高中数学各种暴强公式

[例题1] 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且向量BF=2向量FD，求C的离心率_____。[解析]：利用爆强公式：ecosA＝（x－1）/（x ＋1）A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比（就是指AF＝xBF），必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分，用该公式；如果外分，将公式中正负号对调。综上：本题中cosA＝c/a＝e，所以代入公式易得e=√3/3

[例题2]已知O三角形ABC的外心，AB＝2，AC＝5，向量AO※向量BC（数量积）＝__[解析]：根据爆强公式：向量AO※向量BC＝(AC^2－AB^2)/2易得。[公式的来源：过O作BC 垂线，垂足为D，转化到三角形]综上：答案为：21/2

[例题3]已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且点P到三棱锥的三个侧面的三个距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（）A.一条直线的一部分B，椭圆的一部分，C，圆的一部分D，抛物线的一部分[解析]：根据等体积易得d1＋d2＋d3＝定值。又因为这三个数成等差，所以d2为定值。故选A[答案]:A

[例题4]已知椭圆x^2/4＋y^2/3＝1，直线AB过椭圆右焦点，交于椭圆A.B两点，AB的中点为（1/2，1/2），求直线AB的方程。[解析]：根据爆强公式k椭＝-b^2xo/（a^2yo）＝-3/4根据点斜易得直线方程。[答案]3x＋4y-3＝0

[例题5]已知点(x，y)满足x^2/4+y^2＜=1，求x＋2y的取值范围。[解析]：根据参数方程求解。x=2cosc，y=sinc 所以x+2y＝2cosc＋2sinc＝2√2sin(c+派/4) [答案]：[-2√2，2√2]

[例题6]已知a(n+1)＝3a(n)＋2，a1＝2，求an。[解析]：根据爆强公式特征根方程得到x=q/(1-p)＝2/(1-3)＝-1，所以an=(a1-x)p^(n-1)＋x＝3^(n-1）-1[答案]：an＝3^(n-1)-1

[例题7]空间给定不共面的A、B、C、D 四个点，其中任意两点的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A、B、C、D中有三个点到α的距离相同，另外一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面的个数是A．15 B．23 C．26 D．32

[解析]：无论如何算，答案必是4的倍数。因为C41＝4[答案]:D 如果要真正做也可以自己想一下：4×（2＋6）＝32

[例题8]三角形ABC的两顶点A(-5,0),B(5,0)，三角形内心在直线x=3上，求顶点C的轨迹方程。[解析]：根据双曲线性质，c是双曲线上一点，三角形f1cf2的内切圆的圆心必在x=a 上，所以易得a＝3，c＝5注意定义域[答案]：x^2/9 -y^2/16＝1（x＞0）

[例题9]已知P点在圆c：x^2＋(y-4)^2＝1上移动，Q点在椭圆x^2/4 ＋y^2＝1上移动，求∣PQ∣的最大值。[解析]：抓住圆的圆心不动，以静制动。设点C(0，4）与点Q(x，y)的距离为d，则d^2＝x^2＋(y-4)^2=4-4y^2＋(y-4)^2 又因为y属于[-1，1] 所以d^2最大为25 所以d+1最大为6。[答案]：6

[例题10](a+b+c)^6的展开式中合并同类项后共有__项。[解析]:根据常用结论(a+b+c)^n的展开项有C(n+2) 2项。所以本题C8 2＝28[答案]：28[拓展]：上述公式可以推广成(x1＋x2＋…＋xm）^n 展开合并后共有：C(n+m-1) (m-1) 项

[例题11]已知y^2＝4x，过焦点的两弦AB垂直CD，AB＋CD最小=__解析：根据常用结论：对于y^2＝2px，有过焦点的两互相垂直弦，则两弦长和最小为8p。代入易得。[答案]：16

[例题13]已知等差数列S15＝S10，a1＋ak＝0，则k=__[解析]：注意S15-S10＝0，即a13＝0，即a13＋a13＝a1＋a25＝0，所以k=25，[答案]25

[例题14]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>=0时，f(x)=x^2，若对任意的x属于[t，t+2]，不等式f(x+t)>=2f(x)恒成立，则实数t的取值范围：__ [解析]注意到2f(x)＝f(√2 x)，再考虑恒成立，分离参变量即可。[答案]{t∣t>=√2}

[例题15]存在x属于R，使得ax^2－ax－2＞0，求实数a的取值范围。[解析]：分类讨论思想。1，当a=0时，不符合题意。2，当a＞0时，恒成立，3，当a＜0时，考虑▲＞0，易得a＜-8 [答案]：(-无穷，-8）U(0，+无穷)

