二次根式的加减
16.3 二次根式的加减
二次根式的加减
第2课时
(1) 27 3 【例题】
6
2
Байду номын сангаас
(1) 27 3 6 2
3 3 (1 ) 27 6 3 6 2 ( 2) 】计算 3 3 6 【例 ( 2)1 3 3 8 8 3 2) 3 3 (3)( 48 ( 27 )83 48 27 ) 3 6 (3)( 1. 注意运算顺序
9 12 5 20 29 12 5
整式运算的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.
【跟踪训练】
1.计算
1 2
2 3 3
3
32 2
2 2
【解析】
2
3 2 2
（1）原式 2 2
3 3
2
2
8 27 19
（2）原式 6 4 2 3 2 4 2 2
5 6
5 6 11
【解析】选C.在选项C中，
2 2 2 ( 3) (a b)(a b) 3(a b ). 原式=
2.（德化·中考）下列计算正确的是（ A. 20 2 10 C. 4 2 2 【解析】选B.选项A中 B. 2 3
）
6
2 D. ( 3) 3
45 30 10 50
95 30 10
1.下列计算正确的是（
）
A. 102 82 102 82 10 8 2
B. 2 3 2
2 3 2 4 3 2 2
2
C. 3 a b 3 a b 3 a 2 b 2 D.
二次根式的加减题
《二次根式的加减题》同学们，咱们今天来聊聊二次根式的加减题。
二次根式的加减，就像是搭积木。
每个二次根式都是一块独特的积木，我们要把它们合理地拼在一起。
比如说，√8 + √18 ，咱们先把它们化简，√8 可以变成2√2 ，√18 可以变成3√2 ，那这道题就变成了2√2 + 3√2 ，结果就是5√2 。
再看这道题，√27 - √12 ，√27 化简为3√3 ，√12 化简为2√3 ，一减，就是3√3 - 2√3 ，答案就是√3 。
给大家讲个小故事。
有一天，小明在做二次根式的加减题，他一开始总是出错，心里特别着急。
后来他静下心来，把每个二次根式都认真化简，就像给积木分类一样，慢慢地就做对了。
咱们做这类题的时候，一定要记住先化简，再合并同类二次根式。
多练习几道题，比如√48 + √6 ，√75 - √27 。
同学们，只要咱们认真细心，二次根式的加减题就难不倒我们！加油！《二次根式的加减题》同学们，咱们继续来探索二次根式的加减题。
想象一下，二次根式就像一群调皮的小精灵，我们要把它们管理好。
比如说，2√5 + 3√5 ，这多简单呀，就是5√5 。
因为它们是同类二次根式，就像同一种颜色的糖果，可以放在一起。
再比如，√12 + √27 - √48 ，咱们先化简，√12 是2√3 ，√27 是3√3 ，√48 是4√3 ，然后加加减减，就是2√3 + 3√3 - 4√3 ，结果就是√3 。
讲个有趣的例子。
小红在做二次根式加减题的时候，把数字看错了，结果算错了。
后来她吸取教训，认真看清楚每一个数字和符号，就再也不出错啦。
咱们来练练手，4√2 - 2√8 + √32 ，√20 - √5 + √80 。
同学们，只要有耐心，这些题都能被我们拿下！《二次根式的加减题》同学们，今天咱们再深入了解一下二次根式的加减题。
二次根式的加减，其实就像整理书包。
把相同的东西放在一起，不同的分开。
比如，5√3 - 2√3 + √18 ，先化简√18 为3√2 ，前面的5√3 - 2√3 等于3√3 ，这道题就变成了3√3 + 3√2 。
二次根式的加减法
概念
例子
异类二次根式是指根指数或被开方数不同 的二次根式。
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式 。
减法运算
加法运算
两个异类二次根式相减，先进行化简，再 进行减法运算。
两个异类二次根式相加，先将它们化成最 简二次根式，再进行加法运算。
运算结果化为最简二次根式
概念
最简二次根式是指被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 。
乘法运算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$ 时成立。
减法运算
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立 。
除法运算
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$ 且$a \neq 0$时成立。
二次根式的加减法
总结词
掌握含加减法的二次根式混合运算法则，能 够准确进行运算。
详细描述
含加减法的二次根式混合运算涉及到根式和 整式的加减法，运算顺序是先乘方，再乘除 ，最后加减。在运算中，需要注意各项均需 乘以平方数，根式外的数要移到根号内，相
加减时根式部分不变。
复杂二次根式混合运算的步骤和技巧
总结词
掌握复杂二次根式混合运算的步骤和技巧，能够准确 快速地进行运算。
02
同类二次根式的加减法
概念
同类二次根式是指根指数相同且被开 方数相同的二次根式。
例子
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二 次根式。
减法运算
两个同类二次根式相减，直接进行减 法运算。
加法运算
两个同类二次根式相加，先将它们化 成最简二次根式，再进行加法运算。
二次根式加减乘除的运算法则
二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。
在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。
本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。
一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。
例如√3+√3=2√3。
