57 不等式选讲-艺考生文化课百日冲刺

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(一)生活与消费-艺考生文化课百日冲刺政治

（一）生活与消费1.2010年国庆节期间，小明一家选择了标价为1880元／人的上海世博五日游，小明花200元买了几件世博特许纪念品。

这里涉及的货币职能依次是A．支付手段价值尺度 B．价值尺度流通手段 C．价值尺度支付手段 D．支付手段流通手段2．某企业因生产的酱油、醋等调味品质量不合格被曝光，该企业被责令立即整改和召回不合格调味品。

这些调味品A．是商品，具有部分使用价值和价值 B．不具有应有的使用价值，不是商品C．是劳动产品，并用于交换，是商品 D．是不是商品关键要看能否卖出去3．某国2010年的商品价格总额为32万亿元，流通中需要的货币量为4万亿元。

假如2011年该国商品格总额增长10%，其他条件不变，理论上2011年流通中需要的货币量为A.4万亿元B.8万亿元 C．3.2万亿元 D．4.4万亿元据调查统计，我国现阶段不同阶层的主要消费需求情况如下：富裕阶层购买高级住宅、家庭小汽车，小康阶层更新家电、购买新房，温饱阶层购买家电、改善住房，贫困阶层购买吃、穿、用等生存资料。

据此回答4-5题。

4．上述材料表明A．我国居民生活正由温饱型向小康型过渡 B．居民消费类型具有多样性C．居民消费水平提高 D．享受型、发展型消费占主导地位5．影响上述消费的直接原因是A．国家经济发展水平 B．人口因素 C．物价水平 D．家庭收入6．俗话说“无酒不成席”，一些饭店利用了这一点，他们推出的饭菜仅收成本价，借此吸引顾客，将利润的主要来源放在了洒水上。

从经济生活角度看，饭店巧妙利用了①两种商品是互为替代品的特点②价格手段吸引消费者③两种商品是互补商品的特点④消费者的消费心理A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④7.2011年2月21日，l美元对人民币报价为6.57元。

自2005年我国汇率制度改革以来，人民币已累计升值24℅.据此推算，2005年我国实行汇率制度改革时100元人民币大约兑换A.8美元 B．11美元 C．12美元 D．14美元8.2010年11月，海南文昌市宝玉宫展出一颗重达6吨，直径1.6米的夜明珠，业内估价22亿元人民币。

