山东理工大学《概率论与数理统计B》
概率论与数理统计工科教材
概率论与数理统计工科教材
概率论与数理统计是数学的一个重要分支，广泛应用于工科领域。
以下是一些常见的工科概率论与数理统计教材：
1. 《概率论与数理统计》（第二版），梁满发著，ISBN：，华南理工大学
出版社。
2. 《概率论与数理统计教程》（第二版），吴喜之著，ISBN：，高等教育
出版社。
3. 《概率论与数理统计》（第四版），盛骤、谢式千、潘承毅著，ISBN：，高等教育出版社。
4. 《概率论与数理统计讲义》（第二版），茆诗松、程依明、濮晓龙著，ISBN：，高等教育出版社。
5. 《概率论与数理统计》（第三版），魏宗舒主编，ISBN：，高等教育出
版社。
这些教材都涵盖了概率论与数理统计的基本内容，包括概率论的基本概念、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、样本分布、参数估计和假设检验等。
此外，工科领域还需要关注一些与具体专业相关的概率论与数理统计教材，例如工程概率统计、可靠性工程概率统计等。
《概率论与数理统计 B》习题四答案
E Y 2 02 0.7 12 0.3 0.3，D Y 0.3 0.3 0.21
2
E X 2Y E X 2 E Y 0.5 2 0.3 0.1 E 3 XY 3E XY 3 0 0 0.3 0 1 0.2 1 0 0.4 11 0.1 3 0.1 0.3 cov X , Y E XY E X E Y 0.1 0.5 0.3 0.05 cov X , Y D X D Y 0.05 21 21 0.25 0.21
E ( XY ) ， E ( X 2 Y 2 ) ， D( X ) ， D(Y ) 。
4
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
1 4 3 x 4 x3dx , E Y y 12 y 2 1 y dy ， 0 0 5 5 1 X 1 E XY xy 12 y 2 dydx ， 0 0 2
Y Pr
0.5
0.5
0 0.7
1 0.3
E X 0 0.5 1 0.5 0.5，E X 2 02 0.5 12 0.5 0.5 ，
D X 0.5 0.5 0.。
1 1 1 2 2 （2） E X x 2(1 x)dx ， x 2(1 x)dx ； 0 0 3 6 1 1 2 1 2 2 故 D( X ) E ( X ) ( E ( X )) ( ) 。 6 3 18
解： （1） E X
西南交通大学 2017—2018 学年第（一）学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
山东理工大学电气学院各专业情况
电气与电子工程学院自动化专业培养计划一、培养目标本专业培养能适应我国社会主义现代化建设需要的，德智体全面发展的，具有电工技术、电子技术、自动控制理论、自动检测与仪表、计算机应用等较宽领域的工程基础和专业知识的，能在工业过程控制、检测与自动化仪表、电子与计算机等领域从事系统分析、系统设计、系统运行、科技开发及研究等方面工作的高级工程技术人才。
二、业务培养要求本专业学生主要学习电工技术、电子技术、控制理论、自动检测与仪表、计算机技术与应用和网络技术等方面的基本理论和基本知识，受到较好的工程实践基本训练，具有系统分析、设计、开发与研究的基本能力。
三、主干学科控制科学与工程、电气工程、计算机科学与技术。
四、主要课程电路、信号与线性系统分析、模拟电子技术、数字电子技术、高频电子线路、电磁场与电磁波、信息论基础、电子电路设计自动化、嵌入式系统原理与设计、现代通信原理、数字信号处理等。
高年级设置若干专业方向的课程组。
五、主要实践性教学环节公益劳动、军训、课程实验、计算机上机训练、金工实习、电子工艺实习、课程设计、认识实习、生产实习、毕业设计（论文）等。
六、修业年限与授予学位本科4年,工学学士七、课程结构比例----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------自动化专业课程设置一览表----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-----------------------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-----------------------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-----------------------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------。
《概率论与数理统计》教学大纲
《概率论与数理统计》教学大纲课程编号：SC2113010课程名称：概率论与数理统计英文名称：Probability and Statistics 学时：46 学分：3课程类型：必修课程性质：公共基础课先修课程：高等数学、线性代数开课学期：第3学期适用专业：工、理（物理，化学）、经管类各专业开课院系：全校各院系（人文学院及数学系除外）一、课程的教学目标概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性及对这种客观规律性的观察组织和科学估计与判断的一门数学分支学科。
由于该学科理论严谨，应用广泛，因而已成为现代工程技术与社会经济管理人员必须掌握的一种技术工具及我校理、工、经、管各专业的公共基础课。
通过本课程的学习，要使学生掌握概率统计的基本概念，必要的基础理论，分析思想和常用的计算方法，从而为后继课程的学习和今后从事相关科研活动奠定基础。
二、课程的需求与任务本课程的需求与任务为：（a）为理、工、经、管各专业的后继专业基础课和专业课（如随机过程、随机运筹学、统计信号处理、随机信号分析、统计模式识别、雷达系统仿真与性能评估、统计物理、计量经济学等）提供概念、理论基础和应用方法支持；（b）为今后从事的各种随机动态系统（如通信系统、雷达系统、计算机控制系统等）的规划论证、系统分析、设计、仿真、决策与控制研究提供数学思想和数学方法支持。
三、课程内容及基本要求（一）概率论的基本概念（6学时）内容：随机试验、样本空间与随机事件；频率与概率；古典概型与几何概型；条件概率与独立性。
