函数与基本初等函数专题
基本初等函数、函数与方程 专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)
冲刺2023年高考二轮 基本初等函数、函数与方程（原卷+答案）1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x －14，x ≤1log a x －1，x >1，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( )A ．116 ≤a <1B ．116 <a <1 C ．0<a ≤116 D ．0<a <1164．若函数f (x )＝x ＋ax －1在(0，2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，145．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的15 ，则信息传递速度C 大约增加了( )(参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213%6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，8)C ．(0，8)D ．(0，＋∞)7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h )的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12， (如图所示)实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋2，x ≤0x －3＋e x，x >0 的零点个数为________. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤1log 2x ，x >1 ，若1<f (a )≤2，则实数a 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －2－102－x ，x ≤2||x －3－1，x >2，则不等式f (x )＋f (x －1)<0的解集为________．12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 恰有两个零点，则实数c 的取值范围是________．13.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(0，1)14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，0≤x ≤12sin π2x －1，1<x ≤2，若关于x 的方程m ln ||x ＝f (x )至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1ln 5B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1ln 6，1ln 5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1ln 5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，1ln 5参考答案1．解析：函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的定义域为（－1，4）. 要求函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间， 只需求y ＝4＋3x －x 2的增区间，只需x <32 . 所以－1<x <32 .所以函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 .故选C.答案：C2．解析：当函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调递减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <112a ≥1a －54≥－1，解得14 ≤a ≤12 ，因为a >0且a ≠1，所以当x ≤1时，f （x ）不可能是增函数， 所以函数f （x ）在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 ，故选B.答案：B3．解析：当a >1时，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ，可得log a x <0，则－log a x >0，又由x 2>0，此时不等式x 2－log a x <0不成立，不合题意； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递减，此时函数y ＝－log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，又由y ＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，要使得不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－log a 12 ≤0，解得116 ≤a <1.故选A.答案：A4．解析：函数f （x ）＝x ＋ax －1在（0，2）上有两个不同的零点等价于方程x ＋ax －1＝0在（0，2）上有两个不同的解，即a ＝－x 2＋x 在（0，2）上有两个不同的解．此问题等价于y ＝a 与y ＝－x 2＋x （0<x <2）有两个不同的交点．由下图可得0<a <14 .故选D. 答案：D5．解析：提升前的信息传递速度C ＝W log 2S N ＝W log 21 000＝3W log 210＝3Wlg 2≈10W ，提升后的信息传递速度C ′＝2W log 210S 15N ＝2W log 250SN ＝2W log 250 000＝2W ·4＋lg 5lg 2 ＝2W ·5－lg 2lg 2 ≈94W 3 ，所以信息传递速度C 大约增加了C ′－CC ＝943W －10W 10W ≈2.13＝213%.故选D.答案：D6．解析：函数g （x ）有四个不同的零点等价于函数f （x ）的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点．画出f （x ）的大致图象，如图所示．由图可知m ∈（4，8）.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，则－4<x 1<－2<x 2<0，且x 1＋x 2＝－4.所以x 2＝－x 1－4，所以x 1x 2＝x 1（－x 1－4）＝－（x 1＋2）2＋4∈（0，4），则0<x 3<1<x 4，因为||log 2x 3 ＝||log 2x 4 ，所以－log 2x 3＝log 2x 4，所以log 2x －13 ＝log 2x 4，所以x 3·x 4＝1，所以x 1·x 2·x 3·x 4＝x 1·x 2∈（0，4）.故选A. 答案：A7．解析：由f （x ＋2）＝f （－x ）可得f （x ）关于x ＝1对称， 由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ）＝－f （x ）＝－[－f （x －2）]＝f （x －2）， 所以f （x ）的周期为4,求函数y ＝f （x ）－x 3的零点问题即y ＝f （x ）－x 3＝0的解， 即函数y ＝f （x ）和y ＝x 3的图象交点问题，根据f （x ）的性质可得如图所示图形，结合y ＝x 3的图象，由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，故选B. 答案：B8．解析：（1）由题图可知，当t ＝12 时，y ＝1，所以2k ＝1，所以k ＝2. （2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t ，t ≥12，当t ≥12 时，y ＝12t ，令y <0.75，得t >23 ，所以在消毒后至少经过23 小时，即40分钟人方可进入房间．答案：（1）2 （2）409．解析：当x ≤0时，令x 3＋2＝0，解得x ＝3－2 ，3－2 <0，此时有1个零点；当x >0时， f （x ）＝x －3＋e x ，显然f （x ）单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－52 ＋e 12 <0，f （1）＝－2＋e>0，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点．答案：210．解析：若a ≤1，则f （a ）＝4a －1，故1<4a －1≤2，解得12 <a ≤log 43，故12 <a ≤log 43；若a >1，则f （a ）＝log 2a ，故1<log 2a ≤2，解得2<a ≤4； 综上：12 <a ≤log 43或2<a ≤4. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，log 43 ∪（2，4]11．解析：①当x ≤2时，x －1≤1，∵f （x ）＝10x －2－102－x 在（－∞，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝0，又f （x －1）≤f （1）<f （2）＝0， ∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；②当2<x ≤3时，1<x －1≤2，f （x ）＝||x －3 －1＝2－x <0， 又f （x －1）≤f （2）＝0，∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；③当3<x ≤4时，2<x －1≤3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝3－x ；∴f （x ）＋f （x －1）＝－1<0恒成立；④当x >4时，x －1>3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝x －5，∴f （x ）＋f （x －1）＝2x －9<0，解得x <92 ，∴4<x <92 ； 综上所述：不等式f （x ）＋f （x －1）<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 12．解析：因为a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.，所以f （x ）＝（x 2－2）⊗（x －1）＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 ，由图可知，当－2<c ≤－1或1<c ≤2时，函数f （x ）与y ＝c 的图象有两个公共点，∴c 的取值范围是（－2，－1]∪（1，2]. 答案：（－2，－1]∪（1，2] 13．解析：令g （x ）＝f （x ）－x 2， 因为f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （－x ）＝f （x ），则g （－x ）＝f （－x ）－（－x ）2＝g （x ）， 所以函数g （x ）也是偶函数， g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ，因为当x ≥0时，f ′（x ）－2x >0，所以当x ≥0时，g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ≥0， 所以函数g （x ）在（0，＋∞）上递增， 不等式f （x ）>x 2＋2即为不等式g （x ）>2， 由f （1）＝3，得g （1）＝2， 所以g （x ）>g （1），所以||x >1，解得x >1或x <－1，所以f （x ）>x 2＋2的解集是（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 故选B. 答案：B14．解析：因为f （2－x ）＝f （2＋x ），且f （x ）为偶函数， 所以f （x －2）＝f （x ＋2），即f （x ）＝f （x ＋4）， 所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，作出y＝f（x），y＝m ln x在同一坐标系的图象，如图，因为方程m ln ||x＝f（x）至少有8个实数解，所以y＝f（x），y＝m ln |x|图象至少有8个交点，根据y＝f（x），y＝m ln |x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当m>0时，只需m ln 5≤1，即0<m≤1ln 5，当m<0时，只需m ln 6≥－1，即－1ln 6≤m<0，当m＝0时，由图可知显然成立，综上可知，－1ln 6≤m≤1ln 5.故选B.答案：B。
专题二 第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质
函数，
所以由15<(15)b<(15)a<1 得 0<a<b<1，
所以0<
a b
<1.