二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。
例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。
化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。
三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。
例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。
四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。
有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。
例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。
运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。
接下来，我们通过一些例题来加深理解。
例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。
解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。
例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。
解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。
例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。
解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。
通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是高中数学中的重要概念，它们在各种数学问题中起着重要的作用。
本文将介绍二次根式的定义、运算法则，以及一些常见的计算方法和运用技巧。
一、二次根式的定义在代数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a为一个非负实数。
它的特点是其值是满足a≥0的正实数x，使得x²=a。
二次根式是一种特殊的无理数。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减运算：对于同类项的二次根式，可以进行加减运算。
即，如果√a和√b是同类项，则有：√a ± √b = √(a ± b)。
2. 二次根式的乘法运算：对于任意的实数a和b，有：√a × √b =√(ab)。
3. 二次根式的除法运算：对于任意的实数a和b（其中b≠0），有：√(a/b) = √a / √b。
需要注意的是，二次根式的运算法则不同于常规的有理数运算法则，需要根据具体情况进行变形和化简。
三、二次根式的计算方法1. 化简二次根式：当二次根式的被开方数具有完全平方因子时，可以进行化简。
例如，√(4x²y²) = 2xy。
2. 合并同类项：对于同类项的二次根式，可以进行合并运算。
例如，√5 + √7 - √5 = √7。
3. 运用分式化简：对于含有二次根式的分式，可以运用分式化简法则进行化简。
例如，化简√(x+1) / (√(x-1) + 1)。
四、二次根式的运用技巧1. 消去根号：在一些问题中，可以通过消去根号的方法简化计算。
例如，对于√(x+1) + √(x-1) = 2，可以通过平方等式的性质消去根号。
2. 使用代换：在一些复杂的问题中，可以使用代换的方法简化计算。
例如，对于含有二次根式的方程，可以令√a = t进行变量代换，从而降低问题的复杂性。
3. 运用二次根式性质解决问题：二次根式具有一些特殊性质，如平方等式、分式等式等，可以通过运用这些性质解决一些相关问题。
例如，根据二次根式性质解决面积、体积等几何问题。
二次根式的加减说课稿
二次根式的加减说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次根式的加减
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
二次根式的加减与乘除
二次根式的加减与乘除二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将讨论二次根式的加减与乘除运算，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、二次根式的加法与减法在处理二次根式的加法与减法时，我们需要注意两个基本原则。
首先，二次根式只能与同类相加或相减，即根号下的数必须相同。
其次，根号内的数可以合并，并按照一定的规律进行计算。
举个例子，我们来计算下面两个二次根式的和：√5 + √20首先，我们可以将根号下的数进行合并。
√5 与√20 的根号下的数都不能再进行简化，所以我们只需计算它们前面的系数部分。
即：√5 + √20 = √5 + 2√5考虑到根号下的数相同，我们可以将系数相加，得到：√5 + √20 = 1√5 + 2√5 = 3√5同样的原理，我们可以计算二次根式的减法。
例如：√18 - √8合并根号下的数，我们得到：√18 - √8 = 3√2 - 2√2再将系数相减，得到：√18 - √8 = 3√2 - 2√2 = √2二、二次根式的乘法二次根式的乘法同样有一定的规律可循。
当我们需要计算两个二次根式相乘时，我们可以先合并根号下的数，然后在进行系数的相乘。
举个例子，我们来计算下面两个二次根式的乘积：√3 × √12首先，我们将根号下的数进行合并：√3 × √12 = √(3 × 12) = √36接下来，我们计算根号下的数，得到√36 = 6。