[例题16]△ABC中，向量AB(2，3) ，向量BC(4，－7) 则△ABC的面积为__。[解析]：根据爆强公式：△ABC中，向AB=（x1 ，y1） BC=（x2 y2），那三角形ABC面积=1/2|x1y2-x2y1|易得答案13。[答案]：13

[例题18]△ABC的三个顶点在椭圆4x^2+5y^2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为A.-5/4 B.-4/5C.4/5D.2√5/5[解析]：特殊点考虑。不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，由此可得，故选B[答案]：B

[例题19]等比数列{a n }的前10 项和为48，前20 项和为60，则这个数列的前30 项和为( )A、75 B、68 C、63 D、54 [解析]：根据性质：[公比不为-1] 在等比数列{a n }中，前n 项和为s n，则s n , s 2 n- s n , s3n -s 2 n 仍成等比数列。易得63 [答案]：C

[例题20]已知f(x)定义域为R，且f‘(x)＜f(x)恒成立，判断[e^2012]f(0) 与f(2012)哪个更大？[解析]关键在于构造函数：F(x)=[e^(-x)]f(x),则F'(x)=e^(-x)[f'(x)-f(x)]＜0，所以F(0)＞F(2012)。答案：前者大

[例题21]已知分段函数f(x)＝｛a^x (x＞1）[4-(a/2)]x＋2 （x<=1) ｝在R上递增，则实数a 的取值范围为（）A.(1，正无穷) B(4，8) C[4，8) D（1，8）[解析]：此类题目首先直接排除范围大的两个选项A，D，另外至少必有一个闭区间，故免算选B。[答案]：B [本题考点]：关键在于是否考虑到临界点处。

[例题22]在三角形ABC中，边长a，b，c成等差数列，则（cosA＋cosC）/(1＋cosAcosC)＝__ [解析]特殊值法，令该三角形为等边三角形。易得答案。[答案]4/5

[例题23]方程∣x-1∣＋∣x-3∣＜a在R上无解，则a的取值范围：__ [解析]根据图像“\_/”易得a的范围。[答案]｛a|a<=2｝

[例题24]已知(1+x)^16=a0＋(a1)x＋(a2)x^2+…+a(16)x^16，求a1＋2(a2)＋3(a3)＋…+16(a16)=__[解析]根据爆强公式：C(n)1＋2C(n) 2＋3C(n)3＋…＋nC(n)n =n×[2^(n-1)] [拓展]

证明思路：两边同时对x求导[答案]:2^19

[例题25]直线AB过抛物线y^2=4x的焦点F，求[1/AF]+[1/BF]=__解析：根据爆强公式，对于y^2=2px，直线AB过焦点F，必有[1/AF]+[1/BF]=2/p所以易得答案。[答案]:1 ?[拓展]对于填空题可以考虑，线段AB为通径时，求得答案。

■■■爆强结论：强烈推荐！！！[太好记了]：对于y^2=2px，若过焦点的弦AB垂直CD，有以下两个结论：1，它们长度的和最小值为8p，[最小在斜率为1，-1取到]，★2，四边形ABCD的面积最小值为8(p^2)，[最小同样在斜率为1，-1取得] ●●[拓展]：证明方法：首先必须知道AB=2p/[(sinx)^2]，所以CD＝2p/[(cosx)^2] ，说明x为倾斜角！

[例题26]已知椭圆方程x^2/4＋y^2/3=1，点p(1，-1) ，f为右焦点。在椭圆上存在一点m，使得mp＋2mf最小。求m坐标。[解析]：由椭圆第二定义：mf/mm`=e=1/2(m`表示过m作准线的垂线的垂足)。要使最小：则m，p，m`三点共线。易得m坐标。[答案]：(2√6/3，-1)

■■■■■爆强定理：[前提]：适用于抛物线，椭圆。互相垂直的两条直线AB、直线CD 均过同一个焦点，四边形ABCD的面积必有最小值。当且仅当k=-1，1[即一条直线斜率为1，另一条为-1时取得]。此时最小值固定可算得。★★★证明方法：焦半径联立加上二次函数。

■■■■■[适用于任意圆锥曲线]爆强公式圆锥曲线焦点弦长公式：★已知F和直线l分别是离心率为e的圆锥曲线C的焦点和对应准线，焦准距(指焦点到对应准线的距离)为p，过点焦点F的弦AB与曲线C的焦点F所在轴的夹角为T(T为锐角)，则有AB=∣2ep/[1-(e^2)(cosT)^2]∣(∣∣表示绝对值)。[说明：若知道斜率可先求cosT]