基本要求：（1）理解样本空间，随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。
能熟练运用事件的和，积，差运算表示未知的事件。
（2）了解概率的公理化体系及概率论的发展历史，掌握概率的基本性质。
熟练掌握概率的加法公式。
会计算古典概型和几何概型问题的概率。
（3）了解条件概率的概念，熟练掌握概率的乘法公式、全概率公式和Bayes 公式。
（4）了解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。
《概率论与数理统计B》实验教学指导书
《概率论与数理统计B》实验教学指导书实验类别：课内实验所属课程名称：概率论与数理统计B实验学时：16学时所属课程编码：N02081404实验室名称：大学数学实验中心实验室类别：基础实验教学中心参考书目：《概率论与数理统计教程》(第二版)，茆诗松、程依明、濮晓龙等编著，高等教育出版社、《数理统计理论、应用与软件实现》，宋爱斌主编，国防工业出版社适用专业：应用数学、信息与计算科学实验一 各种分布的密度函数与分布函数一、实验目的使学生了解MATLAB 系统，熟练掌握MATLAB 中基本语句以及分布律，概率密度函数和分布函数的相关命令并运用这些命令进行简单的相关概率运算。
二、实验内容及要求1、会利用 MATLAB 软件计算离散型随机变量的概率、连续型随机变量概率密度值, 以及产生离散型随机变量的概率分布(即分布律)；2、会利用 MATLAB 软件计算分布函数值，即：计算形如事件{}X x 的概率；3、给出概率p 和分布函数，会求下侧p 分位数；4、会利用 MATLAB 软件画出各种常见分布图形。
三、实验的重点和难点实验的重点和难点是要求学生掌握基本的MATLAB 软件的编程语言，掌握基本的调用命令。
四、实验准备实验室电脑需要安装MATLAB 软件。
五、实验步骤1、通过MATLAB 函数计算概率分布律及密度函数值 函数：pdf 或者namepdf格式：Y=pdf(‘name',K,A,B)或者：namepdf (K,A,B)说明：（1）上述函数表示返回在X=K 处、参数为A 、B 、C 的概率值或密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name 为分布函数名，其取值如表1。
（2）第一个函数名加' '，第二个无需加。
表1-1 常见分布名称表注意以下几个分布的分布律和密度定义： ①几何分布：(),k P X k pq ==0,1,k =,(),qE X p=2()q Var X p =；②正态分布：第二个参数是σ；③指数分布：1,0()0,0xe x p x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，参数是θ；例1．事件A 在每次试验中发生的概率是0.3，计算在10次试验中A 恰好发生6次的概率。
山东大学概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第2章
山东大学概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第2章2.1 随机事件与概率2.1.1 随机事件随机事件是指在一次试验中，可能出现的不同结果，通常用字母A，B，C，…表示。
例如，掷一枚骰子，可能出现的结果是1、2、3、4、5、6，我们可以用A表示结果为1，B表示结果为2，以此类推。
在概率论和数理统计中，随机事件是研究的对象，用来描述试验的结果。
2.1.2 概率的定义与性质概率是对随机事件发生的可能性的度量，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率具有以下性质：1.非负性：对任意事件A，有P(A) >= 0。
2.规范性：对样本空间Ω中的所有事件A，有P(Ω) =1。
3.可列可加性：对不相容的事件A1，A2，…，有P(A1 U A2 U …) = P(A1) + P(A2) + …其中，不相容的事件是指不可能同时发生的事件，也称为互不相容事件或互斥事件。
2.2 古典概型2.2.1 古典概型的概念与性质古典概型是指在试验中，各个基本事件发生的概率相等的情况。
在古典概型中，事件A发生的概率可以通过以下公式计算：P(A) = 事件A的基本事件数 / 样本空间Ω的基本事件数例如，抛一枚硬币的古典概型中，事件A表示出现正面，事件A的概率为1/2。
2.2.2 习题解答习题1某部门有4个职位，甲、乙、丙、丁，有8名候选人。
求任命结果中：(a)各职位都有人担任的概率；(b)甲、乙职位都有人担任的概率；(c)甲、乙职位都无人担任的概率。
解答：(a)各职位都有人担任的概率可以通过计算有人担任各职位的情况总数除以总情况数得到。
有人担任各职位的情况数为8 * 7 * 6 * 5 = 1680，总情况数为8 * 8 * 8 * 8 = 4096。
所以，概率为P(A) = 1680 / 4096。
(b)甲、乙职位都有人担任的概率可以通过计算甲、乙职位都有人担任的情况总数除以总情况数得到。
甲、乙职位都有人担任的情况数为8 * 7 * 6 * 5 = 1680，总情况数为8 * 8 * 8 * 8 = 4096。
概率论与数理统计B教案第二章