艺考生文化课新高考数学百日冲刺复习课时分组冲关：第6章立体几何第7节第2课时

第六章第7节第2课时1．(2019·上海市一模)如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O －xyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0,0,2)，平面ABC 的法向量为n ＝(2,1,2)，设二面角C －AB －O 的大小为θ，则cos θ＝( )A ．－53 B.53 C.23 D ．－23解析：C [∵点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系 O －xyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0,0,2)，平面ABC 的法向量为n ＝(2,1,2)，二面角C －AB －O 的大小为θ， ∴cos θ＝OC →·n |OC →||n |＝42×3＝23.故选C.]2．(2019·金华市模拟)在空间直角坐标系O －xyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．1解析：B [由已知平面OAB 的一条斜线的方向向量OP →＝(－1,3,2)，所以点P 到平面OAB 的距离d ＝|OP →|·|cos 〈OP →，n 〉|＝|OP →·n ||n |＝|－2－6＋2|22＋(－2)2＋1＝2. 故选B.]3．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D ，E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3 D.π2解析：A [∵AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，AC 2＝BC 2＋AB 2，∴AB ⊥BC .∵三棱柱为直三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC .以B 为原点，BC ，BA ，BB 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则A (0,1,0)，C (3，0,0)．设B 1(0,0，a )，则C 1(3，0，a )，∴D ⎝⎛⎭⎫32，12，a 2，E ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，∴DE →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，0，平面BB 1C 1C 的法向量BA →＝(0,1,0)．设直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈DF →，BA →〉|＝12，∴α＝π6.]4．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交于点D ，则平面B 1BD 与平面CBD 所成的二面角的余弦值为( )A ．－33 B ．－63 C.33D.63解析：A [建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，B (2，0,0)，A (0,1,0)，B 1(2，0,1)，D ⎝⎛⎭⎫22，12，12，CD →＝⎝⎛⎭⎫22，12，12，CB →＝(2，0,0)，BA →＝(－2，1,0)，BB 1→＝(0,0,1)．设平面CBD 和平面B 1BD 的法向量分别为n 1，n 2，可得n 1＝(0,1，－1)，n 2＝(1，2，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝33，又平面B 1BD 与平面CBD 所成的二面角的平面角与〈n 1，n 2〉互补，故平面B 1BD 与平面CBD 所成的二面角的余弦值为－33.故选A.]5．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A. 2B. 3 C ．2D.22解析：A [如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)．设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝2y ＋2z ＝0m ·CD →＝x ＋az ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－z x ＝－az ，令z ＝－1，则m ＝(a,1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由 cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，解得a ＝2，所以AD ＝ 2.故选A.]6．如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．解析：∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，∴AE ⊥ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，F (0,2,0)，C (0,2,1)，∴AF →＝(－1,2,0)，EC →＝(0,2,1)，∴cos 〈AF →，EC →〉＝AF →·EC →|AF →|·|EC →|＝45×5＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.答案：457．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为________．解析：以C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A (2,0,0)，C 1(0,0,22)．点C 1在侧面ABB 1A 1内的射影为点C 2⎝⎛⎭⎫32，32，22.所以AC 1→＝(－2,0,22)，AC 2→＝⎝⎛⎭⎫－12，32，22，设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则cos θ＝AC 1→·AC 2→|AC 1→||AC 2→|＝1＋0＋823×3＝32.又θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以θ＝π6. 答案：π68．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．解析：如图建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)，∴D 1A 1→＝(2,0,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0) . 设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0n ·DB →＝2x ＋2y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.答案：2339．(2019·乌鲁木齐一模)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AA 1＝AC ＝2AB ，M ，N 分别为BC ，A 1C 1的中点．(1)求证AM ⊥BN ；(2)求二面角B 1－BN －A 1的余弦值．解：(1)证明：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立如图空间直角坐标系A －xyz ，设AB ＝1，则AA 1＝AC ＝2，A (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，22，0，B (1,0,0)，N ⎝⎛⎭⎫0，22，2，A 1(0,0，2)，B 1(1,0，2)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎫12，22，0，BN →＝⎝⎛⎭⎫－1，22，2，∵AM →·BN →＝－12＋12＋0＝0，∴AM ⊥BN .(2)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥AM ，又AM ⊥BN ，∴AM ⊥平面BB 1N ，设平面A 1BN 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,0，2)，A 1N →＝⎝⎛⎭⎫0，22，0，则⎩⎨⎧m ·BA 1→＝－x ＋2z ＝0m ·A 1N →＝22y ＝0，取z ＝1，得m ＝(2，0,1)，设二面角B 1－BN －A 1的平面角为θ，则cos θ＝m ·AM →|m ||AM →|＝23.∴二面角B 1－BN －A 1的余弦值为23.10．(2019·赤峰市模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，∠A 1AC ＝60°，AC ＝2AA 1＝4，点D ，E 分别是AA 1，BC 的中点．(1)证明：DE ∥平面A 1B 1C ；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝60°，求二面角B －AA 1－E 的余弦值．解：(1)证明：取AC 的中点F ，连接DF ，EF ，∵E 是BC 的中点，∴EF ∥AB ， ∵ABC －A 1B 1C 1是三棱柱，∴AB ∥A 1B 1，∴EF ∥A 1B 1，∴EF ∥平面A 1B 1C ， ∵D 是AA 1的中点，∴DF ∥A 1C ，∴DF ∥平面A 1B 1C ，又EF ∩DE ＝E ，∴平面DEF ∥平面A 1B 1C ，∴DE ∥平面A 1B 1C ； (2)过点A 1作A 1O ⊥AC ，垂足为O ，连接OB ， ∵侧面ACC 1A ⊥底面ABC ，∴A 1O ⊥平面ABC ， ∴A 1O ⊥OB ，A 1O ⊥OC ，∵∠A 1AC ＝60°，AA 1＝2，∴OA ＝1，OA 1＝3，∵AB ＝2，∠OAB ＝60°，由余弦定理得，OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB cos ∠BAC ＝3， ∴OB ＝3，∠AOB ＝90°，∴OB ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系O －xyz ，由题设可得A (0，－1,0)，C (0,3,0)，B (3，0,0)， A 1(0,0，3)，E ⎝⎛⎭⎫32，32，0，AA 1→＝(0,1，3)，AB →＝(3，1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫32，52，0，设平面AA 1B 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝y ＋3z ＝0n ·AB →＝3x ＋y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－ 3 ,1)，设平面AA 1E 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·AA 1→＝y 1＋3z 1＝0m ·AE →＝32x 1＋52y 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(5，－3，1)，设二面角B －AA 1－E 的平面角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝95·29＝9145145，∴二面角B －AA 1－E 的余弦值为9145145.。