所以y＝ax，y＝bx，y＝( a )x在(－∞，＋∞)上都是
b
递减函数，
从而ab<aa，( a)a<1得ba>aa， b
故ab<aa<ba，
答案选B.
答案 B
(2)已知函数 f(x)＝2x－21x，函数 g(x)＝ffx－，xx，≥x0<，0，
变式训练1
(1)(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，
f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))等于( C )
A.－5
B.－1 C.3 D.4
解析
lg(log210)＝lg
1 lg 2
＝－lg(lg
2)，
由f(lg(log210))＝5，
得a[lg(lg 2)]3＋bsin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，
2
则实数a的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)
思维启迪 可利用函数图象或分
类讨论确定a的范围；
解析 方法一 由题意作出y＝f(x)的图象如图. 显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a).故选C.
方法二 对a分类讨论：
当a>0时，log2a>log 1 a，即log2a>0，∴a>1. 2
当a<0时，log 1 (－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，
题型专题九基本初等函数、函数与方程
• 基本初等函数 • 函数与方程 • 函数的应用
目录
Part
01
基本初等函数
一次函数
一次函数是形如$y=kx+b$的 函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。
一次函数的图像是一条直线， 斜率为$k$，截距为$b$。
一次函数的单调性由斜率$k$ 决定，当$k>0$时，函数单调 递增；当$k<0$时，函数单调 递减。
函数的奇偶性和对称性是相互联 系的，它们在解决一些数学问题 时可以相互转化。
详细描述
在解决一些数学问题时，可以根 据奇偶性和对称性的定义进行相 互转化。例如，利用奇函数的性 质可以简化一些计算，或者利用 对称性来理解函数的图像和性质 。
函数的周期性与最值
• 总结词：函数的周期性描述了函数值重复出现的规律，而最值则是函数 在某个区间内的最大值或最小值。
指数函数的图像是单调递增或递 减的曲线。
指数函数的单调性由底数$a$决 定，当$a>1$时，函数单调递增； 当$0<a<1$时，函数单调递减。
对数函数
对数函数是形如$y=log_a x$的函数，其中$a>0$且$a neq 1$。
对数函数的图像是单调递增或递减的曲线。
对数函数的单调性由底数$a$决定，当$a>1$时，函数单调递增；当$0<a<1$时， 函数单调递减。
• 详细描述：周期函数是指函数在某个固定周期内重复变化的函数，例如正弦函数和余弦函数。最值则是函数在某个区间 内的最大值或最小值，可以通过求导数或者比较区间端点函数值的方法来求解。
• 总结词：函数的周期性和最值在解决一些数学问题时具有重要应用。 • 详细描述：在解决一些数学问题时，可以利用函数的周期性和最值进行求解。例如，利用周期性可以将一个复杂的问题
专题三 基本初等函数、函数与方程
专题复习《基本初等函数、函数与方程》例1、二次函数1、若定义在R 上的函数()225f x ax x =++在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是__ __；【答案】[)0,+∞； 2、若函数()()231f x mx m x =+-+对于任意x R ∈恒有()()f x f m ≤（其中m 为常数），则函数()f x 的单调递增区间为 ； 【答案】3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；3、已知函数()[]268,1,f x x x x a =-+∈，并且()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是 ；【答案】(]1,3； 4、设二次函数()221f x ax ax =++在区间[]3,2-上有最大值4，则实数a 值为 ；【答案】38或3-； 5、关于x 方程()2310mx m x +-+=的根均大于0，则实数m 的取值范围是_________。
【答案】01m ≤≤； 6、关于x 方程()22120x a x a +-+-=的一个根比1大，另一个根比1小，则有（ ）A 、11a -<<B 、2a <-或1a >C 、21a -<<D 、1a <-或2a > 【答案】C ； 7、（2014江苏）已知函数()21f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】⎛⎫ ⎪⎝⎭；8、已知关于x 的不等式240ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 ；【答案】016a ≤<； 9、若关于x 的不等式2160x kx ++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围为 ；【答案】88k -≤≤；例2、指数与指数函数1、()52-的5次方根是________； ()42-的4次方根是________； 【答案】-2；2±； 2、15a a-+=，则22a a-+的值为 ；1122a a-+的值为 ；【答案】由15a a-+=得()2125a a -+= 22225a a-∴++= 2223a a-∴+=【答案】由题可知110,0a a ->> 11220a a -∴+> 又21112227a a a a --+=++=⎛⎫ ⎪⎝⎭，1122a a -∴+=3、已知函数()24x f x a n -=+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点(),2P m ，则m n += ； 【答案】3；4、函数y = ）A 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B 、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C 、(),-∞+∞D 、(],1-∞ 【答案】A ；5、函数y = ）A 、[)0,+∞B 、[]0,3C 、[)0,3D 、()0,3 【答案】C ；6、函数2412x xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为 ； 【答案】(]0,16；7、设函数()()()x x f x x e ae x R =+∈是偶函数，则实数a 的值为 ； 【答案】1-；8、若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、()1,+∞B 、()1,8C 、()4,8D 、[)4,8 【答案】D ；例3、对数与对数函数1、求值：①13log = ； ②21log 32.51log 6.25lg2100+++= ； 【答案】①13-； ②132； 2、函数()22log 32y x =+-（0,1a a >≠且）的图象恒过定点P ，则P 点坐标为 ；【答案】()1,2； 3、函数()213log 32y x x =--的单调递增区间是（ ）A 、()3,1-B 、1,12⎛⎫⎪⎝⎭C 、()1,+∞D 、[)1,1- 【答案】D ；4、已知函数()()log ,121,1a x x f x a x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ； 【答案】(]2,3；5、已知函数()log 2a y ax =-在区间[]0,1上是关于x 的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、()0,1B 、()1,2C 、()0,2D 、[)2,+∞ 【答案】B ；6、已知函数()()212log 23f x x ax =-+在区间(],1-∞上是增函数，求实数a 的取值范围是 ；【答案】[)1,2；7、函数()22log 43y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_______；【答案】304k ≤<；8、已知函数()()2lg 1f x x mx =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为 ； 【答案】()(),22,-∞-+∞ ；9、【2014辽宁】已知132a -=，123log b =，1132log c =则（ ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、c a b >>D 、c b a >> 【答案】C ；10、函数()lg(f x x =是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 【答案】A ；11、若函数()y f x =的反函数的图象经过点()1,5，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A 、()5,1 B 、()1,5 C 、()1,1 D 、()5,5 【答案】A ；例4、幂函数1、已知点⎝在幂函数()f x 的图象上,则（ ） A 、()3f x x = B 、()3f x x -= C 、()12f x x = D 、()12f x x-= 【答案】B ；2、当()0,x ∈+∞时，幂函数()()121m f x m m x-+=--为减函数，则实数m = ； 【答案】2；3、若函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且是偶函数，则实数m 的值为_______；【答案】1-；4、（2016全国III ）已知432a =，233b =，1325c =，则（ ）A 、b a c <<B 、a b c <<C 、b c a <<D 、c a b << 【答案】A ；例5、函数与方程 1、函数()()1ln 3x xf x x -=-的零点个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0 【答案】A ；2、已知实数1,01a b ><<，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的一个区间是（ ）A 、()2,1--B 