第二章随机变量及其分布在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.第一节随机变量的概念内容要点:一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.二、随机变量的定义定义设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数)X=(eX为随机变量.随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.例题选讲：例1(讲义例1)在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为S{正面, 反面},=记赢钱数为随机变量X, 则X作为样本空间S的实值函数定义为⎩⎨⎧=-==.,1,,1)(反面正面e e e X例2 (讲义例2) 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H 、反面T 出现情况的试验中, 其样本空间};,,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S = 记每次试验出现正面H 的总次数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 上的函数定义为1112223X TTTTTH THT HTT THH HTH HHT HHH e易见, 使X 取值为})2({2=X 的样本点构成的子集为},,,{THH HTH HHT A = 故 ,8/3)(}2{===A P X P 类似地，有.8/4},,,{}1{==≤TTT TTH THT HTT P X P例3 (讲义例3) 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=t t S 上的函数，即t t X X ==)(，是随机变量.课堂练习1. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.第二节 离散型随机变量及其分布函数内容要点:一、离散型随机变量及其概率分布定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =i x i , 称,2,1,}{===i p x X P i i为X 的概率分布或分布律, 也称概率函数.常用表格形式来表示X 的概率分布:n i n p p p p x x x X 2121二、常用离散分布退化分布 两点分布 n 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布.三、二项分布的泊松近似定理1 (泊松定理) 在n 重伯努利试验中, 事件A 在每次试验中发生的概率为n p (注意这与试验的次数n 有关), 如果∞→n 时, λ→n np (0>λ为常数), 则对任意给定的k , 有λλ-∞→=e k p n k b kn n !),,(lim .例题选讲：离散型随机变量及其概率分布例1 (讲义例1) 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X 的概率分布.例2 (讲义例2) 设随机变量X 的概率分布为:0,,2,1,0,!}{>===λλ k k aK X P k.试确定常数a .二项分布例3 (讲义例3) 已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.例4 (讲义例4) 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.例5 (讲义例5) 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是由3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 几何分布例6 (讲义例6) 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是p , 求所需射击发数X 的概率分布. 泊松分布例7 (讲义例7) 某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 二项分布的泊松近似例8 (讲义例8) 某公司生产的一种产品300件. 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?例9 (讲义例9) 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数5=λ的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至少应进某种商品多少件?例10 (讲义例10) 自1875年至1955年中的某63年间, 上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次, 试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型.课堂练习1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2, 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求X 的概率分布.第三节 随机变量的分布函数当我们要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念.内容要点：一. 随机变量的分布函数定义 设X 是一个随机变量, 称)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F为X 的分布函数.有时记作)(~x F X 或)(x F X .分布函数的性质1. 单调非减. 若21x x <, 则)()(21x F x F ≤；2. ;1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞→-∞→x F F x F F x x3. 右连续性. 即).()(lim 00x F x F x x =+→二、离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量X 的概率分布为n i n p p p p x x x X 2121则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx i xx i i i p x X P x X P x F )()()(.例题选讲：随机变量的分布函数例1（讲义例1）等可能地在数轴上的有界区间],[b a 上投点, 记X 为落点的位置(数轴上的坐标) , 求随机变量X 的分布函数.例2（讲义例2）判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.2/1,1,2/10,2/1,0,0)()3(;,1,0,sin ,0,0)()2(;0,1,02,2/1,2,0)()1(x x x x x F x x x x x F x x x x F ππ离散型随机变量的分布函数例3（讲义例3）设,2/16/13/1210i p X 求)(x F .