2021年高考数学备考艺体生百日冲刺1.1集合(通用原卷版)

2021年高考数学备考艺体生百日冲刺专题1.1 集合集合是高考必考内容.命题特点是，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素（不等式的解、函数的定义域或值域），进一步进行交、并、补等运算．常见选择题，属容易题.近两年新定义问题在浙江、江苏、北京等试卷中有所考查.1.元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．（4）常见数集及其符号表示2.集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为或．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3.集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示 A B ⊆B A ⊇A B ⊆（2）三种运算的常见性质，，，，，．，，．，，，．【典例1】（2020·山东海南省高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【典例2】（2020·北京高考真题）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则AB =（）． A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}【典例3】（2020·全国高考真题（理））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【易错提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．A A A = A ∅=∅ AB B A = A A A = A A ∅= A B BA =(C A)A U U C =U C U =∅U C U ∅=AB A A B =⇔⊆A B A B A =⇔⊆()U U UC A B C A C B =()U U U C A B C A C B =2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．【典例4】（2019·山东济南市历城第二中学月考）集合{}24,A x x x R ==∈,集合{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________.【释疑解惑】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．【典例5】（2018·全国高考真题（理））已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【典例6】（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【典例7】（2015·湖北高考真题（理））已知集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x,y ∈Z}，B ={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y ∈Z}，定义集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A, (x 2,y 2)∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（） A ．77 B ．49 C ．45 D ．30【典例8】（2020·浙江省高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【总结提升】1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况． 3.解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．1.（全国高考真题（文））已知集合A ={x|x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．5B ．4C ．3D ．22.（2020·浙江省高考真题）已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（）A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}<<x x3．（2020·全国高考真题（理））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B ⋃=（）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}4．（2020·全国高考真题（文））已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．55.（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（） A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）6.（2020·天津高考真题）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---7．（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}8．（2020·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4B ．–2C ．2D ．49.（全国高考真题（理））已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（）A.0B.0或3C.1D.1或310．（2020·全国高考真题（文））已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（） A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}11．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}xA B ，已知{}25A x x =-<<，{}3B x x =≤，则A B ⨯=__________.12．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5A =，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有______个．。