因此，结果为：√3 × √12 = 6同样的方法，我们来计算另一个例子：2√7 × 3√5合并根号下的数，得到：2√7 × 3√5 = 6√(7 × 5)再计算根号下的数，得到√(7 × 5) = √35最终结果为：2√7 × 3√5 = 6√35三、二次根式的除法二次根式的除法相对来说稍微复杂一些。
在进行除法运算时，需要注意不能将根号内的数进行化简，需要保持根号下的数不变。
二次根式的加减法则
二次根式的加减法则
二次根式的加减法则是一种可以有效求解x平方+bx+c=0中x的值的方法，它是一种必学的数学知识，在学习数学过程中，也是一种非常重要的知识点，甚至是数学基本功之一。
因此，掌握二次根式的加减法则的计算方法，对于学习或理解数学的概念、结构以及计算方法等，将非常有用。
明确以下内容，了解二次根式的加减法则：
1. 二次根式的加减法则是什么？
二次根式的加减法则是一种非常有用的数学方法，用于求解二次方程的根。
- 1 -。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是代数中常见的一种形式，它包括了平方根和其他次方根。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行各种运算。
本文将介绍二次根式的基本运算方法和相关概念。
一、二次根式的定义二次根式可以表示为√a的形式，其中a为非负实数。
根号下的数称为被开方数，它代表了一个数的平方根。
二次根式也可以写为指数形式，如a的1/2次方或a的1/3次方。
二、二次根式的基本运算1. 二次根式的加减法对于同类项的二次根式，可以对它们的被开方数进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√(2 + 3)，即√5。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算需要注意求根的法则。
例如，√2 × √3可以化简为√(2 × 3)，即√6。
3. 二次根式的除法同理，对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数的根号下的数相除，并合并同类项。
例如，√6 ÷ √2 可以化简为√(6 ÷ 2)，即√3。
三、二次根式的化简有时候，我们需要将二次根式进行进一步的化简。
以下是几种常见的化简方式：1. 化简平方根如果一个二次根式的被开方数可以被完全平方数整除，那么我们可以化简为一个整数。
例如，√4可以化简为2。
2. 合并同类项对于具有相同根号下数的二次根式，我们可以合并它们，得到一个更简洁的表达式。
例如，√2 + √2可以合并为2√2。
3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们通常需要对分母进行有理化。
有理化的目的是将分母化为有理数，方便进行运算。
例如，将1/√3有理化分母，可以得到√3/3。
四、二次根式的应用二次根式在代数中有着广泛的应用。
它常出现在几何学、物理学等领域的计算中。
在几何学中，二次根式可以表示线段长度、面积以及体积等。
例如，计算某个多边形的面积时，可能需要计算边长的二次根式。
在物理学中，二次根式可以表示物理量的大小。
例如，物体的质量、速度等都可以用二次根式来表示。
总结：二次根式是代数中常见的一种形式，它包括平方根和其他次方根。
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(2)( 12 20) ( 3 5)
(3) 2 9x 6 x 2x 1
3
4
练习2计算练：习2
（1） 80 20 5
（2）18 （ 98 27）
（3）( 24 0.5) ( 1 6) 8
(4) 32 3 1 10 0.08 1 48
3
2
例3 要焊接一个如图所示的钢架，大 约需要多少米钢材（精确到0.1 m）?
B
2m
A
4m
D C
1m
小结：
本节课你学到了什么知识？你 有什么认识？
课后作业： 教科书第19页第3题； 习题21.3第2、3题.
二次根式的加减
问题：
现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用 如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2和 18 dm2的正方形木板？
7.5dm
8 18和7.5如何比大小？ 5dm
8 18 ?
18dm
8dm
8 18 dm
请思考下列问题：
（1） 8和 18是最简二次根式吗？
练习1
1.计算：
(1) 18 8
(2) 75 27
(3) 48 6 1 3
2(.4下)下列列计计算算正正确确的的是（是（））：
A. 5 2 3 C.4 5 5 4
B.8 3 2 11 2
D. a 3 a 1 a
2
2
例例22计计算算：：
(1)2 12 6 1 3 48 3
5 2
18 3 2 5
8 18 5 2 7.5
∴在这块木板上可以截出两个分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板．
二次根式的加减的一般步骤：
二次根式加减时，可以先将二次根 式化成最简二次根式，再将被开方数相同 的二次根式进行合并．
例1 计算：
（1）12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
（2）请把它们化为最简二次根式．
8=2 2
18 3 2
（3） 请你回答： 8 18 ?
现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图的 方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2和18 dm2的正 方形木板？
8 18
2 2 3 2 （化成最简二次根式）
(2 3) 2 （分配律）