人教版高中数学青年教师基本功考核试题(含答案)
高中数学基本功大赛试题
数学试题一．填空题（共14小题，每题2分，共28分） 1.《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过 程与方法、 。
2.数学教育要使学生掌握数学的基本知识、 、基本思想。
3.高中数学课程要求把数学探究、 的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。
4.数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题， 的过程。
5.《高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求 解、 这五个能力。
6.学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导_ _、 实践、___________、阅读自学等学习数学的方式。
7.数学是研究_________和________的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
8.设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = ．9.函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为 。
10.已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________．11.已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段 PQ 长度的最小值为 。
12.若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间],[b a ，且2=-a b ，则=k 13. 设2=+b a ，0>b ，则当a = 时 ，ba a ||||21+取得最小值。
14.函数122-+=x x x y 的值域是 二．解答题（共6题，每题10分，共60分）15.在等差数列{a n }中，已知,p q S q S p ==（p ≠q ），求p q S +的值．16.如图，正方形ABCD 的边长为4，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，M 、N 分别是PB 、AB 的中点。
201410教师基本功比赛试题(笔试)及答案
2014年高中数学教师基本功比赛试题（笔试）用时：120分钟 满分：140分一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．把答案填写在答题纸相应位置上． 1．奇函数()f x 的定义域为R ．若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(7)(8)f f += ▲ ．1- 大纲文改编2．设a ，b ∈R ，222=+b a ，则ab 的取值范围是 ▲ ．]1,1[-随意编的题222||a b ab +≥ 3．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F ，2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则12cos AF F ∠= ▲ ．78大纲理改编 4．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段1(10)y x x =+-≤≤的极坐标方程为 ▲ ．1()sin cos 2πρθπθθ=≤≤-江西理改编5．已知||1a >，变量x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =-的最小值为5-，则a =▲ ．3-全Ⅰ文改编6．三棱锥P ABC -中，D ，E 为PB 的两个三等分点，F 为PC 的中点，记三棱锥E ADF -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ．16山东理改编7．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为3，则该球的表面积为 ▲ ．16π大纲理改编8．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 ▲ ． (,2]-∞大纲理9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 所对边的长．若2a =，且(2)(s i n s i n )()b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ▲．理10．已知2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为 ▲ ．[1,0]-上海理改编11．菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若16AE AF ⋅=，则λ的值为 ▲ ．4天津文改编 12．已知F 为抛物线22y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上，1OA OB =-（O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ▲．二、解答题：本大题共5小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本小题满分16分）已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，求实数a 的取值范围． 全Ⅰ文理小题解：当0a =时，()f x =231x -+，由图象易知不合题意． ……2分当0a ≠时，2'()36f x ax x =-23()ax x a=-． ……4分 当0a >时，()f x 在区间(,0)-∞上是增函数，且(1)20f a -=--<，(0)10f =>，()f x 在(1,0)-存在零点，不合题意． ……8分 当0a <时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，(0)10f =>，(1)20f a =-<，故()f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点0x ； ……12分 又()f x 在2(,)a -∞上是减函数，在2(,0)a上是增函数， 为使()f x 在(,0)-∞上无零点，令2()0f a >得2281210a a-+>，解得2a <-． 综上可知，满足题意的实数a 的取值范围是(,2)-∞-． ……16分 解2：考察3()g x ax =，2()31h x x =-两个函数图象，当0a ≥时，由图象可知存在00x <使00()()g x h x =，不合题意； 当0a <时，由图象可知存在00x >使00()()g x h x =，此时只需当0x <时，3231ax x >-，即2331(0)x a x x-<<，可得2a <-． 或令1(0)t t x=<，应有33(0)a t t t <-+<，可得2a <-． 