《艺术生新高考数学百日冲刺》考点24 基本不等式及其应用20200901

②ba＋ab≥2
③sin x＋sin1 x≥Biblioteka (x≠kπ，k∈Z)答案 ④
④ x＋ 1x≥2(x>0)
解析对于选项①，当 x<0 时显然不成立；对于选项②，当ba <0 时显然不成立；对选项③，当 sin x<0 时显然不成立；只有选项④正确.
解题要点在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不可.
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艺术生新高考数学百日冲刺
考点 24 基本不等式及其应用
知识梳理
1．重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2．基本不等式： ab≤a＋2 b( a≥0，b≥0)，当且仅当 a＝b 时取等号．其中a＋2 b称为 a，b 的算术平均数， ab称为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 3.基本不等式的几个常见变形 (1) a＋b≥2 ab (a，b＞0)． (2) x＋1x≥2(x＞0)，ba＋ab≥2(a，b 同号)．
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艺术生新高考数学百日冲刺
当堂练习
1．若 0<x<32，则 y＝x(3－2x)的最大值是________． 2．已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最小值是________． 3. 已知 f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有________． 4．已知函数 f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝______. 5．若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围是________．

高考数学压轴专题开封备战高考《不等式选讲》技巧及练习题附解析

高中数学《不等式选讲》复习知识点一、141．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.3．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),13,-∞+∞UB ．()(),13,-∞⋃+∞C ．[]1,3D ．()1,3【答案】C 【解析】【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-；当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．4．设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+，对任意正整数m 、n （m >n ）都成立的是（）. A ．12n m ma a -< B ．12n m ma a ->C ．12n m na a -<D ．12n m na a ->【答案】C 【解析】【分析】先作差，再根据三角函数有界性放缩，进而根据等比数列求和确定选项. 【详解】212sin1sin 2sin sin(1)sin(2)sin 222222n m n n n n mn n n ma a a ++++=++⋅⋅⋅+∴-=++⋅⋅⋅+Q 12sin(1)sin(2)sin ||||222m n n n mn n ma a ++++∴-=++⋅⋅⋅+ 12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n mn n m ++++≤++⋅⋅⋅+11211(1)11111122122222212n m n n n m n m n +-++-≤++⋅⋅⋅+==-<- 故选：C 【点睛】本题考查三角函数有界性、等比数列求和以及放缩法，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.5．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（） A ．33B ．13C ．22D ．63【答案】D 【解析】【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，22||OM a b =+，根据柯西不等式得到a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，22||OM a b =+，所以222222291||()()(31)4OM a b a b a b=+=+++=…，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，6e =．故选D ．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．6．已知，，则使不等式一定成立的条件是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为若，则，已知不等式不成立，所以，应选答案D 。

高考数学压轴百日冲刺快速提分秘籍不等式的证明技巧.doc

高考数学压轴百日冲刺快速提分秘籍不等式的证明技巧【高考地位】证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一比较法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系；第二步得出结论.考点：不等式的证明.方法二分析法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；第二步把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；第三步如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.考点：绝对值不等式的证明.方法三综合法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件；第二步根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式；第三步得出结论.考点：基本不等式证明不等式方法四放缩法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步根据已知找出其通项公式an=f(n)；第二步然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩；第三步利用数列求和公式即可得出结论.考点：不等式的证明.方法五数学归纳法使用情景：对于含有n(n∈N)的不等式类型解题模板：第一步验证当n取第一个值时不等式成立；第二步当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在n=k(n∈N)时成立的假设下，还能证明不等式在n=k+1也成立；第三步这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立得出结论.考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合.方法六换元法使用情景：对于一般的不等式证明解题模板：第一步恰当的换元，适当的引入参数；第二步利用已知求出新元的取值范围；第三步根据现有的不等式放缩法得出结论.。