、()1,0-C 、()0,1D 、()1,2 【答案】B ；3、若函数()()()251f x x x =---有两个零点12,x x ，且12x x <，则（ ）A 、122,25x x <<<B 、122,5x x >>C 、122,5x x <>D 、1225,5x x <<> 【答案】C ； 4、若函数()215f x x ax =-+-（a 是常数，且a R ∈）恰有两个不同的零点，则a 的取值范围是 ； 【答案】()2,2-；5、（2012北京）函数()1212xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B ；6、已知函数()221,02,0x x f x x x x ⎧⎪->=⎨⎪⎩--≤，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ；【答案】()0,1；7、已知函数()()21,01,0x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、(],0-∞B 、[)0,1C 、(),1-∞D 、[)0,+∞ 【答案】C ； 8、若关于x 的方程31x k -=有一解，则实数k 的取值范围为 ； 【答案】[){}1,0+∞ ； 9、（2016山东）已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩（其中0m >），若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是 ； 【答案】()3,+∞；提示：由题2224m m m m -+<；10、若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()2log 0f x x -= 的根的个数是（ ）A 、6B 、4C 、3D 、2 【答案】B ；11、已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当01x <≤时，()12log f x x =，则方程()10f x -=在()0,6内所有根之和为（ ）A 、8B 、10C 、12D 、16 【答案】C ；12、已知函数()[]ln 23f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[][]1.61, 2.13=-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】B ； 13、已知函数()1312,132,1x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨⎪-+<⎩，则方程()21f x =的根的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【答案】C ；提示：由题()12f x =；当1x ≥时，11122x--= 2x ∴= 当1x <时，3132x x -+=即3330x x -+= 令()333g x x x =-+ ()233g x x '∴=-令()0g x '=得1x =或1x =-()g x ∴在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数 又()712g -=，()112g =- ()g x ∴在区间(),1-∞上有2个零点 综上方程()21f x =的根的个数为3.14、已知函数()()12,12ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、1,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C ；15、已知定义在(]0,2上的函数()(](]113,0,121,1,2x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩，且()()g x f x mx =-在(]0,2内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A 、91,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B 、111,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C 、92,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D 、112,20,43⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ 【答案】A ； 16、设函数()2lg ,02,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩，若函数()()2221y f x bf x ⎡⎤=++⎣⎦有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ；【答案】3,2⎛- ⎝；【解析】令()f x t =，则2221y t bt =++ 由()f x 图象知，当()0,1t ∈时，函数()t f x =有4个交点故22210t bt ++=有两个不等实根12,t t 且()12,0,1t t ∈令()2221g x t bt =++ 则()()2480010123020122b g g b b ⎧∆=->⎪⎪=>⎪⎨=+>⎪⎪<-<⎪⎩⨯解得32b -<< 17、已知定义在R 的函数()y f x =满足1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11x -<≤时，()f x x =；若方程()log a f x x =恰好有6个根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、11,75⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、[)11,5,775⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、[)11,3,553⎡⎫⎪⎢⎣⎭D 、11,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B ；18、设函数()[](),01,0x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.22,1.21,11-=-==，若直线()0y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A 、11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C 、11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、11,43⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A ；19、已知函数()(),11,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，()1g x kx =+，若方程()()0f x g x -=有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ； 【答案】(]1,11,12e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭；。
函数概念与基本初等函数(选填压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()f x x =，()2g x ax x =-，其中0a >，若[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则=a （）A ．32B ．43C ．23D ．123．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xf x x+=-，则2(()2x f f x +的定义域为_______.6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()f x =______．7．（2022·上海·高三专题练习）函数y =_____.8．（2022·上海·模拟预测）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.9．（2022·全国·高一）函数2y =的值域是________________．10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln 122x xf x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是A ．()(),11,-∞-+∞U B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()(),21,-∞-⋃+∞2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)(]1034-⋃，，B ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[)43--，D ．[)10-，3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln 1f x x x x =-+-，若实数a 满足()()121f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()40,11,3⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，当[2x ∈，4]时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩ ，()1g x ax =+，若对1[2x ∀∈，4]，2[2x ∃∈-，1]，使得21()()g x f x ，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0，2]B ．(0，7]2C ．[2，)+∞D ．7[2，)+∞5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x=-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．