[例题27]已知某圆O半径为1，A，B，C三点都在圆上。AB弦长固定＝√3，C为动点。求向量BA※向量BC(即数量积)的最大值__ [解析]建立直角坐标系有：圆心O即原点，A(1/2，√3/2)，B(1/2，-√3/2)。根据参数方程可设C(cost，sint)，t任意。所以所求＝(√3)[sint＋(√3/2)]<=(3/2)＋√3 [答案]：3/2＋√3

[例题28]空间中从一点出发的四条射线两两夹角为x，则cosx＝_[解析]：视空间中该点为正四面体外接球的球心，四条射线为以球心为端点过正四面体的四个顶点的四条线。易得答案。[答案]: -1/3

[例题29]已知三角形ABC的三边长a，b，c满足：a＞b＞c，2b＝a+c，a^2＋b^2＋c^2＝84，且b为整数。则b=__[解析]：设a＝b+d，c=b-d(d>0)，则(b+d)^2＋b^2＋(b-d)^2＝84，即3b^2＋2d^2＝84。因为b取整。所以b可能值1，2，3，4，5。又因为b>d，代入验证得b=5，[答案]：5

■[定理8]：非p是非q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件[这个结论的价值是：一般不考虑非p和非q的内容是什么，而是先转化到p与q之间的关系，而且这样不容易出错]

定理18]：空间四面体的重心公式[(x1+x2+x3+x4)/4，(y1+y2+y3+y4)/4，(z1+z2+z3+z4)/4]

■[定理19]：若一个集[和谐]合含有n(n为正整数)个元素，它的子集为2^n个，它的非空子集为(2^n)-1个，它的真子集(2^n)-1个，它的非空真子集为(2^n)-2个.

■[定理27]：等比数列爆强公式：S(n＋m)＝S(m)＋(q^m) S(n) [作用：可以迅速求q.记忆方法：中间三个都是m，头尾保持为n]

■[定理28]：适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA＝（x－1）/（x＋1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式；如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。（分离比：AF=xBF中的x或1/x。目的使x>1。若AF=BF/ 2，则x=2；若AF=2BF，则x=2）

■[定理29]：[请务必搞懂下面这两个恒等式]关于对称问题1，若在R上（下同）满足：f（a ＋x）＝f（b－x）恒成立，对称轴为x＝（a＋b）/2 ，???2、函数y=f（a＋x）与y=f (b－x）的图像关于x=（b－a）/2对称。[记忆方法：第一个：左右括号内相加除。第二个：令左括号内式＝右括号内式，解出x即为对称轴]

■[定理31]：数列的终极利器，（如果看不懂就算了）。首先介绍公式：对于a(n＋1)＝pa n＋q ，a1已知，那么特征根x=q/(1－p) ，则数列通项公式为an＝（a1－x）p^（n－1）＋x ，这是一阶特征根方程的运用。[说明：这与前面的那个构造求法是不一样(我想说的是两个x不一样)，请不要误会。看你习惯选择用哪一个啦，但千万不要混淆]说明：如果有疑问，请提问！谢谢合作

■[定理37]：求f(x)＝∣x-1∣＋∣x-2∣＋∣x-3∣＋…＋∣x－n∣（n为正整数）的最小值。答案为：当n为奇数，最小值为（n^2－1）/4，在x＝（n＋1）/2时取到；当n为偶数时，最小值为n^2/4，在x＝n/2 或(n/2 )＋1时取到。

■[定理38]：√[（a^2＋b^2）/2]≥（a＋b）/2≥√ab≥2ab/（a＋b）（a、b为正数，是统一定义域）[说明：这个很基础，但是可以推广成多项]

■[定理39]：椭圆中焦点三角形面积公式：S=b^2tan(A/2)在双曲线中：S＝b^2/tan(A/ 2) 说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。[计算时可以加快速度，证明方法：s＝1/2absinC加上向量]

■[定理40]：适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭＝-｛（b^2）xo｝/｛（a^2）yo｝k双＝｛（b^2）xo｝/｛（a^2）yo｝k抛＝p/yo 注：（xo，yo）均为直线过圆锥曲线所截段的中点。[证明方法：点差法]

■[定理41]：常用数列bn＝n×(2^n) 求和Sn＝（n－1）×（2^(n＋1)）＋2 记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2.[这个不能推广，但是方法可以推广：错位相减]