解3：因0x =不是原方程的解，可将原方程变为2331x a x -=， 存在唯一的解0x ，且00x >，由图象可得2a <-． 或令1(0)t t x=≠，应有33t t a -+=，存在唯一的解0x ，且00x >，可得2a <-． 14．（本小题满分16分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），34tan =∠BCO ．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 解法一：江苏高考题（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系．由条件知)60,0(A ，)0,170(C ， 直线BC 的斜率34tan -=∠-=BCO k BC．又因为BC AB ⊥，所以直线AB 的斜率43=AB k ． 设点B 的坐标为),(b a ， 则341700-=--=a b k BC ，43060=--=a b k AB ．解得80=a ，120=b ． 所以150)1200()80170(22=-+-=BC ．因此新桥BC 的长为150m ．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m ，d OM =m )600(≤≤d ． 由条件知，直线BC 的方程为)170(34--=x y ，即068034=-+y x ． 由于圆M 与直线BC 相切，故点),0(d M 到直线BC 的距离是r ， 即5368034|6803|22dd r -=+-=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以⎩⎨⎧≥--≥-,80)60(,80d r d r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---≥--,80)60(5680,8053680d d d d解得3510≤≤d ．故当10=d 时，53680dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二：（1）如图，廷长OA ，CB 交于点F ．因为34tan =∠FCO ，所以54sin =∠FCO ，53cos =∠FCO ． 因为OA =60，OC =170，所以3680tan =∠=FCO OC OF ，3850cos =∠=FCO OC CF ，从而3500=-=OA OF AF ．因为OC OA ⊥，所以54sin cos =∠=∠FCO AFB ．又因为BC AB ⊥，所以3400cos =∠=AFB AF BF ，从而150=-=BF CF BC ．因此新桥BC 的长为150m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连结MD ， 则BC MD ⊥，且MD 是圆M 的半径， 并设MD =r m ，OM =d m )600(≤≤d ． 因为OC OA ⊥，所以FCO CFO ∠=∠cos sin ． 故由（1）知533sin =-=-==∠d r OM OF MD MF MD CFO ，所以53680dr -=．因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80m ，所以⎩⎨⎧≥--≥-,80)60(,80d r d r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---≥--,80)60(5680,8053680d d d d解得3510≤≤d ．故当10=d 时，53680dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大．15．（本小题满分16分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中． 浙江理小题（1）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =，比较1p ，2p 的大小；（2）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为i ξ，求i ξ的分布列及数学期望(1,2)i =． 解：（1）p 1＝m m ＋n ×22＋n m ＋n ×12＝2m ＋n 2（m ＋n ）， ……2分p 2＝C 2m C 2m ＋n ×33＋112m n m nC C C+×23＋C 2nC 2m ＋n ×13＝33()m n m n ++， ……4分则p 1－p 2＝06()nm n >+，于是12p p >． ……6分（2）1ξ的分布列为 ……9分（第18题）2ξ的分布列为 ……12分E (ξ1)＝1×n m ＋n ＋2×mm ＋n ＝2m ＋n m ＋n， ……14分E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3×C 2mC 2m ＋n ＝3m n m n++． ……16分16．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n ∈N *，且315S =．（1）求1S ，2S 的值及n S 的表达式； 广东文理合并改编 （2）求证：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<---．解：（1）由21234n n S na n n +=--得212()34n n n S n S S n n +=---， 整理得1213422n n n n S S n +++=+． ……2分 由315S =可得28S =，进而得13S =． ……4分 猜想一般结论为(2)n S n n =+(n ∈N *)． ……6分 利用数学归纳法可以证明：①当1n =时，13S =1(12)=⨯+，等式成立．②假设当n k =时等式成立，即(2)k S k k =+，那么，当1n k =+时，有212134(2)43(1)[(1)2]22k k k S k k k k k k k +++=++=++=+++． 这就是说当1n k =+时，等式也成立．由①②两步可知，对任意n ∈N *总有(2)n S n n =+． ……10分 或：204153323-+=+=a a S a ，73=a ．于是72822122-+=+==a a S a S ，52=a ．31=S ． 猜想21n a n =+(n ∈N *)．由21234n n S na n n +=--，得)1(4)1(3)1(221-----=-n n a n S n n （2≥n ），相减得16)12(21++-=+n a n na n n （2≥n ）． 再利用数学归纳法证明：21n a n =+(n ∈N *)．31=a ，52=a ，成立．假设当)2(≥=k k n 时成立，…也可以验证16)12(21++-=+n a n na n n 对n ∈N *成立， 假设当∈=k k n (N *)时成立，…（2）由（1）易得21n a n =+(n ∈N *)． ……12分k ∈N *，22242(33)(1)0k k k k k k k k +-+=-=-≥，224233k k k k ∴+≥+，221111111()(1)2(21)314233k k a a k k k k k k k k ∴==≤=--++++． ……14分∴1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+---1111111111()(1)312231313n n n ≤-+-+⋅⋅⋅+-=-<++． ∴原不等式成立． ……16分或：3161)1(111<=-a a ．