187．（2022·河北·高三阶段练习）函数()212x ax bf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为2，且在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，则a 的范围是______，4b a+的最小值为______.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域()(),00,D =-∞⋃+∞，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+-，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >m 的取值范围是______．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2--=ax x y 在区间（-1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是________.12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．13．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______.14．（2022·上海·高三专题练习）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =_____________15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1a <-）如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，则a 的取值范围为_____________.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln ,1x x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，若()()f a f b =，且a b ¹，则()()bf a af b +的最大值为（）A ．0B ．(3ln 2)ln 2-⋅C ．1D ．e3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,1e ,1xx ax a x f x a R ax x ⎧-+≤=∈⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,e D ．[]0,e6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xx a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-+≥⎩则当5a =时，函数()f x 有______个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为______.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln ,021,0x x f x kx x x ⎧>=⎨+-≤⎩，给出下列命题：（1）无论k 取何值，()f x 恒有两个零点；（2）存在实数k ，使得()f x 的值域是R ；（3）存在实数k 使得()f x 的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k =时，若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin 62()41x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图象大致是（）A．B ．C ．D ．2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()f x 的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A ．ln xe x⋅B ．ln xx e C ．ln xx e +D ．ln xe x-3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()f x =（）A ．B ．C ．D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0ac <）存在零点，且经过点()1,3和()1,3-．记M 为三个数a ，b ，c 的最大值，则M 的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．652．（2022·浙江·高三专题练习）设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值．若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是（）A ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎣D ．24⎡⎤+⎣⎦3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数()()y f x y g x ==，，若存在0x ，使()()00 f x g x =-，则称()()()()0000M x f x N x g x --，，，是函数()f x 与()g x 图象的一对“雷点”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，恒有()()1f x f x +=，且当10x -<≤时，()f x x =．若()()()2120g x x a x =++-<<，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a 的取值范围为____________________．6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是___________.7．（2022·湖北·一模）若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________.六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a <<2．（2022·山东·模拟预测）若282log 323log +=⋅+a b a b ，则（）A ．12b a b<<B ．2<<+b a b C ．23b a b<<D ．1132b a b<<3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022log f x x x =+，且()60.20.2log 11,lg ,4102022a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系是__________.（用“<”连接）4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()14log 321x x λ+⋅≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，则实数λ的取值范围是______．5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()21949192120212049x f x x x x=--+，[]1949,2022α∃∈，对[],2049m β∀∈，()()f f αβ<都成立，则m 的取值范围（用区间表示）是_______6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.7．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______.七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1x x x f x x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，若函数()()1g x f x x a =+--恰有两个零点则实数a 的取值范围是()A ．()723,4,48∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．23,48⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx +=，222log 0x x +=，3233log 0x x --=，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数2()(1)1x f x m x x =--+在区间(1,1)-上有2个零点()1212,x x x x <，则21e xx +的取值范围是（）A ．(1,e 1)-B ．(2,e 1)+C ．(1,)+∞D ．(e 1,)-+∞4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a<<5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cos π,24xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨<≤⎪⎩，实数123,,x x x ，4x 是函数()y f x m =-的零点，若1234x x x <<<，则132314242222x x x x x x x x +++++++的取值范围为（）A ．[)16,20B ．()C ．[)64,80D ．()6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222x xf x --=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的解集不可能是（）A ．{}1,3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,4D ．{}1,2,3,47．