艺考生文化课新高考数学百日冲刺复习课时分组冲关第7章平面解

艺考生文化课新高考数学百日冲刺复习课时分组冲关第7章平面解Ruize知识分享第七章第8节1．已知抛物线y2＝2某，过点(－1,2)作直线l，使l与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A．0条B．1条C．2条D．3条解析：D[因为点(－1,2)在抛物线y2＝2某的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(－1,2)的切线，过点(－1,2)与某轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(－1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点，故选D.]2．直线y＝某＋1截抛物线y2＝2p某所得弦长为26，此抛物线方程为()A．y2＝－2某B．y2＝6某C．y2＝－2某或y2＝6某D．以上都不对解析：C[由y＝某＋1，y2＝2p某得某2＋(2－2p)某＋1＝0.某1＋某2＝2p－2，某1某2＝1.∴26＝1＋12·(某＋某2)2－4某1某2＝2·(2p－2)2－4.解得p＝－1或p＝3，∴抛物线方程为y2＝－2某或y2＝6某.故选C.]3．过点P(1,1)作直线与双曲线某2－y22＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线()A．存在一条，且方程为2某－y－1＝0B．存在无数条C．存在两条，方程为2某±(y＋1)＝0D．不存在解析：D[设A(某1，y1)，B(某2，y2)，则某1＋某2＝2，y1＋y2＝2，则某21－2y2＝1，某22－2y22＝1，两式相减得(某1－某2)(某1＋某2)－2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以某1－某2＝2(y1－y2)，即kAB＝2，故所求直线方程为y－1＝2(某－1)，即2某－y－1＝0.联立y＝2某－1，某2－2y2＝1可得2某2－4某＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D.]4．(2022·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4某的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()Ruize知识分享A．5B．6C．7D．8解析：D[如图焦点F(1,0)，直线的方程为y＝23(某＋2)，将其代入y2＝4某得：某2－5某＋4＝0，设M(某1，y1)，N(某2，y2)，则某1＋某2＝5，某1某2＝4，∴FM→·FN→＝(某1－1，y1)·(某2－1，y2)＝(某1－1)(某2－1)＋y1y2＝某1某2－(某1＋某2)＋1＋23(某1＋2)·23(某2＋2)＝139某1某2－9(某1＋某2)＋259＝139某4－9某5＋259＝8.]5．(2022·浙江百校联盟联考)已知椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O 为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A.35B.2C.23D.34解析：A[因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为bca，即|OC|＝bca，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为a＋c2，bca，代入椭圆方程得(a＋c)24a2＋c2b2a2b2＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又035.故选A.]6．(2022·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4某，过C 的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.解析：设直线AB的方程为y＝k(某－1)，由y2＝4某y＝k(某－1)得k2某2－(2k2＋4)某＋k2＝0，设A(某1，y1)，B(某2，y2)．则某1＋某2＝2k2＋4k2，某1·某2＝1.∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1Ruize知识分享解y1－1某1＋1·y2－1某2＋1＝－1.化简得k2－4k＋4＝0，解得k＝2.答案：27．过点M(2，－2p)作抛物线某2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．解析：设点A(某1，y1)，B(某2，y2)，依题意得，y′＝某p，切线MA的方程是y－y1＝某1p(某－某1)，即y＝某1p某－某212p.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝某1p某2－某212p，即某21－4某1－4p2＝0；同理有某22－4某2－4p2＝0，因此某1，某2是方程某2－4某－4p2＝0的两根，则某1＋某2＝4，某1某2＝－4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，即某21＋某222p＝(某1＋某2)2－2某1某22p＝12，16＋8p22p＝12，解得p＝1或p＝2.答案：1或28．(2022·泉州市模拟)椭圆某24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l 交椭圆与P、Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是________________________________________________________________ ________．解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ内切圆的半径的最大值即可．设直线l方程为某＝my＋1，与椭圆方程联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设P(某1，y1)，Q(某2，y2)，则y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，于是S△F1PQ＝12|F1F2|·|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝12m2＋1(3m2＋4)2.∵m2＋1(3m2＋4)2＝19m2＋9＋1m2＋1＋6≤116，∴S△F1PQ≤3所以内切圆半径r＝2S△F1PQ8≤34，因此其面积最大值是916π.答案：916π9．(2022·北京模拟)已知椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22－某2＝1的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于某轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．Ruize知识分享(1)求椭圆C的方程；(2)求OA→·OB→的取值范围．解：(1)由题意知e＝ca＝12，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝14，所以a2＝43b2.因为双曲线y22－某2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b＝3，所以a2＝4，所以椭圆C的方程为某24＋y23＝1.(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2,0)，B(2,0)，则OA→·OB→＝－4，当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为某＝my＋4，由某＝my＋4，3某2＋4y2＝12(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，由Δ>0(24m)2－4某(3m2＋4)某36>0m2>4，设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．因为y1＋y2＝－24m3m2＋4，y1y2＝363m2＋4，所以OA→·OB→＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝1163m2＋4－4，因为m2>4，所以OA→·OB→∈－4，134.综上所述，OA→·OB→的取值范围为－4，134.10．(2022·贵阳市一模)已知椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线某22－y2＝1渐近线的距离为33.(1)求椭圆C的方程；(2)直线AB：y＝k某＋m(k＜0)与椭圆C交于不同的A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线AB的距离为255，求直线AB的方程．解：(1)∵椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，∴ca＝22，∵双曲线某22－y2＝1的一条渐近线方程为某－2y＝0，椭圆C的左焦点F1(－c,0)，∵椭圆C的焦点F1到双曲线某22－y2＝1渐近线的距离为33.Ruize知识分享∴d＝|－c|1＋2＝33＝c3得c＝1，则a＝2，b＝1，则椭圆C的方程为某22＋y2＝1；(2)设A，B两点的坐标分别为A(某1，y1)，B(某2，y2)，由原点O到直线AB的距离为255，得|m|1＋k2＝255，即m2＝45(1＋k2)，①将y＝k某＋m(k＜0)代入某22＋y2＝1；得(1＋2k2)某2＋4km某＋2m2－2＝0，则判别式Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，∴某1＋某2＝－4km1＋2k2，某1某2＝2m2－21＋2k2，∵以线段AB为直径的圆经过点F2，∴AF2→·BF2→＝0，即(某1－1)(某2－1)＋y1y2＝0.即(某1－1)(某2－1)＋(k某1＋m)(k某2＋m)＝0，即(1＋k2)某1某2＋(km－1)(某1＋某2)＋m2＋1＝0，∴(1＋k2)2m2－21＋2k2＋(km－1)－4km1＋2k2＋m2＋1＝0，化简得3m2＋4km－1＝0②由①②得11m4－10m2－1＝0，得m2＝1，∵k＜0，∴m＝1k＝－12，满足判别式Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，∴AB的方程为y＝－12某＋1.。