当2≥n 时，对k ∈N *， 因为)121121(21)12)(12(1)12(21)1(1+--=+-<+=-k k k k k k a a k k ，所以)1(1)1(1)1(12211-++-+-n n a a a a a a )121121(21)7151(21)5131(2161+--++-+-+<n n 31)12(2131)12131(2161<+-=+-+=n n ． 17．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2224x y +=．若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥． 北京文理揉合并改编 （1）求线段AB 长度的最小值；（2）试判断是否存在常数λ使得||||||OA OB AB λ=成立，并证明你的结论． 解：设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r ，即0020tx y +=，解得002yt x =-． ……2分（1）因为220024x y +=，所以22200||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=2220002044y x y x +++ =2220002042(4)42x x x x --+++=2200284(04)2x x x ++<≤． ……6分因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时等号成立，所以2||8AB ≥，故线段AB长度的最小值为 ……8分（2）当0x t =时，220t y -=，代入椭圆C的方程得t =，故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d = ……10分 当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=， 点O 到直线AB的距离d =． ……12分又220024x y +=，02y t x =-，故d ==22168|4|20204020=+++xx x x x ．综上，点O 到直线AB的距离d =． 因为在Rt AOB ∆中，||||||AB d OB OA =， 所以存在常数2=λ使得||||||AB OB OA λ=成立． ……16分。
高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题
高中数学专业素养1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家笛卡尔和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。
2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的叠加函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。
4、《江苏省20XX 年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这五个能力。
5、《江苏省20XX 年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、掌握三个层次（分别对应A 、B 、C ）6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、情感、态度和价值观。
1、函数3213()2132f x x x x =-+-的单调增区间为。
2、设复数()2()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a =．3、已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是_______________． 4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有辆．5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是．6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为频率第4图8、(本题满分15分)△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+且m n ⊥（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()f θ；②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．（Ⅰ）4π=A （5分） （Ⅱ）θπθθsin )4sin(250)(+=f ，bc c b g 42),(=（5分） （Ⅲ）)12(25max +=S （5分）9、(本题满分15分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t（1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at--++=+== 21(,0)2at M at+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+ MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at++=⋅+=（7分） (2) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at+-+-'== 0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值已知在12t =处, ()S t 取得最小值,故有14,23a =∴=故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅（8分） 1、(,1),(2,)-∞+∞2、1 3、[3，9]4、360 5、5 6、)2ln 1(22+ 1.数学是研究__现实世界_________和____数量关系_______的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
江门市2013年普通高中青年教师基本功比赛数学试卷与评分参考
江门市2013年普通高中青年教师基本功比赛数 学 试 题本试卷共4页，21小题，满分150分。