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．108．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________.八、新定义题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（）A ．{0，1-}B ．{1-，1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,23．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,x Qf x x Q ∉⎧=⎨∈⎩，关于狄利克雷函数()f x ，下列说法不正确的是（）．A ．对任意x ∈R ，()()1f f x =B ．函数()f x 是偶函数C ．任意一个非零实数T 都是()f x 的周期D ．存在三个点()()11,A x f x 、()()22,B x f x 、()()33,C x f x ，使得ABC 为正三角形4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为{}0,1B ．()f x 的值域为[]0,1C ．x R ∃∈，()()0f f x =D ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：()[]1,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 20225f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．25C ．25-D ．15-6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T ℃，空气的温度是()0T ℃，经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式1034log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度约是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃7．（2022.安徽.淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112...19202122232425 (2048)4096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,468．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式3104log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，设536N =，则N 所在的区间为（e 2.71828= 是自然对数的底数）（）A ．()1718,e eB ．()1819,e eC ．()1920,e eD ．()2122,e e10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e 为底数的自然对数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数）x1.3102 3.190 3.797 4.71557.397ln x0.27000.69311.1600 1.33421.550 1.60942.001A ．3.797B ．4.715C ．5D ．7.39711．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，21,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a x Q D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ，且a b ¹）.以下对()D x 说法正确的有（）A ．()D x 的定义域为RB ．()D x 是非奇非偶函数C ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性D ．任意非零有理数均是()D x 的周期15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x=+B ．()23f x x x =--C ．()x f x x=-D ．()ln 1f x x =+17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第1次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n 的最小值为____________．(lg 20.30=，lg 30.47=)19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是不可以再约分的真分数或者上的无理数，则1R π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式如下：()[]1,,,0,0,10,1.q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()220f x f x ++-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()202220225f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭___________.22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩都是正整数，是既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21y x =+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的序号是______.①函数()3f x x =是圆O 的一个太极函数；②圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sin f x x =是圆O 的一个太极函数；④函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件.26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点．现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数()22f x x =-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值：(3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．。
专题检测-函数概念与基本初等函数
专题二 函数概念与基本初等函数2.1 函数及其性质一、选择题1.(2022届广西玉林育才中学10月月考,8)函数g(x)=2x-√x +1的最小值为( ) A.-178 B.-2 C.-198 D.-94答案 A 设t=√x +1(t ≥0),则x=t 2-1,则原函数可化为y=2(t 2-1)-t=2t2-t-2=2(t -14)2-178(t ≥0),当t=14时,有最小值-178.故选A.2.(2022届湖北襄阳五中10月月考,2)已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1),则函数F(x)=f(|2x -1|)的定义域为( )A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(0,+∞)D.[0,1)答案 A ∵y=f(x)的定义域为(-1,1),∴-1<|2x -1|<1,即-1<2x -1<1,∴0<2x <2,解得x<1,∴F(x)=f(|2x -1|)的定义域为(-∞,1).3.(2022届广东普通高中10月质检,3)函数f(x)=1x +4x 在[1,2)上的值域是( ) A.[5,172) B.[4,172)C.(0,172) D.[5,+∞)答案 A 因为f '(x)=-1x 2+4=(2x+1)(2x -1)x 2,所以当x ∈[1,2)时, f '(x)>0, f(x)是增函数,所以f(1)≤f(x)<f(2),即5≤f(x)<172.故选A. 4.(2022届山东鱼台一中月考一,2)已知函数f(x)={(12)x,x≤0,x -2,x >0,设f(1)=a,则f(a)=( )A.2B.12 C.-12 D.-32 答案 A 因为f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,所以f(1)=1-2=-1,所以a=-1,所以f(-1)=(12)-1=2.5.(2022届广东深圳七中月考,7)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 9(1-x),x ≤0,f(x -10),x >0,则f(2 018)=( )A.12 B.-12 C.-1 D.1答案A∵f(x)={log9(1-x),x≤0,f(x-10),x>0,∴f(2018)=f(2008)=f(1998)=…=f(8)=f(-2),∴f(2018)=log93=1 2 .故选A.6.(2022届河北保定重点高中月考,7)设定义在R上的函数f(x)=x·|x|,则f(x)()A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数答案A∵f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∵f(x)=x·|x|={x2,x≥0,-x2,x<0,∴函数f(x)为增函数,故选A.7.(2022届广东深圳六校联考,3)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数,则下列命题正确的是()A.∀x∈R,f(x)+f(-x)=0B.∃x∈R,f(x)+f(-x)=0C.∃x∈R,f(x)≠f(-x)D.∀x∈R,f(x)≠f(-x)答案C∵定义在R上的函数f(x)不是偶函数,∴∃x∈R,f(x)≠f(-x).故选C.8.