例4 X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.例5（讲义例4）设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,19/15,21,19/9,1,0)(x x x x x F求X 的概率分布.课堂练习1．设随机变量X 的概率分布为4/12/14/1421i p X -,求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P第四节 连续型随机变量及其概率密度内容要点：一、 连续型随机变量及其概率密度定义 如果对随机变量X 的分布函数)(x F ,存在非负可积函数)(x f ,使得对于任意实数x 有.)(}{)(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为X 的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数. 关于概率密度的说明1. 对一个连续型随机变量X ,若已知其密度函数)(x f ,则根据定义,可求得其分布函数)(x F , 同时, 还可求得X 的取值落在任意区间],(b a 上的概率:⎰=-=≤<ba dx x f a Fb F b X a P )()()(}{2. 连续型随机变量X 取任一指定值)(R a a ∈的概率为0.3. 若)(x f 在点x 处连续, 则)()(x f x F =' (1)二、常用连续型分布 均匀分布定义 若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f 则称X 在区间),(b a 上服从均匀分布, 记为),(~b a U X .指数分布定义 若随机变量X 的概率密度为0.,0,0,)(>⎩⎨⎧>=-λλλ其它x e x f x则称X 服从参数为λ的指数分布.简记为).(~λe X正态分布定义 若随机变量X 的概率密度为.,21)(222)(∞<<∞-=--x e x f x σμσπ其中μ和)0(>σσ都是常数, 则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布. 记为).,(~2σμN X 注: 正态分布是概率论中最重要的连续型分布, 在十九世纪前叶由高斯加以推广, 故又常称为高斯分布. 一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布.标准正态分布正态分布当1,0==σμ时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用)(x ϕ和)(x Φ表示:,21)(22x e x -=πϕ ⎰∞--=Φxt dt e x 2221)(π标准正态分布的重要性在于, 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理 设),,(~2σμN X 则).1,0(~N X Y σμ-=标准正态分布表的使用：（1）表中给出了0>x 时)(x Φ的数值, 当0<x 时, 利用正态分布的对称性, 易见有);(1)(x x Φ-=-Φ（2） 若),1,0(~N X 则);()(}{a b b X a P Φ-Φ=≤< （3）若),(~2σμN X , 则),1,0(~N X Y σμ-=故X 的分布函数;}{)(⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=σμσμσμx x X P x X P x F⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤<-=≤<σμσμb Y a P b X a P }{.⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=σμσμa b例题选讲：连续型随机变量及其概率密度例1 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f π求其分布函数)(x F .例2（讲义例1）设随机变量X 具有概率密度⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,43,22,30,)(其它x x x kx x f}.2/71{)3();()2(;)1(≤<X P x F X k 求的分布函数求确定常数例3（讲义例2）设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=x x x x x F 1,110,0,0)(2求 (1) 概率}7.03.0{<<X P ; (2) X 的密度函数.常用连续型分布 均匀分布例4 （讲义例3）某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率. 指数分布例5（讲义例4）某元件的寿命X 服从指数分布, 已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率. 正态分布例6（讲义例5）设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤<X P X P F 例7 设某项竞赛成绩N X ~（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少？例8（讲义例6）将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d ℃，液体的温度X （以℃计）是一个随机变量，且 )5.0,(~2d N X(1) 若 09=d ℃，求X 小于89℃ 的概率；(2) 若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d 至少为多少？