闭卷笔答，答卷用时120分钟． 参考公式：⒈锥体的体积Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ⒉线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}R x x x x M ∈=+= , 02|2，{}R x x x x N ∈=-= , 02|2，则=N M A ．{}0 B ．{}2 , 0 C ．{}0 , 2- D ．{}2 , 0 , 2- 2．在平面直角坐标系中，已知点)3 , 2(A 、)2 , 1(B 、)5 , 2(-C ，则 A ．2π=∠A B ．2π=∠B C ．2π=∠C D ．以上都不对 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人 数如右表，已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到二年级女生的概率是19.0．现用 分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则 应在三年级抽取的学生人数为A ．24B ．18C ．16D ．124．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1010=S ，4020=S ，则=30S A ．70 B ．80 C ．90 D ．100 5．某一双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成 等比数列，则该双曲线的离心率是A ．35B ．45C ．34D ．215+6．执行右面的程序框图，如果输入的]3 , 1[-∈t ， 则输出的s 属于A ．]3 , 3[-B ．]4 , 3[-C ．]3 , 4[-D ．]5 , 2[-A 7．若函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点1x 、2x ，且11)(x x f =，则关于x 的方程0)(2))((32=++b x af x f 的不同实根个数是 A ．6B ．5C ．4D ．38．设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀ , ，都有S ab ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的。
教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试题与参考答案
教师资格考试高中数学学科知识与教学能力模拟试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、设函数(f(x)=log2(x2−4x+5))，则该函数的定义域为：A.(x<2)B.(x>2)C. 全体实数D.(x≠2)2、已知向量(a⃗=(3,4))，(b⃗⃗=(−1,2))，若(c⃗=a⃗−2b⃗⃗)，则(|c⃗|)（即(c⃗)的模）等于：A. 5B. 7C.(√29)D.(√53)3、在以下函数中，定义域为全体实数的是（）A.(f(x)=√x−1))B.(g(x)=1x2C.(ℎ(x)=log2(x+3))+√x+1)D.(j(x)=1x−14、在等差数列({a n})中，若首项(a1=3)，公差(d=2)，则第10项(a10)的值是（）A. 21B. 19C. 17D. 155、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则函数在区间[-2, 2]上的最大值为：A、1B、3C、5D、不存在6、若矩阵(A)经过有限次初等行变换可化为矩阵(B)，下列叙述正确的是：A、(A)与(B)的秩不一定相等。
B、(A)与(B)的行列式值相同。
C、若(A)可逆，则(B)也可逆。
D、(A)与(B)相似。
7、在下列数学概念中，属于集合概念的是：A. 方程B. 函数C. 点D. 三角形8、函数y=lg(2x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (0, 1)D. (1, 2)二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题在高中数学课程中，函数是一个非常重要的概念，请详细解释函数的概念，并举例说明函数在实际生活中的应用。
第二题请结合高中数学课程标准，谈谈如何有效地进行高中数学概念的教学设计。
第三题题目：请简述函数的奇偶性，并举例说明。
如何利用函数的奇偶性简化某些积分问题？第四题请结合高中数学教学实际，阐述如何利用“问题情境”激发学生学习高中数学的兴趣。
第五题请结合高中数学教学实际，谈谈如何有效地进行数学课堂导入，提高学生的学习兴趣。
高中数学教招试题及答案
高中数学教招试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-2x+3的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知等差数列{a_n}的前三项依次为1，4，7，则该数列的通项公式为（）A. a_n = 3n - 2B. a_n = 3n + 1C. a_n = 3n - 1D. a_n = 3n答案：A3. 若cosθ=1/3，则sinθ的值为（）A. 2√2/3B. √2/3C. √6/3D. -√6/3答案：C4. 抛物线y^2=4x的焦点坐标是（）A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (0, 1)答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0，该圆的半径为_________。
答案：2√52. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为_________。
答案：6x^2-6x+43. 集合A={x|x^2-5x+6=0}，则A的元素个数为_________。
答案：24. 已知向量a=(3, -4)，b=(2, k)，若a与b垂直，则k的值为_________。
答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4，求证：f(x)在x=2处取得极值。
证明：首先求导数f'(x)=3x^2-6x。
令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
计算f''(x)=6x-6，代入x=2，得到f''(2)=6，说明f(x)在x=2处取得极小值。
因此，f(x)在x=2处取得极值。
2. 已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a=2，b=3，c=√7，求三角形ABC的面积。
解：由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2，因此C=π/3。
利用正弦定理，有S=1/2ab*sinC=1/2*2*3*√3/2=3√3/2。
2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)