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命题热点集训（五十七）不等式选讲
1．设,10<<x 则x
c x b x a -=+==11,1,2中最大的一个是 a A . b B . c C . D ．无法判断
2．已知不等式01|2|<-+-t t x 的解集为,21(-),2
1则=t 0.A 1.-B 2.-C 3.-D
3．已知,11|||)(-+=x x x f 则)(,)2
1(x f f -----=2<时x 的取值范围是 4．如果关于x 的不等式a x x ≥-+-|3||2|的解集为R ，则a 的取值范围是
5．若a ，b ，c>0且,324)(-=+++bc c b a a 则b a +2c +的最小值为
6．不等式0|2||12|<---x x 的解集为
7．解不等式.3|12|<-+x x
8．设不等式1|12|<-x 的解集为M
(1)求集合M ；
(2)若,,M b a ∈试比较1+ab 与b a +的大小．
9．是否存在常数C ，使得不等式
≤≤+++C y x y y x x 22y x y y x x +++22对任意正数x 、y 恒成立？试证明你的结论．
10.已知a 、b 为正数，求证：
(1)若,1b a >+则对于任何大于1的正数x ，恒有b x x ax >-+
1成立； (2)若对于任何大于1的正数x ，恒有b x x ax >-+
1成立，则.1b a >+。