(2022届北京一六一中学10月月考,3)下列函数中,值域为R的是()A.y=1x B.y=1+1xC.y=x+1x D.y=x-1x答案D对于函数y=1x,因为x≠0,所以y≠0,故它的值域不是R,所以A不满足题意;对于函数y=1+1x,因为x≠0,所以y≠1,故它的值域不是R,所以B不满足题意;对于函数y=x+1x,由对勾函数的性质可知值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),所以C不满足题意;对于函数y=x-1x =x2-1x,可得关于x的方程x2-yx-1=0有解,∵Δ=y2+4>0,∴y可以取任意实数,即y∈R,故D满足条件.故选D.9.(2022届北京大峪中学10月月考,2)设函数f(x)={log2(2-x),x<1,2x,x≥1,则f(-2)+f(log26)=()A.2B.6C.8D.14答案C f(-2)+f(log26)=log2(2+2)+2log26=log24+6=2+6=8.故选C.10.(2022届北京一六一中学10月月考,4)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2(x+1)+ax,且f(-3)=a,则a=()A.12 B.-12C.log23D.2答案B∵函数f(x)为奇函数,∴f(-3)=-f(3)=a.从而f(3)=log24+3a=-a,解得a=-12.故选B.11.(2022届北京九中10月月考,7)已知函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f(-52)+f(1)等于()A.-2B.0C.2D.1答案A∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且周期为2,∴f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),∴f(1)=0,f(-52)=f(-12)=-f(12)=-412=-2,∴f(-52)+f(1)=-2.故选A.12.(2022届人大附中10月月考,9)已知函数f(x)={|2x-1|,x≤2,-x+4,x>2,若实数a,b,c满足a<b<c且f(a)=f(b)=f(c),则2a+b+2b+c的取值范围为()A.(4,8)B.(4,16)C.(8,32)D.(16,32)答案D作出函数f(x)的图象,如图所示.当x<0时,f(x)=|2x-1|=1-2x∈(0,1),由图可知,f(a)=f(b)=f(c)∈(0,1),所以a<0<b<1,3<c<4,则8<2c<16,由f(a)=f(b),得|2a-1|=|2b-1|,即1-2a=2b-1,可得2a+2b=2,因此,2a+c+2b+c=2c(2a+2b)=2×2c∈(16,32).故选D.13.(2022届华中师大琼中附中月考,8)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为()A.(0,12)∪(2,+∞) B.(12,1)∪(2,+∞)C.(0,12) D.(2,+∞)答案 A 因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数,所以不等式f(log 2x)>0等价于f(|log 2x|)>0,因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,所以f(|log 2x|)>f(1),即|log 2x|>1,即log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.故选A.二、填空题14.(2022届江西新余第一中学二模,13)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f (x2)+f(x-1)的定义域是 . 答案 (0,2)解析 由题意得{-1<x2<1,-1<x -1<1,解得0<x<2,∴函数g(x)的定义域为(0,2).15.(2022届北京四中10月月考,12)函数f(x)=√2-x +ln(x+3)的定义域是 . 答案 (-3,2]解析 ∵f(x)=√2-x +ln(x+3), ∴{2-x ≥0,x +3>0,解得-3<x ≤2, ∴函数f(x)的定义域为(-3,2].16.(2022届河南重点中学调研一,14)已知f(x)={x 2-ax,x >0,-x +a +1,x ≤0,若方程f(x)=-x 有实根,则a 的取值范围是 . 答案 {a|a=-1或a>1}解析 当x>0时,由f(x)=-x 得x 2=(a-1)x,所以x=a-1>0,即a>1;当x ≤0时,由f(x)=-x 得a+1=0,所以a=-1,所以a 的取值范围是{a|a=-1或a>1}. 17.(2022届广东深圳三中月考,15)已知函数f(x)={13x 3-ax +1,0≤x <1,alnx,x ≥1,若f(x)≥f(1)恒成立,则正实数a 的取值范围是 . 答案 (0,43]解析 ∵a>0,∴当x ≥1时, f(x)=aln x ≥f(1),当0≤x<1时, f(x)=13x 3-ax+1, f '(x)=x 2-a. (1)若a ≥1,则f '(x)<0, f(x)单调递减, f(x)≥f(1)成立,则13-a+1≥0,解得a ≤43,∴1≤a ≤43,(2)若0<a<1,则当0<x<√a时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当√a<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此x=√a时,f(x)min=f(√a)=13(√a)3-(√a)3+1=-23a32+1,所以-23a32+1≥0,显然成立,∴0<a<1.综上,a的取值范围是(0,43].18.(2022届北京一六一中学10月月考,12)已知函数f(x)=e|x-1|在区间[a,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.答案[1,+∞)解析将函数y=e|x|的图象向右平移1个单位长度,可得函数f(x)=e|x-1|的图象,因为y=e|x|在[0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,因为函数f(x)=e|x-1|在区间[a,+∞)上是增函数,所以[a,+∞)⊆[1,+∞),解得a≥1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).19.(2022届北京师大附中10月月考,14)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且x≤0时,f(x)=ae x-1,则a=,f(x)的值域是.答案1;(-1,1)解析因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=ae0-1=a-1=0,所以a=1.当x≤0时,f(x)=e x-1,在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)∈(-1,0],因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以当x>0时,f(x)∈(0,1),综上,f(x)的值域是(-1,1).20.(2022届广东汕头金山中学期中,13)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=.答案-3解析因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=20+m=0,m=-1,所以x≥0时,f(x)=2x-1.则f(-2)= -f(2)=-(22-1)=-3.21.(2022届华中师范大学琼中附中月考,15)已知函数f(x)是R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2010)+f(2011)的值为.答案1解析∵当x≥0时,都有f(x+2)=f(x),∴函数的周期T=2,又f(x)是R上的偶函数,且当x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1),∴f(-2010)+f(2011)=f(2010)+f(2011)=f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1.三、解答题22.(2022届北京师大附中10月月考,16)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a、b为实数,a≠0,x∈R),函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点(-1,0).(1)求f(x)的表达式;(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.解析(1)由题意可知f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a.又f(x)=ax2+bx+1,所以{b=2a,a=1,可得{a=1,b=2,故f(x)=x2+2x+1.(2)g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1(-2≤x≤2),其图象开口向上,对称轴为直线x=k-22.若函数g(x)在[-2,2]上为增函数,则k-22≤-2,解得k≤-2;若函数g(x)在[-2,2]上为减函数,则k-22≥2,解得k≥6.综上所述,实数k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).思路分析(1)分析可知f(x)=a(x+1)2,对比f(x)=ax2+bx+1可求得a、b的值,即可得出函数f(x)的表达式;(2)分两种情况讨论:函数g(x)在[-2,2]上为增函数或函数g(x)在[-2,2]上为减函数.根据g(x)的图象特征可得出关于实数k的不等式,由此可解得实数k的取值范围.23.(2022届北京九中10月月考,16)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=lo g12(-x+1).(1)求f(3)+f(-1)的值;(2)求函数f(x)的解析式;(3)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.解析(1)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=lo g12(-x+1),∴f(3)+f(-1)=f(-3)+f(-1)=lo g124+lo g122=-2-1=-3.