2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案13．79−14．31115． 16．4π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =−=.由2212a b b =，可得222136a b b ==. 因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………2分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=.…………………………………3分于是当2n ≥时，n a =.将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n −=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………4分由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n =+. ………………………………5分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+−.………………………8分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<− ⎪+−+⎝⎭（2n ≥）. 因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<−⇔<⇔+<+− ⎪+−++−+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+−>⇔−+>, 所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+−++−<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …10分 当1n =时，1277<.…………………………………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−+−−+−+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++−zF1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−+−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−−−+−+⎝⎭. 当4n ≥时,2111723441n n ++++−1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−−−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111272347147<+++<. …………………………………………………10分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a ……………………………12分 18. 【解析】(Ⅰ)因为//BC AD ,BC ⊄平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以//BC 平面ADE , 同理//CF 平面ADE , 又BCCF C =,所以平面//BCF 平面ADE ,又BF ⊂平面BCF ,所以//BF 平面ADE . …………………………………………4分 (Ⅱ)以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz −如图所示, 则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ,设()0CF h h =>,则()1,2,F h ,()1,1,0BD =−,()1,0,2BE =−,(1,2,2CE =−−设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ,则00BD BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ,即020x y x z −+=⎧⎨−+=⎩,解得22x zy z=⎧⎨=⎩,令1z =,得()2,2,1=n ,设直线CE 与平面BDE 所成角为θ,则sin θ=4cos ,9CE CE CE ⋅<>==nn n ,所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. ……………………9分(Ⅲ)设(),,x y z =m 为平面BDF 的法向量,则00BD BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ,即020x y y hz −+=⎧⎨+=⎩,解得2x yy z h =⎧⎪⎨=−⎪⎩,令y h =,得(),,2h h =−m ,依题意,1cos ,3⋅===⨯m n m n m n,解得87h =.所以线段CF 的长为87. …………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=． 所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ−−=−−，123212323(),3().x x x x y y y y λλ−=−⎧⎨−=−⎩解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ−⎧=+⎪⎪⎨−⎪=+⎪⎩ 因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ−−+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ−−+++−+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34−，所以121234y y x x ⋅=−，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ−+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………12分20. 【解析】(Ⅰ)方法1:设方案一中每组的化验次数为X ,则X 的取值为1,6．………………………1分所以()510.990.951P X ===,()5610.990.049P X ==−=, ……………………………………2分所以X 的分布列为所以1EX =⨯分故方案一的化验总次数的期望为:1111 1.24513.695EX ⨯=⨯=次． ………………………………4分 设方案二中每组的化验次数为Y ,则Y 的取值为1,12,所以()1110.990.895P Y ===,()111210.990.105P Y ==−=,……………………………………5分所以Y 的分布列为所以1EY =⨯分故方案二的化验总次数的期望为:55 2.15510.775EX ⨯=⨯=次． …………………………………7分 因13.69510.775>,所以方案二工作量更少．……………………………………………………………8分 方法2:也可设方案一中每个人的化验次数为X ,则X 的取值为15,65． 方案二中每个人的化验次数为Y ,则Y 的取值为111,1211． 同方法一可计算得0.249EX =,0.196EY =,因EX EY >,所以方案二工作量更少.(Ⅱ)设事件A :血检呈阳性；事件B :患疾病．…………………………………………………………9分则由题意有()0.01P A =,()0.004P B =,()0.99P A B =,…………………………………………10分 由条件概率公式()()()P AB P A B P B =,得()()()0.0040.99P AB P B P A B ==⨯, ………………11分故()()()0.0040.990.3960.01P AB P B A P A ⨯===,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为39.6%.