例9（讲义例7）某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人, 临时工20人; 报考的人数是1657人, 考试满分是400分. 考试后得知, 考试总平均成绩, 即166=μ分, 360分以上的高分考生31人. 某考生B 得256分, 问他能否被录取? 能否被聘为正式工? 例10（讲义例8）在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2. 假设电源电压X 服从正态分布N (220，252)，试求：(1) 该电子元件损坏的概率α;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率β.课堂练习1.已知)5.0,8(~2N X ，求 (1) );7(),9(F F (2) }105.7{≤≤X P ;(3) };1|8{|≤-X P(4) }.5.0|9{|<-X P2.某种型号电池的寿命X 近似服从正态分布),(2σμN , 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%, 为使其寿命在x -μ和x +μ之间的概率不小于0.9, x 至少为多少?第五节 随机变量函数的分布讲解注意：一、 随机变量的函数定义 如果存在一个函数)(X g , 使得随机变量Y X ,满足:)(X g Y =,则称随机变量Y 是随机变量X 的函数.注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律.一般地, 对任意区间I , 令})(|{I x g x C ∈=, 则},{})({}{C X I x g I Y ∈=∈=∈ }.{})({}{C X P I x g P I Y P ∈=∈=∈注: 随机变量Y 与X 的函数关系确定,为从X 的分布出发导出Y 的分布提供了可能.二、离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X 的概率分布为,2,1,}{===i p x X P i i易见, X 的函数)(X g Y =显然还是离散型随机变量.如何由X 的概率分布出发导出Y 的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值, 然后对Y 的每一个可能取值,,2,1, =i y i 确定相应的},)(|{i j j i y x g x C ==于是},{})({}{i i i i C X y x g y Y ∈==== .}{}{}{∑∈==∈==ij C x ji i x X P C X P y Y P从而求得Y 的概率分布.三、 连续型随机变量函数的分布一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数.设已知X 的分布函数)(x F X 或概率密度函数)(x f X , 则随机变量函数)(X g Y =的分布函数可按如下方法求得:}.{})({}{)(y Y C X P y X g P y Y P y F ∈=≤=≤=其中}.)(|{y x g x C y ≤=而}{y C X P ∈常常可由X 的分布函数)(x F X 来表达或用其概率密度函数)(x f X 的积分来表达:⎰=∈yC X y dx x f C X P )(}{进而可通过Y 的分布函数)(x F Y , 求出Y 的密度函数.定理1 设随机变量X 具有概率密度),(),(+∞-∞∈x x f X ,又设)(x g y =处处可导且恒有0)(>'x g (或恒有0)(<'x g ), 则)(X g Y =是一个连续型随机变量,其概率密度为⎩⎨⎧<<'=其它,0|,)(|)([)(βαy y h y h f y f Y其中)(y h x =是)(x g y =的反函数, 且)).(),(max()),(),(min(+∞-∞=+∞-∞=g g g g βα例题选讲：离散型随机变量函数的分布例1（讲义例1）设随机变量X 具有以下的分布律, 试求2)1(-=X Y 的分布律.4.01.03.02.02101i p X -连续型随机变量函数的分布例2（讲义例2）对一圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度.例3（讲义例3）设⎩⎨⎧<<=其它,040,8/)(~x x x f X X , 求82+=X Y 的概率密度.例4 设)1,0(~N X , 求2X Y =的密度函数.例5（讲义例4）已知随机变量X 的分布函数)(x F 是严格单调的连续函数, 证明)(X F Y =服从]1,0[上的均匀分布.例6（讲义例5）的线性函数试证明设随机变量X N X ).,(~2σμb aX Y +=)0(≠a 也服从正态分布.例7 （讲义例6） 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布, 求X Y ln 2-=的概率密度.例8 （讲义例8） (对数正态分布) 随机变量X 称为服从参数为2,σμ的对数正态分布, 如果X Y ln =服从正态分布),(2σμN . 试求对数正态分布的密度函数.注： 在实际中, 通常用对数正态分布来描述价格的分布, 特别是在金融市场的理论研究中, 如著名的期权定价公式（Black —Scholes 公式）, 以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格. 设某种资产当前价格为0P , 考虑单期投资问题, 到期时该资产的价格为一个随机变量, 记作1P , 设投资于该资产的连续复合收益率为r , 则有re P P 01=从而0101ln ln lnP P P P r -== 注意到0P 为当前价格, 是已知常数,因而假设价格1P 服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率r 服从正态分布.例9（讲义例7）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 求}2,min{X Y =的分布函数.课堂练习1. 设X 的分布列为10/310/110/110/15/12/52101i p X -试求: (1) 2X 的分布列; (2) 2X 的分布列.2. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,0,/2)(2其它ππx x x f求X Y sin =的概率密度.。