(2)当x>0时,-x<0,f(-x)=lo g12(x+1).∴x>0时,f(x)=f(-x)=lo g12(x+1),则f(x)={log12(-x+1),x≤0, log12(x+1),x>0.(3)∵f(x)为定义在R上的偶函数,且f(x)=lo g12(x+1)在(0,+∞)上单调递减,f(1)=-1,∴f(a-1)<-1=f(1),∴|a-1|>1,解得a>2或a<0.∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).24.(2022届福建长汀一中月考二,20)已知a,b∈R且a>0,函数f(x)=4x+b4x-a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)对任意x∈(0,+∞),不等式mf(x)-f(x2)>0恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-2ab+(b-a)(4x+4-x)=0恒成立,∴{b-a=0,2-2ab=0,又a>0,所以解得a=b=1.(2)不等式mf(x)-f(x2)>0⇔m(1+24x-1)-(1+24x2-1)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令2x=t(t>1),则m>t+1t-1t2+1t2-1=(t+1)2t2+1=t2+1+2tt2+1=1+2tt2+1=1+2t+1t对t>1恒成立,∵y=2t+1t在(1,+∞)上单调递减,∴y=1+2t+1t<2,∴m≥2,∴m的取值范围为[2,+∞).。
五年北京专题02函数概念与基本初等函数
考点
题数/五年 考纲要求 星级
知识点 01 函数的定义域与值域
2
了解
★
知识点 02 函数的单调性与周期性
1
★★
熟悉
★
知识点 03 分段函数
★★
1
熟悉
★
知识点 04 指数与对数运算
3
了解
★
知识点 05 函数的零点与不等式问 1
题
★★
熟悉
★
知识点 06 函数模型及其应用
2
了解
★
1．函数 f (x) = 1 + 1 - x 的定义域是 x
【详解】对于 A，因为 y = ln x 在 0, +¥ 上单调递增， y = -x 在 0, +¥ 上单调递减，
所以 f x = - ln x 在 0, +¥ 上单调递减，故 A 错误；
对于 B，因为 y = 2x 在 0, +¥ 上单调递增， y = 1 在 0, +¥ 上单调递减，
故函数的定义域为 -¥, 0 È 0,1；
故答案为： -¥, 0 È 0,1
2． (0, +¥) 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
ì x>0 【详解】由题意得 íîx +1 ¹ 0 ， x > 0 故答案为： (0, +¥) 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断 ABC，举反例排除 D 即 可.
【2020 年北京第 11 题】
2．函数
f
(x)
=
1 x +1
+
ln
专题二：函数与基本初等函数(知识点梳理)
f x f x，那么就称函数 f (x) 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
（3） 奇、偶函数的性质： ① 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称. ② 如果 f (x) 为奇函数，且在原点有定义，则 f (0) 0. ③ 如果 f (x) 为偶函数，则 f (x) f (x) f ( x ). ④奇函数的图像关于原点对称，图像关于原点对称的函数是奇函数；偶函数
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设 x1, x2 a,b 且 x1 x2 ，则： f x1 f x2 =…
2、奇偶性
（1）奇函数： 一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有
f x f x，那么就称函数 f (x) 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.
高考数学必记知识点归纳总结 第三章 函数
一、函数的概念： 1、函数的定义：在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y，设变量 x 的取值 范围为数集 D，如果对于 D 内的每一个 x 值，按照某个对应法则 f，y 都有 唯一确定的值与之对应，那么，把 x 叫做自变量，把 y 叫做 x 的函数．记为：
y f(x)
的图像关于 y 轴对称，图像关于 y 轴对称的函数是偶函数.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性相反． ⑥在公共定义域内：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和与积都是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
注意：判断函数的奇偶性时，首先判断定义域是否关于原点对称，若定义域
⑴当 a 1时,
f (x) 0 loga f (x) loga g(x) g(x) 0
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[答案] A[解析] ①错误，如函数f (x )＝1x2是偶函数，但其图像与y 轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包含x ＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f (x )＝0，x ∈(－a ，a )．3．(2011·宝山模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则( ) A ．a ＝13，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝0[答案] A[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0.又定义域为[a －1,2a ]，∴(a －1)＋2a ＝0，∴a ＝13.4． (2009·理)若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝______.[答案]12[解析] 考查函数的奇偶性．∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，即12－1－1＋a ＝－12－1－a ，∴a ＝12. （四）典型例题1.命题方向：奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(x －1)1＋x 1－x ； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xx <0x 2－xx >0； (4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.[解析] (1)由1＋x1－x≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝－lg(1－x2)x，∵f (－x )＝－lg[1－－x2]－x＝lg 1－x2x＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ＝f (x )当x >0时，－x <0则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝f (x )∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数．另解：1°画函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x <0x 2－xx >0的图像．图像关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．2°f (x )还可写成f (x )＝x 2－|x |，故为偶函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0x 2－3≥0得x ＝－3或x ＝ 3 ∴函数f (x )的定义域为{－3，3}又∵对任意的x ∈{－3，3}，f (x )＝0. ∴f (－x )＝f (x )＝－f (x ) (5)函数f (x )的定义域为R当a ＝0时 f (x )＝f (－x ) ∴f (x )是偶函数 当a ≠0时 f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－2|a |＋2f (a )≠f (－a ) 且f (a )＋f (－a )＝2(a 2－|a |＋2)＝2(|a |－12)2＋72≠0∴f (x )是非奇非偶函数．[点评] 第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x 的围取相应的函数表达式或利用图像判断． 跟踪练习1判断函数f (x )＝16－x2|x ＋5|－5的奇偶性．[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－x 2≥0|x ＋5|－5≠0解得－4≤x <0或0<x ≤4，∴函数的定义域关于原点对称．∵f (x )＝16－x 2|x ＋5|－5＝16－x2x，∴f (－x )＝16－(－x )2－x ＝－16－x2x＝－f (x )．∴f (x )是奇函数.2.命题方向：奇偶性的应用[例2] 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值围． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，∴b ＝1.∴f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，∴a ＝2.(2)解法1：由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，∴t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.解法2：由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0， 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)·(－22t 2－k ＋1)<0.