…12分21. 【解析】（I ）当0a =时，()sin cos f x x x x =+，[,]x ππ∈−.'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+−=.当x 在区间[,]ππ−上变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表所以()f x 的单调增区间为(,)2ππ−−，(0,)2π；()f x 的单调减区间为(,0)2π−， (,)2ππ.……………………………………………………………………………4分（II ）任取[,]x ππ∈−.2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x −=−−+−+−=++=，所以()f x 是偶函数.'()cos (cos )f x ax x x x a x =+=+.当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,)π上恒成立，所以[0,)x π∈时，'()0f x ≥. 所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为(0)1f =，所以()f x 在[0,]π上有0个零点. 又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[,]ππ−上有0个零点. 当01a <<时，令'()0f x =，得cos x a =−. 由10a −<−<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x a =−.所以当0[0,)x x ∈时，'()0f x ≥，()f x 单调递增； 当0(,)x x π∈时，'()0f x <，()f x 单调递减. 因为(0)1f =，0()1f x >，21()12f a ππ=−. ①当21102a π−>，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有0个零点. ②当21102a π−≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有2个零点. 综上，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.………………………………………………………………………………………12分22.写出来，谈的有想法就给分，采取加分原则.。
高中数学教师应聘考核试题(附答案解析).doc
高中应聘考核试题第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给岀的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1・若复数（/—3Q + 2） + （Q -1）7是纯虚数，则实数Q 的值为（）C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件3. 甲、乙、丙3人分配到7个实验室准备实验，若每个实验室最多分配2人,则不同分配方案共有（）A. 336B. 306C. 258D. 2964. 执行右边的程序框图，若P = 0.8,则输出的“二（）力.3 5.4 C.5 D.62.“兀>1”是“丄vl”的（)A.充要条件B.必要而不充分条件 A A5.2 C.1 或2D.-\5.函数尸=型（0<^< 1）的图象的大致形状是（）1^16.将函数y=sin（2x+（p）（0<（p<7u）的图象沿x轴向右平移三个单位后，得到的图象关8丁丁轴对称，则卩的一个可能的值为（）D.7若卜+日的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式X项的系数为8.给出下列命题:① 函数/任）=绎沖 的定义域是（-3,1 ）;Vl-2r② 在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是丄“2③ 如果数据X1、X2、…、x n 的平均值为X,方差为S 2，则3X I +5、3X2+5、…、3Xn+5的方差为9S 2；④ 直线ax —y +2a = Q 与圆x 2 +y 2= 9相交； 其中真命题个数是 （）A. 1B. 2 C ・ 3D ・ 49. 已知点M 是AABC 的重心，若A=60°f AB AC = 3f 则|而|的最小值为A. V3B. 41C.少D. 2310. 数列｛%｝满足q=2, %=仏二1,其前n 项积为7；则瞌4=（）% +1 _ A.- B. —丄C ・ 6D ・ 一66 611. 若抛物线y 2=2x 上两点A （xi, yi ）、B （X2, yi ）关于直线y 二x+b 对称，且yiy2=-l,则实数b 的值为（）（A ）— （B ）— （C ）— （D ）—2 2 2 212. 设奇函数/⑴在［T,l ］上是增函数，且_/（-1）=-1,当兀［—1,1］时，-2at+\对所有的炸［一1,1］恒成立，则/的取值范围是（・）A. &2 或/W —2 或 f=0 B ・ &2 或/W —2B. 7C. 14D. 28C . f>2 或 tv —2 或 r=0 D. —2EW2第II卷二•填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的指定位置）13. __________________________________________________ 如下左图所示，曲线y=x2-l及x轴围成图形的面积S为___________________________ ・14. 如上右图，己知四棱锥的底面是边长为Q 的正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，侧棱长为迈7则它的外接球的半径为 _________x>0 °15•设变量x,丿满足约束条件：2兀+川3则"十+尸的最大值为 _____________ .x + 2y>316. 对于数列｛如｝,定义数列｛a n+-a n ｝为数列｛如｝的“差数列”,若Q 】=2, ｛如的“差数列”的通项公式为2",则数列⑺”｝的前〃项和S”= ________ .三、解答题：（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）• • •17. （本小题满分12分）在厶ABC 中，角4，B,C 的对边分别为a,b ，c ,且方vc, V^7 = 2bsin/ • （ I ）求角B 的大小；（II ）若a = 2, b = * ,求c 边的长和△MC 的面积y \ O亍-\18.（木小题满分12分）某分公司有甲、乙、丙三个项目向总公司中报，总公司有I、II、III三个部门进行评估审批，已知这三个部门的审批通过率分别为丄、22 2兰、兰.只要有两个部门通过就能立项，立项的每个项目能获得总公司100万的3 3投资.⑴求甲项目能立项的概率；（2）设该分公司这次申报的三个项目获得的总投资额为X,求X的概率分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，点E 是棱AB上的动点.（I ）求证：DA】丄ED［；（II）若直线DA|与平面CED］成角为45。