■[定理42]：1^2+2^2＋3^2＋…＋n^2＝n(n+1)[(2n+1)/6；

1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3＝=(n+1)^2*n^2/4

■[定理43]：空间向量三公式解决所有立体几何题目：cosA＝|｛向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模] |一：A为线线夹角，二：A为线面夹角（但是公式中cos换成sin）三：A为面面夹角■注：以上角范围均为[0，派/2]。[说明：立体几何的建立空间直角坐标系非常重要]

■[定理44]：切线长l＝√（d^2-r^2）d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

■[定理45]：（a＋b＋c）^n的展开式[合并之后]的项数为：C(n+2)(2) ，n+2在下，2在上

■[定理46]：■，关于解决证明含ln 的不等式的一种思路：爆强■■■：举例说明：证明1＋1 /2＋1/3＋…＋1/n＞ln（n+1）把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。解：令an＝1/n ，令Sn＝ln（n+1），则bn＝ln（n＋1）－lnn ，那么只需证an ＞bn即可，根据定积分知识画出y＝1/x的图。an＝1×1/n＝矩形面积＞曲线下面积＝bn。当然前面要证明1＞ln2。[ ■注：仅供有能力的童鞋参考！！另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln 。]说明：这类题目还有构造函数的方法。有时■[定理47]：关于一个重要绝对值不等式：∣|a|－|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣＋∣b∣

■[定理48]：对于y^2＝2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。[爆强定理的证明：对于y^2＝2px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔（sinA）^2〕，所以与之垂直的弦长为2p/[（cosA）^2]，所以求和再据三角知识可知。]

■[定理50]：已知三角形中AB＝a，AC＝b，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC（即数量积）＝(1/2)[b^2-a^2]强烈推荐！[★证明方法：过O作BC垂线，转化到已知边上]

■[定理53]：常用结论：过(2p，0)的直线交抛物线y^2＝2px 于A、B两点。O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度。[证明方法：可以利用向量积为零证明垂直]

■[定理54]：对于抽象函数的处理方法如下：柯西函数方程：若f（x）连续或单调（1）若f (xy)=f(x)＋f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax（2）若f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则f(x)=x^u(u由初值给出) （3）f(x＋y)=f(x)f(y) 则f（x）=a^x（4）若f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax2＋bx （5）若f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x),则f(x)=ax＋b特别的若f（x）+f（y）=f（x+y），则f（x）=kx.[对于抽象函数，基本思路是赋值，但不乏赋字母]

■[定理58]：关于积化和差的推导：举例说明：要求将sinasinb化成和差形式，首先想一下在和角差角公式中出现的sinasinb[两个同名三角函数相乘必定是由于cos(a+b)与cos(a-b)引起]，请看式子：cos(a+b)＝cosacosb-sinasinb★，cos(a-b)＝cosacosb+sinasinb?，要求出sina sinb，用?-★即可，得到cos(a-b)-cos(a+b)＝2sinasinb，所以sinasinb＝-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]推导完毕。[其他同理：cosacosb＝1/2[cos(a+b)＋cos(a-b)]，sinacosb=1/2[sin(a+b)＋sin(a-b)]▲，cosasinb与▲其实是一样的b换成a，a换成b即可]这就是和差化积的所有内容！掌握原理很重要！

■[定理59]和差化积的思想是角的演变：a=(a+b)/2＋(a-b)/2★，b=(a+b)/2－(a-b)/2▲，比如求sina-sinb只需把★、▲代入即可化简有sina－sinb＝2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]其他同理。[说明：和差化积只可以求同名三角函数的和差化积，意思是不存在sina-cosb的化积。敬请注意]

1的代换：例如万能公式的推导利用到这个：sin2a＝2sinacosa＝2sinacosa/1＝2sinacosa/[(sin a)^2＋(cosa)^2]＝2tana/[1+(tana)^2]

■[定理60]：万能公式的全部内容：sin2a＝2tana/[1＋(tana)^2]，cos2a＝[1-(tana)^2]/[1＋(tana) ^2]，tan2a＝2tana/[1-(tana)^2][证明方法：前面两个用代换1，最后一个其实就是正切2倍角展开]

■[定理61]：y=asin(bx＋m)为奇函数的充分必要条件是：m=kπ(k为整数)；为偶函数的充分必要条件是m=kπ+π/2。y=acos(bx＋m)为奇函数的充分必要条件是m=kπ＋π/2；为偶函数的充分必要条件是m=kπ.