整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.跟踪练习2已知函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，数t 的取值围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x＝1＋y 1－y ，由2x>0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t2x＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x＋t －2≤0.设2x＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1×1＋t －2≤022－t ＋1×2＋t －2≤0，解得t ≥0.（五）思想方法点拨1．判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y ＝x 2(x ∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此， 一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称． ★函数奇偶性的判定方法：(1)定义法：第一步先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数． 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．即若有：f (－x )＝－f (x )或f (－x )＋f (x )＝0或f (x )－f (－x )＝2f (x )或f (x )·f (－x )＝－f 2(x )或f (x )/f (－x )＝－1为奇函数．若有f (－x )＝f (x )或f (－x )－f (x )＝0或f (x )＋f (－x )＝2f (x )或f (x )·f (－x )＝f 2(x )或f (x )/f (－x )＝1为偶函数．(2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称”来判断． (3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”． (4)性质法（3）0.50.2和0.30.4[分析] 比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值．[解析]（1）-131()9=139--由于幂函数13y x-=在(0,)+∞上是减函数，所以138-＞139-，因此138--＜139--，即138--＜-131()9（2）由于254.1＞1,0＜253.8-＜1，35(1.9)--,0，因此254.1＞253.8-＞35(1.9)--.(3)由于指数函数0.2xy=在R上是减函数，所以0.50.2＜0.30.2。
又由于幂函数0.3y x=在(0,)+∞上是增函数，所以0.30.2＜0.30.4，故有0.50.2＜0.30.4.跟踪练习3当0﹤a﹤b﹤1时，下列不等式正确的是（）[答案] D[解析] 由0<a<b<1，可知a<b,0<a<1，∴0<1－b<1－a<1，∴(1－a)b<(1－a)a，∴(1－a)a>(1－b)b.（五）思想方法点拨幂函数性质的理解1．当α>0时，幂函数y＝xα有下列性质：①图像都过点(0,0)(1,1)；②在第一象限，函数值随x的增大而增大；③在第一象限，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展．2．当α<0时，幂函数y＝xα有下列性质：①图像都通过点(1,1)；②在第一象限，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；③在第一象限，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．3．(1)幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数．(2)作函数y＝xα的图像时，一般依据上述性质作出第一象限的图像，而后依据函数的奇偶性作出x<0的图像即可．(3)幂函数的图像无论α取何实数，其必经过第一象限，且一定不不经过第四象限．（六）课后强化作业一、选择题1．如图所示函数图像中，表示23y x=的是( )[答案] D[解析] 因为23∈(0,1)，所以23y x=的图像是抛物线型，且在第一象限图像上凸，又函数23y x=是偶函数，故图像应为D.2．(2011·模拟)给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，下列函数中不满足任何一个等式的是( )A．f(x)＝3x B．f(x)＝xα C．f(x)＝log2x D．f(x)＝kx(k≠0)[答案] B[解析] f(x)＝3x满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)；f(x)＝log2x满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；f(x)＝kx满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，而f(x)＝xα不满足任何一个等式．3．函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值为( )A．－1或2 B.1±52C．2 D．－1[答案] C[解析] 因为y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2－m－1＝1，m2－2m－3<0，解得m＝2.4．设n∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使得f(x)＝x n为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的n的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[答案] B[解析] 只有当n＝－1时，f(x)＝x n为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减．5．(2010·文)设253()5a=，352()5b=，252()5c=则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a [答案] A[解析] 该题考查幂函数和指数函数的性质．对b和c，考查指数函数y＝(25)x，单调递减．故352()5＜252()5，即b<c.对a和c，考查幂函数．y=25x，在(0，＋∞)上单调递增，∴253()5＜252()5，即a>c，∴a>c>b，故选A.6．若集合A＝{y︳y=13x，－1≤x≤1}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x，x≤0，则A∩B＝( )A．(－∞，1) B．[－1,1] C．∅D．{1} [答案] D[解析] y=13x在－1≤x≤1时，有－1≤y≤1；y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在x≤0时，有y≥1，∴A∩B＝{1}．7．(文)(09·)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0[答案] C[解析] 原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为1.(理)函数9ny x= (n∈N且n>9)的图像可能是( )[答案] C[解析] ∵f(－x)＝9nx-=9n x=f(x)，∴函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A、B.令n＝18，则y＝12x，当x≥0时，y＝12x，由其在第一象限的图像知选C.8．把函数f(x)＝x3－3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2，若对任意u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为( )A．2 B．4 C．6 D．8[答案] B[解析] ∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3(x2－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.∴x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上为增函数；x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，f (x )在(－1,1)上为减函数； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )极大值＝f (－1)＝2，f (x )极小值＝f (1)＝－2.图像C 2是由图像C 1向右平移u 个单位长度，向下平移v 个单位长度所得到．当图像C 2的极大值点与C 1的极小值点重合时，v 有最小值，如图所示，即v 的最小值为4.二、填空题9．(2011·模拟)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.[答案]32[解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得α＝12，则k ＋α＝32.10．若，则它们的大小关系是________．[答案] c <b <a [解析]，即c <b <a .11．当x ∈(0,1)时，y ＝x p(p ≥0)的图像在直线y ＝x 上方，则p 的取值围是________． [答案] [0,1)[解析] 结合幂函数y ＝x α在第一象限的图像，当0<α<1时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数，且x ∈(0,1)时，图像在y ＝x 上方，x ∈(1，＋∞)时，图像在y ＝x 下方； 又p ＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)也满足． 故p 的取值围是0≤p <1.。