勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

2证法 1】（课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a 、b 、 c 的正 方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等 . 即证法 2】（邹元治证明）∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠ BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180 o ― 90o= 90 o.∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形 . 它的面积等于 c 2.∵ Rt Δ GDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180 o.∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于∠HEF = 90 o.EFGH 是一个边长为 b ―a 的正方形，它的面积等于1ab以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、C 三点在一条直线上， 把这四个直角三 C 、G 、D 三点在一条直线上b 2 4 12 abc 24 1 ab2整理得c 21 4 ab 2c 2a 2b 2c 2【证法 3】（赵爽证明）以 a 、 b 为直角边（ b>a ）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab 三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状∵ Rt Δ DAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ，∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ― a , ba1 2 24 ab b a c 2.2 2 2a b c .证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明）1ab以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、B 三点在一条直线上 . 把这两个直角三∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180 o ― 90o= 90 o. ∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形，12 c 它的面积等于 2 .又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD ∥ BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 12 1 12a b 2 2 ab c 2 2 2 2 2 2a b c .【证法 5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 使 D 、E 、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. ∵ D 、 E 、F 在一条直线上 , 且Rt Δ GEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90 °， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o ― 90o= 90 o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形 . ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE = 90o ，∠ BCP = 90o ，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形 . 同理， HPFG 是一个边长为 b 的正方形 .a 、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，设多边形 GHCBE 的面积为 S ，则 2 21 ab 2 S2 ab,2 2S21 cab 2, ∴a2b 2c 2.【证法 6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （ b>a ） 形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E 、A 、 C 三点在一条直线上 .，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方过点 Q 作 QP ∥ BC ，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BM ⊥ PQ ，垂足为 M ；再过点 F 作 FN ⊥ PQ ，垂足为 N. ∵ ∠BCA = 90 o ，QP ∥ BC ， ∴ ∠MPC = 90o ， ∵ BM ⊥ PQ ， ∴ ∠BMP = 90o ， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠ MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o ， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o ， ∴ ∠QBM = ∠ABC ， 又∵ ∠BMP = 90o ，∠ BCA = 90 o ，BQ = BA = c ， ∴ Rt Δ BMQ ≌ Rt ΔBCA. 同理可证 Rt Δ QNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明） . 【证法 7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为 a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H 、 BF 、CD. 过 C 作 CL ⊥ DE ， 交 AB 于点 M ，交 DE 于点 L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， 12a ∵ Δ FAB 的面积等于 2 ， Δ GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， B 三点在一条直线上，连结GK F bB 2∴ 矩形 ADLM 的面积 = a . = b 2同理可证，矩形 MLEB 的面积 ∵ 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 +2 2 2 ∴ c a b ，即 【证法 8】（利用相似三角形性质证明） 矩形 MLEB 的面积 2 2 2 a b c . b MAL如图，在 Rt Δ ABC 中，设直角边 AC 、 在Δ ADC 和Δ ACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD ∶AC = AC ∶AB ， 即 AC 2AD ?AB Δ CDB ∽ Δ ACB ，从而有 BC 2 AD（杨作玫证明） BC 的长度分别为 a 、b ，斜边 AB 的长为c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是D.同理可证， ∴ AC 2 【证法 9】 做两个全等的直角三角形， 把它们拼成如图所示的多边形 与 CB 的延长线垂直，垂足为∵ ∠BAD = 90 o ，∠ PAC = 90o ，∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o ，∠ BCA = 90o ， AD = AB = c ， ∴ Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . DB ?AB BC 2 BD ?AB . AB 2 ，即 a 2 b 2c 2设它们的两条直角边长分别为 a 、 b （ b>a ），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . . 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于 R. 过 B 作BP ⊥AF ，垂足为 P. 过 D 作DEE ，DE 交 AF 于 H. b 9 2 A由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即 PB = CA = b ，AP= a ，从而 PH = b ―a.∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt Δ DHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠ GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o ，∠ DHF = 90o ，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o ， ∴ DGFH 是一个边长为 a 的正方形 .∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b ―a ，下底 BP= b ，高 FP=a +（b ―a ） 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为c 2S 1S 2S 3 S 4 S 5①S 8S 3S 41b b a ? a b ab 2 1ab 2= 2S 5 S 8S 9，∴S 3S 421S8=b 2 S 1 S 8 .b 2ab 2②把②代入①，得c 2S 1S 2 2 b S 1S 8 S 8 S 9 =b 2S 2 S 9 = b 2 a 2.222a b c .【证法 10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、 b （b>a ），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 成如图所示形状，使 A 、E 、 G 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） .∠TBE = ∠ABH = 90o ，∠TBH = ∠ABE.又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90 o ， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o ，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o ， ∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90o ，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 S7 S2 .过Q 作 QM ⊥AG ，垂足是 M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90 o ，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以 Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM. 又 Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以 Rt Δ HBT ≌ RtΔQAM. 即 S8 S5.由 Rt Δ ABE ≌ Rt ΔQAM ，又得 QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o ，∠ BAE + ∠CAR = 90 o ，∠ AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o ， QM = AR = a ，∴ Rt Δ QMF ≌ Rt ΔARC. 即 S4 S6 .S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 1S 6 b 2S 3 S 7 S 8a 、b 、c 的正方形，把它们拼 b8 D61 3ME 45c7 F2C【证法 11】（利用切割线定理证明）在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = c . 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线 分别于 D 、E ，则 BD = BE = BC = a . 因为∠ BCA = 90o ，点 C 在⊙B 上，所以 AC 是⊙B 的切线 . 由切割线定理，得AC 2 AE? AD= AB BE AB BD = c a c a22= c a ， 即 b 2 c 2 a 2 ，2 2 2∴ a b c .【证法 12】（利用多列米定理证明） 在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB?DC AD?BC AC?BD ，∵ AB = DC = c ， AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴AB 2 BC 2 AC 2 ，即 c 2 a 2 b 2 ， ∴ a 2 b 2 c 2 .设⊙ O 的半径为 r.又∵ S 72aS 2 b 2S 8S 5 ，S 4S6，S 1S 6 S 3 S 7 S 8=S 1S 4 S 3 S 2 S 52=cb 2c 212r c c r 2= 2= r24 r rc4S ABCrcB 作 BD ∥ CA ，则 ACBD【证法 13】（作直角三角形的内切圆证明） 在 Rt Δ ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = AbC c. 作 Rt ΔABC 的内切圆⊙ O ，切点分别为 D 、 E 、F （如图），AC BC AB AE CE BD CD=C ECD = r + r = 2r,即 ab c 2r ，ab 2rc .ab22r 2 c，即2a b22ab4r2rc2 c，S ABC12ab，2ab4S ABC ，又∵ S ABC S AOB S BOC1 111 S AOC =cr ar br a b c r2 2 2 =2AC = b ，斜边 AB = c （如图） . 过点 A 作 AD ∥CB ，过点 ∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，【证法 16】（陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 拼成如图所示形状，使 E 、 H 、M 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号（如图） 在 EH = b 上截取 ED = a ，连结 DA 、 DC ， 则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = b a ―a = b . 又∵ ∠CMD = 90o ， CM = a ， ∠AED =90o ， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o ，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o ，∴4 r 2 rc 2ab ，∴，∴a 2b 2 2ab 2abc 2 ， 【证法 14】（利用反证法证明） 如图，在 Rt ΔABC 中，设直角边 AC 、 2 2 2 2假设 a b c ，即假设 ACAB 2 AB?AB = AB AD 可知AC AB ? AD ，或者 BC 在Δ ADC 和Δ ACB 中，∵ ∠A = ∠ A ，∴ 若 AD ： AC ≠ AC ：AB ，则 ∠ ADC ≠∠ ACB. 在Δ CDB 和Δ ACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若 BD ：BC ≠ BC ：AB ，则 ∠ CDB ≠∠ ACB. 又∵ ∠ACB = 90o ，∴ ∠ ADC ≠ 90o ，∠ CDB ≠ 90o.2这与作法 CD ⊥ AB 矛盾. 所以， AC2 b 2a 2b 2c 2a 、b ，斜边 AB 的长为c ，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足是D. BC 2 AB 2，则由 BD = AB ?AD BC 的长度分别为 AB ?BD . 即 AD ： BC 2证法 AB ?BDAC ≠AC ：AB ，或者 BD ： BC ≠BC ：AB.2 AB 2的假设不能成立 .2c.设直角三角形两直角边的长分别为 方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为b ，斜边的长为 abc. 2 作边长是 a 2 b 2 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上2ab ；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的 b 2几个部分，则正方形 ABCD 的面积为a 2b 2 2ab 2abc 2b 2 1ab 22c . c 2=2ab c 2a 、b b>a ），斜边的长为 c. 做两个边长分别为 a 、 b 的正方形（ b>a ），把它们辛卜松证明）15】 a 、 C∴ ∠ ADC = 90o.∴ 作 AB ∥DC ，CB ∥DA ，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 . ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90 o ， ∴ ∠BAF=∠ DAE.连结 FB ，在Δ ABF 和Δ ADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠ BAF=∠ DAE ，∴ ΔABF ≌ ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90 o ， BF = DE = a . ∴ 点 B 、F 、G 、 H 在一条直线上 . 在 Rt Δ ABF 和 Rt ΔBCG 中，AB = BC = c ， BF = CG = a ， Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.2cS 2 S 3 S 4S5，bS 1 S 2 S 6 ，a S 3 S 7S 1S 5S 4S 6 S 72ab 2S 3S 7S 1S 2S 6=S 2 S 3 S 1 S 6 S 7=S 2S 3 S 4S 5=c 22ab 2c 2勾股定理在实际生活中的应用勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是我们在直角三角形中解决边长计算问题的重要理论依据，同时勾股定理在我 们实际生活中应用也很广泛。