■[定理62]：从n个元素里取出m个互不相邻的元素的取法总数：C(n-m+1)(m) [注：n-m+1在下]

■[定理64]：最有价值的恒等式：若f(x)的图像关于(a,b)成中心对称等价于f(x＋a)＋f(-x+a)＝2b，或者f(x)＋f(-x＋2a)＝2b。???关于这个恒等式的利用价值如下：如果已知f(x)图像与g(x)图像关于(a，b)成中心对称，且f(x)的解析式已知，求g(x)的解析式。做法：写出恒等式即可，g(x)＋f(-x+2a)＝2b，所以g(x)＝2b-f(-x+2a)

■[定理68]：关于辅助角公式：asint＋bcost＝[√(a^2+b^2)]sin(t+m) 其中tanm＝b/a[条件：a> 0] 说明：一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m，个人觉得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。举例说明：sinx＋√3cosx＝2sin(x+m)，因为tanm＝√3，所以m=60度，所以原式＝2sin(x+60度)

■[定理69]：对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明如下: 因为A+B=π-C，所以tan(A+B)=tan(π-C)即：(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+ta nπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证

■[定理70]y=logax y'=1/xlna；y=a^x y'=(a^x)lna[解题说明：这两个式子的求导比较冷门，但是并不代表不考，它是课本中明确给出的。而且对于这2个公式，我们必须会正反逆用，意思是会求定积分。举例说明：＄(1-2)(2^x)dx=？，解：2^x的原函数是2^x/ln2，所以原式=2 ^2/ln2-2/ln2＝2/ln2]

■[定理73]：关于正方体被一个平面所截形成

的图形问题：

■[定理81]：■[定理82]：

■[定理83]：

■[定理87]：直线AB过原点，交椭圆(或者双曲线)于A、B两点P为椭圆(或双曲线)上异于A、B的任意一点，设直线PA，直线PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=e^2-1。(注：e表示曲线的离心率)[证明：假设A(x1，y1)，则B(-x1，-y1)，设P(x，y)，因为点A，P在曲线(以椭圆为例)上，所以符合x^2/a^2＋y^2/b^2=1★，x1^2/a^2＋y1^2/b^2=1?，k1k2=[(y1-y)(-y1-y)]/[(x1-x)(-x1-x)]▲，用★-?代入▲化简得k1k2=e^2-1。]

■[定理91][转]：关于证明不等式的几种方法：?1，导数论证函数单调性，极值；?2，积分证明不等式：主要利用积分的2个性质（i）设x∈[a,b]，f（x），g（x）连续，f（x）≠g （x）.若f（x）≥（≤）g（x），则∫（b，a）f（x)dx＞（＜）∫（b,a）g（x)dx （ii）若an≤∫（n，n-1）f（x)dx≤bn，则∑ak≤∫（n，0）f（x）dx≤∑bk （PS：∫（b，a）f（x)dx表示从a 积到b）例题：设a＞0，k∈N+ 证明：n^a/a+1＜∑k^a＜n^a+1/a+1 证明：当x∈[k,k+1]时，k^a≤x^a 两边从k积到k+1得k^a=∫（k+1,k)k^adx＜∫（k+1，k）x^adx=（k+1）^a+1-k^a+1/ a+1 两边求和即得右边不等式，同理可证左边。；?3，切线法证明不等式：众所周知，导数的几何意义就是曲线的切线斜率，我们可以考虑利用切线来逼近曲线，但毕竟切线不是曲线，所以两个线的方程之间定然用不等号相连，因此我们就可以获得一个不等式，从而解决一些不等式证明。[解题说明：当然还有一些其他的琴生、权方和、贝努利不等式，不详解]

■[定理98]：常用结论：?1，若x为锐角，则tanx>x>sinx。[证明方法在单位圆中，利用面积大小排列证明]，?2，若x为锐角，则1=1

■[定理100]：在抛物线(或椭圆)中，过焦点(同)的两互相垂直弦交于抛物线(或椭圆)A、B、C、D，则四边形ABCD的面积最小值在一弦的斜率为1，另一弦的斜率为-1时取得。[证明：需要运用到三角函数]

■[技巧1]：[解绝对值不等式的图像方法，十分便捷，重点推荐]：?1，对于∣x+a∣＋∣x ＋b∣＜(或者>)m[说明：a，b任意]的解法：它的图像总是“\_/状，作图方法：I，描出令x= -a，x=-b时的2点水平连线即可；II，再描出一个[-a，-b](或者[-b，-a])之外的点，按照\_/

状连接即可；III，进行计算。?2，对于形如∣x+a∣-∣x+b∣>(或<)m的图像解法：它的图像为一步阶梯状[如图_/ˉ或者ˉ\_(图像连续不断)]，I，描出x=-a，x=-b的点；II，连线2点；III，进行计算。?3，对于∣2x+a∣＋∣x+b∣>m这种系数不统一的方法仍适用，只是折线不规则。作图仍然可以解决。