3ax 2+2bx+c=0的两个根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a ．∴f （x ）=ax 3+bx 2+cx=ax 3﹣3ax=ax （x 2﹣3）， 则方程3a （f （x ））2+2bf （x ）+c=0等价为3a （f （x ））2﹣3a=0， 即（f （x ））2=1，即f （x ）=±1． 要使方程3a （f （x ））2+2bf （x ）+c=0恰有6个不同的实根，即f （x ）=±1．各有3个不同的根，∵f （x ）=ax 3+bx 2+cx=ax 3﹣3ax=ax （x 2﹣3）， ∴f'（x ）=3ax 2﹣3a=3a （x 2﹣1）， ∵a ＜0，∴当f'（x ）＞0得﹣1＜x ＜1，此时函数单调递增， 当f'（x ）＜0得x ＜﹣1或x ＞1，此时函数单调递减， ∴当x=1时，函数取得极大值f （1）=﹣2a ， 当x=﹣1时，函数取得极小值f （﹣1）=2a ， ∴要使使方程3a （f （x ））2+2bf （x ）+c=0恰有6个不同的实根，即f （x ）=±1各有3个不同的根，此时满足f 极小（﹣1）＜1＜f 极大（1），f 极小（﹣1）＜﹣1＜f 极大（1）， 即2a ＜1＜﹣2a ，且2a ＜﹣1＜﹣2a ，即，且，解得即a且a，故答案为：a．【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（Ⅱ）由题意根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用定义域和值域，求得函数g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得sin2ωx﹣2cos2ωx+1=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），由题意知，，∴ω=1，∴．由，解得：，∴f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）由题意，把f（x）的图象向左平移个单位，得到，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，∵，∴，∴，函数g（x）的值域为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．18．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且=﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求角C的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）由已知可得2cosB=，求得sin2A=1，可得A的值．（II）由B+C=，且==+tanC＞，求得tanC＞1，从而得到C的范围．【解答】解：（I）由已知=﹣，可得2cosB=．而△ABC为斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A=1．∵A∈（0，π），∴2A=，A=．（II）∵B+C=，且===+tanC ＞，即tanC＞1，∴＜C＜．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、诱导公式，属于基础题．19．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 1+a 5==63．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1=a 1且b n+1﹣b n =a n+1，求数列的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（Ⅱ）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和． 【解答】解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，a n ＞0则，得∴a n =2n+1法二：∵{a n }是等差数列且，∴，又∵a n ＞0∴a 3=7．…∵，∴d=a 4﹣a 3=2，∴a n =a 3+（n ﹣3）d=2n+1． （Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n+1且a n =2n+1， ∴b n+1﹣b n =2n+3当n ≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =（2n+1）+（2n ﹣1）+…+5+3=n （n+2）， 当n=1时，b 1=3满足上式，b n =n （n+2） ∴=．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．20．已知正项数列{a n }的首项a 1=1，前n 项的和为S n ，且满足：当n ≥2时，a n =+．（1）证明：数列{}为等差数列．（2）若数列{}前n项的和为T n，求T n的表达式．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．=+．又数列{a n}的各项【分析】（1）当n≥2时，a n=+，可得S n﹣S n﹣1为正数，可得=1，即可证明．（2）由（1）可得：可得S n．可得a n．再利用“裂项求和”即可得出．=+．【解答】（1）证明：∵当n≥2时，a n=+，∴S n﹣S n﹣1又数列{a n}的各项为正数，∴+＞0．∴=1，∴数列{}为等差数列，首项为1，公差为1．（2）解：由（1）可得：=1+（n﹣1）=n，可得S n=n2．∴当n≥2时，a n==2n﹣1，当n=1时也成立，∴a n=2n﹣1．∴==．数列{}前n项的和T n=+…+==．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，利用三角恒等变换可化简f（x），从而可求结果；（2）由（，）是函数f（x）图象的一个对称中心可求A，利用正弦定理可把周长化为三角函数，进而可求答案；【解答】解：（1）=，由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，，∴a=1，；（2）∵（是函数f（x）图象的一个对称中心，∴，又∵A为△ABC的内角，∴，△ABC中，则由正弦定理得：，∴，∵，∴b+c+a∈（8，12]．【点评】该题考查正弦定理、两角和与差的正弦函数、倍角公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．22．已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点．由，对a分类讨论、结合图象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切线过点（3，0），∴b=2a，∴，①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②当a∈（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=﹣1或或0＜a≤2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。