《概率论与数理统计》课程教案
《概率论与数理统计》课程教案主讲教师__________ 所在单位______________授课班级____________ 专业_____________________ 撰写时间_________________实验2 频率稳定性实验●随机投掷均匀硬币，观察国徽朝上与国徽朝下的频率解●>> n= 3000~;m=0;●for i=1:n● t=randperm(2); %生成一个1~2的随机整数排列● x=t-1; %生成一个0~1的随机整数排列● y=x(1); %取x排列的第一个值● if y==0;● m=m+1;● end●end●p1=m/n●p2=1-p1endendif k==0t=t+1; elset=t; endende=m/te = 2.7313实验4：蒲丰(Buffon)投针实验，用频率估计π值●在画有许多间距为d的等距平行线的白纸上，随机投掷一根长为l(l≤d)的均匀直针，求针与平行线相交的概率，并计算π的近似值解：设针与平行线的夹角为α(0≤α≤π)，针的中心与最近直线的距离为x(0≤x≤d/2)。
针与平行线相交的充要条件是x≤(l/2)sinα，这里x(0≤x≤d/2并且0≤α≤π。
建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，总的区域即x和α所有可能取值构成的矩形区域，且所有可能取值是机会均等的，符合几何概型，则所求概率为p=g的面积G的面积=∫l2sinαdαππd2=2lπd≈mn故可得π的近似计算公式π≈2nlmd，其中n为随机试验次数，m为针与平行线相交的次数。
解●>> clear,clf●n=;l=0.5;m=0;d=1;●for i=1:n● x=(l/2)*sin(rand(1)*pi); y=rand(1)*d/2;● if x>=y● m=m+1;● end●end●p1=m/n●pai=2*n*l/(m*d)实验5 生日悖论实验●在100个人的团体中，不考虑年龄差异，研究是否有两个以上的人生日相同。
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的联合分布列及关于 和关于 的边缘分布列中
的部分数值，试将其余数值填入空白处。（8分）
sdianqi2011ban@
密码sdianqi2011
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座号：山东理工大学《概率论与数理统计B》试卷纸
（A）卷2009-2010学年第二学期班级：姓名：学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
适用专业
农机08
考核性质
考试
闭卷
命题教师
考试时间
2010.04\100分钟
题号
一
二
三
四
总分
9、如果 且 与 相互独立，则有 =（）
(A) (B) (C) (D)
10、设 是取自总体 的一个样本， 为样本均值，则下列结论中正确的是（）山东理工大学《概率论与数理统计B》试卷纸
（A）卷2009-2010学年第二学期班级：姓名：学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
二、概率论应用题：（40分）
1、(10分)设甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球。从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后从乙袋中任取一球。
（1）求此球为白球的概率；
（2）已知从乙袋中取得的球为白球，求从甲袋中取得的2个球都是白球的概率。
2、（15分）设随机变量 在区间[1,5]上服从均匀分布，求：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
三、数理统计应用题：（每题10分，共20分）
1、设总体 服从参数为 的泊松分布，概率分布为 ，其中 为未知参数；取样本 ，记样本观测值为 ，求参数 的最大似然估计量。
2、随机抽取某班16名学生的英语考试成绩，得平均分数为 分，样本标准差 分，若全年级的英语成绩服从
得分
评阅人
复核人
（参考数据： ， ， ， ， ，
， ， ）
一、填空、选择题：（每题2分，共20分；请将各题的答案填入下列表格）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1、已知事件 相互独立，且 则 =.
2、若随机变量 在区间[1,5]上服从均匀分布，则关于 的方程 有实根的概率是.
3、设 服从泊松分布 ，则期望 .
4、某种零件长度 （单位：cm）服从正态分布 ，今从中任取9个零件抽检，则9个零件的平均长度大于 cm的概率为.
5、设 是正态总体 的一组样本，已知统计量 是 的无偏估计量，则常数 .
6、下列函数中可以作为某个随机变量分布函数的是（）
(A) (B) (C) (D)
7、设随机变量 与 独立同分布，且 ，则下列各式成立的是（）
(A) (B) (C) (D)
8、设 的分布函数为 ，则 的分布函数 为（）
(A) (B) (C) (D)
（1）随即变量 的概率密度；（2） 的分布函数 ；（3）概率 。
3、（15分）设随机变量 的联合概率密度为 ，
（1）求常数 的值以及边缘概率密度 ；
（2）分析随机变量 是否相互独立，是否不相关。
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山东理工大学《概率论与数理统计B》试卷纸
（A）卷2009-2010学年第二学期班级：姓名：学号：
正态分布，且平均成绩为 分，试问在显著性水平 下，该班的英语成绩与全年级的英语平均成绩是否有显著差异？
四、解答下列问题：（20分）
1、设随机变量 和 的数学期望分别是2和 ，方差分别是1和4，相关系数为 .
（1）求 及 ；（8分）（2）试用切比雪夫不等式估计概率 .(4分)
2、设随机变量 与 相互独立，右表列出了二维随机变量